第二讲 Part3 离散傅里叶变换_难点

第三讲 Part3 DFT 的理论难点
1、抽样定理
连接离散信号与连续信号的桥梁。

()(){
()()j t a a j j n
s
n X j x t e dt
X e x nT e
ω
ω∞
-Ω-∞
∞
-=-∞
Ω==
⎰∑
根据频域卷积定理推导 ()
()()()
{1()()()()()2j j j j j y n x n h n Y e X e H e X e H e d πωωωθωθπ
θ
π--==*=⎰ 得到：1
()()j a
s k s
X e X
j jk T ω
∞
=-∞
=
Ω-Ω∑
2、FT 中的待研究的理论难点与关键之处
2．1 DFT 与DTFT 的关系
两种论述方法：
方法1：书P119-P120的论述；请同学看书后，上黑板叙述推演相关的过程。

方法2：书P121，连续频谱的抽样也必然使原来的时域信号变成周期的。

2.2 DFT 的()X k 是“()x n 的傅里叶变换”的某种程度上的近似。

用DFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的基本原理和方法
2.2.1 怎样理解DFT 对FT 的近似？
由于用DFT 对连续信号做频谱分析的过程中隐含了频域和时域的两个周期延拓，又由于信号时宽和带宽的制约关系，因此，做DFT 得到的()N X k ，及由()N X k 做IDFT 得到的
()N x n 都是对原()a X j Ω及()a x t 的某种近似。

如果s T 选得足够小，则式1
()|()s j a T a
s l s
X e X
j jl T ω
ω∞
=Ω=-∞
=
Ω-Ω∑ 中将避免或大大减轻
频域的混叠。

如果N 选得足够大，一方面可以减轻式()()*()j j j a X e X e D e ω
ω
ω
=的窗口效应，另一方面也会减轻式()(),0,1, (1)
l x n x
n lN n N ∞
=-∞
=
+=-∑的时域混叠。

结论：在这两个条件均满足的情况下，上述的近似误差将减小到可接受的程度，从而
使()N x n 和()N X k 都是()a x t 和()a X j 的极好近似。

如何理解上述的陈述与结论？
DFT 对连续信号进行谱分析必然是近似的，其近似程度与信号带宽、采样频率和截取长度有关？
课本2之P123 “DFT 的图形解释”。

2.2.2另外一种近似的解释（西交大）：
设连续信号()a x t 持续时间为p T ，最高频率为c f 。

（符合爆振信号的特点） 信号()a x t 的频谱分析是2()[()]()j ft a a a X jf FT x t x t e dt π∞
--∞
==
⎰
，
对()a x t 以采样间隔为s T 采样得()()a s x n x nT =，设有N 个采样点，s t nT = 并对()a X jf 作零阶近似，得到：1
20
()()s
N j fnT s
a
s
n X jf T x nT e
π--==∑
对f 的连续周期函数()a X jf 在区间[0,]s f 上等间隔采样N 点，采样间隔为F 。

参数,,,s p f T N F 满足关系式1
s s
f F N NT =
=
，另有s p NT T = 所以有1p
F T =
而且f kF =，代入得到：21
()(),01N j
kn N
s
a
s
n X jkF T x nT e
k N π--==≤≤-∑
令()(),()()a a s X k X jkF x n x nT ==，则有21
()()[()]N j kn N
a s s n X k T x n e
T DFT x n π--===∑
反过来，逆变换有1
()[()]a s
x n IDFT X k T =
结论1：()a X k 看不到()a X jf 的全部频谱特性，只能看到N 个离散采样点的谱特性，这就是所谓的栅栏效应。

结论2: 如果()a x t 持续时间无限长，进行截断处理，则会产生频率混叠和泄漏现象，使谱分析产生误差。

2.2.3
02/2/()()()()()()..................................................()()()*()s
s s
a a a N t nT j j j a a a T NT x t x n x n d n x n x n FT DTFT DTFT DFT DFS
x j X e X e D e ωωωππ=Ω=Ω=−−−−→−−−→−−−→−−→←−−−−Ω−−−−→−−−→s 周期延拓
抽样截短取一个周期周期延拓卷积抽样()()N X k X k −−−−→−−−−−→←−−−−周期延拓取一个周期
抽样定理：()s x nT 与()x t 的关系？()j X e ω
和()X j Ω的关系。

此乃数字信号处理中的基本问题。

()()j t a a X j x t e dt ∞
-Ω-∞
Ω=⎰，这里2f πΩ=为角频率，()a X j Ω为频谱密度。

()()j j n
s
n X e x nT e
ω
ω∞
-=-∞
=
∑
/1
()()|()s j s T a
s k s
X e X j X
j jk T ω
ω∞
Ω==-∞
=Ω=
Ω-Ω∑，本式的推导见P116-P117，即周期延拓
相对频率Ω，周期为2/2s s s T f ππΩ==； 相对圆频率ω，周期为2π。

变成周期的方法是将()a X j Ω在频率轴上以s Ω为周期移位后再叠加，并除以s T ，这种现象
称为频谱的周期延拓。

频域的“混叠”现象：一个周期中的()s X j Ω不等于()a X j Ω。

所谓混叠是指()j D e ω的主瓣宽度4/B N π=过大，无法区分欲区分的()j X e ω谱线？ 混叠与泄漏是一回事吗？
2.3 DFT 泄漏
泄漏的定义？
对确定频率的正弦信号进行频谱分析，按理其频谱图上只有确定频率处有一根谱线，但实际上由于截取有限长度的信号，形成在其频谱图上除主要频率分量外，还出现了许多附加频率分量，造成能量不是集中于确定频率，部分能量泄漏到其他频率上。

从而给傅里叶变换带来误差，这种误差称为泄漏误差。

（1）对周期信号的整周期截取。

（2）对周期信号的非整周期截取。

（3）对任意信号的有限截取。

谱间干扰的定义?
例子：用DFT 计算理想低通滤波器频响曲线。

2.4 频率分辨率
信号()T x t 的长度为T 秒，()T X j Ω得频率分辨率1/f T ∆=
/s M T T =
()M x n 是无穷长离散信号()x n 和一宽度为M 的矩形窗相乘的结果，频率分辨率限制
为：/s f f M ∆=
DFT 的两根谱线间的距离为/s f f N ∆=
2.5 加窗
为了减少由截断所造成的泄漏误差，选取某些比矩形窗函数泄漏小的其他形状的窗函数，称为加窗处理。

减少泄漏与提高分辨率是矛盾的；
（1）要求精确读出峰值的频率而不考虑幅值的精度，则可直接截断，即矩形窗。

（2）对存在强干扰的窄带信号，选用旁瓣幅度小的窗函数。

2.6 补零
补零的作用？
数据过短时泄漏将严重影响对原频谱的辨认，为什么补零可在一定程度上克服这一现象？
实际例子描述。

Part2：DFT 的实际工程应用展示
（1） 通过KNOCK 模式识别应用案例，展示理论到实际的应用过程
领域专业背景知识—〉核心问题的理论实质—〉具体算法设计—〉完整的项目实现
（2） 工程应用中揭示的理论难点分析，可以改进的余地。

（3） DFT 应用背景
背景1：以卷积和相关运算的实现为依据；
背景2：以DFT 作为连续傅里叶变换的近似，对连续信号或序列进行谱分析。

Part3 ：FFT 文档解释
3.1 概述
DFT 和卷积是信号处理中两个最基本也是最常用的运算。

21
()(),0,1,...,1,N j
nk
N
N
N n X k x n
W k N W e
π
--===
-=∑。