百校联盟2019届TOP20三月联考(全国I卷)理科数学
2019年高考理科数学全国Ⅰ卷真题及答案详解
2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅰ卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y += B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1x y +-=D. 22(+1)1y x +=3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm5.函数f (x )=2sin cos x x x x ++在[—π，π]的图像大致为A. B.C. D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.11167.已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）⊥b，则a与b的夹角为A. π6B.π3C.2π3D.5π68.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A. A=12A+B. A=12A+ C. A=112A+D. A=112A+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =-B.310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y += D. 22154x y +=11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. B. C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年3月2019届高三第一次全国大联考(新课标Ⅰ卷)-理科数学(考试版)
...⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯A．5 B．6 C ．7 D．8 绝密★启用前⋯⋯○⋯⋯⋯⋯2019年第一次全国大联考【新课标Ⅰ卷】6．函数 f (x) x|x|sin 2x的大致图象是⋯⋯⋯⋯理科数学⋯⋯线⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯⋯⋯__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __：号考_ __ __ __ __ __ __ __：⋯⋯线⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯⋯⋯4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U Z，集合P { x | x(x 3) 0,x Z}，Q { x | x 0} ，则(e U P) Q等于（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
A B 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
...○ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 装 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ○ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 外级 班 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ： 名 姓 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ： 校 学○ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 装 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ○ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 内A ． (0,3)B ．{ 1,2}C ． (0, 2)D ． {2}2．若复数 z 满足z (1 i) 1 i ， i 为虚数单位，则 z 2019 A ． 2i B ． i C ． iD ． 2i3．已知命题 p ：“对任意的 x 1， ln x 0 ”的否定是 “存在 x 0 1， ln x 0 0”，命题 q ：“0 k 1”是“方程223 2xyx ky k表示圆”的充要条件，则下列命题为真命题的是A ． p qB ． p qC ．p q D ． p q4．已知单位向量a ,b 满足|a b | 2a b 0 ，则 | a +2b |= A ．3 B ．2 C ． 9D ．4π5．已知 a x x ，若执行如图所示的程序框图，则输出k 的值是sin d27．已知二项式 8．如图所示为某三棱锥的三视图，若该三棱锥的体积为 1 2n ( x) 2 x的展开式中，第 3 项的二项式系数比第2 项的二项式系数大 9，则该展开式中的常 8 x，则图中 的值为3CD数项为 A ．20B ． 20C ．40D ． 40⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ○ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ○ ⋯A ． 3B ．72C ．4D ．92⋯ ⋯ ⋯ ⋯理科数学试题 第 1 页（共 6 页）理科数学试题 第 2 页（共 6 页）⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9．如图，边长为 a 的正三角形内有三个半径相同的圆，这三个圆分别与正三角形的其中两边相切，且相邻的两个圆互相外切，则在正三角形内任取一点，该点恰好落在阴影部分的概率为xh(x) g( x) 2cos x4s inx2______．⋯⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯内外A ．2 3 π12B ．2 3 π4 3C．2 3 π12+8 3D．2 3 π6+4 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯此⋯⋯⋯⋯⋯⋯10．已知在锐角三角形ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a,b,c ，若n s i 2 A 2n s i n s i B0 C ，则的取值范围为n s i B n i s Cn s i A16．已知直线l : kx y 1 0与抛物线2C : y 4x 交于A，B 两点，O 为坐标原点，抛物线 C 的准线与x卷○⋯⋯⋯○⋯⋯A ．（2, 3 ）B．（1, 2）C．（2, 6 ）D．（1, 6 ）轴的交点为P ，若OA OB 0，则PA PB 取最小值时的直线l 的方程为______．⋯⋯⋯只⋯⋯⋯11．若函数1 2x x( ) ( 0)f (x) 2 x恰有三个零点，则 a 的取值范围为三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）装装⋯⋯装⋯⋯A ．1[ , 0]e⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯12．已知双曲线C：x ln x a(x 0)B．（10, ）C．e2 2x yF l，过左焦点的直线的倾斜角满足11[0, ]eD．（1e,0 ）tan13，若直线l已知{ }a 是公差为2的等差数列，且a1a2 a3 12，{b n} 是公比为3的等比数列，且n（1）求数列{a } ，{b n } 的通项公式；n（2）令c n a n b n ，求{c n} 的前n 项和S n ．1b a ．1 32○⋯⋯不○⋯⋯1(a 0,b 0)2 2ab⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯分别与双曲线 的两条渐近线 相交于 A ，B 两点，且线段A B 的垂直平分线 恰好经过双曲线 的右焦点 F 2 ， 18．