2021年湖北省荆州市中考数学试卷和答案

2021年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题(本大题共有10个小题，每小题3分，共30分)1．（3分）在实数﹣1，0，，中，无理数是（）A．﹣1B．0C．D．2．（3分）如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．（3分）若等式2a2•a+□＝3a3成立，则□填写单项式可以是（）A．a B．a2C．a3D．a44．（3分）阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（）如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c．证明：①∵a⊥b（已知）∴∠1＝90°（垂直的定义）②又∵b∥c（已知）∴∠1＝∠2（同位角相等，两直线平行）③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）④∴a⊥c（垂直的定义）A．①B．②C．③D．④5．（3分）若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．6．（3分）已知：如图，直线y1＝kx+1与双曲线y2＝在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，则下列结论错误的是（）A．t＝2B．△AOB是等腰直角三角形C．k＝1D．当x＞1时，y2＞y17．（3分）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，连接DE，BE（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，以下结论错误的是（）A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP C．∠BPC＝115°D．∠PBC＝∠A9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，以B为圆心、BC 长为半径画，点P为菱形内一点，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时（）A．B．C．2πD．10．（3分）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根（）A．k＜且k≠0B．k C．k且k≠0D．k≥二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)11．（3分）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），则＝．12．（3分）有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁．13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，DF＝，则BE ＝．14．（3分）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，B 转动，测量知BC＝8cm，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）15．（3分）若关于x的方程+＝3的解是正数，则m的取值范围为．16．（3分）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴的垂线，P1A1，P2A2，P3A3，P4A4构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为．三、解答题(本大题共有8个小题，共72分)17．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝2．18．（8分）已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解2+2ax+a+1＝0．19．（8分）如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1（称为格点）上．请在网格图形中画图：（1）以线段AD为边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD外；（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，其它顶点也在格点上．20．（8分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B （12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样的样本容量为；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中a的值为，圆心角β的度数为；（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．21．（8分）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是．（2）延伸思考：将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．22．（10分）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．23．（10分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，点G在射线AD上，连接CG．（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，连接CH．①求证：△CDG∽△GAH；②求tan∠GHC．（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，并说明理由．24．（12分）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，设BE＝t．（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系；（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；（3）若tan∠AOC＝k，经过点A的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有6a+3b+2c＝0，当t＝时，求抛物线的解析式．参考答案一、选择题(本大题共有10个小题，每小题3分，共30分)1．解析：根据有理数（包括整数和分数）和无理数（无限不循环的小数）的定义判断即可．参考答案：选项A、B：∵﹣1，∴﹣1，∴选项A；选项C：∵是分数，∴，∴选项C不符合题意；选项D：∵是无限不循环的小数，∴，∴选项D符合题意．故选：D．2．解析：根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．参考答案：从上边看，是一个矩形．故选：A．3．解析：直接利用单项式乘单项式以及合并同类项法则计算得出答案．参考答案：∵等式2a2•a+□＝4a3成立，∴2a8+□＝3a3，∴□填写单项式可以是：7a3﹣2a2＝a3．