巧妙求幻方
巧求幻方
三、如何构造三阶幻方（奇偶数法）
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 3k
又 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 1 2 3 ... 9 45
∴3k=45 k=15
2 2 2 ( 1 n ) n 1 n ( 1 n ) • (1+2+3+…+n2)÷n= 2 n 2
请判定下列哪些是三阶幻方？（分组判断）
√
4 9 2 3 5 7 8 1 6
图1
√
2 7 6 9 5 1 4 3 8
图2
√
8 3 4 1 5 9 6 4 2
图3
√ 6 1 8
7 5 3 2 9 4
26 6
32
68 ( 68 ) 68 68
13 ★下面是一个四阶幻方,求a=＿＿
35
5
17
接下来你们看看幻和 跟a有关的有哪些行 , 35+23+3=19+b+25 b=15
11 23
能求出来吗 哪些列或哪些对角线 ? ? 幻和=5+23+15+29=72
3
b 19 15
29
a
31
2
幻和不能求出来 …. a=72-(35+23+3)=13
-1
6
1
4
3
2
-2
0
5
三、如何构造三阶幻方（换位法） 那我们就来一个“数字大换位”的游戏吧！ 把1，2，3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方
1 4 7 5 2 3 3 4
9
2 5 7
[小学奥数]巧用幻方解题
![[小学奥数]巧用幻方解题](https://img.taocdn.com/s3/m/0583301ec5da50e2524d7fd0.png)
[奥数课堂]巧用幻方解题
同学们都知道，在幻方图中，每行、每列、两条对角线上的几个数的和都相等。
利用幻方的这个特性，我们就可以迅速简洁地解答一些数字填充问题。
试举几例如下：
例1 将1－9填在图1中，使每条线上各数之和都相等。
我们可以先把这9个数编成一个三阶幻方，根据幻方中的数据就可以很容易地填出答案（还有其它多种填法）。
例2 将4－20填在图2中使两条线上各数之和都相等，每个方框上各数之和也都相等。
我们先假定中间所填之数为4或20，然后再把其余的16个连续数编成一个四阶幻方，即：
或
由此，我们就可根据幻方图中每一横行的数据，使两条直线上各数之和都相等，即：
然后再根据幻方图中每一竖行的数据，调整两条直线上的数字位置，使每个方框上各数之和也都相等。
即：
例3 在图3，以○为顶点，有四个小等边三角形和三个大等边三角形。
将20－28填入○内，使每个等边三角形的三个顶点上数字之和都相等。
通过观察，我们可以发现，这道题从外侧的三个小等边三角形入手比较容易。
制好幻方图后，很快便可填出答案。
如果填完之后其它几个等边三角形还不符合要求，就需要再进行数字位置调整。
由此可得：
通过以上几例，同学们不难发现利用幻方解题的巧妙之处。
看似复杂的题目，利用幻方知识得以迎刃而解。
幻方的解法与技巧
幻方的解法与技巧幻方是一种有趣又神秘的数学谜题，它能够以独特的方式排列数字，使得每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
本文将介绍一些常见的幻方解法和技巧，帮助读者更好地理解和解决幻方问题。
一、幻方的基本概念幻方是由一组数字排列而成的正方形矩阵，其中每个数字只出现一次。
幻方的阶数指的是矩阵的边长，例如3阶幻方表示由3x3的数字矩阵组成。
幻方中的每一行、每一列和对角线上的数字之和称为幻方的常数，通常用S表示。
二、奇数阶幻方的解法奇数阶幻方的解法相对较简单，常用的方法有“Siamese method”和“LUX method”。
1. “Siamese method”（暹罗法）这种方法是由17世纪的暹罗王室数学家发明的，它的基本思想是从幻方的中间行、第一列开始，按照特定规则依次填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的中间行、第一列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满整个幻方矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
