九年级数学下册二次函数的图象与性质26.2.3求二次函数的表达式作业课件华东师大版
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九年级数学下册 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 26.2.3 求二次函数的表达式课件 华东师大版
∴－x2＋2x＋3＝3，
解得 x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝2，
∴P(2，3)．
8．[2018·广安改编]如图，已知抛物线 y＝12x2＋bx＋c 与直线 y＝12x＋3 相交
于 A、B 两点，交 x 轴于 C、D 两点，连结 AC、BC，已知 A(0，3)、C(－3，0)． (1)求出抛物线的解析式． (2)在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使|MB－MD|的值最大，并求出这个最大
解：(1)将点 A(－1，0)和点 B(3，0)代入，得－－19－＋b3＋b＋c＝c＝0，0， b＝2
解得c＝3， ∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3. (2)令 x＝0，则 y＝3， ∴C(0，3)． ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴D(1，4)．
(3)设 P(x，y)(x>0，y>0)， S△COE＝21×1×3＝23， S△ABP＝21×4y＝2y. ∵S△ABP＝4S△COE， ∴2y＝4×32， ∴y＝3，
知识管理
用待定系数法求二次函数的表达式 一般式：已知抛物线上任意三点求函数表达式，可设一般式 y＝ax2＋bx＋c(a ≠0)． 顶点式：已知抛物线的顶点和抛物线另一点求函数表达式，可设顶点式 y＝ a(x－h)2＋k(a≠0)． 交点式：已知抛物线与 x 轴的交点或交点的横坐标求函数表达式，可设交点 式 y＝a(x－x1)(x－x2)．
7．如图，已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(－1，0)和点 B(3，0)， 与 y 轴交于点 C，连结 BC 交抛物线的对称轴于点 E，D 是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出点 C 和点 D 的坐标； (3)若点 P 在第一象限内的抛物线上，且 S△ABP＝4S△COE，求点 P 的坐标．
解得 x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝2，
∴P(2，3)．
8．[2018·广安改编]如图，已知抛物线 y＝12x2＋bx＋c 与直线 y＝12x＋3 相交
于 A、B 两点，交 x 轴于 C、D 两点，连结 AC、BC，已知 A(0，3)、C(－3，0)． (1)求出抛物线的解析式． (2)在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使|MB－MD|的值最大，并求出这个最大
解：(1)将点 A(－1，0)和点 B(3，0)代入，得－－19－＋b3＋b＋c＝c＝0，0， b＝2
解得c＝3， ∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3. (2)令 x＝0，则 y＝3， ∴C(0，3)． ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴D(1，4)．
(3)设 P(x，y)(x>0，y>0)， S△COE＝21×1×3＝23， S△ABP＝21×4y＝2y. ∵S△ABP＝4S△COE， ∴2y＝4×32， ∴y＝3，
知识管理
用待定系数法求二次函数的表达式 一般式：已知抛物线上任意三点求函数表达式，可设一般式 y＝ax2＋bx＋c(a ≠0)． 顶点式：已知抛物线的顶点和抛物线另一点求函数表达式，可设顶点式 y＝ a(x－h)2＋k(a≠0)． 交点式：已知抛物线与 x 轴的交点或交点的横坐标求函数表达式，可设交点 式 y＝a(x－x1)(x－x2)．
7．如图，已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(－1，0)和点 B(3，0)， 与 y 轴交于点 C，连结 BC 交抛物线的对称轴于点 E，D 是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出点 C 和点 D 的坐标； (3)若点 P 在第一象限内的抛物线上，且 S△ABP＝4S△COE，求点 P 的坐标．
26.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质PPT课件(华师大版)
第26章 二次函数
26.2 二次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
学习目标
情境引入
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-
h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. （重点）
导入新课
复习引入
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当x> b 时，y随x的增大而增大.
2a
O
x
(2) 如大果；a当<x0>,当 x2b<a 时2ba，时y随，xy的随增x的大增而大减而小增.
