高考文科数学二轮复习必考点三角函数与解三角形五
高考数学三角函数、解三角形 考点及知识点总结解析(文科)
()
A．153
B．1123
C．152
D．－153
答案：A
2．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．
答案：四 一
考点一 角的集合表示及象限角的判定
[题组练透]
1．给出下列四个命题：
①－
3π 4
是第二象限角；②
4π 3
是第三象限角；③－400°是第
四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有
cos α sin α
cos α
－sin α
口诀
函数名不变 符号看象限
函数名改变 符号看象限
记忆 规律
奇变偶不变，符号看象限
课 前 ·双 基 落 实 课 堂 ·考 点 突 破
课 后 ·三 维 演 练
任意角和弧度制及任意角的三角函数 结 束
[小题体验] 1．已知 sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，则 sin(π＋α)＝______．
_x__叫做 α 的正切，记
正弦，记作 的余弦，记
作 tan α
sin α
作 cos α
三角函数 一
各象限 二 符号 三 四
正弦 ＋ ＋ － －
余弦 ＋ － － ＋
正切 ＋ － ＋ －
三角函 数线
有向线段_M__P_ 有向线段_O_M__ 有向线段__A_T_
为正弦线
为余弦线
为正切线
[小题体验]
答案：－45 2．若 sin θcos θ＝12，则 tan θ＋csions θθ的值为________．
答案：2
课 前 ·双 基 落 实 课 堂 ·考 点 突 破
课 后 ·三 维 演 练
任意角和弧度制及任意角的三角函数 结 束
高三文科数学三角函数知识点归纳
高三文科数学三角函数知识点归纳
三角函数是高考数学历年来考察的重点，高三学生在复习这一块的知识时需要认真对待，下面是店铺给大家带来的高三文科数学三角函数知识点归纳，希望对你有帮助。
高三文科数学三角函数知识点
高三文科数学三角函数考试内容
角的概念的推广.弧度制.
任意角的三角函数.单位圆中的三角函线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角。
高三文科数学三角函数考试要求
(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.
(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义.
(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
(4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解
A.ω、φ的物理意义.
(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.
(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.
(8)“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，
sinα/cosα=tanα,tanα•cotα=1”。
高中数学三角函数解三角形知识点
高中数学三角函数解三角形知识点高中数学中，三角函数和解三角形是重要的知识点。
本文将详细介绍三角函数的定义和性质，以及如何运用三角函数解决各种三角形相关的问题。
一、三角函数的定义和性质1. 正弦函数（sin）：在一个直角三角形中，对于一个锐角θ，正弦函数的值定义为所对直角边与斜边之比，即sinθ = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cos）：在一个直角三角形中，对于一个锐角θ，余弦函数的值定义为所对直角边与斜边之比，即cosθ = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tan）：在一个直角三角形中，对于一个锐角θ，正切函数的值定义为所对直角边与邻边之比，即tanθ = 对边/邻边。
4. 正弦函数和余弦函数的关系：正弦函数与余弦函数互为倒数，即sinθ = 1/cosθ。
5. 正切函数与正弦函数、余弦函数的关系：正切函数与正弦函数、余弦函数的比值相等，即tanθ = sinθ/cosθ。
6.三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数都具有周期性，周期为2π或360°。
7.三角函数的图像：正弦函数图像为一条波浪线，余弦函数图像为正弦函数图像向右平移π/2或90°，正切函数图像则为一系列渐进线（纵坐标趋近于正负无穷）。
二、解三角形的基本方法解三角形是指已知一个或多个角度和边长，求解出三角形的未知边长和角度的过程。
1.已知两边算第三边：利用三角形的两边之和大于第三边的性质，可以根据给定的两边长度求解第三边的取值范围。
2.已知一边和与之相对的角度算另外两个角度：根据三角形的内角和等于180°，可以利用给定的一边和一个角求解另外两个角度。
3.已知两边和一个角度算第三边：先根据已知的两边和一个角度求解第三个角度，然后根据三角形的角度和边长之间的关系求解第三边。
三、解三角形的具体例题1.已知三边，求三个角的大小：根据余弦定理或正弦定理计算出三个角的大小。
2.已知三个角，求三个边长：根据正弦定理或余弦定理计算出三个边长的取值范围。
2024版新高考版高考总复习数学 5-1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
专题五三角函数与解三角形5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2022全国甲理,8,5分)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,AB是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在AB上,CD⊥AB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+CD 2OA.当OA=2,∠AOB=60°时,s=( )A.11−3√32B.11−4√32C.9−3√32D.9−4√32答案 B 连接OC,如图.∵C是AB的中点,OA=OB=2,∴OC⊥AB.又∵CD⊥AB,∴D,C,O三点共线.∵∠AOB=60°,∴AB=2,OC=√3,CD=2-√3,∴s=2+(2−√3)22=11−4√32,故选B.2.(2019北京文,8,5分)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β答案 B 本题主要考查扇形面积、三角形面积公式及应用;主要考查学生的推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.由圆的性质易知,当|PA|=|PB|时,阴影部分的面积最大,其面积为△PAB 的面积与弓形的面积之和. 作PD ⊥AB 于D 点,由∠APB=β,知∠DOB=β(O 为圆心).所以|OD|=2cos β,|PD|=2+2cos β,|AB|=4sin β.所以S △PAB =12·|AB|·|PD|=4sin β(1+cos β).S 弓形=S 扇形OAB -S △OAB =12·2β·22-12·4sin β·2cos β=4β-4sin β· cos β.故阴影部分的面积为S △PAB +S 弓形=4sin β+4sin βcos β+4β-4sin βcos β=4β+4sin β.故选B.思路分析 本题阴影部分由一个三角形与一个弓形构成,当β确定时,弓形面积是确定的,故三角形面积最大时,阴影部分面积最大.3.