三维坐标变换
三维空间几何坐标变换矩阵课件
3
缩放变换的应用：在计算机图形学中，缩放变换 常用于物体的形状调整和场景构建。04坐标变源自矩阵推导过程平移变换矩阵推导
平移变换定义
将点$P(x,y,z)$沿$x$轴、$y$轴 、$z$轴分别平移$t_x$、$t_y$、
$t_z$个单位。
平移变换矩阵
$begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x 0 & 1 & 0 & t_y 0 & 0 & 1 & t_z 0 & 0 & 0 & 1 end{bmatrix}$
02
三维空间几何基础
三维空间坐标系
01
02
03
右手坐标系
在三维空间中，通常采用 右手坐标系，其中x轴正 向向右，y轴正向向前，z 轴正向向上。
坐标原点
三维坐标系的原点O是三 个坐标轴的交点，其坐标 为(0,0,0)。
坐标表示
在三维空间中，任意一点 P的位置可以用一个三元 组(x,y,z)来表示，其中x、 y、z分别是点P在x轴、y 轴、z轴上的投影。
|1000|
```
01
03 02
旋转变换原理及方法
| 0 sin(θ) cos(θ) 0 |
|0001|
旋转变换原理及方法
```
旋转变换的应用：在计算机图形学中，旋转变换常用于物体的姿态调整和场景构 建。
缩放变换原理及方法
缩放变换定义
将三维空间中的点沿着某一方向进行放大或缩小，改变点的形状和大小。
平移变换过程
将点$P$的齐次坐标$(x,y,z,1)$与平 移变换矩阵相乘，得到平移后的坐 标$(x+t_x,y+t_y,z+t_z,1)$。
三维空间几何坐标变换矩阵课件
目录
• 三维空间几何坐标变换矩阵概述 • 三维空间几何坐标变换矩阵的构建 • 三维空间几何坐标变换矩阵的实现 • 三维空间几何坐标变换矩阵的优化 • 三维空间几何坐标变换矩阵的案例分析
01
三维空间几何坐标变换 矩阵概述
定义与性质
定义
坐标变换矩阵是用于描述三维空 间中点或向量在不同坐标系之间 转换关系的矩阵。
减少计算量优化
矩阵分解
将复杂的坐标变换矩阵分解为多个简 单的矩阵，降低计算复杂度。
避免重复计算
在坐标变换过程中，避免重复计算相 同的结果，利用存储机制保存中间结采用高精度的算法和数据类型，以减小计算过程中的误差。
迭代优化
通过迭代的方式逐步逼近精确值，提高坐标变换的精度。
减少内存占用优化
压缩存储
对变换矩阵进行压缩存储，减少内存占用。
动态内存分配
根据实际需要动态分配内存，避免不必要的内存浪费。
05
三维空间几何坐标变换 矩阵的案例分析
平移变换矩阵案例分析
平移变换矩阵
将三维空间中的点沿某一方向移动一定距离。
案例
将点A(1,2,3)沿x轴平移2个单位，得到点B的坐标为(3,2,3)。
使用数学软件实现坐标变换矩阵
数学软件如MATLAB、Octave等 提供了强大的矩阵计算功能，可 以进行复杂的数学运算和矩阵操
作。
使用数学软件可以实现复杂的坐 标变换矩阵，并进行精确的计算
和分析。
数学软件还提供了可视化的功能， 可以方便地展示三维坐标变换的
效果。
04
三维空间几何坐标变换 矩阵的优化
02
三维空间几何坐标变换 矩阵的构建
平移变换矩阵
三维坐标系定义
三维坐标系定义三维坐标系是一个由三个互相垂直的坐标轴组成的数学模型。
它在几何学、物理学、计算机图形学等领域中被广泛应用。
本文将从三维坐标系的定义、坐标表示、坐标变换、空间距离等方面进行详细阐述。
一、三维坐标系的定义三维坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z 轴。
通常情况下，我们将x轴水平向右延伸，y轴垂直向上延伸，z 轴垂直向外延伸。
这三个轴相交于原点O，形成了一个立体直角坐标系。
二、坐标表示在三维坐标系中，每个点都可以用一个有序三元组(x,y,z)来表示。
其中，x表示点在x轴上的坐标值，y表示点在y轴上的坐标值，z表示点在z轴上的坐标值。
这三个坐标值可以是正数、负数或零，表示点在各个轴上的位置关系。