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减
小，则实数b的取值范围是（ ）
D
A．b≥－1
B．b≤－1
? ?
最值
最大值0 最大值-5 最大值0 最大值-4
最小值3 ? ?
讲授新课
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ y 1 x2 6x 21
2
问题1 怎样将 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k的情势？ 2
D
A.y轴 C. 直线x=2
B.直线x= 5
2
D.直线x= 3
2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所
y
示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0； （4）当y=–2时，x的值只能取0； 其中正确的是 （2.）
26.2 二次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
学习目标
情境引入
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-
h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. （重点）
导入新课
复习引入
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当x> b 时，y随x的增大而增大.
2a
O
x
(2) 如大果；a当<x0>,当 x2b<a 时2ba，时y随，xy的随增x的大增而大减而小增.
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减
小，则实数b的取值范围是（ ）
D
A．b≥－1
B．b≤－1
? ?
最值
最大值0 最大值-5 最大值0 最大值-4
最小值3 ? ?
讲授新课
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ y 1 x2 6x 21
2
问题1 怎样将 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k的情势？ 2
D
A.y轴 C. 直线x=2
B.直线x= 5
2
D.直线x= 3
2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所
y
示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0； （4）当y=–2时，x的值只能取0； 其中正确的是 （2.）
新华东师大版九年级数学下册《26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 求二次函数的关系式》课件_11
二、探究新知
1．探究： (1)二次函数y=ax2+bx+c的表达式中有几个待定系数？ 需要图像上的几个点才能求出来？ (2)如果知道抛物线y=ax2+bx+c经过(1，0)，(3，-2)， (-1，3)三点，能求出这个二次函数的表达式吗？如果 能，求出这个二次函数的表达式． ⑶二次函数y=a(x-h)2+k表达式中有几个待定系数？需 要知道图像上的几个点才能求出来？如果知道图像上
2 ．已知二次函数 y ax2 bx ca 0的图象与x轴
交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C， 其顶点的横坐标为-1，且过点(-2，-3)和(1，4)， 求此二次函数的表达式．
四、课堂小结
(1)通过本节课的学习，你有哪些收获？ (2)你对本节课有什么疑惑？说给老师或同学听 听．
(2) 根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式
为顶点式 y a x h2 k 再根据抛物线过另一点可
求出a值；
(3) 根据抛物线与x轴的两个交点坐标，可设函数关
系式为交点式：y ax x1x x2 ,再根据抛物线与
y轴的交点可求出a值
三、巩固练习
1．求图象为下列抛物线的二次函数的表达式： （1）抛物线经过点（0，-4）、（-2，3）、 （1,6）； （2）抛物线顶点坐标为（-1,-3），且抛物线经 过点（2,3）； （3）抛物线与x轴交于点（-2,0）、（6,0），且 与y轴交于（0，-1）．
的方程组，求出待定系数a，b，c的值，就可以写
出二次函数的表达式；求抛物线y=a(x-h)2+k的表达
式，只要知道顶点坐标和图像上的异于顶点的另一
点坐标即可；求二次函数
的表达式，
九年级数学下册 26.2 二次函数的图象与性质(第1课时)课件 (新版)华东师大版
1.抛物线y=ax2的顶点 y x2 (dǐngdiǎn)是原点,对称轴是y
轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的 开口向上,并且向上无限伸展(shēnzhǎn)；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开 口向下,并且向下无限伸展(shēnzhǎn).
26.2 二次函数的图象(tú xiànɡ)与性质
（第1课时 (kèshí)）
第一页，共21页。
什么(shén me)叫二次函数?
函数y=ax²+bx+c (a,b,c是常 数(chángshù),a≠ 0) 叫做x 的二次函数.
我们学过用什么方法画函数 的图象?主要(zhǔyào)有哪些步骤
第二页，共21页。
方(
除顶点外).
