圆锥摆及其变形
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三物理：圆锥摆及其变型
分析计算圆周运动问题时，常会遇到由重力和弹力（可以是支持力，也可以是绳子的拉力）的合力提供向心力，而在水平面上做匀速圆周运动的一类问题——圆锥摆运动。
因此，掌握圆锥摆运动特征可以快速解决这一类圆周运动问题。
1. 圆锥摆的向心加速度a ＝g tan α设摆球质量为m ，摆线长为L ，摆线与竖直方向夹角为α，由图可知，F 合＝mg tan α又F 合＝ma 向，故a 向＝g tan α。
可见摆球的向心加速度完全由α决定，与摆线长无关，即与运动的半径无关。
2. 圆锥摆的周期T ＝由F 合＝224Tm π·L sin α和F 合＝mg tan α可推理得圆锥摆的周期T ＝ 设摆球圆周运动的平面到悬点的距离为h ，则h ＝L cos α，故T ＝ 由此可见，圆锥摆的周期完全由悬点到运动平面的距离决定，与小球的质量、摆线长度无关。
例题1 （北京二模）如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）A. 球A 的线速度必定大于球B 的线速度B. 球A 的角速度必定大于球B 的角速度C. 球A 的运动周期必定小于球B 的运动周期D. 球A 对筒壁的压力必定大于球B 对筒壁的压力解析：根据上述规律可知，此题中的A 、B 两小球实际上是具有相同的向心加速度，根据a ＝2v R ＝Rω2＝224R Tπ可知，加速度相同时，半径越大，线速度越大，角速度越小，周期越大，即由R A >R B ，可知v A >v B ，ωA <ωB ，T A >T B ，则选项A 正确，B 、C 错误。
由于A 、B 质量相同，在相同的倾斜面上，则向心力相等，进一步可知两球所受的弹力相等，故可知选项D 错误。
答案：A例题2 （朝阳区模拟）图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。
高考物理模型101专题讲练：第18讲 水平面内的圆周运动(圆锥摆模型)及其临界问题
第18讲水平面内的圆周运动（圆锥摆模型）及其临界问题1．（江苏高考）如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（）A．A的速度比B的大B．A与B的向心加速度大小相等C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小一.知识总结1．圆周运动相关物理量3.匀速圆周运动与变速圆周运动的区别与联系匀速圆周运动变速圆周运动运动特点线速度的大小不变，角速度、周期和频率都不变，向心加速度的大小不变线速度的大小、方向都变，角速度变，向心加速度的大小、方向都变，周期可能变也可能不变受力特点所受到的合力为向心力，大小不变，方向变，其方向时刻指向圆心所受到的合力不总指向圆心，合力产生两个效果：①沿半径方向的分力F n，即向心力，它改变速度的方向；②沿切线方向的分力F t，它改变速度的大小运动性质非匀变速曲线运动(加速度大小不变，方向变化)非匀变速曲线运动(加速度大小、方向都变化)二. 圆锥摆模型及其临界问题1.圆锥摆模型的受力特点受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
2．运动实例运动模型向心力的来源图示飞机水平转弯火车转弯圆锥摆物体在光滑半圆形碗 内做匀速圆周运动3．解题方法(1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。
(2)确定圆心和轨道半径。
(3)应用相关力学规律列方程求解。
4．规律总结 (1)圆锥摆的周期如图摆长为L ，摆线与竖直方向夹角为θ。
受力分析，由牛顿第二定律得：mg tan θ＝m 4π2T 2rr ＝L sin θ解得T ＝2πL cos θg ＝2πh g 。
(2)结论①摆高h ＝L cos θ，周期T 越小，圆锥摆转得越快，θ越大。
②摆线拉力F ＝mgcos θ，圆锥摆转得越快，摆线拉力F 越大。
③摆球的加速度a ＝g tan θ。
课题：圆锥摆模型及其临界问题导学案-河北省涞水波峰中学高三物理复习
波峰中学高三物理学案年级：高二学科：物理导学案编号： 11号编写人：李源审核人：卢超姓名：做对的事情比把事情做对重要课题：圆锥摆模型及其临界问题【学习目标】1、圆锥摆模型及其临界问题2、生活中的圆周运动，火车拐弯和拱形桥【重点】1、圆锥摆模型及其临界问题【难点】圆锥摆模型及其临界问题1.圆锥摆模型的受力特点受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