（本小题满分 12分）则该双曲线 的离心率为如图，在直三棱柱A BC A 1B 1C 1 中， CA 1， CB2 ， BCA 90 ，侧棱 AA 12 ， M 为 AB 的中点．密⋯ 订⋯ ⋯⋯ 订 ⋯A ． 6B ．5C ．62D ．5 2⋯ ⋯ ⋯封 ⋯⋯ ⋯第Ⅱ卷⋯ ○⋯ ⋯ ○⋯二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）3y x 2⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ 13．已知实数 x, y 满足约束条件 y2x 12y x 8，则目标函数22z x y 的最大值为 ______．线 ⋯线 ⋯ 14．若2f ( x) log ( x1 x) 2x ，则满足不等式32f (m2m 3) 0的 m 的取值范围为 ______．（1）求异面直线A B 1,CA 1所成角的余弦值；⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯15．已知函数πf x A x A 的部分图象如图所示，将函数f (x) 的图象先向( ) sin( )(0,0,| | )2（2）若 N 为 A 1A 上一动点，求 N 在何位置时 CB 1 ⊥ BN ； （3）求二面角 BCMB1的余弦值．⋯ ⋯ ○⋯ ⋯ ⋯ ○右平移 1个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的π倍，得到函数g(x) 的图象，若理科数学试题第 3 页（共 6 页）理科数学试题 第 4 页（共 6 页）⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯... ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯○19．（本小题满分12分）2018 年11 月26 日，南方科技大学的贺建奎团队宣布一对名为露露和娜娜的基因编辑婴儿于11月在已知椭圆2 2x y2 2 1(a b0)a b过点( 2,1)，离心率是22，直线l 过椭圆的右焦点 F ，且与椭圆⋯⋯⋯⋯中国健康诞生，这对双胞胎的一个基因经过修改，使她们出生后即能天然抵抗艾滋病病毒，这是世界交于M ,N两点( M ，N 两点均位于y轴的右侧)，与y 轴交于Q点．⋯⋯⋯⋯首例免疫艾滋病的基因编辑婴儿.当即122位生物医学领域科学家联名谴责，称“此项技术早就可以做”，（1）求椭圆的标准方程；⋯⋯线⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯⋯__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __：号考_ __ __ __ __ __ __ __⋯⋯线⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯⋯不做的原因是巨大的风险和伦理问题，直指这项所谓研究的生物医学伦理审查形同虚设，直接进行人体实验，只能用“疯狂”来形容.针对这件事某部门就“基因编辑婴儿”的看法随机抽取40 人进行了问卷调查，其中男、女各20 人，将问卷得分情况制作茎叶图如下：1 1 4（2）是否存在直线l ，使得说明理由．2112．（本小题满分分）af (x) 1ln x已知函数x（2 a 2）当时，求函数0 成立？若存在，求出l 的方程；若不存在，请|QM | |QN | |QF |( a 0 ).（1）讨论函数 f ( x) 在区间(0, 2) 上的单调性；g( x) f(x)1x的最值；...（3）已知n N* ，且n 2 ，求证：n 1 1 1 1 1ln.2 234 n请考生在第22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯外⋯⋯：级班_ __ __ __ __ __ __：名姓_ __ __ __ __ __ __ _：校学⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯内⋯⋯1 80 A A（）将得分不低于分的称为“类”调查对象，某部门想要进一步了解“类”调查对象的更多信息，将调查所得的频率视为概率.①若从“A类”调查对象中抽取 2 人，求抽取的 2 人是同性的概率；②若从“A类”调查对象中抽取 3 人，设被抽到的 3 人中女性人数为，求的分布列与数学期望.（2）通过问卷调查，得到如下2 2列联表.完成列联表，并说明能否有99 ％的把握认为是否是“A类”调查对象与性别有关？不是“A类”调查对象是“A类”调查对象总计.，其中n ab c d计分．22．（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程x 1ty 3t在平面直角坐标系xOy中，直线...⋯⋯⋯⋯男女总计附参考公式与数据：K22 n(ad bc)(a b)( a c )(b d )(cd)2 0.050 0.010 0.001P K k( )l的参数方程为（t 为参的正半轴为极线Q1延长的轨．2（1）曲线程；（2）(0重的最大值.23．（本小题满分10...分）选修 4-5 ：不等式选讲已知函数f (x ) |x 3| m |x |.m 2f (x ) 5（1 ）若 ，求不等式 的解集；⋯⋯ ⋯ ⋯ k3.841 6.635 10.828（2）若关于x 的不等式f (x) 1在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围.○ ⋯ ⋯○ ⋯20．（本小题满分 12分）⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 理科数学试题 第 5 页（共6 页）理科数学试题 第 6 页（共6 页）⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯。
2019届百师联盟全国高三模拟考(三)全国I卷数学(理)试题(带答案解析)
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算，求出 ， ，即可求解.
【详解】
，
.
故选:A.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.
3．A
【解析】
【分析】
利用特殊点的坐标代入，排除掉C，D；再由 判断A选项正确.
【详解】
，排除掉C，D；
，
， ，
.
故选：A．
【点睛】
本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.
4．B
【解析】
【分析】
间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有 ，扣除郁金香在两边有 ，即可求出结论.
【详解】
使用插空法，先排 盆虞美人、 盆郁金香有 种，
然后将 盆锦紫苏放入到4个位置中有 种，
22．已知 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ． ， ， 则 _________．
23．已知 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为________．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
选取向量 ， 为基底，由向量线性运算，求出 ，即可求得结果.
【详解】
， ，
，
， ， .
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.
19．如图，在棱长为 的正方形 中， ， 分别为 ， 边上的中点，现以 为折痕将点 旋转至点 的位置，使得 为直二面角．
（1）证明： ；
（2）求 与面 所成角的正弦值．
三、填空题
20．已知椭圆 ， ，若椭圆 上存在点 使得 为等边三角形（ 为原点），则椭圆 的离心率为_________．
2019年高考理科数学(全国1卷)答案详解(附试卷)
P 20 5 64 16
PS：其实可以对题目进行抽象：即有 A、B 两种字母，填 6 个位置，求恰有 3 个 A 的概率.这样更
容易求解.
【答案】A
第 2 页 共 18 页
7．（平面向量）已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b ，则 a 与 b 的夹角为
头顶至肚脐的长度小于 68.07cm，所以身高小于 68.07+68.07÷0.618=178.21cm. 所以选答案 B.
