大学物理第22章量子力学基础知识

一、波函数
波函数 描述具有波粒二象性的微观物体状态的函数称为波函数。如 果知道了某微观物体的波函数后，原则上确定该物体的全部物理性质。 波函数一般是时间和空间坐标的复数函数。
第五篇
近代物理
在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间的二元函数。 一列沿X轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程：
x t x y x, t A cos 2 A cos 2 t T
h 6.63 1034 1 1.2 1010 m 2me Ek1 2 9.11031 100 1.6 1019
h 6.63 1034 2 8.67 1012 m 2me Ek 2 2 9.11031 200 1.6 1019
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近代物理
第二十二章 量子力学基础知识
人们很早就认识到构成世界的物质有两种：实物Matter 和场Field。
前者的例子有电子质子，后者的例子有电磁场。电磁场 表现出了粒子性的一面（光子），并得到光电效应和康普 顿散射的证实。那么对于实物粒子，我们很容易想到是不 是以前过分强调粒子性的一面而忽略了实物波动性的一面 呢？
第五篇
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wave-particle duality
§22.1
波粒二象性
一、De Broglie物质波假设
1924年，法国物理学家De Broglie向巴黎 大学提交的一篇博士论文中，提出了物质波的 假设。
一切实物粒子也具有波粒二象性：既 是粒子也是波——物质波或德布罗意 波。 物质波的波长、频率与能量、动量满 足下面的德布罗意关系：
怎样理解微观粒子的二象性： 1 粒子性 • 指它与物质相互作用的“颗粒性”或“整体性”。 • 但不是经典的粒子！因为微观粒子没有确定的轨道，应抛弃 “轨道”的概念！ 2 波动性 • 指它在空间传播有“可叠加性”，有“干涉”、“衍射”、 “偏振”等现象。 •但不是经典的波！因为它没有某种实际物理量（如质点的位移、 电场、磁场等）的波动。
电子的De Broglie波长与 X 射线接近，其波动性不能忽略。
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二、物质波的实验验证
要想从实验上观察到物质波，必须波长孔隙线度可比拟从而产生衍射 现象。由上面的计算可知，任何宏观物体的物质波实际上都无法通过衍射 观察，但是能量为～102eV的电子其德布罗意波长与X射线同量级，X射线 能观察到衍射，电子打在晶体上也应当能观察到电子的衍射。 ①Davisson-Germer的电子衍射实验 1927年美国物理学家 C.J. Davisson与 G.P. Germer用电子衍射实验 证实了电子具有波动性。实验装臵示意图如下：
2
r , t 是 r , t 的共轭复数
德布罗意波又可以被称 概率波 probability wave
1926 年提出了对 波函数的统计解释
1954年 获诺贝尔物 理奖。
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2
因概率密度
P r ,t r ,t
故在 r 矢端的体积元 dV dxdydz 内发现粒子 的概率为：
因此，将波函数在空 间各点的振幅同时增大C倍， 因此，将波函数在空间各点 则各处的能流密度增大C2倍， 的振幅同时增大C倍，不影响粒 变为另一种能流密度分布 子的概率密度 状态。
波动方程无归一化问题。
波函数存2
例1：已知粒子的波函数为 ( x) ce
K
G
Cs
U
ultra-high voltage
screen
由此 L. de Broglie获1929年Nobel物理奖 G. P. Thomson与C. J. Davisson共获1937年 Nobel物理学奖。 后来实验又验证了：质子、中子和原子、分子等实物粒子都具有波 动性，并都满足德布罗意关系。
真空
I U
掠射角 Ni单晶
电子枪
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实验装臵如图示。灯丝K发出的电子束通过狭缝D后，略入射到镍单晶 体上。 假如电子具有波动性，应满足布喇格公式
1.225nm 2d sin k U
k 1,2,3,
在散射角不变时，测量在不同加速电压下经晶体散射后的电子束（电 流）的强度。实验发现电子束（电流）的强度具有明显的选择性。
电子波动反映到原子中，为 驻波。当受到微扰时，波保持稳 定，如同金、银等金属化学性质 一般保持稳定一样。
第五篇 De Broglie 波长公式
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当质量为m的粒子运动速度v<<c 时，可以用牛顿力学处理，物质波 波长为
h mv
我们常常碰到的是带电 (电量q)粒子，从静止开 始受到加速电压U的作用
在量子力学中用复数表达式：
x i 2 t
Euler formula
y x, t Ae
e i cos i sin
取实部
沿X方向匀速直线运动的自由 粒子，动量、能量恒定不变。按照 De Broglie关系，此物质波的波长 和频率也保持恒定不变，即为平面 单色波，其波函数写作：
x, t Ae
x i 2 t
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x, t Ae
i
应用De Broglie关系，上式可改写成为：
Et px
进而，沿 r 方向匀速直线运动的自由粒子的波函数为：
r , t Ae

