01 第一节 不定积分的概念与性质
高等数学 第五章 第1节 不定积分的概念与性质(中央财经大学)
定义
定理
, I )( 则它上的原函数存在在区间若x f 则它的所的一个原函数为若 , )( )( x f x F
. )( 的形式有原函数可表示为C x F +
) . ,(为任意常数其中C
.仅相差一个常数的任意两个原函数之间
结论结论结论
定义上的全体原函数的集合
在区间 I )(x f }
I , )()( | )({∈=′x x f x F x F 记为
上的不定积分在称为 , I )( x f ) ( )(d )(为任意常数C C x F x x f +=∫的一个原函数；
为其中 )( )( ,x f x F 称为被积表达式；称为被积函数 d )( , )(x x f x f 称为不定积分号；∫
. 称为积分常数C 一. 不定积分的概念
性质 1
),()d )((x f x x f =′∫,
d )(d )(d x x f x x f =∫,
)(d )(C x f x x f +=′∫
∫
+=.)()(d C x f x f
逆运算三.不定积分的基本性质
性质 2
则
设 (I),)( ),( 21R x f x f ∈,d )(d )(d )]()([2121∫∫∫+=+x x f b x x f a x x bf x af
. , ,为常数其中b a
.函数的和的形式该性质可推广至有限个
线性性质
解
解
解
利用加一项、减一项的方法.
解
利用加一项、减一项的方法.
解
部分分式法
解
下面看另一种解法
.
解
两个解法答案不同，你
有何想法？
利用平方差公式解
解
1。
ppt-0401--不定积分的概念与性质
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
微积分--不定积分
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第四节 几种特殊类型函数的积分
设Pm(x)和Qn(x)分别是m次和n次实系数多项式,则
形如
Pm ( x ) Qn ( x )
的函数称为有理函数.当m<n时,称为真分式,否则称 为假分式.
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最简真分式(其中A、B为常数)：
(1) A xa A ( x a)
2 k
( a为常数); ( k 1为整数，a为常数); ( p, q为常数, 且p 4q 0)
2
1 x 1
2
x 1是
1 x 1
2
在(1,)内的一个原函数 .
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一个函数具有原函数时,它的原函数 不止一个 .
定理1(原函数存在性定理) 如果函数f(x)在区间I上连 续,则在区间I上存在可导函数F(x),使对任意x∈I,都有 F(x)=f(x)．
定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则在区间 I上f(x)的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C(C为任 意常数)的形式 . 证 (1)已知F(x)是f(x)的一个原函数,故F(x)=f(x)． 又[F(x)+C]= F(x)= f(x),
x a x a
2 2
1
ln | sec t tan t | C , ln | | C
a x a | C
2 2
ln | x
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例21 解
求
dx x 2x 3
2
.