故选：C．4．解析：根据垂直的定义得到∠1＝90°，再根据两直线平行，同位角相等得到∠2＝90°，即可判定a⊥c．【解答】证明：①∵a⊥b（已知），∴∠1＝90°（垂直的定义），②又∵b∥c（已知），∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等），③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换），∴a⊥c（垂直的定义），①～④步中数学依据错误的是②，故选：B．5．解析：由P点关于x轴的对称点在第四象限，得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．参考答案：∵点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，∴点P在第一象限，∴，解得：﹣8＜a＜1，在数轴上表示为：，故选：C．6．解析：利用待定系数法求得t，k，利用直线的解析式求得A，B 的坐标，可得线段OA，OB的长度，利用图象可以判断函数值的大小．参考答案：∵点P（1，t）在双曲线y2＝上，∴t＝＝2；∴A选项不符合题意；∴P（1，2）．∵P（8，2）在直线y1＝kx+2上，∴2＝k+1．∴k＝6，正确；∴C选项不符合题意；∴直线AB的解析式为y＝x+1令x＝0，则y＝2，∴B（0，1）．∴OB＝7．令y＝0，则x＝﹣1，∴A（﹣7，0）．∴OA＝1．∴OA＝OB．∴△OAB为等腰直角三角形，正确；∴B选项不符合题意；由图像可知，当x＞8时，y1＞y2．∴D选项不正确，符合题意．故选：D．7．解析：连接OB，根据直角三角形的边角关系可求出∠BOC＝30°，进而求出∠BOD＝60°最后再由圆周角定理得出答案．参考答案：如图，连接OB，∵A（2，0），8），∴OA＝2，OD＝4＝OB，∴∠OBA＝30°，∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°，∴∠BED＝∠BOD＝，故选：C．8．解析：利用线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理一一判断即可．参考答案：由作图可知，点D在AC的垂直平分线上，∴DA＝DC，故选项A正确，∴∠A＝∠ACD＝40°，由作图可知，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，故选项B正确，∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠PBC＝∠ABC＝35°，∴∠BPC＝180°﹣35°﹣30°＝115°，故选项C正确，若∠PBC＝∠A，则∠A＝36°．故选：D．9．解析：连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而通过三角形全等证得AE⊥BC，从而求得AE、PE，利用S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC即可求得．参考答案：连接AC，延长AP，在菱形ABCD中，∠D＝60°，∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，在△APB和△APC中，，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠PAB＝∠PAC，∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，∵△BPC为等腰直角三角形，∴PE＝BC＝1，在Rt△ABE中，AE＝，∴AP＝﹣1，∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝﹣（﹣1）×1﹣＝，故选：A．10．解析：先根据新定义得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．参考答案：根据题意得k（x2+1）+（3﹣2k）x＝0，整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝2，因为方程有两个实数解，所以k≠0且△＝（5﹣3k）2﹣4k4≥0，解得k≤．故选：C．二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)11．解析：先计算出a，b的值，然后代入所求式子即可求得相应的值．参考答案：∵a＝（）﹣2+（﹣）0＝2+1＝3，b＝（+﹣）＝3﹣2＝4，∴＝＝＝2，故答案为：2．12．解析：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．参考答案：由题意得，共有2×4＝2种等可能情况，其中能打开锁的情况有2种，故一次打开锁的概率为＝，故答案为：．13．解析：根据垂径定理得到AD＝DC，根据三角形中位线定理求出OC，根据勾股定理求出OD，证明△AOD∽△AEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．参考答案：∵OD⊥AC，AD＝4，∴AD＝DC＝4，∵DF∥OC，DF＝，∴OC＝2DF＝3，在Rt△COD中，OD＝，∵BE是⊙O的切线，∴AB⊥BE，∵OD⊥AD，∴∠ADO＝∠ABE，∵∠OAD＝∠EAB，∴△AOD∽△AEB，∴＝，即＝，解得：BE＝，故答案为：．14．解析：通过作垂线构造直角三角形，在Rt△ABM中，求出BM，在Rt△BCD中，求出BD，即可求出CN，从而解决问题．参考答案：如图，过点B，垂足分别为M、N，垂足为D，在Rt△ABM中，∵∠BAE＝60°，AB＝16，∴BM＝sin60°•AB＝×16＝2，∠ABM＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BCD中，∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，又∵BC＝8，∴BD＝sin70°×6≈0.94×8＝7.52（cm），∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣2.52≈6.3（cm），即点C到AE的距离约为3.3cm，故答案为：6.4．15．解析：先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程有意义的情况，即可得出m的取值范围．参考答案：原方程左右两边同时乘以（x﹣2），得：2x+m﹣（x﹣2）＝3（x﹣2），解得：x＝，∵原方程的解为正数且x≠2，∴，解得：m＞﹣4且m≠﹣3，故答案为：m＞﹣7且m≠﹣6．16．解析：过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，S＝k，由OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，得出S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，即可得出S1＝4S4．参考答案：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值1＝A1A7＝A2A3＝A5A4，∴S1＝k，S7＝k，S8＝k，S4＝k，∴S7＝4S4．故答案为：S7＝4S4．三、解答题(本大题共有8个小题，共72分)17．