第二十二章量子力学基础§221德布罗意假设
德布罗意物质波的假设
7.13nm旳圆环性量子围栏,并观察量到了围栏内旳同
心圆柱状驻波,直接证明了物质波旳存在.
探针
中子衍射显示旳苯构造
+ + + + ++ +
+
+
+ + + + +++
注意:物质波被广泛用作探索手段.例核反应产生旳中
子(=0.1nm)可作为晶体探测器.
13
sin 0.777 k
k 1, sin 1, 51 与试验值 50 相差很小，
这表白电子具有波动性，实物粒子具有波动性是正确旳。
11
2. 电子衍射试验2
电子束在穿过细晶体粉末 或薄金属片后，也象X射线 一样产生衍射现象。
阴极 栅极
多晶 薄膜
K
G
Cs
1927年 G.P.汤姆逊（J.J.
了电子具有波动性，
54
U
电子加速
1 2
m
ev
2
eU
(m ev )2 2m eeU
P 2m eeU
电子束在两晶面反射加强条件： d sin k
10
h h
I
P 2m eeU
d sin kh
2m eeU
sin kh
镍单晶 d 2m eeU
54
U
d 2.15 10 10 m , U 54V, m e 9.11 10 31 Kg
h
P
h
2meU
6.63 10 34 2 9.1 10 31 1.6 10 19 15000
1 10 11 m
电子旳德波波长很短，用
电子显微镜衍射效应小，可 放大200万倍。
一德布罗意物质波假设
- 63
(m)
(4)微观物体的波动性明显，不能忽略。
E k = 200 eV : λ e = 0 . 867 A
0
~ λx = 1 A
0
可以用晶体观察电子的衍射图样.
2 G . P . 汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 ) 电子束穿越多晶薄片时出现类似X射线 在多晶上衍射的图样.
电子束透过多晶铝箔的衍射
15-6 德布罗意波 实物粒子的二象性
一.德布罗意物质波假设
1. 光的本性：（1905年，爱因斯坦提出：光的粒子性） 光同时具有波、粒二象性，波、粒二象性的联系：
E mc
2
h
p mc
h
m
E c
2
波动性：表现在传播过程中 （干涉、衍射）
粒子性：表现在与物质相互作用中 （光电效应、康普顿效应、） 问题： 实物粒子？ 粒子性（经典物理） 波动性？
mc h
2
注意
(1) 若 v c 则 m m 0
γ= 1 1- （ /c )
2
(2) 若 v c 则 m m 0
λ= h p = h m0v
（3） 物质波数量级
4
kg
公转 29 . 8 km s
h m
2
解
电子静止能量：
2
E 0 m 0 c 0 . 51 MeV
2
E k << m 0 c
v
∴
Ek =
1 2
m0v
19
2
v
2Ek m0
6 -1
2 200 1 . 6 10 9 . 1 10
31
m s
量子力学的几个基本假设及原理
量子力学的基本假设与原理1. 波粒二象性波粒二象性是量子力学的核心概念之一，它指出微观粒子既可以表现出波动性质，又可以表现出粒子性质。
这一概念最早由德布罗意（Louis de Broglie）提出，并由实验证实。
根据波粒二象性，微观粒子具有波动行为的特点，可以用波函数来描述。
波函数是一个复数函数，表示了微观粒子在不同位置上的概率幅度。
当我们对微观粒子进行测量时，其行为会表现出粒子性质，即呈现出离散的、局部化的结果。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子力学中的重要原理之一，由海森堡（Werner Heisenberg）在1927年提出。
它指出，在某些物理量上存在固有的测量不确定性，即无法同时准确测量一个粒子的位置和动量（或其他共轭变量）。
根据不确定性原理，对于某个物理量A和B，其不确定度满足以下关系：ΔA·ΔB ≥ ℏ/2其中，ℏ是普朗克常数。
这意味着，我们无法同时准确测量粒子的位置和动量，或者其他共轭变量。
这是因为测量粒子的过程会对其状态产生干扰，从而使得测量结果存在不确定性。
3. 波函数坍缩波函数坍缩是量子力学中的一个重要现象，它描述了当我们对微观粒子进行观测时，其波函数会发生突变的现象。