【答案】B
5．（函数）函数
f
(x)
sin x x cos x x2
在[, ] 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【解析】∵
f (x)
sin x x cos x x2
A． (x+1)2 y 2 1 B． (x 1)2 y2 1 C． x2 ( y 1)2 1 D． x2 ( y+1)2 1
【解析】由题意得 z i x ( y 1)i ，∵ z i =1 ，∴ x2 ( y 1)2 1 ，即 x2 ( y 1)2 1
【答案】D
6．（概率统计）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻 组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是
5
A．
16
11
B．
32
21
C．
32
11
D．
16
【解析】所有重卦的个数为 26 64 ，恰有 3 个阳爻的个数为 C36C33 20 ，因此恰有 3 个阳爻的概率为
2019年3月2019届高三第一次全国大联考(新课标Ⅲ卷)-理数(考试版)
理科数学试题第1页（共6页）理科数学试题第2页（共6页）绝密★启用前|2019年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合}4|{2≤=x x A ，}02|{≤-=x xx B ，则=B A A ．)2,0[B ．]2,0[C ．]0,2[-D ．]2,2[-2．设i 为虚数单位，复数sin i cos z αα=+，若0tan ≥α，则复数z 在复平面内所对应的点不可能在A ．第一象限B ．实轴上C ．第三象限D ．虚轴上3．将一长为4，宽为2的矩形ABCD 沿AB 、DC 的中点E 、F 连线折成如图所示的几何体，若折叠后AB AE =，则该几何体的正视图面积为A ．4B ．32C ．2D ．34．已知定义在R 上的奇函数)(x f 单调递增，且|)(|)(x f x g =，则不等式0)62()(<--x g x g 的解集为A ．)6,2(B ．)2,6(--C ．),6()2,(+∞-∞ D ．),2()6,(+∞---∞ 5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．122019-B ．222019-C ．122020-D ．222020-6．已知函数()sin(23f x x ωπ=-（0>ω）的最小正周期为2π，则下列说法正确的是A ．1=ωB ．函数()f x 在(,42ππ上单调递增C ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的图象关于点(,0)3π对称7．若二项式nxx )1(-的展开式中第m 项为常数项，则m ，n 应满足A ．)1(32-=m n B ．m n 32=C ．)1(32+=m n D ．mn =28．已知一只蚂蚁在底面半径为5cm ，高为12cm 的圆锥侧面爬行，若蚂蚁在圆锥侧面上任意一点出现的可能性相等，且将蚂蚁看作一个点，则蚂蚁距离圆锥顶点超过5cm 的概率为A ．1312B ．135C ．169144D ．16925理科数学试题第3页（共6页）理科数学试题第4页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………9．已知数列}{n a 满足n n tS n 122-=，其中n S 为数列}{n a 的前n 项和，若13542a a a ++=，2428a a +=，则当n S 取最大值时，=n A ．7B ．6C ．5D ．410．在矩形ABCD 中，2=AB ，4=AD ，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作BD AE ⊥，垂足为E ，则AE AC ⋅=A ．58B ．516C ．532D ．811．已知抛物线C ：2(0)y ax a =>，若直线l ：a x y -=4被抛物线C 截得的弦长为17，则与抛物线C相切且平行于直线l 的直线方程为A ．024=+-y x B ．014=+-y x C ．0128=+-y x D ．0128=--y x 12．已知函数x xmmx x f ln 1)(+--=，要使函数)(x f 0>恒成立，则正实数m 应满足A ．211e 1m m m--<B ．121e 1m m m--<C ．211e 1m m m-->D ．121e 1mm m-->第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥-20202x y x y x 所表示的平面区域为Ω，则区域Ω的外接圆的面积为_____________．14．已知函数2)(3++-=mx x x f ，nx x x g -=22)(，且曲线()y f x =在点))2(,2(f 处的切线与曲线()y g x =在点))1(,1(g 处的切线平行，则22n m +的最小值为____________．15．设双曲线C ：12222=-by a x （0,0>>b a ）的左、右焦点分别为21,F F ，以2F 为圆心作一圆，使该圆过线段2OF 的中点，若该圆与双曲线C 的两渐近线有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是____________．16．在面积为4的正方形ABCD 中，M 是线段AB 的中点，现将图形沿,MC MD 折起，使线段,MA MB重合，得到一个四面体A CDM -（其中点B 重合于点A ），则该四面体外接球的表面积为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在ABC △中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,21)(4sin 1)2AC c -=-．（1）求证：a 2，b ，c 成等差数列；（2）若4=c ，求BC 边上的高的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是梯形，AB DC ∥，⊥AD 平面PAB ，且2AB AD ==，4ABC π∠=．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）若PB PA =，求平面PAD 与平面PCD 所成锐二面角的大小．19．（本小题满分12分）2018年3月，国家癌症中心发布了中国最新癌症数据，下表统计了我国男、女性癌症发病率前5类的数据：我国癌症发病率（单位：发病人数/10万）TOP5（1）记男、女性癌症前5类发病率的平均值分别为21x x ，计算并比较1x 与2x 的大小；（2）定义高于本性别前5类发病率平均值的癌种为高发病率癌种，在男、女性前5类癌种中各取两理科数学试题第5页（共6页）理科数学试题第6页（共6页）类癌种，试分别求男、女性别含有高发病率癌种的类数的分布列，并比较两个性别含有高发病率癌种的类数的均值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，2||21=F F ，过2F 的直线l 与椭圆C交于B A ,两点，1ABF △的周长为24.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点A 作y 轴的垂线m ，则x 轴上是否存在一点)0,(0x P ，使得直线PB 与直线m 的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程，若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数⎩⎨⎧-<+--≥+=1,11),2ln()(2x x ax x x x f ()a ∈R ．（1）若函数)(x f 在定义域内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）设2()()(1)g x x bx f x x =+-≥-，若1≥b ，证明：函数)(x g 至少有1个零点．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）将曲线C 的参数方程化为极坐标方程；（2）已知直线l 的极坐标方程为αθ=（,[0,)ρα∈∈πR ），若曲线C 上至少有3个点到直线l 的距离为1，求α的取值范围．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数ax a x x f ++=|23|)(．（1）若2)2(>f ，求实数a 的取值范围；（2）当)1,32(ax -∈时，0|1|)(≤-+x x f 恒成立，求实数a 的取值范围．