x
dx
2
2x 3
( x 1)
1 2
1
2
( 2)
2
第一节 不定积分的概念与性质
第一节 不定积分的概念与性质一．原函数与不定积分的概念1.原函数的概念引例 设x x f cos )(=',求)(x f . 解 因为x x cos )(sin =',所以c x x f +=sin )(.此时称x sin 为x cos 的一个原函数.定义 如果在区间I 上,可导函数)(x F 的导函数为)(x f ,即I x ∈∀,有 )()(x f x F =' (或dx x f x dF )()(=)则称)(x F 为)(x f (或))(dx x f 在区间I 上的一个原函数.如x arctan 是211x +的原函数;211x +是)1ln(2x x ++的原函数.什么样的函数具有原函数呢?有定理(原函数存在定理) 连续函数必有原函数.即如果函数)(x f 在区间I 上连续,则在区间I 上存在可导函数)(x F ,使得对I x ∈∀,有 )()(x f x F ='即)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数.其证明见289P . 注意 (1)由原函数的定义可知:如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数,则C x F +)(也是)(x f 的原函数,即)(x f 若有原函数,则)(x f 有无限多个原函数.(2)设)(x F 和)(x Φ都是)(x f 在区间I 上的原函数,则)(x F =C x +Φ)(.事实上 0)()()()(])()([=-=Φ'-'='Φ-x f x f x x F x x F所以)(x F C x =Φ-)(,即)(x F =C x +Φ)(.2.不定积分的概念 定义 在区间I 上, )(x f 的原函数的全体,称为)(x f (或))(dx x f 在区间I 上的不定积分,记作⎰dx x f )(.其中:‘⎰’——积分符号; )(x f ——被积函数;dx x f )(—被积表达式;x ——积分变量.显然,如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,则 ⎰dx x f )(C x F +=)(.因此,求)(x f 的不定积分归结于求)(x f 的一个原函数)(x F .如x arctan 是211x +的一个原函数,所以 ⎰+=+C x dx x arctan 112. 又如211x +是)1ln(2x x ++的一个原函数,则=+⎰dx x 211C x x +++)1ln(2.例1 求⎰dx x 1.解 当),0(+∞∈x 时,x x 1)(ln =',所以C x dx x +=⎰ln 1. 当)0,(-∞∈x 时, x x 1])[ln(='-,所以C x dx x +-=⎰)ln(1. 综上,有 C x dx x +=⎰ln 1.例2 设,2cos )(sin x x f ='求)(x f .解 ,c o s 21)(s i n 2x x f -='故221)(t t f -='.因为 2321)32(t t t -='- 所以332t t -是221t -的一个原函数,故 ⎰+-=-C t t dt t 3232)21( 即)(x f =C x x +-332. 例3 设曲线过点)2,1(,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解 设曲线方程为)(x f y =,则x dxdy 2=. 所以C x y +=2.又2|1==x y ,所以C +=12,从而1=C .故所求曲线方程为12+=x y .3.不定积分与微分的关系(1)⎰=dx x f dx x f d )()( 或⎰=')(])([x f dx x f ; (2)⎰+=C x F x dF )()( 或⎰+='C x F dx x F )()(. 即先积后微,形式不变;先微后积,添个常数.二.基本积分表1.⎰+=C kx kdx (k 是常数);2.⎰++=+C x dx x 111μμμ (1-≠μ); 3. C x dx x +=⎰ln 1; 4. ⎰+=+C x dx x arctan 112; 5.⎰+=-C x dx x arcsin 112; 6.⎰+=C x xdx sin cos ;7.⎰+=C x xdx cos sin ; 8.⎰⎰+==C x xdx dx x tan sec cos 122; 9.⎰⎰+-==C x xdx dx x cot csc sin 122;10.⎰+=C x xdx x sec tan sec ;11.⎰+-=C x xdx x csc cot csc ; 12.⎰+=C e dx e x x ; 13.⎰+=C a a dx a x x ln ; 14.⎰+=C chx shxdx ;15.⎰+=C shx chxdx .例4 ⎰⎰+==C x dx x dx x x 2725272.三.不定积分的性质性质1 ⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([. 性质2 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( (k 是常数).例5 求dx xx ⎰-23)1(. 解 原式⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=dx xdx x dx xdx dx x x x 221133)133( C xx x x +++-=1ln 3322. 例6 ⎰⎰++=+==C e C e e dx e dx e xx x x x x 12ln 2)2ln()2()2(2. 例7 ⎰⎰⎰++=+++=+++dx x x dx x x x x dx x x x x )111()1()1()1(122222 ⎰⎰++=++=C x x dx x dx x arctan ln 1112. 例8 ⎰⎰⎰++-=++-=+dx xx dx x x dx x x )111(11)1(1222424 C x x x ++-=arctan 313.例9 ⎰⎰+-=-=C x x dx x xdx tan )1(sec tan 22.例10 ⎰⎰⎰+-=-=-=C x x dx x dx x dx x )sin (21)cos 1(212cos 12sin2. 例11 ⎰⎰⎰+-====C x xdx dx x dx x x cot 4csc 4sin 142cos 2sin 12222.例12 ⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x x dx x x )sec (csc sin cos sin cos sin cos 122222222C x x +-=cot tan .。
不定积分的概念及性质
2 1
x
（２）
x
xdx
3
x 2 dx
2
5
x2
C
.