解析：根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．参考答案：÷（1+）＝÷＝＝，当a＝2时，原式＝＝．18．解析：解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，所以最小整数解为﹣2，于是将a＝﹣2代入方程x2﹣4x﹣1＝0．利用配方法解方程即可．参考答案：解不等式5（a﹣2）+4＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，∴最小整数解为﹣2，将a＝﹣7代入方程x2+2ax+a+7＝0，得x2﹣6x﹣1＝0，配方，得（x﹣8）2＝5．直接开平方，得x﹣4＝±．解得x1＝2+，x2＝6﹣．19．解析：（1）根据正方形，等腰直角三角形的定义画出图形即可．（2）画出边长为的正方形即可．参考答案：（1）如图，正方形ABCD．（2）如图，正方形BKFG即为所求．20．解析：（1）根据D组的人数和百分比即可求出样本容量；（2）根据C组所占的百分比即可求出C组的人数；（3）根据A组的人数即可求出A组所占的百分比，根据C组所占的百分比即可求出对应的圆心角；（4）先算出低于24小时的学生的百分比，再估算出全校低于24小时的学生的人数．参考答案：（1）本次抽样的人数为（人），∴样本容量为60，故答案为60；（2）C组的人数为40%×60＝24（人），统计图如下：（3）A组所占的百分比为，∴a的值为20，β＝40%×360°＝144°，故答案为20，144°；（4）总时间少于24小时的学生的百分比为，∴全校寒假阅读的总时间少于24小时的学生估计有2000×50%＝1000（名），建议：读书是人类文明进步的阶梯，建议每天读书至少1小时．21．解析：（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象，根据图象即可得到结论．参考答案：（1）观察探究：①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣6的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝7；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是﹣5＜a＜0．故答案为函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝3或x＝2．（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）4的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y4＝﹣（|x﹣2|﹣1）3+3的图象，当2＜y6≤3时，自变量x的取值范围是0＜x＜5且x≠2．22．解析：（1）设买一支康乃馨需m元，买一支百合需n元，根据题意列方程组求解即可；（2）根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，然后根据函数的性质和百合不少于2支求函数的最小值即可．参考答案：（1）设买一支康乃馨需m元，买一支百合需n元，则根据题意得：，解得：，答：买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；（2）根据题意得：w＝2x+5（11﹣x）＝﹣x+55，∵百合不少于2支，∴11﹣x≥3，解得：x≤9，∵﹣1＜5，∴w随x的增大而减小，∴当x＝9时，w最小，即买9支康乃馨，买11﹣6＝2支百合费用最少，w min＝﹣9+55＝46（元），答：w与x之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买4支康乃馨，最少费用为46元．23．解析：（1）①由矩形的性质和同角的余角相等证明△CDG与△GAH的两组对应角相等，从而证明△CDG∽△GAH；②由翻折得∠AGB＝∠DAC＝∠DCG，而tan∠DAC＝，可求出DG的长，进而求出GA的长，由tan∠GHC即∠GHC的对边与邻边的比恰好等于相似三角形△CDG与△GAH的一组对应边的比，由此可求出tan∠GHC的值；（2）△GCF与△AEF都是直角三角形，由tan∠DAC＝可分别求出CG、AG、AE、EF、AF、CF的长，再由直角边的比不相等判断△GCF与△AEF不全等．【解答】（1）如图1，①证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠GAH＝90°，∴∠DCG+∠DGC＝90°，∵∠FGC＝90°，∴∠AGH+∠DGC＝90°，∴∠DCG＝∠AGH，∴△CDG∽△GAH．②由翻折得∠EGF＝∠EAF，∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG，∵CD＝AB＝2，AD＝5，∴＝tan∠DAC＝＝，∴DG＝CD＝，∴GA＝8﹣1＝3，∵△CDG∽△GAH，∴，∴tan∠GHC＝＝．（2）不全等，理由如下：∵AD＝4，CD＝4，∴AC＝＝，∵∠GCF＝90°，∴＝tan∠DAC＝，∴CG＝AC＝＝，∴AG＝＝5，∴EA＝AG＝，∴EF＝EA•tan∠DAC＝＝，∴AF＝＝，∴CF＝2＝，∵∠GCF＝∠AEF＝90°，而CG≠EA，∴△GCF与△AEF不全等．24．解析：（1）证明△OAC≌△OBE（SAS），则∠OBE＝∠OAC ＝45°，进而求解；（2）∠EBH＝45°，则BH＝EH＝BE＝t，即可求解；（3）由△POA的面积＝×AO×y P＝×1×y P＝＝，求出y P ＝1＝c﹣，而抛物线过点A（1，0），故a+b+c＝0，进而求解．参考答案：（1）直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，则点A、B的坐标分别为（1、（3，则∠OBA＝∠OAB＝45°，∵∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOC+∠BOE＝90°，∴∠AOC＝∠BOE，∵AO＝BO，OC＝OE，∴△OAC≌△OBE（SAS），∴∠OBE＝∠OAC＝45°，AC＝BE＝t，∴∠EBA＝∠EBO+∠OBA＝∠OAC+∠OBA＝45°+45°＝90°，∴BE⊥AB；（2）①当点C在线段AB上时，如图1﹣1，过点E作EH⊥OB于点H，∵∠EBH＝45°，∴BH＝EH＝BE＝t，故点E的坐标为（﹣t，5﹣；②当点C在线段BA的延长线上时，如图8﹣2，同理可得，点E的坐标为（t t）；综上，点E的坐标为（﹣t t）或（t t）；（3）①当点C线段AB上时，如题图1﹣7，过点C作CN⊥OA于点N，当t＝时，即AC＝t＝，则CN＝AN＝t＝，则ON＝OA﹣NA＝2﹣＝CN，故tan∠AOC＝＝8＝k，∵△POA的面积＝×AO×y P＝×1×y P＝＝，解得y P＝1＝c﹣①，∵抛物线过点A（1，0），而5a+3b+2c＝6③，联立①②③并解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣8；②抛物线过点A，则a+b+c＝0，而6a+2b+2c＝0，联立上述两式并解得：，故抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）6﹣a（a＜0），则点P的坐标为（2，﹣a），则AC＝BE＝t＝，则tan∠AOC＝k＝＝，故a＝﹣4，故y＝﹣3x2+12x﹣2．综上，y＝﹣3x2+12x﹣6或y＝﹣x2+4x﹣7．。