2019年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学·全解全析123456789101112ABBCDDACBCBC1．A 【解析】易得}22|{}4|{2≤≤-=≤=x x x x A ，}02|{≤-=x xx B }20|{<≤=x x ，所以=B A )2,0[，故选A ．5．D 【解析】由图知输出的结果2019123201920202(21)22222221S ⨯-=++++==-- ．故选D.6．D 【解析】由已知22T ωπ==2π，解得2=ω，故()sin(43f x x π=-，若(,42x ππ∈，则254(,333x πππ-∈，由正弦函数的图象可知函数()f x 在(,)42ππ上有增有减；若2x π=，则5433x ππ-=，此时函数()f x 取不到最大值或者最小值，故2x π=不是函数()f x 图象的对称轴；若3x π=，则43x π-=π，此时函数()=0f x ，故()f x 的图象关于点(,0)3π对称.逐一观察各选项可知，答案为D.7．A 【解析】由题意，n xx 1(-的通项为321(1)C n r r rr nT x -+=-，当r n 23=即r n 32=时，所得项为常数项，其中1-=m r ，所以m ，n 应满足)1(32-=m n ，故选A.8．C 【解析】易得圆锥的母线长为13cm ，当蚂蚁距离圆锥顶点不超过5cm 时，蚂蚁应爬行在底面半径为25cm 13，母线长为5cm 的小圆锥侧面上，由几何概型可知，蚂蚁距离圆锥顶点超过5cm 的概率为255144131513169π⨯⨯-=π⨯⨯，故选C ．9．B 【解析】由13542a a a ++=，2428a a +=，可得705=S ，由已知得512525⨯-=tS ，得21-=t ，故n n S n 12212-=-，即72)6(224222+--=+-=n n n S n ，所以当6=n 时,n S 取得最大值．故选B.11．B 【解析】设抛物线C 的焦点为F ，则)0,4(a F ，可得直线:4l y x a =-过焦点F ，设直线l 交抛物线C 于点),(),,(2211y x B y x A ，由抛物线定义可知2||21ax x AB ++=，联立直线l 与抛物线C 的方程，消去y 得091622=+-a ax x ，所以a x x 16921=+，则172169||=+=a a AB ，解得16=a ，则抛物线C 的方程为x y 162=.设与抛物线C 相切且平行于直线l 的直线方程为b x y +=4，联立方程⎩⎨⎧+==bx y x y 4162，消去y 得0)168(1622=+-+b x b x ，则22(816)4160b b ∆=--⨯=，解得1=b ，故所求直线方程为014=+-y x .故选B.12．C 【解析】由题意，得2222111(1)(1)()m mx x m mx m x f x m x x x x-++--++'=++==（0x >），令10mx m -+=，由0>m ，得1m x m -=.当10≤<m 时，01≤-m m ，此时函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，且0→x 时，0→mx ，-∞→--xm1，-∞→x ln ，故-∞→)(x f ，不合题意，舍去；当1>m 时，01>-m m ，此时函数)(x f 在)1,0(m m -上单调递减，在),1(+∞-m m 上单调递增，所以1()(min mm f x f -=m m m m 1ln1-++-=m m m 1ln 12-+-=，要使函数)(x f 0>恒成立，只需01ln 12>-+-mm m ，即211e1m m m -->.故选C.13．254π【解析】由题意作出区域Ω，如图中阴影部分所示，易知432121212tan =⨯+-=∠MON ，故=∠MON sin 53，又3=MN ，设OMN △的外接圆的半径为R ，则由正弦定理得R MON MN 2sin =∠，即25=R ，故所求外接圆的面积为2525(24π⨯=π.15．)332,1(【解析】由题意设双曲线C 的半焦距为c ，则右焦点)0,(2c F 到渐近线x a by ±=的距离均为b b a bc =+22||，圆2F 的半径为2c ，要使圆2F 与双曲线C 的两渐近线有公共点，需满足b c>2，即)(4222a c c ->，解得3422<ac ，又双曲线的离心率1>e ，故双曲线C 的离心率的取值范围为332,1(.16．193π【解析】作出图形如图（1）所示，由图可知在四面体A CDM -中，MA AD ⊥，MA AC ⊥，AC AD A = ，故MA ⊥平面ACD ，将图形旋转得到如图（2）所示的三棱锥M ACD -，其中ACD △为等边三角形，过ACD △的中心1O 作平面ACD 的垂线1l ，过线段MC 的中点2O 作平面MAC 的垂线2l ，易得直线1l 与2l 相交，记12l l O = ，则O 即为三棱锥M ACD -外接球的球心.设外接球的半径为R ，连接OC 、1O C ，可得1112O C OO ==,在1Rt OO C △中，2222111912OC OO O C R =+==，故外接球的表面积21943S R π=π=，故答案为193π.图（1）图（2）17．（本小题满分12分）（2）由（1）可知，22c a b +=，在ABC △中，由余弦定理，知222222222(232cos 228c a c a c ba c B acac ac++-+-+-===≥84ac -=（当且仅当2223a c =时，等号成立），（8分）∴426)426(1cos 1sin 22+=--≤-=B B ，（10分）则BC 边上的高264264sin +=+⨯≤⋅=B c h ，∴BC 边上的高的取值范围为]26,0(+．（12分）18．（本小题满分12分）∴PB PA ⊥，（4分）∵⊥AD 平面PAB ，∴PB AD ⊥，又A AD PA = ，∴⊥PB 平面PAD ，又⊂PB 平面PBC ，∴平面PAD ⊥平面PBC .（6分）（2）由PB PA =，可得AB PE ⊥，故以E 为原点，EC EB EP ,,所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，同（1），设1=AD ，则)0,0,1(P ，)0,1,0(-A ，)1,1,0(-D ，)1,0,0(C ，则(1,1,1)PD =-- ，(0,0,1)AD = ，(0,1,0)CD =-，（8分）∴平面PCD 的一个法向量为2(1,0,1)=n ，（10分）∴1212121cos ,||||7⋅==n n n n n n 21=，故平面PAD 与平面PCD 所成锐二面角的大小为3π．（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）由统计表可得11(74.3141.0838.3730.5526.46)42.1545x =⨯++++=，21(41.8239.0823.4318.9918.36)28.3365x =⨯++++=.可知21x x >.（4分）（2）由定义，知男性中只有肺癌属于高发率癌种，女性中乳腺癌、肺癌为高发病率癌种，（6分）设X 、Y 分别为男、女性前5类癌种中抽到的高发病率癌种的类数，则X 的可能取值有0，1，2425C 3(0)C 5P X ===,111425C C 2(1)C 5P X ===.故X 的分布列为X 01P3525（8分）故52521530)(=⨯+⨯=X E .Y 的可能取值有0，1，22325C 3(0)C 10P Y ===,112325C C 3(1)C 5P Y ===,2225C 1(2)C 10P Y ===.故Y 的分布列为Y012P31035110（10分）故3314()012105105E Y =⨯+⨯+⨯=.可得)()(Y E X E <，故男性前5类癌种中含有高发病率癌种的类数的均值较小.（12分）20．（本小题满分12分）（2）显然过点2F 的直线l 不与x 轴重合，可设直线l 的方程为1+=ty x ，且),(11y x A ，),(22y x B ，联立方程22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得012)2(22=-++ty y t ，根据根与系数的关系，得22221+-=+t t y y ，21221+-=t y y ，（6分）联立直线m 与直线PB 的方程⎪⎩⎪⎨⎧--==)(00221x x x x y y y y ，消去y ，整理得)(100221x x x ty y y --+=，解得0210121x y y x y y ty x +-+=，将21221+-=t y y ，22221+--=t ty y 代入，得20222232(22t ty x y t t x x y --++++=+020********002232(23)222t t tx y x y x y x y t t t x x y y -+⋅-+--++++=+=+，（10分）若存在点)0,(0x P 满足直线PB 与直线m 的交点恒在一条定直线上，可令230=x ，则0202202(23)22tx y x y t x x y --++=+=，与t 无关，故在x 轴上存在点P ，使直线PB 与直线m 的交点恒在一条定直线上，此时点P 的坐标为)0,23(，定直线的方程为2=x .