5
（３）
dx 2gx
1 2g
dx x
例5
1
1
1 1
x 2 C
2g 1 1
2
求下列不定积分:
2gx C ． g
（１）
x 1 x
1
x
dx；（２）
x x
2 2
1 1
dx
则称F(x)为 f (x)的一个原函数．
例 因为(ln x) 1 ，故ln x 是 1 的一个原函数；
x
x
因为(x2) 2x，所以 x2 是2x 的一个原函数，但
(x2 1) (x2 2) (x2 3) 2x ，所以 2x 的原函 数不是惟一的．
原函数说明： 第一，原函数的存在问题：如果 f (x)在某区间连续， 那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明)．
．
解（1）
x 1 x
1 x
dx Nhomakorabeax
x x 1
1 x
dx
x
xdx xdx 1dx
1 dx x
2
5
x2
1
x2
x
1
2x2
C.
52
（２）
x2 x2
1dx 1
x
2 x2
1 1
2
dx
1
做被积表达式，C 叫做积分常数，“ ”叫做积分号．
不定积分的概念与性质
y=x3+1.
三、不定积分的几何意义
【例4】
一物体作直线运动，速度为v(t) 2t 2 1m / s,当t 1s时，物体所经过的 路程为 3m，求物体的运动方程。
解：设物体的运动方程为 s s(t).依题意有 s(t) v(t) 2t 2 1, 所以
7 sinx dx = cosx C ;
8 sec2x dx tanx C ;
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ; 1 x2
11
dx arctanx C ;
1 x2
例2：求下列函数的不定积分
01
1 dx x3
解：
1 dx x3
x 3dx
一、原函数与不定积分
一、原函数与不定积分
定义1
设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x)，使得对 任意x∈I均有
F′(x)=f(x)或dFx=fxdx, 则称函数Fx为fx在区间I上的一个原函数.
例如，因为(sin x)′=cos x,故sin x是cos x的一个原函数.又 如，当x>0时，(ln x)′=1/x，所以ln x是1/x在区间0,+∞上的 一个原函数. 注意：如果函数f(x)有原函数，那么原函数有无数个。
（2）
sin 2
1 x cos2
dx x
解： sin2
1 x cos2
dx x
1 cos2
dx x
1 sin 2
x
dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
dx
不定积分的概念与性质
运动规律 .
x
解 建立如图所示的坐标系. 设质点的
x x(t)
运动规律为 x = x(t)，设质x 点抛出时刻为
x0 x(0)
t
=
0，
t
=
0
时的位置为
x
x0
,
速x(t度) 为
v0
.
O
于是可得
dx
dt
v(t),
x
|t0
x0
,
d2x dt 2
x0 g ,
O
dx dt
t 0
v0
.
x(0) x
原函数称为 f (x) ( 或 f (x)dx ) 在区间 I 上的不定积分，
记作 f (x)dx . 其中
积分号，
f (x)
f (x)dx 被积表达式， x
被积函数， 积分变量.
若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的原函数，则
f (x)dx F(x) C .
第一节 不定积分的概念与性质
f (x)dx F(x) C ,
称 F(x) + C 的图形为 f (x) 的积分曲线. 积分曲线是 一簇平行曲线，它们在横坐标相同的点的切线平行.
例如，y = cos x 的积分曲线如下：
第一节 不定积分的概念与性质
y
O
x0
x
y = cos x 的积分曲线
第一节 不定积分的概念与性质
(2) 积分运算与微分运算是互逆运算
第一节 不定积分的概
例3 求 x(x3 7)dx .
例6 求求 ccooss22 22xxddxx ..
