广义相对论的学习总结

广义相对论的学习总结

1.引言

1.1前言

经过过去一年对广义相对论的学习，基本对广义相对论的基本原理和运用有了比较完整的认识。这篇文章是为了总结自己学习的体会，尽量用自己的语言谈谈对广义相对论的理解。由于作者水平有限，也为了文章的简洁，所以省去数学推导，仅保留基本的数学公式和方法说明。

广义相对论是爱因斯坦一大理论成果，可以解释宏观世界一切物体的运动，可以在一切坐标系下运用，本身又保持了相当完美的对称性和简洁性。随着空间探测技术的发展，广义相对论的许多结论都得到了证明，而广义相对论和量子力学构成了现代物理的两大支柱。

1.2导语

在具体介绍广义相对论的内容之前，我想用自己的语言，对广义相对论的思想和研究问题步骤做一个小的总结和介绍。总的来说，广义相对论是建立在四个假设之上，通过这四个假设，爱因斯坦认为惯性场和引力场等效，以及所有参考系的平权性。然后爱因斯坦把引力场认为是一种几何效应。是由于质量在空间上的分布不均匀，导致空间的空间扭曲。

在数学上，用张量来代表物理量，以满足物理规律在所有参考系下都成立。用黎曼几何来刻画弯曲空间，联络来描述引力强度，曲率

张量来描述空间弯曲，度规张量来描述引力势。

接下来便是构建场运动方程。我们可以用惠曼的名言总结道：“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。”按照爱因斯坦的想法，引力是由于质量空间分布不均匀造成的几何效应。所以爱因斯坦场方程左边应该是反映时空的几何性质的张量，右边是能动张量。再继续利用能量守恒定律，便可以推出爱因斯坦场方程。

应用爱因斯坦的场方程，得到了很多新奇的结论和实验预言，并且以“水星进动”和“引力红移”为代表的实验验证了广义相对论的正确性。

广义相对论还预言了引力弯曲效应极大情况下黑洞的存在。

而广义相对论作为宇宙学的理论基础，特别是近几十年观测技术的进步，使得宇宙学建立起了相对完整的理论系统。

2.基本假设

广义相对论建立在以下假设下。

2.1等效原理

广义相对论用的是强等效原理。

引力场与惯性场的的一切物理效应都是局域不可分辨的。

2.2马赫原理

惯性力起源于物质间的相互作用，起源于受力物体相对于遥远星系的加速运动，而且与引力有着相同或相近的物理根源。

2.3广义相对性原理

一切参考系都是平权的，物理定律在任何坐标系下形式都不变，即具有广义协变性。

2.4.光速不变原理

任意观测者测量的光速都是c。

a和b假设了惯性场和引力场以及惯性力和引力的局域等同性，在后来引入黎曼几何后，惯性力场可以运用空间的几何性质联络来描述，由于惯性力场和引力场的局域等同性，所以引力场也可以运用联络来描述，于是完成了引力的几何化，把引力看做空间的弯曲造成的几何效应。从而解决了狭义相对论无法描述引力的困难。C假设否决了过去一直寻找的惯性系的存在，解决了狭义相对论中寻找惯性系的困难。D假设是从狭义相对论开始就有的，也是最有实验依据的。从光速不变原理出发，可以得到狭义相对论的很多结果。不过在广义相对论中，把规则者从惯性系扩大到任意参考系，和c一起假设了参考系的平权性。

3.数学基础

广义相对性原理和光速不变原理说明了一切参考系都是平等的，这就要求了物理规律要在一切参考系下成立，从而要涉及到物理量在坐标系之间的变换关系，特别是任意弯曲坐标系下的变换。从而需要张量分析来描述这种变换。而马赫原理和等效原理又把引力解释为空

间的几何弯曲效应，于是也需要一种新的几何学来描述物体在弯曲空间的运动。从而传统的运用在平直空间的欧式几何已经不再适用，所以我们要继续介绍黎曼几何。

3.1张量分析

借助张量分析，广义相对论把物理规律表达为张量方程。

3.1.1定义：

一个数组，在坐标变换下，如果每一个指标都按坐标微分的变换规律进行变换，则为逆变张量。如果都按坐标微分的逆变换，则为协变张量。

因为在定义张量的同时，给出了在坐标变换时张量的变换规律，所以在任意坐标下，该张量都被唯一的确定下来了，所以张量是在坐标变换时不变的量。

运用张量的定义，因为张量是在坐标变换下不变的量，所以可以把物理量用张量表示。

3.1.2平移：

张量是逐点定义的，所以两个不同点上的张量相减后将失去张量的性质。而广义相对论要把物理规律用微分方程的形式来表达，微分计算需要运动不同点的相减。所以引入了张量的平移，在相减前，先将张量移到同一个点上。

不同点的坐标系不一样，所以同样的张量，平移移动会产生坐标差。

坐标改变量与张量本身以及距离的比例，称为联络。

联络的求法为：

联络代表了两点之间坐标系的改变的剧烈程度，而每点的坐标系又是沿着空间表面建立的，所以联络可以代表空间的弯曲程度，可是联络与空间坐标系有关，不同的坐标系下联络不同，不能代表空间的属性。所以我们定义一个专门的由联络组成的量来描述空间的弯曲程度。

称为曲率张量，可以用来描述空间的弯曲程度。

3.1.3运动：

在欧式空间中，直线被定义为线上任意相邻两点的切矢量都相互平行的曲线，我们把它推广到任何空间中，并把推广后的直线成为测地线。

由于对于推广的任何空间，我们尚未清楚它的度量关系。所以先不考虑空间距离之类的度量关系，我们把这种没有度量的任意弯曲程度的空间称为仿射空间。

运用测地线上任意相邻两点的切矢量都相互平行的我们可以很快求出测地线的微分方程。即把A点的切矢量移动到B点后，和B 点的切矢量成比例关系。

把比例系数按dλ的进行展开，保留到一级小量：

联立平移公式和切矢量的微分公式，并保留到一级小量，便可得

出：

便为测地线的微分方程。

在欧式空间中，物体沿直线运动，在推广的仿射空间中，物体沿测地线运动，沿测地线运动距离最短。这便是著名的爱因斯坦最短程原理。

3.1.4度量和运算：

为了在空间中引入长度等物理量，我们引进度规张量，来确定两点之间的距离。

在经典的欧式空间中：

狭义相对论运用的闵柯夫斯基空间：

有了以上的基础，便能建立起一个新的空间——黎曼空间。黎曼空间有其特殊的联络和度规张量，广义相对论便建立在黎曼空间的框架下。在广义相对论中，将会把引力几何化，联络便可以看做是引力强度，而度规张量则会是引力势。研究曲率张量，度规张量和能动张量的关系，便能导出爱因斯坦场方程。我们将在后面介绍黎曼几何。

3.2黎曼几何