三、坐标变换三维坐标系中的坐标变换包括平移、旋转和缩放等操作。
平移是指将点沿着各个轴的正方向移动一定的距离，可以用向量表示。
旋转是指将点绕着某个轴旋转一定的角度，可以用旋转矩阵表示。
缩放是指将点在各个轴上按比例进行拉伸或压缩，可以用缩放因子表示。
通过这些变换操作，我们可以实现对三维物体的位置、形状和大小等属性的改变。
四、空间距离在三维坐标系中，我们可以通过计算两个点之间的空间距离来衡量它们之间的位置关系。
常用的计算方法有欧氏距离和曼哈顿距离。
欧氏距离是指两点之间的直线距离，可以通过勾股定理计算得出。
曼哈顿距离是指两点之间在各个轴上坐标差的绝对值之和。
根据应用场景的不同，我们可以选择适合的距离度量方法来计算空间中的距离。
五、应用领域三维坐标系在几何学、物理学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
在几何学中，我们可以用三维坐标系来描述和计算物体的位置、方向和形状等属性。
在物理学中，三维坐标系可以用来描述物体在空间中的运动和相互作用。
在计算机图形学中，三维坐标系可以用来表示和处理三维物体的图像数据，实现真实感的渲染和动画效果。
六、总结通过本文的介绍，我们了解了三维坐标系的定义、坐标表示、坐标变换、空间距离等基本概念。
三维坐标系变换
三维坐标系变换三维坐标系变换可以理解为将一个三维点从一个坐标系转换到另一个坐标系中。
在实际应用中，我们常常需要对物体或者场景进行三维建模和渲染，而三维坐标系变换是不可或缺的一个基础环节。
本文将介绍三维坐标系变换的相关概念和常见应用，以及一些实用的解决方案。
一、常见的三维坐标系变换方式在三维坐标系变换中，常见的方式包括平移、旋转、缩放和仿射变换。
它们分别对应了三维空间中的平移、旋转、比例变化和直线间的关系变化。
在实际应用中，我们可以通过矩阵乘法的方式进行数学计算，也可以利用计算机图形学库中封装好的函数来实现。
1. 平移：将对象在三维坐标系中沿着某个方向移动一定的距离。
平移变换可以用一个形如平移向量的矩阵表示，在三维空间中的坐标变换表达式为：[x' y' z' 1] = [x y z 1] * [1 0 0 tx; 0 1 0 ty; 0 0 1 tz; 0 0 0 1]其中，tx、ty、tz 分别表示在 x、y、z 方向的平移距离。
2. 旋转：将对象绕三维空间中的某个坐标轴或者任意轴进行旋转变换。
如果绕 x 轴旋转，那么旋转变换矩阵为：[x' y' z' 1] = [x y z 1] * [1 0 0 0; 0 cos(theta) -sin(theta) 0; 0 sin(theta) cos(theta) 0; 0 0 0 1]同样的，绕 y 轴、z 轴旋转的矩阵也可以类似地表示。
对于绕任一轴的旋转，可以使用 Rodrigues 公式等数学方法来求解。
3. 缩放：将对象在三个方向上分别进行缩放变换，可以分别用三个缩放因子表示，对应矩阵表示为：[x' y' z' 1] = [x y z 1] * [sx 0 0 0; 0 sy 0 0; 0 0 sz 0; 0 0 0 1]其中，sx、sy、sz 分别表示在 x、y、z 方向放缩的比例因子。
三维极坐标与直角坐标的互化
三维极坐标与直角坐标的互化
三维坐标系是我们在空间中描述物体位置和运动的重要工具。
其中，直角坐标系是最为常见的一种形式，它使用三个轴线（x、y、z）来描述物体在空间中的位置。
而另一种形式则是极坐标系，它使用半径、极角和高度三个参数来描述物体在空间中的位置。
在三维空间中，直角坐标系和极坐标系可以相互转换。
具体而言，我们可以通过以下公式将直角坐标系中的点转换为极坐标系中的点：r = √(x² + y² + z²)
θ = arccos (z/√(x² + y² + z²))
φ = arctan (y/x)其中，r表示点到原点的距离，θ表示点到z轴正方向的夹角，φ表示点到x 轴正方向的夹角。