根据波函数坍缩理论，当我们对微观粒子进行观测时，其波函数会突然塌缩到某个确定的状态上。
这个塌缩过程是非确定性的，即无法预测塌缩到哪个状态上。
而在观测之前，微观粒子处于一个叠加态（superposition）中，即同时具有多个可能的状态。
波函数坍缩的概率规律由薛定谔方程描述，该方程是量子力学中描述波函数演化的基本方程。
4. 量子纠缠量子纠缠是一种特殊的量子态关系，它描述了两个或多个微观粒子之间存在一种非常特殊的联系。
当两个粒子处于纠缠态时，它们的状态是相互关联的，无论它们之间有多远的距离。
量子纠缠的产生通常需要两个粒子之间发生相互作用，并且它们处于一个叠加态中。
一旦其中一个粒子被观测到，其波函数将坍缩到某个确定的状态上，并且与另一个粒子之间的纠缠关系也会立即坍缩。
量子力学的几个基本假设及原理
量子力学的几个基本假设及原理引言量子力学是20世纪最重要的科学理论之一，它描述了微观粒子的行为以及能量的传递方式。
在量子力学中，有几个基本假设及原理被广泛接受，并构成了这个理论的基础。
本文将对量子力学的几个基本假设及原理进行探讨。
量子力学的基本假设第一个基本假设：波粒二象性根据这个假设，微观粒子既可以表现出粒子的性质，也可以表现出波的性质。
也就是说，微观粒子既可以被看作是具有质量和位置的实体，也可以被看作是具有波动性质的能量传播形式。
这个假设的基础是德布罗意的波动假设，即所有粒子都具有波动性质。
第二个基本假设：不确定性原理不确定性原理是量子力学的核心原理之一，由海森堡提出。
它指出，在某些物理量的测量中，无法同时准确测量其位置和动量，或者同时准确测量其能量和时间。
这意味着在测量过程中，对于某个物理量的准确值的获取，会导致另一个物理量的值具有一定的不确定性。
第三个基本假设：量子叠加原理根据量子叠加原理，当一个物理系统处于多个可能状态时，它不仅仅具有其中一种状态，而是处于所有可能状态的叠加。
这种叠加是指经典物理中不存在的状态，它以波函数的形式描述了物理系统的状态，而波函数的平方表示了处于某个状态的概率。
量子力学的基本原理第一个基本原理：波函数描述波函数是描述微观粒子的量子力学基本工具之一，它是一个复数函数，可以用来描述粒子的性质。
波函数的演化遵循薛定谔方程，该方程可以用来描述波函数随时间的变化。
第二个基本原理：测量与观测量子力学中的测量不同于经典物理中的测量，它是一个非常复杂的过程。
根据测量原理，测量结果是离散的，即只能得到一些特定的取值，而不是连续的取值。
测量会导致波函数碰撞并坍缩，从而使得粒子处于特定的状态。
第三个基本原理：量子纠缠量子纠缠是量子力学中的一种非常特殊的现象。
当两个或更多微观粒子相互作用后，它们的状态将变得相互依赖，无论它们之间的距离有多远。
这意味着对其中一个粒子进行观测，会立即反映在其他粒子的状态上，即使它们之间的相互作用速度超过了光速。
量子力学五大基本假设
量子力学五大基本假设1. 波粒二象性假设1.1 光的波动性和粒子性在经典力学中，物体通常被视为具有明确定义的位置和动量，而光被认为只具有波动性质。
然而，量子力学的第一个基本假设是波粒二象性假设，它指出任何一种微观粒子都可以同时表现出波动性和粒子性。
这意味着光既可以被视为一个粒子，即光子，也可以被视为一个电磁波。
1.2 德布罗意假设根据德布罗意假设，所有物质都具有波动性，这包括微观粒子如电子和中子，以及宏观物体如人类和行星。
德布罗意假设指出，物质波的波长与相应粒子的动量成反比，这与光的波长与光子的能量成反比的关系类似。
2. 不确定性原理2.1 测量的不可避免扰动不确定性原理是量子力学的核心概念之一，它指出在进行某个物理量的测量时，无法同时准确确定该物理量的位置和动量。
换句话说，测量的不可避免扰动导致了我们无法同时知道一个粒子的精确位置和精确动量。
2.2 测量不确定性关系根据不确定性原理，位置和动量的不确定度之积不能小于或等于普朗克常数的一半。
这意味着我们越准确地测量一个粒子的位置，就越无法确定其动量，反之亦然。
不确定性原理限制了我们对微观世界的认识，它揭示了自然界存在的本质随机性。