第十九页，共21页。
(2)抛物线 y 2 x在2 x轴的 下 方(除
顶点外),
3
当x___<_0_时,y随着x的增大(zēnɡ dà)而
增大(z>ē0nɡ dà)；
当x_____时,y随着x的,增大(zēnɡ dà0)而
减小
当x=0时,函数y的值最大,最大值是
第二十页，共21页。
第十四页，共21页。
抛物线
y=x2
y= -x2
顶点(dǐngdiǎn)坐标（0，0）
对称轴
y轴
位置(wè在i zxh轴i)的上方(除顶点外)
开口(kāi kǒu)方向 向上
（0，0） y轴
在x轴的下方( 除顶点外)
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减
华东师大版九年级数学下册课件：26.2.3 求二次函数的表达式
A.8
B.9
C.10
D.11
4.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y 轴交于点B，对称轴是x＝－3，求抛物线的表达式
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴源自b 2＝－3，∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；
∴ a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
y 2 1
-4 -3 -2 -1-O1 1 2 x -2 -3 -4 -5
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元 一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式.
2
b=- 3，
2
∴所求的二次函数的表达式是 y 3 x2 3 x 1.
22
一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
课堂小结
已知条件
待定系数法 求二次函数解析式
所选方法
①已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
②已知顶点坐标或 对称轴或最值
华东师大版九年级下册数学习题课件 第26章 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
数学
九年级下册 华师版
第26章 二次函数
26．2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
1．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，
那么所得的抛物线的表达式是( C )
A．y＝x2－1
B．y＝x2＋1
C．y＝(x－1)2
D．y＝(x＋1)2
2得．到把的抛抛物物线线y＝所1对 2 (应x－的1二)2向次左函平数移的3表个达单式位为，y_＝__12__(_x_＋__2_)_2_．
3．抛物线y＝12 (x＋3)2的开口向___上_；对称轴是直线___x_＝___－_；3 当x＝_－___3时，y有最__小__值，这个值为___0_； 当x＜__－__时3 ，y随x的增大而减小．
4．已知函数y＝－(x－1)2的图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，
其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1_＞___y2.(填“<”“>”或“＝”)
∴M(－2，0).∴S△MAB＝12 ×|4－(－2)|×|－48|＝144
19．(南阳实验中学模拟)如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图象与x轴 交于点A，与y轴交于点B. (1)写出点A，B的坐标； (2)求S△AOB的值； (3)求抛物线的对称轴； (4)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形 为平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－32 (x－1)2的图象大致 是( D )
9．(教材练习第1题变式)在平面直角坐标系中画出函数 y＝－12 (x－3)2的图象． (1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)说明该函数图象与二次函数y＝－12 x2的图象的关系； (3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小．
九年级下册 华师版
第26章 二次函数
26．2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
1．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，
那么所得的抛物线的表达式是( C )
A．y＝x2－1
B．y＝x2＋1
C．y＝(x－1)2
D．y＝(x＋1)2
2得．到把的抛抛物物线线y＝所1对 2 (应x－的1二)2向次左函平数移的3表个达单式位为，y_＝__12__(_x_＋__2_)_2_．
3．抛物线y＝12 (x＋3)2的开口向___上_；对称轴是直线___x_＝___－_；3 当x＝_－___3时，y有最__小__值，这个值为___0_； 当x＜__－__时3 ，y随x的增大而减小．
4．已知函数y＝－(x－1)2的图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，
其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1_＞___y2.(填“<”“>”或“＝”)