反之，我们也可以通过以下公式将极坐标系中的点转换为直角坐标系中的点：x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosθ这种互化关系在三维图形的制作和计算机图形学中很常见。
因此，了解三维极坐标和直角坐标的互化关系对于理解和应用这些工具都是非常重要的。
三维坐标变换
第二章三维观察1.三维观察坐标系1.1观察坐标系为了在不同的距离和角度上观察物体，需要在用户坐标系下建立观察坐标系x v,y v,z v(通常是右手坐标系)也称(View Reference Coordinate)。
如下图所示，其中，点p0(x o, y o, z0)为观察参考点（View Reference Point），它是观察坐标系的原点。
图1.1 用户坐标系与观察坐标系依据该坐标系定义垂直于观察坐标系z v轴的观察平面(view palne)，有时也称投影平面(projection plane)。
图1.2 沿z v轴的观察平面1.2观察坐标系的建立观察坐标系的建立如下图所示：图1.3 法矢量的定义观察平面的方向及z v轴可以定义为观察平面(view plane)N法矢量N: 在用户坐标系中指定一个点为观察参考点，然后在此点指定法矢量N，即z v轴的正向。
法矢量V：确定了矢量N后，再定义观察正向矢量V，该矢量用来建立y v轴的正向。
通常的方法是先选择任一不平行于N的矢量V'，然后由图形系统使该矢量V'投影到垂直于法矢量N的平面上，定义投影后的矢量为矢量V。
法矢量U：利用矢量N和V，可以计算第三个矢量U，对应于x z轴的正向。
的指定视图投影到显示设备表面上的过程来处理对象的描述。
2.世界坐标系在现实世界中，所有的物体都具有三维特征，但是计算机本身只能处理数字，显示二维的图形，将三维物体和二维数据联系到一起的唯一纽带就是坐标。
为了使被显示的物体数字化，要在被显示的物体所在的空间中定义一个坐标系。
该坐标系的长度单位和坐标轴的方向要适合被显示物体的描述。
该坐标系被称为世界坐标系，世界坐标系是固定不变的。
OpenGL 中世界坐标用来描述场景的坐标，Z+轴垂直屏幕向外，X+从左到右，Y+轴从下到上。
世界坐标系是右手笛卡尔坐标系统。
我们用这个坐标系来描述物体及光源的位置。
世界坐标系以屏幕中心为原点(0,0,0)，长度单位这样来定： 窗口范围按此单位恰好是(-1,-1)到(1,1)。
三维坐标系的旋转变换
三维坐标系的旋转变换三维坐标系的旋转变换是指通过旋转操作将一个坐标系转换为另一个坐标系的变换。
在三维空间中，我们可以通过旋转矩阵和欧拉角来描述三维坐标系的旋转变换。
1. 旋转矩阵：旋转矩阵是一个3x3的正交矩阵，表示坐标系旋转的变换。
旋转矩阵可以通过绕坐标轴的旋转角度来构造，例如绕x轴旋转θ角度的旋转矩阵为：|1 0 0||0 cosθ -sinθ||0 sinθ cosθ|类似地，绕y轴旋转θ角度和绕z轴旋转θ角度的旋转矩阵可以通过类似的方式构造。
当我们有一个向量[vx, vy, vz]，通过乘以旋转矩阵，可以得到旋转后的向量[v'x, v'y, v'z]，即：[v'x, v'y, v'z] = [vx, vy, vz] * 旋转矩阵2. 欧拉角：欧拉角是另一种描述三维坐标系旋转的方法。
它将旋转操作分解为绕不同坐标轴的连续旋转。
常见的欧拉角有三个分量，分别表示绕x轴、y轴和z轴的旋转角度。
我们通过旋转矩阵和欧拉角之间的转换来实现三维坐标系的旋转变换。
给定一个欧拉角（α，β，γ），我们可以分别构造绕x轴旋转α角度、绕y轴旋转β角度和绕z轴旋转γ角度的旋转矩阵。
然后将这三个旋转矩阵依次相乘，得到整体的旋转矩阵。
将向量[vx, vy, vz]乘以该旋转矩阵，即可得到旋转后的向量[v'x, v'y, v'z]。
总结起来，三维坐标系的旋转变换可以通过旋转矩阵或欧拉角来描述和实现。
旋转矩阵通过乘法操作直接作用在向量上，而欧拉角需要将旋转操作分解为三次绕不同坐标轴的旋转，最后再将三个旋转矩阵相乘。
三维极坐标与直角坐标的互化
三维极坐标与直角坐标的互化