3. 波函数和量子态3.1 波函数描述粒子的状态在量子力学中，波函数是描述微观粒子状态的数学函数。
波函数的模的平方给出了找到粒子处于某个状态的概率分布。
波函数的演化由薛定谔方程描述，它可以预测粒子在时间上的演化。
3.2 量子态和叠加原理量子态是描述整个量子力学系统的状态。
一个量子态可以由多个基态的线性组合表示，这被称为叠加。
根据叠加原理，一个粒子可以处于多个不同状态的叠加态中，直到被测量出一个确定的状态。
4. 简并假设4.1 能级简并简并假设指出，某些物理系统中存在多个不同状态具有相同能量的情况，这被称为能级简并。
例如，原子核的不同核态可能具有相同的能量。
这种简并性在量子力学中具有重要的意义，影响了粒子的行为和相互作用。
量子力学的基本原理与假设
量子力学的基本原理与假设量子力学是描述微观世界的一门物理学理论，它的基本原理和假设为我们解释了微观粒子的行为和性质。
本文将探讨量子力学的基本原理和假设，以及它们对我们对世界的理解所带来的深远影响。
1. 波粒二象性量子力学的第一个基本原理是波粒二象性。
根据这个原理，微观粒子既具有粒子的特性，如位置和质量，又具有波的特性，如波长和频率。
这一原理首次由德布罗意提出，他认为粒子的运动可以用波动方程来描述。
之后，通过实验证实了电子和其他微观粒子也具有波动性质。
这个原理的提出颠覆了经典物理学的观念，为量子力学的发展铺平了道路。
2. 不确定性原理量子力学的第二个基本原理是不确定性原理，由海森堡提出。
不确定性原理指出，对于某个粒子的某个物理量，如位置和动量，我们无法同时精确地知道它们的值。
这是因为当我们测量其中一个物理量时，就会对另一个物理量造成扰动。
这个原理的意义在于，它限制了我们对微观粒子的认识和测量的精确度。
不确定性原理对于我们理解自然界的规律和确定性产生了挑战，也引发了哲学上的思考。
3. 波函数和量子态量子力学的第三个基本原理是波函数和量子态。
波函数是描述量子系统的数学函数，它包含了关于粒子的所有可能信息。
根据量子力学的假设，波函数的平方表示了粒子存在于某个状态的概率。
量子力学通过波函数和量子态的概念，为我们提供了一种全新的描述微观世界的方式。
它使我们能够计算和预测微观粒子的行为和性质。
4. 叠加原理和干涉效应量子力学的第四个基本原理是叠加原理和干涉效应。
叠加原理指出，当一个粒子存在于多个可能状态时，它们之间会发生叠加。
这意味着粒子可以同时处于多个位置或状态。
而干涉效应则是指当具有波动性质的粒子相遇时，它们会产生干涉现象，表现出波动性的特点。
这个原理解释了许多实验现象，如杨氏双缝实验。
叠加原理和干涉效应揭示了微观粒子的非经典行为，使我们对世界的认识更加复杂和奇妙。
5. 测量问题和量子纠缠量子力学的最后一个基本原理是测量问题和量子纠缠。
量子4德布罗意波
dw 0
2 *
2
又
dw d dxdydz
dw 0 d d d
2 * 2
选适当比例 系数，使
概率密度
dw w 2 * d
波函数必须满足的标准条件： 1、单值性 归一化条件： 2、有限性 3、连续性 。
2
dV 1
是 概率幅叠加而不是概率叠加
交叉项产生了干涉效果
可见，干涉是概率波的干涉，是由于概率幅的线性叠加产生的。 即使只有一个电子，当双缝都打开时, 它的状态就要用12 = 1 + 2来描述。两部分概率幅的叠加就会产生干涉。
微观粒子的波动性，实质上就是概率幅的相干叠加性
对经典粒子，则是概率直接叠加
(3)是同时通过两条缝的两个电子相互干涉吗？ 波动性是单个电子的属性，不是电子间相互作用形成的。 爱因斯坦对玻恩假设曾持不同观点，他认为完善的理论不 应是统计性的。他在给玻恩的信中写道，“在任何情 况下，我相信，上帝是不掷骰子的”。 玻恩对了，爱因斯坦错了！
§1-8 不确定度关系
一、不确定关系的表述和含义
二、不确定关系的简单导出
三、能量与时间的不确定性关系 四、不确定性关系的应用举例
一、不确定关系的表述和含义
海森堡（Heisenberg）在1927年提出微观 粒子运动的基本规律 包含多种表达式 其中两个是
ΔPx Δx Δt ΔE
第1个式子说明:
1 2 mv 2
p mv 2m
2 1.67 10
4.55 10