2. “LUX method”（LUX法）这种方法是由中国数学家陆玉鹤发明的，它的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的第一行、中间列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满整个幻方矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
三、偶数阶幻方的解法偶数阶幻方的解法相对复杂，常用的方法有“偶数阶幻方解法1”和“偶数阶幻方解法2”。
1. 偶数阶幻方解法1这种方法的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的第一行、第一列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满四个子矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
2. 偶数阶幻方解法2这种方法的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
幻方的规律和求法
幻方的规律和求法幻方的规律和求法：幻方可是个神奇的存在呀！简单来说，就是在一个正方形格子里，填上一些数字，让每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
我们可以把幻方想象成一个数字的大舞台，每个数字都像是一位演员，它们要在这个舞台上找到自己的位置，共同演绎出神奇的规律。
那些格子就像是演员们的站位，必须恰到好处，才能呈现出完美的表演。
比如说三阶幻方，就像是一个小型的数字音乐会，九个数字要在九个位置上完美配合，奏响和谐的数字乐章。
那幻方是怎么做到让每行、每列和对角线的数字和都相等的呢？这就像是一场精心编排的舞蹈，每个数字都要准确无误地迈出自己的舞步。
以三阶幻方为例，中间的数字就像是领舞的主角，它的位置至关重要。
其他数字则像是伴舞，围绕着中间数字旋转跳跃。
它们之间有着一种微妙的平衡和协调，就像一个默契十足的舞蹈团队。
我们来看看具体的规律。
首先，幻方中每行、每列和对角线上的数字之和是一个固定值，这个值是所有数字总和的三分之一。
比如三阶幻方，1 到9 这九个数字的总和是 45，那么每行、每列和对角线的和就是 15。
这就好像是一场比赛，每个队伍的目标总分是确定的，数字们要努力去达到这个目标。
其次，中间位置的数字有着特殊的地位，它往往是一个关键的平衡点。
而且，相对的两个数字之和通常等于另外两个相对数字之和，就像两队选手在进行拔河比赛，力量要保持平衡。
为了让大家更好地理解，我们来看一个具体的三阶幻方例子：4 9 23 5 78 1 6在这里，每行、每列和对角线的和都是 15。
4 和 6、9 和 1、2 和 8 等相对数字之和都是 10，是不是很神奇呢？幻方在生活中也有不少应用呢！比如在建筑设计中，一些古老的建筑可能会运用幻方的原理来布局，以求达到某种平衡和和谐。
在数学研究中，幻方更是一个重要的领域，数学家们不断探索着更复杂、更奇妙的幻方。
总之，幻方就像是一个隐藏在数字世界里的神秘宝藏，等待着我们去探索和发现。
它的规律既神奇又有趣，让我们感受到了数字的魅力和魔力。
幻方的口诀顺口溜
幻方的口诀顺口溜
1. 幻方真奇妙，口诀要记牢，一居上行正中央，这个例子很明了，就像找到了宝藏的钥匙哟！比如3×3 的幻方，数字1 不就放在最上面一行的正中央嘛！
2. 依次斜填切莫忘，哎呀呀，可别小看它呀！就像走迷宫有了方向一样。
你看那个 4 不就斜着填下去嘛！
3. 上出框时往下填，这多有意思呀，就好比球弹到了地上又弹起来。
像 7 超出框了，不就往下填嘛！
4. 右出框时往左填，嘿，是不是很好玩呀，如同汽车拐弯换了个道儿。
数字 9 不就这样填嘛！