解
x(x3
7
1
第7)一dx节不定(x积2分的7解概x 2念)d与x性co质s2
《高等数学》 第四章
第一节 不定积分的概念及性质
定义 2 函数 f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x) 在 I 上的不定积分，记作
f (x)dx ． 其中，“ ”称为积分号， f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被积表达式， x 称为积分变量．
由定义可知，不定积分与原函数是整体与个体的关系．确切地说，如果 F (x) 是 f (x) 在 I
一可微函数． 具体求积分可按如下方式进行
f (x)(x)dx 凑微分 f (x) d(x) 令u(x) f (u)du F (u) C 回代 F[(x)] C ．
第二节 不定积分的计算
例 1 求 tan xdx ．
解 tan xdx sin x dx d(cos x) 令ucosx du ln | u | C 回代 ln | cos x | C ．
2
x
2
dx
1 4
1 cos 2x 2
1 cos2 4
2x
dx
1 4
dx
1 4
cos
2
x
d(2x)
1 8
cos2
2
x
d(2x)
1 4
x
1 4
sin
2x
1 8
x
1 4
sin
4
x
C
3 x 1 sin 2x 1 sin 4x C ．
84
32
第二节 不定积分的计算
例 3 求下列不定积分．
（3） cos4 xdx ；
2u 2
回代2x3u 1 ln 2x 3 C ． 2
第二节 不定积分的计算
这种积分的基本思想是先凑微分式，再作变量替换 u (x) ，把要计算的积分化为 基本积分公式中所具有的形式，求出原函数后再换回原来的变量．这种积分法通常称 为第一换元积分法或凑微分法．
不定积分的定义和性质-PPT课件
C.
7
例4 求积分 3x e x dx.
2 根据积分公式（2）
解 3x e xdx (3e)xdx l(n3(e3x)ex)dxCx1311xlenx3C C
对被积函数稍加变形，化为指 数函数形式。据公式（13）
(13) axdx ax C; lna
(2) xdxx1 1C (1);
(3) dxxln| x|C;
说明： x
0
dx x
ln
x
C,
x0,[ln(x)] 1 ( x) 1
x
x
dxx ln(x)C,
dx x
ln|
x|
C.
(4) 11x2dxarctanxC; (1 0 ) s e cxta n x d x s e cx C ;
结论能：否微根分据运求算导与公求式不得定出积积分分的公运式算？是互逆的.
实例:
x 1
1
x
xdx x1 C.
1
( 1)
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式.
基本积分表
(1 ) k d x k x C(k 是 常 数 ）
三、不定积分的性质
(1) [f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx;
(2) kf(x)dxk f (x)dx.（k 是常数，k 0)
现证(1) f(x)dxg(x)dx
f(x)dxg(x)dx f(x)g(x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
不定积分
§1、不定积分的概念与性质
进入
§2、换元积分法 §3、分部积分法
进入
进入
一、原函数
1.定义:
可导函数F ( x ) 的 如果在区间I 内， 导函数为 f ( x ) ， 即x I ，都有 F ( x ) f ( x )
那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x ) 或dF ( x ) f ( x )dx ，
例 求下列不定积分 (1) 3 dx (2)
2x 5
x 1 x 2 dx
(3)
2 1 sin dx 2 x x
(4)
dx x ln x
§2、换元积分法
解: (1) 3 dx 3 1 1 d (2 x 5) 3 ln(2 x 5) C. 2x 5 2x 5 2 2 (2)
由不定积分的定义及导数公式得如下基本积分表：
kdx kx C,
x x e dx e C,
1 1 x dx 1 x C ( 1), ax x a dx ln a C (a 0, a 1),
1 x dx ln x C ,
或 f ( x )dx 在区间 I 内原函数.
sin x 是cos x 的原函数. 1 1 ln x ( x 0) ln x 是 在区间(0, )内的原函数. x x f ( x ) 是 f ( x) ( x) 的一个原函数.