24
27
6.17 10
1
21
m kg s
h 1.46 1010 m 0.146 nm p
量子力学2-德布罗意
ν mn = [ E n − E m ] h → 频率条件
而处于基态（能量最低态）的原子，则不放出光子而稳定的存在着 原子的稳定状态只可能是某些具有一定分立值能量 E1,E2,......, En 的状态。为了具体确定这些能 量数值，Bohr提出了量子化条件：
电子的角动量只能取的整数倍，即 L L = n 其中 n = 1, 2, 3
例如：氢原子中作稳定圆 周运动的电子相应的驻波 示意图 要求圆周长是 波长的整数倍
2πr = nλ n = 1,2,3, 代
入
de Broglie 关系 r
p = h
λ
nh n h = = = 2πr 2πr r n
于是角动量：
L = rp = n
n = 1,2,3,
•de Broglie 波在1924年提出后，在1927-1928年由 Davisson 和 Germer 以及 G.P.Thomson 的电子衍射实验所证实。
入射电子注
θ
法拉第 园筒 镍单晶
θ
衍射最大值公式
d
由于电子的动量较光子大得多，因而其波长也短得多。所以想使电子发生衍 射时就需要更微小的障碍物，实验上一般是采用晶体。另外，正是由于电子 比光子更难发生衍射，电子显微镜的分辨率比光学显微镜的更高
当电子波穿过晶体的时候，被晶体中的原子散射，散射的电子波互相之间干涉所产 生的现象就是电子衍射。晶体中每个原子均会对电子进行散射，使得波长和 方向发 生变化。并且部分电子会与晶体中的原子发生能量交换作用，若电子波长发生变化， 则称为非弹性散射；若没有波长变化，则称为弹性散射。 电子衍射的图像 一般，该图像呈现规则的斑点，衍射图像是由同心圆组成的。多晶 的是一系列规则的同心圆，而非晶的是由分散的同心圆组成的。 电子衍射的应用 电子衍射用来做物相鉴定、测定原子位置等。与X射线相比，电子 更容易被物体吸收，所以更加精确，适合于研究微薄膜、小晶体。
量子力学基本原理：量子力学假设
提出不确定原理，量子论和
量子力学创立的创立者之一。
1923 年获慕尼黑大学 Ph.D. ， 1927年任莱比锡大学理论物 理系主任，1927年任莱比锡 大学和柏林大学教授。1941
年任威廉物理学研究所所长，
1946年任普朗克物理学研究 所所长，1955年成为英国皇 Heisenberg 1901～1976，德国 1932年Nobel物理奖 学家会会员。
i 0 e xp[ ( p r E t )] 波函数包含了一个体系的全部可能信息
波函数由求解Schrö dinger方程而得
i 0 e xp[ ( p r E t )]
量子力学第一次把复数引入了进来。 过去物理中引入复数只是一个为了方便的技巧， 并无实质意义，但在量子力学中，虚数具有基本
( x , t ) Ae
2i ( x t )
（横波）
b) 波动性与粒子性的关系
总能量密度
1 2 W 4
W h
光具有波粒二象性。光的强度与光子密度之间有
1 4 h
=K
2
1.3.2 物质波的表达
a) 波函数
( x , t ) Ae
(x, t ) Ae
P d 1
2
新的Ψ称为归一化了的波函数
不 能 满 足 波 函 数 条 件 的 图 形 示 例
非连续函数
无确定的二阶导数
非单值函数
非有限函数
1.5.1.2 波函数的基本形式 对于一个自由运动的粒子（即不受任何外界力 场作用的粒子），量子力学假设其波函数可写 成以下复函数形式：
K
2i ( x t )
第22章 量子物理基础