2．运动实例运动模型向心力的来源图示飞机水平转弯火车转弯圆锥摆物体在光滑半圆形碗内做匀速圆周运动3(1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。
(2)确定圆心和半径。
(3)应用相关力学规律列方程求解。
4．规律总结(1)圆锥摆的周期如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。
受力分析，由牛顿第二定律得：mg tanθ＝m4π22r r＝L sinθ解得T＝2πL cosθg ＝2πhg。
(2)结论①摆高h＝L cosθ，周期T越小，圆锥摆转的越快，θ越大。
②摆线拉力F＝mgcosθ，圆锥摆转的越快，摆线拉力F越大。
③摆球的加速度a＝g tanθ。
5．圆锥摆的两种变形变形1：具有相同锥度角(长度不同)的圆锥摆，如图甲所示。
由a＝g tanθ知A、B的向心加速度大小相等。
由a＝ω2r知ωA<ωB，由a＝v2r知v A>v B。
变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。
由T＝2πhg知摆高h相同，则T A＝T B，ωA＝ωB，由v＝ωr知v A>v B，由a＝ω2r知a A>a B。
例1、如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10 m/s2，结果可用根式表示)，问：(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角α＝60°，则小球的角速度ω′为多大？。
圆锥摆模型全透视
精心整理圆锥摆模型全透视一、圆锥摆模型：1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。
2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。
两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。
二、常规讨论：1． 向心力和向心加速度：设摆球的质量为m ，摆线长为l度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。
n n ma F =，θπθωθθsin )2(sin sin tan 222l T m l m l v m mg ====θtan g a n =2． ，当θ角未知时F F n sin /θ=3． ghg l T πθπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。
4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2R m mg =有Rg2cos ωθ=，ω增大，θ增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。
三、典型实例：例1：将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。
若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
θωθsin tan 2R m mg =，故Rg2cos ωθ=，圆周平面距碗底的高度为2cos ωθgR R R h -=-=。
若角速度ω增大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。
点评：例2：圆锥筒内壁的A 处有一质量为m 回旋半径，向心力分别如何变化？解析：小球受两个力mg 、F N ，m mg 2cot ωθ=变，回旋半径r 减小，小球到锥底的高度降低。
点评：本题区别于例1例3：一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，顶角为600一速圆周运动，绳解析：0230sin 30tan L v m =，求得小球的线速度为小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图示，用正交分解法解题，在竖直方向mgF F N =+0030sin 30cos ，在水平方向0230sin 30cos 30sin L v m F F N =-，解得mg F 033.1=。
圆锥摆及其变形
.“圆 锥 摆”及 其 变 形江苏省木渎高级中学（215101）郁建石细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”， 如图[1]所示。