∴M(－2，0).∴S△MAB＝12 ×|4－(－2)|×|－48|＝144
19．(南阳实验中学模拟)如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图象与x轴 交于点A，与y轴交于点B. (1)写出点A，B的坐标； (2)求S△AOB的值； (3)求抛物线的对称轴； (4)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形 为平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－32 (x－1)2的图象大致 是( D )
9．(教材练习第1题变式)在平面直角坐标系中画出函数 y＝－12 (x－3)2的图象． (1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)说明该函数图象与二次函数y＝－12 x2的图象的关系； (3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小．
华东师大版九年级下册 26.2 二次函数的图象与性质(4)课件(共26张PPT)
h<0向左平移 h 个单位
2020/6/19
3
设疑:
函数
y 1 x2 2
的图象，如何平移，才能得函数 y 1 x 22 1
2
的图象？
y 1 x2 1 2
？
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
2020/6/19
4
探究: 问题1：函数 y 1 x2
的图象呢？
2
的图象如何平移，才能得到y函 1数x 22 1
y ax h2 k
开口方向 a>0 向上 a<0 向下
对称轴 直线x=h
顶点坐标 （h，k）
2020/6/19
11
练习:
完成下列表格: 二次函数
开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 向上 直线x=－3 (－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2 向下 直线x=1 ( 1 , －2 )
2
已画出函数 y 1 x2、y 1 x 22、y 1 x 22 1 图象如下图所示：
2
y2
2
8
6 4
2
-8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 x
-2 -4 -6
2020/6/19
5
探究: 思考1：怎样移动抛物线
y
1 2
x2
得到这个函数
y
1 x 22
2
1
图象？
y 1 x2 2
质
增 减
在对称轴的左边(x<h) y随x增大而 减小。
性 在对称轴的右边(x>h)
y随x增大而 增大。
a<0 函数值y有最 大值， 当x= h ，最 大值y= 。k
2020/6/19
3
设疑:
函数
y 1 x2 2
的图象，如何平移，才能得函数 y 1 x 22 1
2
的图象？
y 1 x2 1 2
？
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
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探究: 问题1：函数 y 1 x2
的图象呢？
2
的图象如何平移，才能得到y函 1数x 22 1
y ax h2 k
开口方向 a>0 向上 a<0 向下
对称轴 直线x=h
顶点坐标 （h，k）
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11
练习:
完成下列表格: 二次函数
开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 向上 直线x=－3 (－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2 向下 直线x=1 ( 1 , －2 )
2
已画出函数 y 1 x2、y 1 x 22、y 1 x 22 1 图象如下图所示：
2
y2
2
8
6 4
2
-8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 x
-2 -4 -6
2020/6/19
5
探究: 思考1：怎样移动抛物线
y
1 2
x2
得到这个函数
y
1 x 22
2
1
图象？
y 1 x2 2
质
增 减
在对称轴的左边(x<h) y随x增大而 减小。
性 在对称轴的右边(x>h)
y随x增大而 增大。
a<0 函数值y有最 大值， 当x= h ，最 大值y= 。k
初中数学华东师大九年级下册二次函数二次函数的图像和性质PPT
o
x
a<0
课下猜想并验证抛物线y = 3x2与 y = 3x2+4之间有什么关系？
它们是轴对称图形吗？开口方向 ，对称轴、顶点坐标分别是什么？
探究
请第2组成员完成（1）成果分享， 第4组补充评价;
请第3组成员完成（2）成果分享，
做一做：
第5组补充评价。
（1）在同一直角坐标系中观察函数 y=x2、y=2x2 的图象，有什么共同点和不
同点（?2）在同一直角坐标系中观察函数
y=-x2、y=-2x2的图象，有什么共同点和不 同点?源自y x2y 2x2
a 0 图象（除顶点外）在横轴的上方，开口向上， 当x<0时，函数值y随x的增大而减小; 当 x>0时，函数值y随x的增大而增大。
y x2
y 2x2
a 0 图象（除顶点外）在横轴的下方，开口向下， 当x<0时，函数值y随x的增大而增大; 当 x>0 时，函数值y随x的增大而减小。
练一练
1_（_．_0_二,0_）_次，函对数称y轴为13 _x_2y_的轴__函__数_图像开口方向___向__上_,顶点坐标为
C