第22章量子物理基础思考题22-1 卢瑟福如何从实验中否定了汤姆孙的原子模型？答：按照汤姆孙的“葡萄干蛋糕”模型，原子中正电荷以均匀的密度分布在整个原子小球中，电子均匀地浸浮在均匀的正电荷中，按照这一模型，α粒子穿过金箔后沿着原来方向或沿着散射角很小（的方向运动．但是实验发现有极少数的α粒子的散射角θ大于90°，甚至有的粒子的散射角接近180°，这一实验结果与汤姆孙的原子模型不相符．为了解释实验结果，卢瑟福提出了一种有核模型：只有原子的质量集中于中心，且带正电荷，才能使极少数α粒子发生大角度散射．原子的中心有一带正电的原子核，它集中了几乎原子的全部质量，电子围绕这个核旋转，核的大小与整个原子相比是很小的．22-2 从经典力学看，卢瑟福的原子核型模型遇到了哪些困难？经典力学看来氢原子光谱是线光谱还是连续光谱？答：按照经典电磁学理论，核外电子在库仑力的作用下，作匀速圆周运动时是加速运动，会不断向外辐射电磁波．电磁波的频率等于电子绕核旋转的频率．由于原子不断向外辐射能量，其能量要逐渐减少，电子绕核旋转的频率就会连续变化，原子发光光谱应该是连续光谱．同时，随着能量降低，电子轨道半径会逐渐减少，逐渐接近原子核而最后和核相碰．这样的原子结构是一种不稳定结构．但是，事实上氢原子是稳定的．氢原子发出的线光谱具有一定的规律性，不是连续光谱．22-3 氢原子的玻尔理论中，势能为负值，它的含义是什么？答：以电子在自由状态时为势能零，束缚态的电子就是负值．其值等于电子脱离束缚称为自由电子所需要的能量，即束缚能．22-4 为什么在玻尔的氢原子理论中，略去了原子内粒子间的万有引力作用？答：原子内的粒子间距离很近，万有引力作用远小于电磁相互作用．22-5 说明玻尔理论的要点是什么？为什么说玻尔理论是半经典半量子的？答：玻尔的氢原子理论在三条假设：（1）定态假设电子在原子中，只能在一些特定的圆轨道上运动而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态（定态），并具有一定的能量，稳定状态的能量是不连续的．（⒉）轨道角动量量子化假设电子以速度υ在半径为r的圆周上绕核运动时，只有电子的角动量L等于h/2π的整数倍的那些轨道才是稳定的，即πυ2h nr m L == （22-2）（⒊）跃迁假设 当原子从高能量的定态跃迁到低能量的定态，即电子从高能量E 2的轨道跃迁到低能量E 1的轨道上时，要发射能量．玻尔理论认为微观粒子遵守经典力学规律，具有一定的运动轨道，因而是半经典的，同时引入的三个假设，引入了量子化条件，能量是量子化的，因而，又是半量子化的．玻尔理论是经典量子力学的开始．22-6 元素的周期排列与价电子数目有什么关系？答：元素的周期排列由价电子在不同的壳层中周期性填充决定的．同一壳层的填充形成一个周期．具有相同价电子数目的元素属于同一族元素，具有相似的性质．22-7 为什么粒子数反转是获得激光的一个重要前提？二能级结构为什么不容易实现粒子数反转？答：一般情况下，处于热平衡状态的物质中，处于低能级的电子数多于处于高能级的电子数，遵守玻耳兹曼分布定律．在温度为T 时，处于E 1和E 2的电子数目之比是kTE E eN N /)(2112--=已知E 2 > E 1，所以N 1 > N 2，即处于低能级上的电子数大于高能级上的电子数，这种分布叫做粒子数的正常分布．此时，光吸收过程较光受激辐射过程占优势，难以产生连续的受激辐射．要实现光放大，必须使高能级上的电子数大于在低能级上的电子数，即N 2 > N 1，这种分布叫粒子数布居反转，简称粒子数反转．粒子数反转是实现受激辐射、得到光放大的必要条件．二能级结构的物质要实现粒子数反转需要很高的泵浦速率，而三能级结构的中间能级是亚稳态，寿命较长，容易在中间能级和基态能级之间实现粒子数反转．22-8 氦氖激光器和红宝石激光器中都利用了激活剂，激活剂的作用是什么？答：产生激光的物质直接接收能量的效率率很低，激活剂的接收泵浦能量的效率很高，其激发态能级与产生激光的物质的激发态能级接近，很容易将能量通过碰撞转移到工作物质，提高了泵浦效率，容易实现粒子数反转．22-9 谐振腔的主要作用有哪些？没有谐振腔能否实现激光输出？答：光学谐振腔的作用有三个.第一，能产生和维持光振荡.第二，使激光的方向性很好.第三，谐振腔使激光的单色性好因此谐振腔起到选频作用．没有谐振腔，无法实现激光输出．22-10 如果一个粒子的速率增大了，它的德布罗意波长是增加还是减小？为什么？ 答：减小．由公式hE =ν ，ph =λ 可得出这一结论．22-11 日常生活中，为什么察觉不到粒子的波动性和电磁辐射的粒子性呢？答：物质粒子在经典物理中被看作经典粒子而略去其波动性，是由于h 是一个很小的量，实物粒子的波长很小，在一般宏观条件下，波动性不会表现出来，电磁辐射波长很长，一般条件下不会表现出粒子性．