“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。
下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。
一、受力分析如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做 匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力T 两个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指 向圆周运动的圆心O ′，它作为小球做匀速圆 周运动的向心力。
若悬线长为l ，小球的质量 为m ，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力 F ＝mg tan α。
二、角速度根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tan α＝m ω2r ，其中r ＝l sin α，代入整理，得到其角速度：ω＝αcos l g。
根据这一表达式，进行如下讨论：①当悬线长度l 一定时，ω∝αcos 1，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角速度ω的增大而增大。
m.②若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l 和cos α的乘积l cos α相同，则角速度ω就相同，乘积l cos α实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。
即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度l 各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。
③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。
当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝lg，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。
即只有当ω＞lg时，悬线才会被拉直，小球在 水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜lg，小球不会在水平面内做圆 锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直 杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动， 如图[2]所示）。
高中物理圆锥摆模型结论
高中物理圆锥摆模型结论
哇塞！高中物理的圆锥摆模型？这可真是个让人又爱又恨的家伙！
咱们先来说说这个圆锥摆模型到底是啥样儿的。
想象一下，有个小球被一根绳子拴着，然后在水平面上转圈圈，就像个快乐的小舞者，这小球运动的轨迹不就形成了一个圆锥的样子嘛！
那这个模型能得出啥结论呢？首先呀，小球受到的向心力可不简单！绳子的拉力在水平方向的分力就提供了这个向心力，难道这还不神奇吗？
比如说，绳子越长，小球转得就越慢，这就好像放风筝，线长了，风筝反而飞得没那么快，难道不是吗？还有啊，小球的质量越大，转起来就越费劲，这跟胖的人跑步更累不是一个道理吗？
再想想，如果绳子的拉力突然变大或者变小，那小球的运动状态不就得乱套啦？这就好比正在跳舞的人，突然被人用力拉了一下或者推了一下，舞步能不乱吗？
而且，这个圆锥摆模型在实际生活中也有好多应用呢！像游乐场里的旋转飞椅，不就是圆锥摆模型的放大版吗？还有那些杂技演员表演的空中飞人，他们在空中旋转的轨迹，不也能跟圆锥摆模型联系起来吗？
总之，高中物理的圆锥摆模型虽然有点复杂，但是仔细想想，还真是充满了趣味和奥秘。
它不仅能让我们更深入地理解物理知识，还能让我们发现生活中好多有趣的现象都能用它来解释。
所以呀，我们可不能小瞧了这个圆锥摆模型，它可真是个隐藏在物理世界里的小宝藏呢！。
圆锥摆及其变形
“圆 锥 摆”及 其 变 形江苏省木渎高级中学（215101）郁建石细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”， 如图[1]所示。
“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。