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: （1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
（2）当a>0时,抛物线的开口向上,顶点 是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点; （3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
y
a>0
（1）一次函数的图象是一条_直__线__， （2）通常怎样画一个函数的图象？
列表、描点、连线
（3）二次函数的图象是什么形状呢？
华东师大版九年级数学下册26.2-二次函数的图象与性质26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质课件
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
1 2 2 y x , y 2 x 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 2
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x
y
· · · －4 －3 －2 －1 4.5 2
0
1 0.5
2 2 0.5 1
3 4.5 1.5
4 8 2
· · · · · ·
y -4 -2 0 -3 -6 -9 2 4
0 0
1 -1
2 -4
3 -9… …ຫໍສະໝຸດ x议一议根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次 函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. y 1.y＝x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． o x y=x2
yx
2
y ax
2
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？
y x
(-1,-1)
2
y ax
(1,-1)
2
(-2,-4)
(2,-4)
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二
次函数y=－x2的图象上吗？ 当x=－2时，y=x2=4，
所以C点在二次函数y=x2的图象上；
当x=2时，y=－x2=－4，
所以B点在二次函数y=－x2的图象上；
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流. y 1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; o x
华东师大版数学九年级下册 26.2.8 求二次函数的表达式课件 (共22张PPT)
点坐标是 −1,3 的抛物线的表达式为( B )
A. y = −2x 2 + 4x + 1
B. y = −2x 2 − 4x + 1
C. y = −4x 2 − 4x + 2
D. y = −4x 2 + 4x + 2
【解析】 该抛物线的表达式为 y = −2 x + 1
2
+ 3 = −2x 2 − 4x + 1 ．
（2）当 x ≤ 0 时， y 的最大值为2；当 x > 0 时， y 的最大值为3.求二次函
数的表达式.
由题意，得抛物线的对称轴直线 =
在 轴的右侧， ∴
> .
∵ 抛物线开口向下，当 ≤ 时， 的最大值为2， ∴ = .
∵
× − ×−
× −
= , ∴ = ± .
∴ = − = , ∴ = .
又 ∵ 抛物线的对称轴为直线 = ,
∴
+
= , ∴ = − .
知识点2 用“顶点式”确定二次函数的表达式
4.若抛物线的顶点在原点,且过点 3, −27 ,则抛物线对应的函数表达式是
( C )
A. y = 3x 2
B. y = 9x 2
C. y = −3x 2
D. y = −9x 2
【解析】 设该抛物线对应的函数表达式是 y = ax 2 .因为抛物线过点
3, −27 ,所以 −27 = 9a ,所以 a = −3 ,所以 y = −3x 2 .
5.[2023驻马店期中]与抛物线 y = −2x 2 的形状、开口方向完全相同，且顶
学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图
A. y = −2x 2 + 4x + 1
B. y = −2x 2 − 4x + 1
C. y = −4x 2 − 4x + 2
D. y = −4x 2 + 4x + 2
【解析】 该抛物线的表达式为 y = −2 x + 1
2
+ 3 = −2x 2 − 4x + 1 ．
（2）当 x ≤ 0 时， y 的最大值为2；当 x > 0 时， y 的最大值为3.求二次函
数的表达式.
由题意，得抛物线的对称轴直线 =
在 轴的右侧， ∴
> .
∵ 抛物线开口向下，当 ≤ 时， 的最大值为2， ∴ = .
∵
× − ×−
× −
= , ∴ = ± .
∴ = − = , ∴ = .
又 ∵ 抛物线的对称轴为直线 = ,
∴
+
= , ∴ = − .
知识点2 用“顶点式”确定二次函数的表达式
4.若抛物线的顶点在原点,且过点 3, −27 ,则抛物线对应的函数表达式是
( C )
A. y = 3x 2
B. y = 9x 2
C. y = −3x 2
D. y = −9x 2
【解析】 设该抛物线对应的函数表达式是 y = ax 2 .因为抛物线过点
3, −27 ,所以 −27 = 9a ,所以 a = −3 ,所以 y = −3x 2 .
5.[2023驻马店期中]与抛物线 y = −2x 2 的形状、开口方向完全相同，且顶
学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图