（12分）令)12()4(22-+++b x b x 0=（*），则22(4)8(21)(4)80b b b ∆=+--=-+>，∴方程（*）有两个不相等的实根，且48)4()4(21+--+-=b b x ，48)4()4(22+-++-=b b x ,若11->x，整理得0b +<，又1b ≥，∴0b +<不成立，故11-≤x ；若12->x 1>-，得3<b ，当31<≤b 时，函数)(x g 在2[1,]x -上单调递减，在),(2+∞x 上单调递增，（9分）∵01)1(≤-=-b g ，(1)1ln 32ln 30g b =+-≥->，∴当1=b 时，函数)(x g 有2个零点，当31<<b 时，函数)(x g 有1个零点，（10分）若12-≤x ，1≤-，得3≥b ，此时()0g'x ≥，故函数)(x g 在),1[+∞-上单调递增，∴()(1)1g x g b ≥-=-，∵01<-b ，∴函数)(x g 有1个零点.综上，若1b ≥，函数)(x g 至少有1个零点．（12分）（2）（法一）由（1）知曲线C 是以)1,3(为圆心，2为半径的圆，当曲线C 上至少有3个点到直线l 的距离为1时，此时圆心到直线l 的距离不大于1，（5分）设直线l 的直角坐标方程为kx y =，即0=-y kx ，其中αtan =k ，∴圆心)1,3(到直线l 的距离为11|13|2≤+-=k k d ，解得30≤≤k ，即0tan α≤≤（8分）∵[0,)α∈π，∴[0,]3απ∈．（10分）（法二）由题意及（1）知曲线C 是以)1,3(为圆心，2为半径的圆，直线l 与圆C 相交于原点，当曲线C 上至少有3个点到直线l 的距离为1时，直线l 与圆C 相交的弦长不小于32，将αθ=代入曲线C 的极坐标方程4sin()3ρθπ=+，得4sin()3απ+≥，即sin(32απ+≥，（8分）又[0,)α∈π，∴4[,333απππ+∈，故2[,333απππ+∈，即α的取值范围是[0,]3π．（10分）文科数学试题第1页（共6页）文科数学试题第2页（共6页）绝密★启用前|2019年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】文科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2019届百师联盟全国高三模拟考(三)全国Ⅰ卷数学(理)试题解析
绝密★启用前2019届百师联盟全国高三模拟考（三）全国Ⅰ卷数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设集合A ＝{y |y ＝2x﹣1，x ∈R }，B ＝{x |﹣2≤x ≤3，x ∈Z }，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3] B ．[﹣1，3] C ．{0，1，2，3} D ．{﹣1，0，1，2，3} C先求集合A ，再用列举法表示出集合B ，再根据交集的定义求解即可． 解：解：∵集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1，x ∈R }＝{y |y ＞﹣1}，B ＝{x |﹣2≤x ≤3，x ∈Z }＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A ∩B ＝{0，1，2，3}， 故选：C ． 点评：本题主要考查集合的交集运算，属于基础题． 2．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+B 复数11122a i a a z i i --+==-+，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a 的不等式组，解得a 的范围. 解：11122a i a a z i i --+==-+， 由其在复平面对应的点在第二象限， 得1010a a -<⎧⎨+<⎩，则1a <-.故选：B. 点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =u u u r u u u r ，若BE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ） A ．1 B ．23-C ．13-D ．34-B选取向量AB u u u r ，AC u u u r 为基底，由向量线性运算，求出BE u u u r，即可求得结果. 解：13BE AE AB AD AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-.故选：B. 点评：本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.4．已知向量(3sin ,2)a x =-r ，(1,cos )b x =r ，当a b ⊥r r 时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1213- B ．1213C ．613-D ．613A根据向量的坐标运算，求出tan x ，22tan cos 22tan 1x x x π⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭，即可求解. 解：a b⊥Q r r ，23sin 2cos 0,tan 3a b x x x ⋅=-=∴=r r 222sin cos cos 2sin 22sin cos x x x x x x π⎛⎫∴+=-=- ⎪+⎝⎭22tan 12tan 113x x =-=-+.故选:A. 点评：本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.5．10212x ⎛- ⎝的展开式中有理项有（ ） A ．3项 B ．4项C ．5项D ．7项B由二项展开式定理求出通项，求出x 的指数为整数时r 的个数，即可求解. 解：720103110(1)2r r r rr T C x--+=-，010r ≤≤，当0r =，3，6，9时，1r T +为有理项，共4项. 故选:B. 点评：本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.6．已知正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a ，13a =，65423a a a =+，则14m n +的最小值是（ ） A ．32B ．2C ．73D ．94C由已知求出等比数列{}n a 的公比，进而求出4m n +=，尝试用基本不等式，但*,m n ∈N 取不到等号，所以考虑直接取,m n 的值代入比较即可.解：65423a a a =+Q ，2230q q ∴--=，3q ∴=或1q =-（舍）.13a =Q ，2221139m n m n a a a a +-∴⋅=⋅=，4m n ∴+=.当1m =，3n =时1473m n +=； 当2m =，2n =时1452m n +=； 当3m =，1n =时，14133m n +=，所以最小值为73. 故选:C. 点评：本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.7．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为23，则双曲线Γ的离心率为（ ） A ．2 B ．23C ．73D ．21 D由圆22:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又122223AF F AOF S S ab ∆===V ，由此求出a 的值，利用离心率公式，求出e .解：由题意得2b =，1223AF F S ab ∆==，3a ∴=，222113b e a ∴=+=. 故选：D. 点评：本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题. 8．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．2C ．23D ．1C利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD ，算出长度. 解：几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为23AD =故选：C. 