下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。
一、受力分析如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做m匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力T 两个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指 向圆周运动的圆心O ′，它作为小球做匀速圆 周运动的向心力。
若悬线长为l ，小球的质量 为m ，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力 F ＝mg tan α。
二、角速度根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tan α＝m ω2r ，其中r ＝l sin α，代入整理，得到其角速度：ω＝αcos l g。
根据这一表达式，进行如下讨论：①当悬线长度l 一定时，ω∝αcos 1，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角速度ω的增大而增大。
- 1 -②若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l 和cos α的乘积l cos α相同，则角速度ω就相同，乘积l cos α实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。
即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度l 各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。
③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。
当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝lg，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。
即只有当ω＞lg时，悬线才会被拉直，小球在 lg，小球不会在水平面内做圆 水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜- 2 -锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直 ω杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动， 图[2]如图[2]所示）。
开“芯”技法——巧用两类圆锥摆的结论
开“芯”技法——巧用两类圆锥摆的结论湖北 王义龙分析计算圆周运动相关问题时，常会遇到由重力和弹力(可以是支持力，也可以是绳子的拉力)的合力提供向心力，且在水平面上做匀速圆周运动的一类问题——圆锥摆运动问题，掌握圆锥摆运动特征可以快速解决这一类圆周运动问题。
下面将两种最常见的圆锥摆运动剖析如下。
类型一、高度相同的圆锥摆具有相同的周期例1 如图1所示，质量分别为m 、M 的A 、B 两小球用细线悬挂于同一点，它们在同一水平面上做圆周运动，细线与竖直方向的夹角分别为θ、β，两细线的长度分别为l 、L 。
解析 由图可知，由于A 、B 两球在同一水平面上做匀速圆周运动，根据两小球的受力情况可知，提供它们做圆周运动的向心力分别为：F n A ＝mg tan θ，F n B ＝Mg tan β 由牛顿第二定律F a m=可得两小球的向心力加速度分别为：a n A ＝g tan θ，a n B ＝g tan β 由圆周运动规律2224πr a r T ω==可得：2T = 由题图可知：r A ＝h tan θ，r B ＝h tan β；解得：2A B T T == 结论 高度相同的圆锥摆具有相同的运动周期，且运动物体的周期只与圆锥摆的高度的二次方根成正比，而与其质量及悬线的长度无关。
类型二、锥度角相同的圆锥摆具有相同的加速度例2 如图2所示，质量分别为m 、M 的A 、B 两小球用细线悬挂于同一点，它们在不同的水平面上做匀速圆周运动，两细线与竖直方向的夹角均为θ，且它们的长度分别为l 、L 。
解析 由图可知，由于A 、B 两小球做匀速圆周运动过程中，悬线与竖直方向的夹角相同，它们做圆周运动的向心力分别为：F n A ＝mg tan θ，F n B ＝Mg tan θ 由牛顿第二定律F a m=可得两小球的向心加速度分别为： a n A ＝a n B ＝g tan θ。