5. 排重便在下格填，哇塞，这感觉就像纠错一样呢！要是碰到重复的数字，不就往下一格填嘛，就像避开障碍。
6. 右上排重一个样，可不是嘛，就像遇到同样的困难有同样的解决办法。
比如右上有数字了，也得这样处理呀！
7. 幻方口诀真好用，绝对让你大不同，你想想，用了口诀解幻方多轻松呀！
8. 记住口诀不慌张，仿佛有了定海神针呀！不管遇到啥样的幻方都不怕啦！
9. 轻松玩转幻方界，哎呀呀，那感觉就像武林高手称霸江湖一样呢！
10. 幻方口诀顺口溜，大家一定要记熟，真的超级有用处哟！就像拥有了神奇的魔法棒！
我的观点结论：幻方的口诀顺口溜真的太重要啦，能让我们快速掌握幻方的技巧，大家一定要好好记住呀！。
幻方的技巧和解题思路
幻方的技巧和解题思路
幻方是一个矩阵，其中每行、每列和对角线上的元素之和都相等。
解题和构建幻方的方法有很多，以下是一些常用的技巧和解题思路：
1.奇阶幻方的构建：
o3阶幻方：可以使用"Siamese（托马斯维尔纳·托马斯纳格尔）方法"来构建。
o5阶幻方：可以使用"Burr（亨利·伯尔）方法"来构建。
o对于其他奇数阶的幻方，可以使用"La Hire（菲利普·莱尔）方法"来构建。
2.偶阶幻方的构建：
o4阶幻方：可以使用"De la Loubère（安德烈·纳诺·德拉卢贝尔）方法"来构建。
o6阶幻方：可以使用"J. R. Hendricks（乔布·亨德里克斯）方法"来构建。
o对于其他偶数阶的幻方，可以使用"Siamese（托马斯维尔纳·托马斯纳格尔）方法"或其他类似的方法来构
建。
3.递推法：可以使用递推法构建幻方，即通过给定的幻方来
构建更大阶数的幻方。
这种方法可以应用于各种阶数的幻
方。
4.数学公式：还有一些数学公式可以用来生成特定阶数的幻
方。
例如，Ramanujan公式可以用来生成8阶幻方，而Strachey公式可以用来生成12阶幻方。
5.对称性和规则性：在构建幻方时，利用对称性和规则性可
以更容易地确定某些元素的值，从而简化构建过程。
这些是一些常用的技巧和解题思路，但构建幻方是一个复杂的数学问题，需要深入的数学知识和技巧。
幻方的算法-Merzirac法生成奇阶幻方
幻方的算法—Merzirac法生成奇阶幻方奇阶幻方当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。
可以用Merzirac法与loubere法实现，Merzirac法与loubere 法称为斜步法，即向斜方向走一步；也可用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法，即马步法。
下面我详细介绍Merzirac法Merzirac法生成奇阶幻方Merzirac法最简单的方法为：1、在第一行居中的方格内放1 ；2、以后按顺序，向右斜上方填写数字（称为斜步）；3、若出到方阵上方，把该数字填到本该所在列的最下格；4、若出到方阵右方，把该数字填到本该所在行的最左格；5、若右上已有数字，或出到方阵右上(即对角线方向)，则把数字填入上一个数字的下一格，即在n 的下方放入n+1（称为跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下方放入2n+1，在3n的下方放入3n+1，……依次填完所有数字即可完成任何一个奇阶幻方。
下面是用此方法构成的5阶幻方，每一行、每一列、对角线的和都为65，我们将此和值称为幻和值，用f(n)表示，f(5)＝65。
65656565656565 65 65 65 65 65斜步法可以向4个方向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个方向，每种斜步都可有2种跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。
下面我总结所有的Merzirac法（斜步法）：我们用坐标轴的方法，将左右方向设为X轴，向右为X，向左为-X；将上下方向设为Y轴，向上为Y，向下为-Y。
一般的，令矩阵[1,1]为向右走一步，向上走一步，用X+Y表示，，[-1,0]为向左走一步，用-X表示，[0,-1]为向下走一步，用-Y表示。