例
sin x cos x
微分与积分的互逆性
或 d f ( x)dx f ( x)dx;
（2） kf ( x)dx k f ( x)dx
积分的运算性质
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第四章不定积分
数学中的转折点是笛卡尔的变数. 有了变数，
运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；
有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而
它们也就立刻产生，并且是有由牛顿和莱布尼茨大
体上完成的，但不是由他们发明的.
-------恩格斯)1(
数学发展的动力主要来源于社会发展的环境力量. 17世纪，微积分的创立首先是为了解决当时数学面临的四类核心问题中的第四类问题，即求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心和引力等等. 此类问题的研究具有久远的历史，例如，古希腊人曾用穷竭法求出了某些图形的面积和体积，我国南北朝时期的祖冲之、祖恒也曾推导出某些图形的面积和体积，而在欧洲，对此类问题的研究兴起于17世纪，先是穷竭法被逐渐修改，后来由于微积分的创立彻底改变了解决这一大类问题的方法.
由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分，构成了微积分学的微分学部分；同时由已知速度求路程、已知切线求曲线以及上述求面积与体积等问题，产生了不定积分和定积分，构成了微积分学的积分学部分.
前面已经介绍已知函数求导数的问题，现在我们要考虑其反问题：已知导数求其函数，即求一个未知函数，使其导数恰好是某一已知函数. 这种由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分. 本章将介绍不定积分的概念及其计算方法.
第一节不定积分的概念与性质
分布图示
★问题的引入★原函数的概念
★不定积分的概念★例1
★例2★例3★例4★例5★微分运算与积分运算的关系★基本积分表
★不定积分的性质★直接积分法
★例6★例7
★例8★例9★例10
★例11 ★例12 ★例13
★内容小结★课堂练习
★习题4-1
内容要点
一、原函数的概念
二、不定积分的概念
注: 由定义知, 求函数)(x f 的不定积分, 就是求)(x f 的全体原函数, 在⎰dx x f )(中, 积分号⎰表示对函数)(x f 实行求原函数的运算, 故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微分)运算的逆运算；
三、不定积分的性质；
四、基本积分表；
五、直接积分法：利用不定积分的运算性质和基本积分公式, 直接求出不定积分的方法.
例题选讲
不定积分的概念
例1 (E01) 问()⎰dx x f dx
d )( 与 ⎰'dx x f )(是否相等?
解 不相等.设),()(x f x F ='则 ()⎰dx x f dx
d )())((C x F dx d +=0)(+'=x F )(x f =
而由不定积分定义⎰'dx x f )(C x f +=)(，所以()⎰dx x f dx d )(.)(⎰'≠dx x f
例2 (E02) 求下列不定积分
.11)3(;1)2(;)1(223⎰⎰⎰+dx x
dx x dx x 解 (1) 因为,434x x ='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛所以44x 是3x 的一个原函数,从而C x dx x +=⎰
443C (为任意常数)
(2)
因为,112x x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛-所以x 1-是21x 的一个原函数,从而C x dx x +-=⎰112C (为任意常数). (3) 因为,11)(arctan 2x x +='故x arctan 是211x +的原函数，从而C x dx x +=+⎰
arctan 112C (为任意常数).
例3 (E03) 已知曲线)(x f y =在任一点x 处的切线斜率为x 2, 且曲线通过点(1, 2), 求此曲线的方程.
解 根据题意知,2)(x x f ='即)(x f 是x 2的一个原函数，从而⎰
+==C x xdx x f 22)( 现在要上述积分曲线族中选出通过点)2,1(的那条曲线.由曲线通过点)2,1(得
C +=212⇒1=C 故所求曲线方程为.12+=x y
例4 (E04) 经过调查发现, 某产品的边际成本函数可由下面函数给出
32+q
其中q 是产量数, 已知生产的固定成本为2, 求生产成本函数.