图1 图2结论 相同锥度角的圆锥摆具有相同的加速度，且运动物体的向心加速度只与圆锥摆的锥度角的正切值成正比，与其质量与悬线的长度无关。
圆锥摆变形记之“双线圆锥摆”
圆锥摆变形记之 双线圆锥摆高安强(临沂华盛教育集团ꎬ山东临沂２７６０１７)摘㊀要:圆锥摆是圆周运动的重要物理模型ꎬ根据双线圆锥摆的绕线方式分成四类ꎬ并对每一类进行方法提升和总结.关键词:双线圆锥摆ꎻ向心力ꎻ临界角速度中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２２－０１２７－０３收稿日期:２０２３－０５－０５作者简介:高安强(１９７７.９－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀圆锥摆[１]是高中的圆周运动的重要物理模型ꎬ圆锥摆的变形较多ꎬ例如光滑漏斗内壁圆锥摆㊁粗糙漏斗内壁圆锥摆㊁粗糙漏斗外壁圆锥摆㊁光滑漏斗外壁挂绳圆锥摆㊁双线圆锥摆等等.很多初学者在学习圆锥摆时ꎬ因为圆锥摆及其变形内容繁多ꎬ理不清头绪而至烦恼不已ꎬ为了解决初学者的这些困扰ꎬ下面就对圆锥摆的变形之一 双线圆锥摆进行讨论和总结.１双线在两边如图１ꎬ两绳在水平方向的分力之差充当向心力ꎻ竖直方向的分力与重力的合力等于零.图１㊀双线在两边例题１㊀如图１所示ꎬ在固定的竖直杆上固定水平杆ꎬ二杆垂直ꎬ把两根轻绳初端系在水平杆的Ｏ㊁Ａ两点ꎬ两绳的末端都系在同一个小球上ꎬ小球的质量为ｍꎬ并且ＯＡ＝ＯＢ＝ＡＢ＝ｌꎬ现让竖直杆匀速转动ꎬ三角形ＯＡＢ始终在竖直平面内ꎬｇ为重力加速度ꎬ不计空气阻力ꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).Ａ.当杆转动角速度增加时ꎬＯＢ绳上的拉力变大和ＡＢ绳上拉力减小Ｂ.两绳都拉直的角速度的范围为０ɤωɤ２ｇｌＣ.两绳都拉直的角速度的范围为０ɤωɤ３ｇｌＤ.若转动的角速度ω２＝２ｇｌꎬＯＢ绳上的拉力大小为ＦＯＢ＝２ｍｇ解析㊀Ａ:对小球受力分析ꎬ则水平方向:ＦＯＢｃｏｓ６０ʎ－ＦＡＢｃｏｓ６０ʎ＝ｍｌｃｏｓ６０ʎω２①竖直方向:ＦＯＢｓｉｎ６０ʎ＋ＦＡＢｓｉｎ６０ʎ＝ｍｇ②７２１由①②两式解得ＦＡＢ＝３ｍｇ３－１２ｍｌω２ＦＯＢ＝３ｍｇ３＋１２ｍｌω２当杆转动角速度ω增加时ꎬＯＢ绳上的拉力变大和ＡＢ绳上拉力减小ꎬ故选项Ａ正确ꎻＢＣ:根据圆锥摆的受力特点ꎬｍｇｔａｎ３０ʎ＝ｍｌｓｉｎ３０ʎω２得ω＝ｇｌｃｏｓ３０ʎ＝２３３时ꎬＡＢ绳子只是拉紧ꎬ拉力刚好等于零故两绳都拉直的角速度的范围为０ɤωɤ２３３ꎬＢＣ错ꎻＤ:若转动的角速度ω２＝２ｇｌꎬＡＢ绳子的弹力３３ｍｇ＋ｍｇꎬ选项Ｄ错.答案:Ａ２一线的拉力或一线拉力竖直方向的分力等于摆球的重力㊀㊀(１)如图２(ａ)所示ꎬ在角速度变化的过程中ꎬ因为绳ａ上的拉力大小不变ꎬ大小等于ｍｇꎻ绳ｂ上的拉力充当向心力.(２)如图２(ｂ)所示ꎬ绳上的拉力大小不变ꎬ竖直方向的分力等于重力ꎻ水平分力和筒壁的支持力的合力充当向心力ꎻ当然筒壁的支持力可能等于零.图２㊀竖直方向拉力或拉力的分力与重力平衡例题２㊀如图３所示ꎬ竖直圆桶的内壁光滑ꎬ绕中心轴做匀速圆周运动ꎬ轻绳的另一端系于圆桶上表面圆心ꎬ另一端系有一个质量为ｍ的物体ꎬ且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动ꎬ轻绳与竖直方向的夹角等于６０ʎꎬ轻绳的长度等于２ｍꎬ物块的质量等于１ｋｇꎬ则(㊀㊀).Ａ.小物块圆周运动的向心力等于绳子水平方向的分力Ｂ.当ω＝１０ｒａｄ/ｓ时ꎬ桶对物块的弹力等于为零Ｃ.当ω＝２０ｒａｄ/ｓ时ꎬ绳子的拉力等于２０ＮＤ.当ω＝２０ｒａｄ/ｓ时ꎬ筒壁的弹力等于３９０Ｎ图３㊀例２题图解析㊀Ａ:小物块圆周运动的向心力等于绳子沿着水平方向的分力和筒壁的弹力之和ꎬ故Ａ错ꎻＢ:根据圆锥摆的受力特点ｍｇｔａｎθ＝ｍｌｓｉｎθω２得ꎬω＝ｇｌｃｏｓθꎬ当角速度ω＝ｇｌｃｏｓθ＝１０２ˑ１２＝１０ｒａｄ/ｓ时ꎬ筒壁的弹力等于零ꎬＢ正确ꎻＣ:当角速度ωȡ１０ｒａｄ/ｓ时ꎬ绳子上的拉力不变ꎬ根据Ｆｃｏｓ６０ʎ＝ｍｇꎬ解得Ｆ＝２ｍｇꎬ故Ｃ正确ꎻＤ:向心力的大小等于Ｆｓｉｎθ＋ＦＮ＝ｍｌｓｉｎθω２ꎬ代入数据解得ＦＮ＝３９０３Ｎꎬ故Ｄ错误.答案:ＢＣ３双线在一边双线圆锥摆如图４(ａ)㊁图４(ｂ)㊁图４(ｃ)所示ꎬ三种情况下的临界状态都可以利用离心趋势找出来.(１)当转轴不转动时ꎬ图４(ａ)㊁图４(ｂ)㊁８２１图４(ｃ)ꎬ三种情况下的小球都会紧靠在转轴上ꎬ此时ＡＣ绳拉紧而ＢＣ绳松弛.小球不离开转轴.图４㊀双线在一边当０ɤωɤｇＬ１ｃｏｓα时ꎬ图４(ａ)㊁图４(ｂ)㊁图４(ｃ)中的小球开始离开转轴ꎬ且只有ＡＣ绳拉紧ꎬ而ＢＣ绳松弛.