第五章第三节

课时提升作业（三十二）一、选择题1. 已知等比数列｛a n｝的公比q=2,其前4项和S=60,则a2等于（）(A)8 (B)6 (C)-8 (D)-62.(2019 •吉安模拟）已知a1,,,吐a-an…是首项为1,公比为2的等比数列，则数列｛a n｝的第100项等于( )(A)2 5050(B)2 4950(C)2 100(D)2 993.在正项等比数列｛a n｝中,a 1,a 19分别是方程x -10x+16-0 的两根,则a8 • a10 • a12 等于( )(A)16 (B)32 (C)64 (D)2564.设等比数列｛a n｝的公比q=2,前n 项和为S,则「的值为（）(A) (B) (C)（D）_5.(2019 •沈阳模拟)已知数列｛a n｝满足log 3a n+1=log 3a n+1(n € N+)且a2+a4+a6=9,则lo - (a 5+a?+a9)的值是( )(A)-5 (B)-(C)5 (D)6. 设等比数列｛a n｝的前n 项和为S,若a2oi9=3S oio+2O19,a 2OIO=3S OO9+2O19,则公比q=( )(A)4 (B)1 或4 (C)2 (D)1 或27. 公差不为零的等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a4是a3与a y的等比中项$8=32,则S io等于()(A)18 (B)24 (C)60 (D)9068. (20 13 •汉中模拟)在等比数列｛a n｝中,a 6与a?的等差中项等于48,a 4a5a6a?a8a9a10=128 .如果设数列｛a n｝的前n项和为S,那么S=( )(A)5n-4 (B)4 n-3(C)3 n-2 (D)2 n-1、填空题9. (2019 •广东高考)若等比数列｛a n｝满足a2a4=,则a i ^5= .2 d ----------------------------10. 已知等比数列｛a n｝的首项为2,公比为2,则- = .11. (能力挑战题)设数列｛a n｝的前n项和为S n,已知a i=1,S n+i=2S+n+1(n € Nk),则数列｛a n｝的通项公式三、解答题12. (2019 •宝鸡模拟)已知数列｛a n｝满足:a 1=2,a n+1=2a n+1.(1) 证明：数列｛a n+1｝为等比数列.(2) 求数列｛a n｝的通项公式•13. (2019 •西安模拟)已知数列｛a n｝的首项为a1=1,其前n项和为S n,且对任意正整数n有n,a n,S n成等差数列•(1) 求证:数列｛S n+ n+2｝成等比数列.(2) 求数列｛a n｝的通项公式.14. (能力挑战题)已知｛a n｝是各项均为正数的等比数列，且a计a2=2( < ),111a3+a4+a5=64( + + ),和龟零(1) 求｛a n｝的通项公式•2(2) 设b n=(a n+ ),求数列｛b n｝的前n项和T n.215. (能力挑战题)设一元二次方程a n x -a n+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根a和B ,且满足6 a -2 a 3 +6 3 =3.(1)试用a n表示a n+1.⑵求证：数列｛a n- ｝是等比数列.(3) 当a1=时，求数列｛a n｝的通项公式.答案解析1.【解析】选A.S4=60,q=2 ? _ =60 ? a1=4, •'a2=a 1q=4 X2=8.2. 【解析】选B.假设a o=1,数列｝的通项公式是=2n-1.fln-i ftn-i所以a ioo=a i ................................ =20+1+…+99=24950.3. 【解析】选C.根据根与系数的关系得a i a i9=16,由此得a io =4,a 8a 12=16,故a8 a io a i2 =64.4. 【解析】选A「= -= ==.a s a4q a (1-cOq1 -4 *5. 【思路点拨】根据数列满足Iog3a n+1=log 3a n+i (n 3+)且a2+a4+a6=9可以确定数列是公比为3的等比数列再根据等比数列的通项公式即可通过a2+a4+a6=9求出a5+a?+a9的值.【解析】选 A.由Iog3a n+1=log 3a n+i(n 3+),得a n+i =3a n,又因为a n>0,所以数列｛a n｝是公比为3的等比数列，a5+a7+a9=(a2+a4+a6)X3 3=35,所以Io3'g(a5+a7+a9)=-log 335=-5.I6. 【解析】选A.由a2oi9=3S 2oio+2O19,a 2010 =3S2009+2019 两式相减得a2oi8- a2oio=3 a2oio,即q=4.7. 【解析】选C.由■蜀=a3a7得(a i+3d)2=(a i+2d)(a i+6d),又因为公差不为零，所以2a i+3d=0,再由S8=8a i+ d=32 得2a i+7d=8,则d=2,a i=-3,所以S i0=10a i+—d=60.故选 C.8. 【解析】选D.