在数学中，三维极坐标和直角坐标是两种常用的坐标系。
它们可以相互转换，使得在不同的坐标系下进行计算和描述更加方便。
三维极坐标通过距离、极角和方位角来描述一个点的位置，而直角坐标则通过三个互相垂直的坐标轴来表示点的位置。
要将一个点从三维极坐标转换为直角坐标，需要使用以下公式： x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
其中，r是点到原点的距离，θ是极角，φ是方位角。
反之，将一个点从直角坐标转换为三维极坐标，需要使用以下公式：
r = √(x + y + z)
θ = arccos(z / r)
φ = arctan(y / x)
在三维空间中，使用不同的坐标系可以更加方便地描述和计算问题。
因此，掌握三维极坐标和直角坐标的互化方法是非常重要的。
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第二章三维观察1.三维观察坐标系1.1观察坐标系为了在不同的距离和角度上观察物体，需要在用户坐标系下建立观察坐标系x v,y v,z v(通常是右手坐标系)也称(View Reference Coordinate)。
如下图所示，其中，点p0(x o, y o, z0)为观察参考点（View Reference Point），它是观察坐标系的原点。
图1.1 用户坐标系与观察坐标系依据该坐标系定义垂直于观察坐标系z v轴的观察平面(view palne)，有时也称投影平面(projection plane)。
图1.2 沿z v轴的观察平面1.2观察坐标系的建立观察坐标系的建立如下图所示：图1.3 法矢量的定义观察平面的方向及z v轴可以定义为观察平面(view plane)N法矢量N: 在用户坐标系中指定一个点为观察参考点，然后在此点指定法矢量N，即z v轴的正向。
法矢量V：确定了矢量N后，再定义观察正向矢量V，该矢量用来建立y v轴的正向。
通常的方法是先选择任一不平行于N的矢量V'，然后由图形系统使该矢量V'投影到垂直于法矢量N的平面上，定义投影后的矢量为矢量V。
法矢量U：利用矢量N和V，可以计算第三个矢量U，对应于x z轴的正向。
的指定视图投影到显示设备表面上的过程来处理对象的描述。
2.世界坐标系在现实世界中，所有的物体都具有三维特征，但是计算机本身只能处理数字，显示二维的图形，将三维物体和二维数据联系到一起的唯一纽带就是坐标。
为了使被显示的物体数字化，要在被显示的物体所在的空间中定义一个坐标系。
该坐标系的长度单位和坐标轴的方向要适合被显示物体的描述。
该坐标系被称为世界坐标系，世界坐标系是固定不变的。
OpenGL 中世界坐标用来描述场景的坐标，Z+轴垂直屏幕向外，X+从左到右，Y+轴从下到上。
世界坐标系是右手笛卡尔坐标系统。
我们用这个坐标系来描述物体及光源的位置。
世界坐标系以屏幕中心为原点(0,0,0)，长度单位这样来定： 窗口范围按此单位恰好是(-1,-1)到(1,1)。
3. 世界坐标系到观察坐标系在三维观察流水线中，场景构造完成后的第一步工作是将对象描述变换到观察坐标系中。
对象描述的转换等价于将观察坐标系叠加到世界坐标系的一连串变换。
1. 平移观察坐标原点到世界坐标系原点。
2. 进行旋转，分别让x view 、y view 和z view 轴对应到世界坐标的x w 、y w 、z w 轴。
如果指定世界坐标点P=(x 0,y 0,z 0)为观察坐标原点，则将观察坐标系原点移到世界坐标系原点的变换是⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=T 1000100010001000z y x 将观察坐标系叠加到世界坐标系的组合旋转变换矩阵使用单位向量u 、v 和n 来形成。
该变换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000n n n v v v u u u zy xz y xz y x R这里，矩阵R 的元素是uvn 轴向量的分量。