(２)在图４(ａ)㊁图４(ｃ)中ꎬ当ω>ｇＬ１ｃｏｓα时ꎬ两绳都张紧.(３)在图４(ｂ)中ꎬ当ｇＬ１ｃｏｓα<ω<ｇＬ２ｃｏｓβ时ꎬＡＣ㊁ＢＣ两绳都张紧ꎻ当ω>ｇＬ２ｃｏｓβ时ꎬＡＣ绳松弛ꎬＢＣ绳张紧ꎻ例题３㊀如图５(ａ)所示ꎬ竖直细杆下端固定在位于地面上的水平转盘上ꎬ一质量为ｍ的１ｋｇ小球接上长度均为Ｌ＝２ｍ不可伸长的两相同的轻质细线ａ㊁ｂꎬａ细线的另一端结在竖直细杆顶点Ａꎬ细线ｂ的另一端结在杆的中点ＢꎬＡＢ长度为ｌ＝Ｌ.当杆随水平转盘绕竖直中心轴匀速转动时ꎬ将带动小球在水平面内做匀速圆周运动ꎬ如图５(ｂ).不计空气阻力ꎬ重力加速度为ｇ.则(㊀㊀).图５㊀例３题目Ａ.杆转动的角速度时ω＝２ｇ３ｒａｄ/ｓꎬｂ绳上的拉力等于零Ｂ.当细线ｂ刚好拉直时ꎬ杆转动的角速度ω＝２ｇＣ.当ω＝２ｇ时ꎬａ绳上的拉力等于(２０３３＋１０)ＮＤ.当ω＝２ｇ时ꎬｂ绳上的拉力等于(４０３３－２０)Ｎ解析㊀ＡＢ:根据圆锥摆的受力特点ｍｇｔａｎ６０ʎ＝ｍＬｓｉｎ６０ʎω２ꎬ当细线ｂ刚好拉直时ꎬω＝ｇＬｃｏｓ６０ʎ＝２ｇＬ＝ｇꎬ故选项Ｂ错误ꎻ因为ω＝２ｇ３ｒａｄ/ｓ<ｇꎬ故ｂ绳还没有被拉直ꎬ故ｂ绳上的拉力等于零ꎬＡ选项正确.ＣＤ:对摆球受力分析如图５(ｃ)所示ꎬ列方程Ｆａｃｏｓ３０ʎ＋Ｆｂｃｏｓ３０ʎ＝ｍＬｓｉｎ６０ʎω２①Ｆａｓｉｎ３０ʎ＝Ｆｂｓｉｎ３０ʎ＋ｍｇ②解得两绳上的拉力等于Ｆａ＝３０ＮＦｂ＝１０Ｎ故ＣＤ错.答案:Ａ解答双线圆锥摆的关键还是对摆球受力分析清楚ꎬ建立坐标系ꎬ在建立坐标系时ꎬ要注意两轴的方向ꎬ一定要有一个轴指向圆心ꎬ这样求出这个轴上的合外力即为向心力ꎬ另一个轴上合外力等于零.另外需要明确两个绳子出现和消失拉力的临界点.参考文献:[１]张颖ꎬ梁旭.普通高中教科书 物理必修:第二册[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１９:３２.[责任编辑:李㊀璟]９２１。
圆锥摆模型结论
圆锥摆模型结论
圆锥摆模型是用来描述圆锥摆运动的数学模型。
圆锥摆是一种摆设，其中摆锤是一个圆锥形的重体，摆锤围绕着一根长杆进行运动。
圆锥摆模型的结论主要有以下几点：
1、圆锥摆的周期与摆锤的质量、长杆的长度和摆锤与长杆的角度有关。
质量越大、长杆越长或角度越大，周期就越长。
2、圆锥摆的周期与圆锥摆的质量无关。
3、圆锥摆的周期与圆锥摆的初始角度有关。
初始角度越大，周期就越短。
4、圆锥摆的角速度是常数，与摆锤的质量、长杆的长度和摆锤与长杆的角度无关。
5、圆锥摆的角加速度为负，与摆锤的质量、长杆的长度和摆锤与长杆的角度有关。
质量越大、长杆越长或角度越大，角加速度就越大。
这些结论可以帮助我们理解圆锥摆的运动规律，并为控制圆锥摆的运动提供
参考。
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“圆 锥 摆”及 其 变 形
江苏省木渎高级中学（215101）郁建石
细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”， 如图[1]所示。
“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。
下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。
一、受力分析
如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做 匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力T 两个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指 向圆周运动的圆心O ′，它作为小球做匀速圆 周运动的向心力。
若悬线长为l ，小球的质量 为m ，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力 F ＝mg tan α。
二、角速度
根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tan α＝m ω2r ，其中r ＝l sin α，代入整理，得到其角速度：ω＝α
cos l g。
根据这一表达式，进行如下讨论：
①当悬线长度l 一定时，ω∝α
cos 1，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角
速度ω的增大而增大。
②若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l 和cos α