点评：本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题. 9．函数ln ||()xx x f x e =的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．A利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12f -<判断A 选项正确. 解：1.11.1ln |1.1|( 1.1)0f e--=<，排除掉C ，D ； 1211ln 122()22f e e---==122e <=Q 2e <，1()212f e ∴-=<.故选：A ． 点评：本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.10．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种 A ．96 B ．120 C ．48 D ．72B间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有3334A A ，扣除郁金香在两边有23232A A ，即可求出结论. 解：使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A 种， 然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有34A 种， 根据分步乘法计数原理有3334A A ，扣除郁金香在两边， 排2盆虞美人、1盆郁金香有222A 种， 再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有33A ， 根据分步计数原理有23232A A ，所以共有332334232120A A A A -=种.故选:B. 点评：本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题.11．已知关于x sin 2x x m π⎛⎫+-=⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,1C先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 解：由题化简得3sin cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 点评：本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.12．已知函数2,0()2,0x xx f x e x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2(0,)3eB ．2(,0)3e-C ．(2eD ．2eD将函数的零点个数问题转化为函数()y f x =与直线1()2y k x =+的交点的个数问题，画出函数()y f x =的图象，易知直线1()2y k x =+过定点1(,0)2-，故与()f x 在0x <时的图象必有两个交点，故只需与()f x 在0x >时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解. 解：由图知()y f x =与1()2y k x =+有4个公共点即可，即()0,k k ∈切，当设切点()00,x y ，则000011()2x x x k e x k x e -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，0122x k e ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩2k e∴∈.故选：D. 点评：本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.二、填空题13．已知ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．4a =，6b =，3A π=则cos2B =_________．716利用正弦定理求得角B ，再利用二倍角的余弦公式，即可求解. 解：63=32sin B ∴=187cos 2126416B =-⨯=． 故答案为：716. 点评：本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.14．已知x，y满足约束条件26010x yx yx+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪⎩…，则22z x y=+的最大值为________．9根据题意，画出可行域，将目标函数看成可行域内的点与原点距离的平方，利用图象即可求解.解：可行域如图所示，易知当0x=，3y=时，22z x y=+的最大值为9．故答案为：9.点评：本题考查了利用几何法解决非线性规划问题，属于中档题.15．已知椭圆22:1yC xm+=，2,0)M，若椭圆C上存在点N使得OMN∆为等边三角形（O为原点），则椭圆C的离心率为_________．6根据题意求出点N的坐标，将其代入椭圆的方程，求出参数m的值，再根据离心率的定义求值.解：由题意得26N，将其代入椭圆方程得3m=，所以2633e==.. 点评：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，属于中档题.16．已知四棱锥P ABCD -，底面四边形ABCD 为正方形，PA PB PC PD ===，四棱锥的体积为3，在该四棱锥内放置一球O ，则球O 体积的最大值为_________．12由题知，该四棱锥为正四棱锥P ABCD -，作出该正四棱锥的高PH 和斜高PE ，连接HE ，则球心O 必在Rt PHE V 的PH 边上，设OEH θ∠=，由球与四棱锥的内切关系可知2PEH θ∠=，设2AB a =，用a 和θ表示四棱锥的体积，解得a 和θ的关系，进而表示出内切球的半径，并求出半径的最大值，进而求出球的体积的最大值. 解：设OEH θ∠=，2AB a =，由球O 内切于四棱锥可知，2PEH θ∠=，EH a =， 则tan 2PH a θ=，球O 的半径tan R a θ=，214tan 23P ABCD V a a θ-∴=⨯⨯=，3tan 22a θ∴=32tan 2a θ∴=，333332tan 22tan 2tan 21tan R a θθθθθθ===⨯-()221tan 416θθ-=≤当且仅当tan 2θ=时，等号成立，此时431612o V π==..点评：本题考查了棱锥的体积问题，内切球问题，考查空间想象能力，属于较难的填空压轴题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足15a =，122n n a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()24n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．（1）1232n n a -=+⨯；（2）13(1)26n n S n +=-⨯+（1）根据递推公式，用配凑法构造等比数列{}2n a -，求其通项公式，进而求出{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S . 解：解：（1）122n n a a -+=Q ，()1222n n a a -∴-=-，123a -={}2n a ∴-是首项为3，公比为2的等比数列．所以1232n n a --=⨯，1232n n a -∴=+⨯．（2）()432432nnn b n n =+⨯-=⨯()12331222322n n S n =⨯⨯+⨯+⨯++⨯L ()2341231222322n n S n +=⨯⨯+⨯+⨯++⨯L ()()1231121232222233212n n n n n S n n ++⨯--=⨯++++-⨯=⨯-⨯-L13(1)26n n S n +∴=-⨯+.点评：本题考查了由数列的递推公式求通项公式，错位相减法求数列的前n 项和的问题，属于中档题.18．如图，在棱长为22的正方形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 边上的中点，现以EF 为折痕将点C 旋转至点P 的位置，使得P EF A --为直二面角．（1）证明：EF PA ⊥；（2）求PD 与面ABF 所成角的正弦值． （1）证明见详解；（2）66（1）在折叠前的正方形ABCD 中，作出对角线AC ，BD ，由正方形性质知AC BD ⊥，又EF //BD ，则AC EF ⊥于点H ，则由直二面角可知PH ⊥面ABEFD ，故PH EF ⊥.