则斜步可以表示为X+Y，{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}。
对于X+Y相应的跳步可以为-X，-Y。
那么上面的5阶幻方就是用X+Y斜步（即右上一步），-Y跳步（即向下一步）构成。
构造幻方的技巧
构造幻方的技巧
1. 嘿，你知道吗，构造幻方有个超有用的技巧就是对称法呢！比如说，就像我们照镜子一样，让数字在相对的位置上保持对称，这样不就能快速搞定一部分啦！就像3x3 的幻方，把中位数放中间，其他数字两两对称放置，是不是很神奇呀！
2. 哇塞，还有个技巧叫等差序列法哟！想象一下，数字们排着队，有规律地前进。
比如 5x5 的幻方，先用等差序列把数字排好，再根据规则调整，你看，一个漂亮的幻方不就出来啦！
3. 嘿，别忘了巧用中心数呀！这就像是舞台的中心主角一样重要呢。
比如在奇数阶幻方里，中心数可是起着关键作用的呀，以它为基准去摆弄其他数字，多有意思呀！
4. 哈哈，还有一个神奇的技巧叫行列交换法呢！就好像小朋友交换玩具一样，把数字所在的行和列换一换位置，说不定就能构造成幻方啦，不信你试试呀！
5. 哇哦，奇数偶数分开考虑也是个很棒的方法呀！就像把不同的小伙伴分到不同的队伍里，分别对待它们，这样构造幻方会更清晰明了呢！
6. 哎呀呀，固定角落法也很赞哦！让一些关键数字固定在角落，就像给房子打下坚实的根基一样，再去填满其他地方，是不是很厉害呀！
7. 嘿，还有一种叫斜线填充法呢！想象一下沿着斜线把数字放进去，是不是很有创意呀。
比如在某些幻方里，先沿着斜线填好几个数字，剩下的就好办多啦！
8. 哇，逐步调整法也不能忽视呀！就跟我们慢慢调整自己的状态一样，一点一点地让幻方变得完美，很有意思吧！
9. 我觉得呀，构造幻方真的超有趣！这些技巧都各有各的奇妙之处，用起来就感觉自己像个小小的魔术师呢，能把数字变得那么神奇！赶紧去试试吧！。
初中数学幻方的解法
1.暴力搜索法幻方解题的最初方法是暴力搜索法。
这种方法包括列举每个数字的所有可能的排列，然后逐个检查它们是否满足幻方的要求。
虽然这种方法可以解决出所有幻方的问题，但是它对于大型幻方的解题过程中需要耗费大量的时间和精力，并且存在各种漏洞。
2.加1法加1法也称为"Theorems of Kronecker"，是一种简单和高效的解题方法。
这种方法基于对任意一个幻方进行加1操作，然后解决一个新的幻方来得到解决幻方的结果。
使用这种方法的缺点是它只能解决特定类型的幻方，而无法解决大部分幻方问题。
3.线性代数法线性代数法是基于矩阵和行列式的组合在内的线性代数来计算幻方。
它使用比"加1法"更加复杂的算法来解决幻方，但是在解决复杂的幻方问题方面非常有效。
线性代数法的基本思路是将幻方转化为一个矩阵，然后对该矩阵进行一系列操作，计算出其行列式，最终得到解决幻方的结果。
a.构造幻方矩阵首先，需要将幻方构造成一个矩阵。
对于一个n阶幻方，矩阵的大小也是n×n。
将幻方中的每个数字都与一个矩阵中的元素相对应，这些元素的值就是幻方中每个数字的值。
b.求出幻方矩阵的行列式然后，需要计算矩阵的行列式。
行列式是一种数学工具，用来计算一个矩阵的性质。
对于一个n阶矩阵，行列式可以用一个n×n的矩阵来表示。
该矩阵的元素是由原矩阵中对应位置的子矩阵的行列式组成的。
c.计算幻方矩阵的行列式的值通过计算幻方矩阵的行列式的值，可以得到该幻方的解题结果。
如果幻方矩阵的行列式的值等于0，则该幻方无解。
如果幻方矩阵的行列式的值为非零数，则可以使用行列式展开式来计算幻方的解题结果。
总体来说，线性代数法是一种非常有效的幻方解题方法。
它比暴力搜索法和加1法更加高效，并且可以解决大多数幻方问题。
但是，这种方法需要使用高级数学知识，需要较高的数学水平才能应用。
4.对称性法对称性法是基于幻方的对称性的一种解题方法。
幻方公式推导原理
幻方公式推导原理幻方，这玩意儿听起来挺神秘，其实就是一堆数字整整齐齐排好队，横竖斜相加都得一个数。
那幻方公式到底是咋推导出来的呢？别急，咱慢慢唠。
先来说说啥是幻方。
就拿最简单的 3×3 幻方来说吧，就是把 1 到 9这几个数填到九宫格里，让每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等。