的乘积
m
l cos α相同，则角速度ω就相同，乘积l cos α实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。
即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度l 各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。
③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。
当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝
l
g
，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。
即只有当ω＞
l
g
时，悬线才会被拉直，小球在 水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜
l
g
，小球不会在水平面内做圆 锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直 杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动， 如图[2]所示）。
三、变形
根据圆锥摆的受力特点和运动特点，可以将其进行如下几种变形：
1、小球沿一个倒置的光滑圆锥面的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图[3]所示。
受力分析：这时小球在重力G 和圆锥面对它的支持 力N （相当于圆锥摆中悬线的拉力T ）的合力F 提供小 球做匀速圆周运动的向心力。
与圆锥摆比较：由于圆锥面的顶角θ为一定值，根
据F ＝mg ctg 2θ＝ma ，得小球的向心力速度a ＝g ctg 2θ，
可知所有在此圆锥面内做匀速圆周运动的小球，都具有
相同大小的加速度；再由向心加速度公式：a ＝r
v 2
＝ω2r ，可知小球圆周运动的轨道
半径r 越大（即离开圆锥顶点O 越远），线速度v 越大，角速度ω越小。
图[2]ω
图[3]
3、细线一端系一小球，另一端固定于光滑圆锥面 的顶点，小球在水平面内做圆周运动，如图[4]所示。
受力分析：小球共受到三个力的作用：小球的重力 G 、细线对它的拉力T 和圆锥面对它的支持力N 。
这三 个力的合力提供小球做圆周运动的向心力。
与圆锥摆比较：当角速度ω较小时，小球将沿圆锥 面运动，此时分别将N 和T 分解到水平方向和竖直方向， 列出方程：水平方向 T sin
2θ－N cos 2θ＝m ω2r ，竖直方向 T cos 2θ+N sin 2
θ
－mg ＝0 。
不难看出，随着角速度ω的增大，圆锥面对小球的支持力N 将减小；当角速度ω增大到ω＝
2
cos
θ
l g 时，圆锥面对小球的支持力N 将减小到0，这是一个临界状态；如
果继续增大角速度ω，小球将脱离圆锥面运动，这时其规律与圆锥摆就没有区别了。
如果将这种情况中的圆锥面去掉，而紧贴 着小球的运动平面加一个光滑水平面，如图[5] 所示。
小球在水平面内做匀速圆周运动时的受 力情况、运动情况以及临界状态的分析，都同 这种情况相似；所不同的是将原来的圆锥面对 小球斜向上的支持力，改成现在水平面对小球 竖直向上的支持力而已。
3、用两根细线，其一端系着一个小球，另一端系在一根匀速转动的竖直杆上的两点上，小球在水平面内做匀速圆周运动，如图[6]所示。
受力分析：小球共受到三个力的作用：小球的重力G 、细线AB 对它的拉力T 1和细线BC 对它的拉力T 2。
这三个力的合力提供小球做圆周运动的向心力。
图[4]
图[5]
与圆锥摆比较：①当角速度ω较小，即当ω＜
l
g
时，小球不会在水平面内做圆周运动，此时两根细线小球将均缠绕在竖直杆上，小球随杆一起转动，如图[7]所示。
②当角速度ω在下列范围：
l g ＜ω＜α
cos l g ，细线AB 将被拉紧，而细线BC 则处于松弛状态，这时情形与原始的圆锥摆相同，如图[8]所示。
③当角速度ω＞
α
cos l g
时，两根细线都将被拉紧，也就是象图[6]中的情形了。
有兴趣的同学还可以进一步讨论：这时细线AB 和BC 哪根线上拉力较大？如果两根细线的规格是相同的，则随着角速度ω的不断增大，哪根细线先断？断了以后再增大角速度ω，又会出现什么情况？等等。
另外，还可把圆锥摆问题放到电场、磁场中去，这时只要再原来的基础上再加上电场力或者磁场力就行了，限于篇幅，这里就不再细述了。
图[6]
G 图[8]
图[7]
ω。