又AH EF ⊥，则EF ⊥面PAH ，故命题得证；（2）作出线面角PDH ∠，在直角三角形中求解该角的正弦值. 解：解：（1）证明：在正方形ABCD 中，连结AC 交EF 于H ． 因为,AC BD EF ⊥//BD ，故可得AC EF ⊥， 即,EF AH EF CH ⊥⊥ 又旋转不改变上述垂直关系， 且,AH CH ⊂平面PAH ,EF ∴⊥面PAH ，又PA ⊂Q 面PAH ，所以EF PA ⊥（2）因为P EF A --为直二面角，故平面PEF ⊥平面AEF , 又其交线为EF ,且,PH EF PH ⊥⊂平面PEF ,故可得PH ⊥底面ABF ，连结DH ，则PDH ∠即为PD 与面ABF 所成角，连结BD 交AH 于O ，在Rt ODH △中，225DH DO OH =+=，1PH CH ==在Rt PHD ∆中226DP DH PH =+=，6sin 66PH PDH DP ∠===． 所以PD 与面ABF 所成角的正弦值为6． 点评：本题考查了线面垂直的证明与性质，利用定义求线面角，属于中档题.19．某网络商城在2019年1月1日开展“庆元旦”活动，当天各店铺销售额破十亿，为了提高各店铺销售的积极性，采用摇号抽奖的方式，抽取了40家店铺进行红包奖励.如图是抽取的40家店铺元旦当天的销售额（单位：千元）的频率分布直方图.（1）求抽取的这40家店铺，元旦当天销售额的平均值；（2）估计抽取的40家店铺中元旦当天销售额不低于4000元的有多少家；（3）为了了解抽取的各店铺的销售方案，销售额在[)0,2和[]8,10的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究，求抽取的店铺销售额在[)0,2中的个数ζ的分布列和数学期望.（1）5500元；（2）32家；（3）分布列见解析；23（1）根据频率分布直方图求出各组频率，再由平均数公式，即可求解； （2）求出[4000,10000]的频率即可；（3）[)0,2中的个数ζ的所有可能取值为0，1，2，求出ζ可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解. 解：（1）频率分布直方图销售额的平均值为2(0.02510.07530.250.1570.059) 5.5⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元，所以销售额的平均值为5500元；（2）不低于4000元的有40(0.20.150.05)232⨯++⨯=家 （3）销售额在[)0,2的店铺有2家， 销售额在[]8,10的店铺有4家.选取两家，设销售额在[)0,2的有ζ家.则ζ的所有可能取值为0，1，2.0224262(0)5C C p C ζ===，1124268(1)15C C p C ζ===， 2024261(2)15C C p C ζ=== 所以ζ的分布列为数学期望8121215153E ζ=⨯+⨯= 点评：本题考查应用频率分布直方图求平均数和频数，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题.20．直线l 与抛物线2:2C y px =(0)p >相交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，若P ，Q到x 轴距离的乘积为16． （1）求C 的方程；（2）设点F 为抛物线C 的焦点，当PFQ ∆面积最小时，求直线l 的方程． （1）24y x =；（2）4x =（1）设出两点的坐标，由距离之积为16，可得1216y y =-.利用向量的数量积坐标运算，将OP OQ ⊥转化为12120OP OQ x x y y ⋅=+=u u u r u u u r.再利用两点均在抛物线上，即可求得p 的值，从而求出抛物线的方程；（2）设出直线l 的方程，代入抛物线方程，由韦达定理发现直线l 恒过定点()4,0M ，将PFQ ∆面积用参数t 表示，求出其最值，并得出此时的直线方程. 解：解：（1）由题设()11,P x y ，()22,Q x y因为P ，Q 到x 轴的距离的积为16，所以1216y y =-，又因为OP OQ ⊥，12120OP OQ x x y y ∴⋅=+=u u u r u u u r，221212225616224y y x x p p p ∴==⋅=，2p ∴=所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）因为直线l 与抛物线两个公共点，所以l 的斜率不为0， 所以设:PQ l x ty m =+联立24x ty m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty m --=，即124y y t +=，12164y y m =-=-，4m ∴=即直线l 恒过定点()4,0M ，所以121||2PFQ S FM y y ∆=-= 当0t =时，PFQ ∆面积取得最小值12，此时4x =. 点评：本题考查了抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线相交的问题，其中垂直条件的转化，直线过定点均为该题的关键，属于综合性较强的题. 21．已知函数21()2xf x xe a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(0,)x ∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性；（2）曲线()f x 在点()()22f ,处的切线斜率为()231e -.（i ）求a ；（ii ）若2()()(1)x k f x x '-≥-+，求整数k 的最大值. （1）在(ln ,)a +∞上增；在()0,ln a 上减；（2）（i ）1；（ii ）2（1）求导求出()f x '，对a 分类讨论，求出()0,()0f x f x ''><的解，即可得出结论；（2）（i ）由2(2)3(1)f e '=-，求出a 的值；（ii ）由（i ）得所求问题转化为()()110xx k e x --++≥，(0,)x ∈+∞恒成立，设()()()11x g x x k e x =--++，(0,)x ∈+∞，只需min ()0g x ≥，根据()g x 的单调性，即可求解. 解：（1）()()(1)xf x x e a '=+-当1a ≤时，()0f x '>，即()f x 在()0,∞+上增；当1a >时，()0f x '>，ln x a >，()0f x '<，0ln x a <<， 即()f x 在(ln ,)a +∞上增；在()0,ln a 上减； （2）（i ）()()22(2)331f e a e '=-=-，1a \=.（ⅱ）2()()(1)x k f x x '-≥-+，即()()110xx k e x --++≥，即()()()11xg x x k e x =--++，只需min ()0g x ≥.()(1)x g x x k e '=-+当1k ≤时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+单调递增， 所以()(0)10g x g >=>满足题意；当1k >时，()0g x '>，1x k >-，()0g x '>，01x k <<-所以()g x 在()0,1k -上减，在()1,k -+∞上增，1min ()(1)10k g x g k e k -∴=-=-++≥令1()1k h k ek -=-++，1()1k h k e -'=-.(1)0h '=.()h k '在(1,)+∞单调递减，所以()0h k '<所以()h k 在()1,+∞上单调递减(1)10h =>，(2)30h e =->，2(3)40h e =-<综上可知，整数k 的最大值为2. 点评：本题考查函数导数的综合应用，涉及函数的单调性、导数的几何意义、极值最值、不等式恒成立，考查分类讨论思想，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为112212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）和曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点M 是射线1:l θα=([0,])2πα∈与直线l 的公共点，点N是1l 与曲线C 的公共点，求||||ON OM 的最大值．（1）sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2cos ρθ=；（2）max ()2ON OM = （1）先将直线l 和圆C 的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程； （2）写出点M 和点N 的极坐标，根据极径的定义分别表示出ON 和OM ，利用三角函数的性质求出||||ON OM 的最大值.