22-12 什么是不确定关系？为什么说不确定关系指出了经典力学的适用范围？ 答：在微观粒子中，由于波粒两重性，粒子的位置和动量不能同时完全确定．粒子位置和动量的涨落Δx 和Δp ，满足以下不确定关系 π2h p x ≥∆⋅∆不确定关系中出现的h 表明了经典力学的使用范围，但物质的尺度可以与h 比拟时，物体的波动性体现出来，当尺度远大于h 时，波动性不明显，完全可以用经典力学方法解决．22-13 经典力学认为，如果已知粒子在某一时刻的位置和速度，就可以预言粒子未来的运动状态，在量子力学看来是否可能？试解释.答：量子力学用波函数描述粒子的运动，波函数是概率函数，只能得到粒子出现的概率．同时由于不确定关系，无法同时准确得到位置和速度．22-14 如果电子与质子具有相同的动能，那么谁的德布罗意波长短？ 答：电子的德布罗意波长更短．由ph =λ，相同动能时，质子的动量远小于电子，所以其波长比电子波长更长些．22-15 在一维无限深势阱中，如减少势阱宽度，其能级将怎样变化？如增加势阱宽度，其能级又如何变化？答：由能级公式2222π1,2,3,2n E n m a== ，减少势阱宽度a ， 能级间距增加，增加势阱宽度a ， 则能级间距减少．22-16 实物粒子的德布罗意波与电磁波、机械波有什么不同，试说明之.答：德布罗意提出的物质波，并不代表实在的物理量的波动，只不过是粒子在空间分布的概率波，波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的概率成比例．22-17实物粒子的波动性最先是由哪个实验证明的？答：1927年，戴维孙和革末以及G .P .汤姆孙做的电子衍射实验证明了德布罗意假设的正确性．22-18微观粒子波动性用什么来描述？其随时间变化遵守什么方程？ 答：用波函数描述，其随时间变化遵守薛定谔方程．习题22-1 关于不确定关系，有以下几种理解： ⑴ 粒子的动量不可能确定，但坐标可以被确定； ⑵ 粒子的坐标不可能被确定，但动量可以被确定； ⑶ 粒子的动量和坐标不可能同时被确定；⑷ 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子， 其中正确的有 ( ). 解：3、422-2 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为3π()(0)Ψx xx a a =≤≤那么，该粒子在6/a x =处出现的概率密度是多少？解：x a ax π3sin2)(22=ψ．6/a x =时，概率密度是aa a aa263sin2)6(22==ψπ22-3 在玻尔氢原子理论中，当电子由量子数n i = 5的轨道跃迁到n j = 2的轨道上时，对外辐射光的波长是多少?若将该电子从n j = 2的轨道跃迁到游离状态，外界需要提供多少能量？解：ev nnE E n 2216.13-==从n i = 5的轨道跃迁到n j = 2的轨道上时辐射光子的频率191000.5-⨯=-=j i E E h ν ，m hvhc 71098.3-⨯==λ将该电子从n j = 2的轨道跃迁到游离状态，外界需要提供能量 ev E E 4.32212==22-4 已知α粒子的静质量为6.68×10-27kg ，求速率为5 000 km/s 的α粒子的德布罗意波长．解：m E ch v c 1226273481038.2)105(1068.65.01063.6103---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===λ22-5 电子位置的不确定量为5.0×10-2nm ，其速率的不确定量是多少？ 解：由π2h p x ≥∆⋅∆得 )/(1032.2105.0101.921063.62911-3134s m xm h⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=∆≥∆--ππυ22-6 一质量为40g 的子弹以1.0×103m/s 的速率飞行，求其德布罗意波长.