2020版新高考理科数学考前专题强化训练：(八) 不等式、线性规划 Word版含解析

2020版新高考理科数学考前专题强化训练(八) 不等式、线性规划一、选择题1．[2019·合肥质检一]集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x －1<0}，则A ∪B ＝( )A ．{x |x <1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{x |x ≤2}D ．{x |－2≤x <1}解析：通解：x 2－x －2≤0，即(x －2)(x ＋1)≤0，解得－1≤x ≤2，所以A ＝{x |－1≤x ≤2}．由x －1<0，得x <1，所以B ＝{x |x <1}，所以A ∪B ＝{x |x ≤2}，故选C.优解：观察答案，不妨取x ＝2，易知2∈A ，因此2∈A ∪B ，排除选项A ，B ，D ，故选C.答案：C2．[2019·合肥质检二]若集合A ＝{x |x ＋2x －1≤0}，B ＝{x |－1＜x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2,2)B ．(－1,1]C ．(－1,1)D ．(－1,2)解析：因为A ＝{x |x ＋2x －1≤0}＝{x |－2≤x ＜1}，B ＝{x |－1＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜1}＝(－1,1)，故选C.答案：C3．[2019·安徽江淮十校联考]|x |·(1－2x )>0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析：很明显x ≠0，则原不等式等价于⎩⎨⎧1－2x >0，x ≠0，解得x <12且x ≠0，所以实数x 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12.答案：A4．[2019·浙江模拟]已知log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，则2a ＋b 取到最小值时，ab ＝( )A ．3B ．4C ．6D ．9解析：由log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，可得a －2>0，b －1>0，且(a －2)(b －1)≥2，所以2a ＋b ＝2(a －2)＋(b －1)＋5≥22(a －2)(b －1)＋5≥22×2＋5＝9，当2(a －2)＝b －1且(a －2)(b －1)＝2时等号成立，解得a ＝b ＝3，所以2a ＋b 取到最小值时ab ＝3×3＝9，故选D.答案：D5．[2019·北京卷]若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( )A ．－7B ．1C ．5D ．7解析：令z ＝3x ＋y ，画出约束条件⎩⎨⎧|x |≤1－y ，y ≥－1，即⎩⎨⎧x ≤1－y ，x ≥0，y ≥－1或⎩⎨⎧－x ≤1－y ，x <0，y ≥－1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－3x ，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点C (2，－1)时，z ＝3x ＋y 取得最大值，z max ＝3×2－1＝5.故选C.答案：C6．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－4B ．a >－4C ．a >－12D ．a <－12解析：不等式2x 2－8x －4－a >0可化为a <2x 2－8x －4，令f (x )＝2x 2－8x －4(1<x <4)，易知函数f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，则f (2)≤f (x )<f (4)．因为f (4)＝－4，所以a <－4.故选A.答案：A7．[2019·福建四地六校联考]已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12B.32 C ．1D ．2解析：由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋a x＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a时取等号．所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C.答案：C8．已知a >b >0，则a ＋4a ＋b ＋1a －b 的最小值为( )A.3102B ．4C ．2 3D ．3 2解析：∵a >b >0，∴a －b >0，∴a ＋4a ＋b ＋1a －b ＝a ＋b 2＋4a ＋b ＋a －b 2＋1a －b≥2a ＋b 2·4a ＋b＋2a －b 2·1a －b＝22＋2＝32.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝22，a －b ＝ 2.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝322，b ＝22时取等号．故选D.答案：D9．[2019·武昌调研]设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，x ＋2y －9≤0，x ≥1，则z ＝2x＋y 的取值范围为( )A ．[2,6]B ．[3,6]C ．[3,12]D ．[6,12]解析：解法一：不等式组⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，x ＋2y －9≤0，x ≥1表示的平面区域如图中三角形ABC (包括边界)所示，作出直线2x ＋y ＝0并平移，可知当直线z ＝2x ＋y 经过点A 时，z 取得最小值，解方程组⎩⎨⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即A (1,1)，所以z min ＝2×1＋1＝3，当直线z ＝2x ＋y 经过点B 时，z 取得最大值，解方程组⎩⎨⎧x －4y ＋3＝0，x ＋2y －9＝0，得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，即B (5,2)，所以z max ＝2×5＋2＝12，所以z 的取值范围为[3,12]，故选C.解法二：由方程组⎩⎨⎧x －4y ＋3＝0，x ＝1，⎩⎨⎧x －4y ＋3＝0，x ＋2y －9＝0，⎩⎨⎧x ＋2y －9＝0，x ＝1，可得可行域的三个顶点坐标分别为A (1,1)，B (5,2)，C (1,4)，验证满足条件后，再代入z ＝2x ＋y 中，得z A ＝3，z B ＝12，z C ＝6，所以z 的取值范围为[3,12]，故选C.答案：C10．[2019·湖北部分重点中学联考]已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最大值是( ) A.63B.233C.433D ．－433解析：∵不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，∴在方程x 2－4ax ＋3a 2＝0中，由根与系数的关系知x 1x 2＝3a 2，x 1＋x 2＝4a ，则x 1＋x 2＋ax 1x 2＝4a ＋13a. ∵a <0，∴4a ＋13a ≤－433，故x 1＋x 2＋a x 1x 2的最大值为－433，故选D.答案：D11．[2019·蓉城4月联考]若存在x ∈[e ，e 2]使得关于x 的不等式xln x ≤14＋ax 成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12－12e 2，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12－14e 2，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12＋12e 2，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12＋14e 2，＋∞ 解析：∵x ∈[e ，e 2]，不等式xln x ≤14＋ax ⇔1ln x －14x ≤a ，令g (x )＝1ln x －14x，x ∈[e ，e 2]，据题意，g (x )min ≤a .g ′(x )＝－1x ln 2x ＋14x 2＝1x ·ln 2x －4x4x ·ln 2x <0.