解：解：（1）1:2l x y +=，1cos sin 2ρθρθ+=，即极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22:(1)1C x y -+=，极坐标方程2cos ρθ=．（2）由题可知12(,)sin cos M ααα+，(2cos ,)N αα ||2cos 1||2sin cos N MON OM ραραα==+4cos (sin cos )ααα=+ 2sin 22(cos 21)αα=++)24πα=++，∴当8πα=时，max ()2ON OM =. 点评：本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.23．已知函数()2|2|f x x m =--(0)m >，若(2)0f x +<的解集为()2,2-． （1）求m 的值；（2）若正实数a ，b ，c 满足23++=a b c m ，求证：1119234a b c ++≥． （1）4m =；（2）证明见详解.（1）将不等式(2)0f x +<的解集用m 表示出来，结合题中的解集，求出m 的值； （2）利用柯西不等式证明. 解：解：（1）(2)2||0f x x m +=-<，||2m x <， 22m m x ∴-<<， 因为()20f x +<的解集为()2,2-，所以22m=， 4m ∴=；（2）由（1）234a b c ++= 由柯西不等式2111()(23)(111)923a b c a b c++++≥++=， 1119234a b c ∴++≥ 当且仅当43a =，23b =，49c =，等号成立．点评：本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.。
2019年高三第三次全国大联考(新课标Ⅰ卷)理数卷(原卷版)
m
数 的值为（
n
A. 1 B. 1
6
4
） C. 6 D. 4
11．如图，在四边形 ABCD 中， AB BC 2 ， ABC 90 ， DA DC . 现沿对角线 AC 折起，使得
平面 DAC
平面 ABC ，且三棱锥 D
ABC 的体积为
4
，此时点
A ， B ， C ， D 在同一个球面上，则该
3
球的体积是（
（ 2）若直线 DM 与平面 ABC 所成角的正切值为 2 ，求二面角 B CD E 的大小 .
19. （本小题满分 12 分）近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，
微信是现代生活中进行信息交流的重要工具 . 而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得
简便而快捷 . 某商场随机对商场购物的
为
.
16. 以下四个命题：
①已知随机变量 X N 0, 2 ，若 P( X 2) a ，则 P( X 2) 的值为 1 a ； 2
②设 a,b R ，则“ log2 a log 2 b ”是“ 2a b 1 ”的充分不必要条件；
③函数 f x
1
x2
x
1 的零点个数为 1；
2
④命题 p : n N ,3 n n 2 1， , 则 p 为 n N ,3 n n 2 1 .
N . 不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加 2
入 . 为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现， 无论 N 是怎样一个数字， 最终都无法逃脱回到谷底 1.
准确地说，是无法逃出落入底部的 4 2 1 循环，永远也逃不出这样的宿命 . 这就是著名的“冰雹猜想” .
2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案
2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数(),2z a i a R z a =+∈=若，则的值为 A ．1 BC ．1±D ．2．己知集合{}{}2=230,2A x x x B x x A B --≤=<⋂=，则A ．(1，3)B ．(]1,3C ．[－1，2)D ．(－1，2)3．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=A ．5-B ．5C ．5-D ．5 4．已知0,1a b c >>>，则下列各式成立的是 A ．sin sin a b > B ．abcc > C ．ccab <D ．11c c b a--<5．数列{}na 是等差数列，11a=，公差d ∈[1，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为A ．72B ．5319C ．2319-D ．12- 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．设()b<”的,1,a b∈+∞，则“a b>”是“log1aA．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件8．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行志愿服务活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法A ．32e e + B ．22e e + C ．32e e - D ．22e e -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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百校联盟2019届TOP20三月联考(全国I 卷)
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合(){}|ln 320A x x =-<，{}2|20B x x x =-≤，则（ ）
A ．A
B = B ．A B ⊆
C ．A B ⊇
D ．A B =∅I
2.设复数z 满足()112z i i +=-+，则z =（ ）
A ．1i +
B ．1i -+
C ．1i --
D ．1i -
3.下列函数是奇函数，且在区间()0,+∞上是增函数的是（ ）
A ．ln ||y x =
B ．2y x -=
C ．1y x x
=+ D ．x x y e e -=- 4.已知双曲线1C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，以F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ．y x =±
B ．y =
C ．y =
D ．2y x =±
5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．23π+
B ．23π+
C ．2π+
D ．423
π+ 6. 已知曲线22||||x y x y +=+所围成的区域记为1，曲线221x y +=所围成的区域记为II ，曲线
221x y +=与坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，D 四边形ABCD 所围成的区域记为III ，在区域I 中随机取一点，此点取自区域II ，的概率分别记为1p ，2p ，则（ ）
A ．12p p =
B ．121p p +=
C ．121p p +>
D ．121p p +<
7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(),4P x -（0x ≠），且cos 5x α=，则sin 22π
α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）
A ．7
25- B ．7
25 C ．12
25 D ．12
25±
8.如图所示的程序框图所表示的算法的功能是（ ）
A ．计算数列(){}12n n -的前2019项和
B ．计算数列(){}12n n -的前2018项和
C ．计算数列(){}112n n +-的前2019项和
D ．计算数列(){}112n n +-的前2018项和
9.已知212cos sin 2433ππαα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭（ ）
A
．3- B
．3 C ．2
3- D ．2
3
10.若x ，y 满足约束条件10
220,x y x y y mx +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且2z x y =+的最大值为4，则实数m 的值为（
）。