i
Et p r
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微观粒子在某些条件下表现出粒子性，在另一些条 件下表现出波动性，而两种性质虽寓于同一体中， 却不能同时表现出来。
少女？
老妇？
两种图象不会同时出 现在你的视觉中。
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波函数
§22.2
随着旧量子论的出现，经典物理的概念越来越难以描述微观现象， 矛盾随处可见，物理学家们都很困惑。1925~1928年，在物质波理论成 功的激励下，Heisenberg、Born、Schrö dinger、Dirac等人终于建立了 一套完全革命性的理论 量子力学。
2m0c 2 qU
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例1：电子静止质量m0=9.110-31Kg，以v=6.0106m/s速率运动。质量m = 50Kg的人，以v=15m/s的速度运动，试比较电子与人的De Broglie波长。 解：电子和人的De Broglie波长分别为：
h 6.63 1034 10 e 1.2 10 m 31 6 me v 9.110 6 10
h 6.63 1034 p 8.8 1037 m mp v 50 15
电子的De Broglie波长与X 射线接近，人的De Broglie波长仪器根 本观测不到。可见，宏观物体的波动性根本不必考虑，只考虑其粒子性。
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例2：两束电子动能分别为100eV和200eV，求电子的De Broglie波长。 解：电子的De Broglie波长分别为：
P r , t dxdydz r , t dV
2
在波函数存在的全部空间V中 必能找到粒子，即在全部空间V中 粒子出现的概率为1。


r , t dV 1
2
此条件称为波函数的归一化条件。
满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。
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波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件： 连续 单值 有限 因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续； 因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定单值； 因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；
h h 2mEk 2mqU
但如果速度为v~c，必须使用相对论公式：

h p相对论
2 E0 Ek Ek2 p相对论 c hc hc 2E0 Ek Ek2 2m0c 2 qU q 2U 2
如果是电子 mec 0.51MeV U小于百万伏特就可以
2
具体到考虑加速电压U为多少可以忽略相对论效应？
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二、波函数的统计解释
设描述粒子运动状态的波函数 为 r , t ，则： 空间某处波的强度与在该处发现 粒子的概率成正比； 在该处单位体积内发现粒子的 概率（即概率密度）与波函数的 模的平方成正比，并取比例系数 为1，即：
P r , t r , t r ,t r ,t
， c 是待定实数。求发现粒子
概率最大的位臵和粒子出现在[0,1]上的概率。 解：先定归一化系数c
* 2 x 2 ( x ) ( x ) dx c e dx c 1
2

c
1
4



发现粒子的概率为：
( x) * ( x) ( x)
发现粒子概率最大处为
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三、物质波的统计解释
德布罗意波理论得到实验支持后，怎么解释实物粒子的波动性质，或 者说如何看待波粒二象性，成为当时物理学界的一个重大争论问题。
物质波对应什么物理量在波动？ 物质波是电磁波还是机械波？ 物质波满足什么波动方程？ 经过物理学家之间的反复论战，大部分人都同意波恩的观点：物质波 是一种概率波，而不是经典的波动。波粒二象性是单个粒子所具有的固有 属性。 下面我们来讨论一下电子的双缝干涉实验。1949年，前苏联物理学家费格 尔曼做了一个非常精确的弱电子流衍射实验。电子几乎是一个一个地通过 双缝，底片上出现一个一个的点子。（显示出电子具有粒子性）开始时底 片上的点子“无规”分布，随着电子增多，逐渐形成双缝衍射图样
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单电子双缝衍射实验：
7个电子
100个电子
3000 说明衍射图样不是电子相互 作用的结果,它来源于单个电子具 有的波动性。每个电子到达屏上 各点有一定概率，衍射图样是一 个电子出现概率的统计结果。