∴g (x )递减，g (x )min ＝g (e 2)＝12－14e 2，∴a ≥12－14e 2，选B.答案：B12．[2019·洛阳统考二]如果点P (x ，y )满足⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的取值范围是( )A ．[5－1，10－1]B ．[5－1，10＋1]C ．[10－1,5]D ．[5－1,5]解析：作出点P 满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点Q 所在圆的圆心为M (0，－2)，所以|PM |取得最小值的最优解为(－1,0)，取得最大值的最优解为(0,2)，所以|PF |的最小值为5，最大值为4，又圆M 的半径为1，所以|PQ |的取值范围是[5－1,5]，故选D.答案：D13．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(1,1)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．(0,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝⎛⎭⎪⎫0，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 解析：约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：ax ＋y ＝0，过点(1,1)作l 的平行线l ′，要满足题意，则直线l ′的斜率介于直线x ＋2y －3＝0与直线y ＝1的斜率之间，因此，－12<－a <0，即0<a <12.故选B.答案：B14．已知(x ，y )满足可行域⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋2y ≥0，2x －y －2≤0，且目标函数z ＝ax ＋by (a ，b >0)的最大值为4，若4a ＋2b≥m 2＋2m ＋22恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－4,1]B ．[－3,4]C ．[－2,2]D ．[－3,1]解析：作出可行域可知最优解为(2,2)，∴2a ＋2b ＝4，∴a ＋b ＝2，∴4a ＋2b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋2b ·a ＋b 2＝3＋a b ＋2b a ≥3＋22，∴m 2＋2m ≤3，即m 2＋2m －3≤0.∴－3≤m ≤1.故选D.答案：D15．对于使f (x )≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做f (x )的上确界，若a ，b 是正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( ) A ．－92B.92C.14D ．4解析：因为a ，b 是正实数且a ＋b ＝1，所以12a ＋2b ＝a ＋b 2a ＋2a ＋2b b ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ·2a b ＝92，当且仅当⎩⎨⎧a ＋b ＝1，b 2a ＝2a b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23时取等号，则－12a －2b ≤－92，所以－12a －2b 的上确界为－92.答案：A16．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件，1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时，960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元解析：设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则⎩⎨⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，x ，y ∈N *，z ＝2x ＋y ，作出⎩⎨⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，x >0，y >0的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)时，z 取得最大值，为360.答案：B17．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，其中a >0，若x －yx ＋y的最大值为2，则a 的值为( )A.12B.14C.38D.59解析：设z ＝x －y x ＋y ，则y ＝1－z 1＋z x ，当z ＝2时，y ＝－13x ，作出x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－13x ，易知此直线与区域的边界线2x －2y －1＝0的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫38，－18，当直线x ＝a 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫38，－18时a ＝38，又此时直线y ＝1－z 1＋z x 的斜率1－z 1＋z 的最小值为－13，即－1＋2z ＋1的最小值为－13，即z 的最大值为2，符合题意，所以a 的值为38，故选C.答案：C 二、填空题18．若函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋(a －1)x ＋1的定义域为R ，则实数a 的取值范围为________．解析：问题等价于关于x 的不等式(1－a 2)x 2＋(a －1)x ＋1≥0对x ∈R 恒成立．①当a ＝1时，不等式变为1≥0，恒成立，符合条件．②当a ＝－1时，不等式变为2x －1≤0，解集x ≤12，不合题意．③当a ≠±1时，要使不等式恒成立，则⎩⎨⎧Δ≤0，1－a 2>0，解得⎩⎨⎧－35≤a ≤1，－1<a <1，即－35≤a <1.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－35，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－35，119．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值为________． 解析：∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴2y ＋x (1＋2y )＝8，∴(1＋2y )＋x (1＋2y )＝9.即(1＋x )(1＋2y )＝9.∵x >0，y >0，∴1＋x >1,1＋2y >1，∴(1＋x )＋(1＋2y )≥2(1＋x )(1＋2y )＝29＝6.当且仅当⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1时，取“＝”号，∴(x ＋2y )min ＝4.答案：420．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0，当x ∈(－∞，λ]时对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析：关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，等价于x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，即x 2＋12x≥12对x ∈(－∞，λ]恒成立．设y ＝x 2＋12x ，它的图象是开口向上，对称轴为x ＝－14的抛物线，所以当λ≤－14时，y ＝x 2＋12x 是单调减函数，所以要使不等式恒成立，则λ2＋12λ≥12，解得λ≤－1，或λ≥12(舍)；当λ>－14时，y＝x2＋12x的最小值在x＝－14处取到，最小值为－116，不满足不等式．因此实数λ的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]。