将前面的平移和旋转矩阵乘起来获得坐标变换矩阵：T ⋅=M R vc wc .=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅-⋅-⋅-1000000p n n n n p v v v v p u u u u zy x z y x z y x该矩阵中的平移因子按u 、v 、n 和P 0的向量点积计算而得，P 0代表从世界坐标系原点到观察原点的向量。
换句话说，平移因子实在每一轴上的负投影(观察坐标系中的负分量P 0)。
这些矩阵元素的取值为⋅-u u z u y u x z y x 0000---=P v z v y v x u z y x 0000---=⋅-P n z n y n x u zy x 0000---=⋅-P 矩阵将世界坐标系中的对象描述变换到观察坐标系。
4. 投影变换对象描述变换到观察坐标后，下一阶段是将其投影到观察平面上。
投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面上得到二维平面图形。
平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：三视图、轴视图以及透视图。
图形软件一般都支持平行投影和透视投影两种方式。
在平行投影中(parallel projection)中，坐标位置沿平行线变换到观察平面上。
图4.1给出了用端点坐标P1和P2描述的线段的平行投影。
平行投影保持对象的相关比例不变，这是三维对象计算机辅助绘图和设计中产生成比例工程图的方法。
场景中的平行线在平行投影中显示成平行的。
一般有两种获得对象平行视图的方法：沿垂直于观察平面的直线投影，或沿某倾斜角度投影到观察平面。
P2P1图4.1 线段到观察平面的平行投影在透视投影(perspective projection)中，对象位置沿会聚到观察平面后一点的直线变换到投影坐标系。
图4.2给出了用端点坐标P1和P2描述的线段的透视投影。
与平行投影不同的是，透视投影不保持对象的相关比例。
但场景的透视投影真实感教好，因为在透视显示中较远的对象减小了尺寸。
图4.2 线段到观察平面的透视投影5.正投影对象描述沿与投影平面法向量平行的方向到投影平面上的变换称为正投影(orthogonal projection;或正交投影，orthographic projection)。
这生成一个平行投影变换，其中投影线与投影平面垂直。
正投影常常用来生成对象的前视图、侧视图和顶视图，如图5.1所示，前、侧和后方向的正投影称为立面图，顶部正投影称为平面图。
工程和建筑绘图通常使用正投影，因为可以精确地绘出长度和角度，并能从图中测量出这些值。
图5.1 对象的正投影，显示了平面图和立面图6.斜投影斜投影是将三维形体向一个单一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面图形。
常选用垂直于某个主轴的投影面，使得平行于投影面的形体表面可以进行距离和角度的测量。
斜投影的特点：既可以进行测量又可以同时反映三维形体的多个面，具有立体效果。
常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图，如下图所示。
图6.1 斜投影斜等侧投影：投影方向与投影平面成450的斜平行投影，它保持平行投影平面和垂直投影平面的线的投影长度不变。
斜二侧投影：与投影平面成arctg(1/2)角的斜平行投影，它使垂直投影平面的线产生长度为原1/2的投影线。
7.透视投影透视投影基本符合人类的视觉习惯，同样尺寸的物体离视点近的比离视点远的大，远到极点即消失。
以透视方式在计算机屏幕上观察物体，就如同透过一个完全透明的四方玻璃片看东西一样。
想象有一条从眼睛到物体的线，这条直线穿过玻璃，并在玻璃上涂上一个与物体颜色相同的点。
如果对所有穿过玻璃的线都这样做，并且保持眼睛不动，那么玻璃片上的图像就是透视变换后得到的图像，这块玻璃片就是窗口。