解 设所求生产成本函数为),(q C 按题意，有
,32)(+='q q C
因为 ,32)3(2+='+q q q
所以q q 32+是32+q 的一个原函数，从而
)(q C ⎰+=dx q )32(023C q q ++= ).(0为积分常数C
直接积分法
例5 (E05) 计算不定积分dx x ⎰-2
32)1(. 解 dx x 2321⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=343221dx x dx x dx ⎰
⎰⎰+-=343221 C x x x ++++-=++134132134113212
.37563735C x x x ++-=
例6 (E06) 求不定积分
dx e x x ⎰2. 解
⎰dx e x x 2⎰=dx e x
)2(C e e x +=)2l n ()2(.2ln 12C e x x ++= 例7 求不定积分 dx x x x x ⎰+++)
1(122
. 解 ⎰+++dx x x x x )1(122
⎰+++=dx x x x x )1()1(22dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1112⎰⎰++=dx x dx x 1112 .||ln arctan C x x ++=
例8 (E07) 求不定积分⎰-+dx x x 42
11.
解
dx x x ⎰-+42411dx x x x ⎰+-+=222111dx x ⎰-=211
.a r c s i
n C x += 例9 (E08) 求不定积分⎰
+dx x x 24
1.
解 ⎰+dx x x 241⎰++-=dx x x 24111⎰+-+=dx x x x 2221)1)(1(dx x x ⎰
⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=22111 ⎰
⎰⎰++-=dx x dx dx x 22111.arctan 33C x x x ++-=
例10 (E09) 求下列不定积分:
.2sin )2(tan )1(22⎰⎰dx x xdx
解 )1(⎰x d x 2t a n ⎰-=dx x )1(sec 2⎰⎰-=dx xdx 1sec 2;t a n C x x +-=
)2(⎰dx x 2sin 2dx x )cos 1(21-=⎰⎰-=dx x )cos 1(21[]⎰⎰-=xdx dx cos 21.)sin (2
1C x x +-=
例11 求满足下列条件的).(x F ,11)(3x
x x F ++=
' ;1)0(=F 解 根据题设条件, 有 dx x x dx x x dx x F x F ⎰⎰⎰+-=++='=)1(11)()(3233
C x x x dx x dx x dx ++-
=+-=⎰⎰⎰353432353431. 又,1)0(=F 得.0=C 所以
.15
343)1(3534++-=x x x F
例12 求满足下列条件的).(x F
,2sin 2cos )(2x x x F =
' .14-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πF 解 根据题设条件，有
)(x F ⎰'=dx x F )(⎰=dx x x 2sin 2cos 2⎰
-=dx x x x x 2222cos sin 4sin cos ⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=dx x x 22cos 1sin 141
.)cot (tan 41C x x ++-= 由,14=⎪⎭
⎫ ⎝⎛πF 得,14cot 4tan 41-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-C ππ即.21-=C 所以)(x F .21)cot (tan 41-+-=x x
例13 (E10) 已知,1,10,1)(ln ⎩⎨⎧+∞
<<≤<='x x x x f 且0)0(=f ,求)(x f . 解 设,ln x t =则当10≤<x 时, ,0≤<-∞t .1)(='t f 于是dt t f t f ⎰'=
)()(,1
C t +=即 1)(C x x f +=
当+∞<<x 1时, ,0+∞<<t ,)(t e t f ='于是dt t f t f ⎰'=
)()(,2C e t +=即,)(2C e x f x +=
得⎩⎨⎧+∞<≤+≤<∞-+=x C e x C x x f x 0,0,)(21 又,0)0(=f ,01=C 再由)(x f 在0=x 处连续,),(lim )0(0
x f f x +→=得.12-=C 所以.0,10,)(⎩
⎨⎧+∞<≤-≤<∞-=x e x x x f x
课堂练习
1.求下列不定积分
.3
324)2(;1
)1(23⎰⎰⋅+⋅+dx e dx x x x x x 2.符号函数⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>==0,10,
00,1sgn )(x x x x x f 在),(+∞-∞内是否存在原函数? 为什么?。