若测量子弹位置的不确定量为0.10mm ，求其速率的不确定量．解： )/(106.2101.010421063.62294-234s m xm h ---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=∆≥∆ππυ22-7 有一电子在宽为0.2nm 的一维无限深的方势阱中，计算电子在最低能级的能量.当电子处于第一激发态时，在势阱何处出现的概率最小，其值是多少？解：求解薛定谔方程可得 ,3,2,122222==n man E π最低能级的能量：)(105.1)102.0(101.98)1063.6(2182930234222J maE ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==π波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ<<≥≤)0(sin 2)0(0)(a x xa n a a x x x π或第一激发态是：⎪⎩⎪⎨⎧=ψ<<≥≤)0(2sin 2)0(0)(a x xa a a x x x π或在势阱外出现的概率为0，在势阱内，出现的概率为x aax π2sin2)(22=ψ06sin633cos3sin22)(22==⨯⨯⨯=ψx aaax ax aadx x d πππππ3,2,1,6==n an x π即在势阱内18,3,2,1,6 ==n a nx π处出现的概率为022-8 一个电子被限制在宽度为1.0×10-10m 的一维无限深势阱中运动，要使电子从基态跃迁到第一激发态需给它多少能量？在基态时，电子处于x 1 = 0.090×10-10 m 与x 2 = 0.110×10-10 m 之间的概率为多少？在第一激发态时，电子处于x 1 = 0与x 2 = 0.25×10-10 m 之间的概率为多少？解：,3,2,122222==n man E π从基态到第一激发态:)(108.1231722212J maE E E -⨯==-=∆ π基态时，电子处于x 1 = 0.090×10-10 m 与x 2 = 0.110×10-10 m 之间的概率为%5.6013.0007.002.0)36.0sin 4.0(sin 41)100.090100.100(1)4sin212(212sin2)(10-10-100.100100.0902100.100100.0902100.100100.090-1010--1010--1010-==-≈--⨯-⨯=-==ψ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎰⎰πππππππax ax axdx aadx x第一激发态时，电子处于x 1 = 0与x 2 = 0.25×10-10 m 之间的概率为%2525.0)0sin 2(sin 21100.251)8sin214(414sin2)(10-100.2502100.2502100.250-10-10-1010-=≈--⨯=-==ψ⨯⨯⨯⎰⎰ππππππax ax axdx aadx x22-9 当电子在150V 电压下加速时，求电子的德布罗意波长. 解：EmEhmEh p h 150222====λ=0.1（nm ）22-10 能量为15eV 的光子，被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子所吸收而形成一光电子，求：⑴ 当此光电子远离质子时的速度为多大？⑵ 它的德布罗意波长是多少？解：eV eV eV E E 4.1)156.13(151=+-=+=)/(1002.7101.9106.14.12263119s m mE ⨯=⨯⨯⨯⨯==--υ德布罗意波长是： )(04.14.1150150222nm EmEhmEh ph ======λ22-11一束带电粒子经206V 的电势差加速后，测得其德布罗意波长为0.2nm ，已知带电粒子所带的电量与电子电量相等，求这粒子的质量． 解：mEhmEh p h 222===λ ，kg E hm 31221067.12-⨯==λ。