正如人眼睛不能聚焦到非常近或非常远的物体一样，透视投影有2个剪切面——近剪切面和远剪切面，分别将离视点太近和太远的物体部分或全部地剪切掉。
透视投影的特点是距离视点近的物体大，距离视点远的物体小，远到极点即为消失。
它的观察空间是一个顶部和底部都被切除掉的棱椎，也就是棱台。
OpenGL透视投影函数也有两个，其中一个函数是：void glFrustum(GLdouble left,GLdouble Right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLdouble near,GLdouble far);此函数创建一个透视投影的有限观察空间。
它的参数只定义近裁剪平面的左下角点和右上角点的三维空间坐标，即（left，bottom，-near）和（right，top，-near）；最后一个参数far是远裁剪平面的Z负值，其左下角点和右上角点空间坐标由函数根据透视投影原理自动生成。
near和far表示离视点的远近，它们总为正值。
另一个函数是：void gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect,GLdouble zNear, GLdouble zFar);它也创建一个透视投影的有限观察空间，但它的参数定义于前面的不同，如图7-39所示，参数fovy定义视野在X-Z平面（垂直方向上的可见区域）的角度，范围是[0.0, 180.0]；参数aspect是投影平面的纵横比（宽度与高度的比值）；参数zNear和Far分别是远近裁剪面沿Z负轴到视点的距离，它们总为正值。
图7.1 透视投影的观察空间8.视口变换和三维屏幕坐标系视口变换类似于照片冲洗过程中的照片裁剪。
在计算机图形学中，视口是绘制图像的句型区域。
视口以窗口坐标来定义，它表示图像相对于窗口左下角的位置。
进行视口变换时，所有顶点都已经经过几何变换，并且位于取景器之外的图像已经被剪切掉了。
8.1 定义视口打开一个窗口时，系统自动地将视口设置为整个窗口的大小。
在OpenGL 中可以用glViewport()函数来设置一个较小的绘图区域，该函数的原型如下：void glViewport(GLint x,GLint y,GLsizei width,GLsizei height);该函数的功能是设置窗口。
x ，y 指定一个视口像素矩形的左下角，其初始值是(0,0)。
width,height 指定一个视口的宽度和高度。
当一个OpenGL 环境被第一次连接到一个窗口时，参数width 和height 按此窗口的大小设置。
该函数为x 和y 指定了一种由标准化的设备坐标到窗口坐标的映射几何转化。
设(x nd ,y nd )是标准化的设备坐标，则窗口坐标(x w ,y w )可由下式求得：()x width x x nd w ++=21 ()y height x y nd w ++=21 视口的宽度和高度被默认为地截断到一定的范围，具体范围值由所处环境决定。
可调用函数glGet(GL_MAX_VIEWPORT_DIMS)查询这一范围值。
视口的高宽比一般与投影取景器的高宽比相同，否则会造成图像的变形。
在程序的运行过程中，可能会改变窗口的大小，因此程序应该始终检测到这种变化，并作相应的处理。
8.2 变换z坐标在视口变换中，z坐标或深度坐标被编码并被存储起来。
在OpenGL中可以使用glDepthRange()函数缩放z坐标的值，使它处于所要求的范围内。
该函数的原型为：void glDepthRange(GLclamped zNear,GLclamped zFar);该函数的功能是指定一种从归一化深度坐标到窗口深度坐标的映射方法。
zNear指定从最近的剪切平面到窗口坐标的映射，其缺省值为0.zFar指定从最远的剪切平面到窗口坐标的映射，其缺省值为1。
深度坐标在剪切和除以w后，其范围将变为[-1,1]。
其中-1和1分别与最近和最远的剪切平面相对应。