设等比数列｛a n｝的公比为q,由a6与a7的等差中项等于48,得a6+a7=96,即a i q5(1+q)=96, ①由等比数列的性质，得a4a io=a5a9=a6a8=「：］,因为a4a5a6a7a8a9a io=128 6,则- =128 6=(26)7,即 a 1q 6=2 6,②由①②解得a i=1,q=2,J-2n•'S n = =2 n-1,故选D.【解析】••• a 2a 4=_, = ' = _,答案：10. 【解析】由题意知 a n =2n ,-n+L=22=4. 答案：411. 【解析】••• S n+1 =2S n + n+1,当 n 汽 时 S n =2S n-l + n, 两式相 减得:a n+1=2a n + 1, -a n+1 +1=2(a n +1),又 S 2=2S 1 +1+1,a 1=S 1=1, ^2=3,工「=2,“彳丄••｛a n +1｝是首项为2,公比为2的等比数列 •6+1=2 n 即 a n =2n -1(n 讯+). 答案：2n -1【方法技巧】含S n ,a n 问题的求解策略 当已知含有S n+1,S n 之间的等式时，或者含有S n ,a n 的混合关系的等式时，可以采用降级角标或者升级角标的 方法再得出一个等式，两个等式相减就把问题转化为数列的通项之间的递推关系式 12.【解析】（1/ 「= 一 ' =2,*n+l a n +l所以｛a n + 1｝是以2为公比的等比数列.⑵ 由(1)知 a n +仁(a 1+1) X2n-1,所以 a n =3 疋n-1-1.13. 【解析】(1)因为n,a n ,S n 成等差数列 所以 2a n =S n +n,9. 【思路点拨】本题考查了等比数列的性质:已知 m,n,p €N +,若 m+n=2p,贝U a m a n F*.所以281 + 02+-•+如一云®®fin+1=2.当n 丝时,a n =S n-S n-1 ,所以2(S n-S n-1 )=S n + n,即S n=2S n-1+ n(n 支)，所以S n+ n+2=2S n-1 +2n+2 =2[S n-1+(n-1)+2].又S1+2-1+2=4 和,所以所以数列=2,｛S n+n+2｝成等比数列⑵由(1)知｛S n+ n+2｝是以4为首项,2为公比的等比数列所以S n+ n+2=4 2n-1 =2n+1,又2a n= n+S n,所以2a n+2=2 n+1,所以a n=2 n-1.14. 【思路点拨】(1)设出公比q,根据条件列出关于a1与q的方程组求得a1与q,即可求得数列的通项公式(2)由(1)中求得数列的通项公式，可求出｛b n｝的通项公式，由其通项公式可知分开求和即可•【解析】(1)设公比为q,则a n=a1q n-1.由已知得衣 1 + 砌q = 2( I ) I+佥声+3^* = 64(斋+古+占汶化简得又a1>0,故q=2,a 1=1,所以a n=2n-1.(2) 由(1)得b n=(a n+「)2=站2+古数学试卷=4 n -1+^_+2 4n-ft所以 T n =(1+4+ …+4n-1 )+(1+ + …+)+2n4 4n_i f-4p i-捞门= ----- + 丄 +2n1-4 1—=(4n -41-n )+2 n+1.15. 【解析】(1) •••一元二次方程a n x 2-a n+i x+1=0(n=1,2,3,…)有两根a 和即 a n+1 = a n + .23当 a n - =0,即 a n =时,HJ此时一元二次方程为 x 2- x+仁0 即 2x 2-2x+3=0, Vz=4-24<0,•••不合题意,即数列｛a n - ｝是等比数列.⑶由⑵知:数列｛a n - ｝是以a 1-=-=为首项,公比为 的等比数列2 i J 2••an -. = _X_) =(J n ,rJ 2即 a n =( )n + ,•••数列｛a n ｝的通项公式是a n =( )n + .【变式备选】定义:若数列｛A n ｝满足A n+1*；：,则称数列｛A n ｝为“平方递推数列” •已知数列｛a n ｝中,a 1=2,点(a n ,a n+1)由根与系数的关系易得a '•6 a -2 a +6 3=3,+萨仏n1 2 (2) '.a n+1 = a n + ,\ /23当a n -.和时,an+a~ 1在函数f(x)=2x 2+2x的图像上，其中n为正整数.⑴证明：数列｛2a n+1｝是“平方递推数列”且数列｛lg(2a n+1)｝为等比数列.⑵设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为T n,即T n=(2a i+1)(2a 2+1)…(2a n+1),求数列｛a n｝的通项公式及T n 关于n的表达式.【解析】(1)由条件得:a n+i =2_[+2a n,•'2a n+i +1= 4 狂：+4a n+1= (2a n+1)2,••｛2a n+1｝是“平方递推数列” '•lg(2a n+1+1)=2lg(2a n+1),D =2,••{lg(2a n+1)}为等比数列.⑵-.lg(2a1+1)=lg5,••|g(2a n+1)=lg5 2n-1,rll—iL J^11—fl••2a n+1 = _ ,「a n= (_ -1).■•lgT n=lg(2a 1+1)+lg(2a 2+1)+ …+lg(2a n+1)=(2n-1)lg5,1—2。