记得我小时候，老师在黑板上画出一个九宫格，让我们自己填数字。
我那时候抓耳挠腮，怎么都弄不好。
后来老师给我们一点提示，我才慢慢有点头绪。
咱们先从奇数阶幻方的推导说起。
以3×3 幻方为例，第一步，把“1”放在第一行的中间位置。
这就好比是给整个幻方定了个“老大”的位置。
然后，数字依次往右上方填。
如果碰到右上角已经有数字了，或者超出了幻方的范围，那就像下楼梯一样，直接掉到最下面或者最左边的格子里接着填。
比如填“2”的时候，因为右上方已经有“1”了，所以“2”就掉到了最后一行的同一列里。
再填“3”，右上方没位置，就掉到第一列的第二行。
就这么一个一个地填下去，最终就能得到一个完美的 3×3 幻方。
那为啥这样填就能行呢？这里面其实有数学的规律在里头。
咱们来仔细瞅瞅。
这种填法保证了每行、每列和对角线上的数字分布相对均匀。
而且，由于是按照一定的规则循环进行，数字之间的组合和相加结果也就有了一定的规律。
再来说说偶数阶幻方。
这可比奇数阶幻方稍微复杂点。
不过原理还是一样，就是要让数字分布得均匀合理。
比如说 4×4 的幻方，咱们可以先把它分成四个 2×2 的小方阵。
然后在每个小方阵里按照特定的顺序填数。
这就像是把一个大难题拆分成几个小问题，逐个解决。
幻方这东西，不仅仅是数学课本上的知识，在生活中也能瞧见它的影子。
有一次我去参加一个数学趣味活动，其中就有一个关于幻方的游戏。
主办方在一块大板子上画了一个超大的幻方，让大家比赛谁能最快填对。
那场面，可热闹了，大家都绞尽脑汁，争分夺秒。
总之，幻方公式的推导虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了规律，一步一步来，就能揭开它神秘的面纱。
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巧妙求幻方
徐州市邳州市运河师范附属小学四（2）班张译文
数学王国里的小王子，经常无所事事，很贪玩。
一天，国王来了个突然“袭击”，来到小王子的书房，要考验一下小王子的学习。
国王拿出纸笔，画了一个表格：
“你要将1—9这九个数字填到方格里，每个格子里填一个数字，并保证每一横行、每一纵行和两条对角线上的三个数的和相等。
”
小王子感觉很不屑，很骄傲地拿起笔。
可是他用了好多方法，就是不知道怎样填写，这下他急了，看了看父王的眼神他委屈地快哭了。
国王把儿子搂在怀里笑了：“小傻瓜，其实呀，这个很简单，只你要有方法。
”“方法？父王您快讲讲吧。
”小王子急切地央求道。
国王拿起笔，耐心地给小王子讲解：“你算算1—9这九个数字之和是多少？”“45！”这个简单，小王子稍微一算就得出了答案。
“嗯嗯，算得好！”国王赞许到，“因为这九个
数字是要填入表格的，所以也就是说三个横行或者纵行之和就是45；因此，每一横行或纵行之和就等于……”“15！”小王子似乎听懂了，脱口而出。
国王又微笑赞许，然后问小王子：“三个不同的数相加等于15的有哪些呢？”小王子在纸上写下：9+5+1/9+4+2/8+6+1/8+5+2/7+6+2/7+5+3/6+5+4。
“很棒！”国王摸摸儿子的头：“所以啊，每一横行、每一纵行和每一对角线恰好是其中一个加式中的三个数。
”
小王子认真地听着，心里默默地记着。
“中心有四条线经过，要求它能在四个等式中出现，除了5别无选择。
”国王把5填在中间的格子里继续讲，“而8/2/4和6各出现在三个算式中，因此是四个角上的数，这样每一格应该填哪个数就可以确定了。
”小王子佩服地五体投地：“嘻嘻！原来看上去简单的幻方有这么多道理呀！”
“对了！”国王神秘地说，“我告诉你一个秘密口诀吧！”小王子很惊奇：“还有口诀？”国王把口诀写在纸上：一居上行正中央
依次斜填切莫忘
上出框时往下填
右出框时左边放
排重便在下格填
右上重排一个样
“哇！父王，我背会这个口诀是不是所有的幻方都会填写了呢？”国王随手又画了个四阶幻方，“你找找这个中央在哪里呢？”
小王子看了看，又撅起了嘴，国王哈哈大笑起来：这个你自己琢磨去吧，明天再把答案告诉你……。