(2014课标Ⅰ文,2,5分)若tan α>0,则( ) A.sin α>0 B.cos α>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0答案 C 由tan α>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B 错;由sin 2α=2sin αcos α知sin 2α>0,C 正确;α取π3时,cos 2α=2cos 2α-1=2×(12)2-1=-12<0,D 错.故选C.评析 本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法,具有一定的灵活性.4.(2014大纲全国文,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) A.45B.35C.-35D.-45答案 D 由三角函数的定义知cos α=√(−4)+3=-45.故选D.5.(2015福建文,6,5分)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( ) A.125 B.-125 C.512 D.-512答案 D ∵sin α=-513,α为第四象限角,∴cos α=√1−sin 2α=1213,∴tan α=sinαcosα=-512.故选D. 6.(2014大纲全国理,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 答案 C ∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a.又∵c=tan 35°=sin35°cos35°>sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选C.7.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α=√102,则tan 2α=( )A.43B.34C.-34D.-43答案 C (sin α+2cos α)2=52,展开得3cos 2α+4sin αcos α=32,再由二倍角公式得32cos 2α+2sin 2α=0,故tan 2α=sin2αcos2α=-322=-34,选C.评析 本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换,考查转化与化归思想,考查学生灵活应用公式的能力和运算求解能力.三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关系和三角函数名之间的关系. 8.(2013大纲全国文,2,5分)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( ) A.-1213 B.-513 C.513 D.1213答案 A ∵α是第二象限角,∴cos α<0. ∴cos α=-√1−sin 2α=-1213.故选A. 评析 本题考查三角函数值在各象限的符号,同角三角函数关系,属容易题. 9.(2013广东文,4,5分)已知sin (5π2+α)=15,那么cos α=( ) A.-25B.-15C.15D.25答案 C ∵sin (5π2+α)=sin (π2+α)=cos α,∴cos α=15.故选C. 10.(2017北京文,9,5分)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β= . 答案13 解析 本题考查三角函数的诱导公式.由角α与角β的终边关于y 轴对称,可得β=(2k+1)π-α,k ∈Z,∵sin α=13,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α=13.11.(2011江西文,14,5分)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-2√55,则y= . 答案 -8解析 P(4,y)是角θ终边上一点,由三角函数的定义知sin θ=√16+y ,又sin θ=-2√55,∴√16+y =-2√55,解得y=-8.评析 本题主要考查任意角三角函数的定义,考查运算求解能力,由题意得√16+y 2=-2√55是本题求解的关键.12.(2016四川文,11,5分)sin 750°= . 答案12解析 sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=12. 解后反思 利用诱导公式把大角化为小角. 评析 本题考查了三角函数的诱导公式.13.(2013课标Ⅱ理,15,5分)设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 答案 -√105解析 tan θ=tan [(θ+π4)−π4]=12−11+12=-13,∴sin θ=-13cos θ,将其代入sin 2θ+cos 2θ=1得109cos 2θ=1,∴cos 2θ=910,又易知cos θ<0,∴cos θ=-310√10,∴sin θ=√1010,故sin θ+cos θ=-√105.。
专题07 解三角形与三角函数结合-备战2022年高考数学二轮复习之大题核心考点(原卷版)
第一篇 解三角形专题07 解三角形与三角函数结合常见考点考点一 结合三角函数典例1．已知函数2()cos 2332f x x x π⎛⎫=--+⎪⎝⎭（1）求函数f （x ）的单调性；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3a =c＝1，求△ABC 的面积.变式1-1．已知函数2()2sin cos 233f x x x x =+ （1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满足26A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭3133sin sin B C +=bc 的值．变式1-2．已知函数()sin 2(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数f （x ）的值域；（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且a ＝4，b +c ＝5，求△ABC 的面积.变式1-3．已知向量()sin ,1m x =-，向量13cos ,2n x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()()f x m n m =+⋅.（1）求()f x 单调递减区间；（2）已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，A 为锐角，3,4a c ==，且()f A 恰是()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值，求,A b 和ABC 的面积S .例2．已知函数()3cos 3f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 在[]0,π上的最小值；（2）已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，53b =3cos 5A =，且()1fB =，求边a 的长.变式2-1．已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =+-，()0,πx ∈，ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 223. （1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若()1f C =，求bc 的值.变式2-2．已知向量3sin ,,(cos ,1)4a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，设函数()2()f x a b b =+⋅.（1）当//a b 时，求2cos sin 2x x -的值；（2）已知在ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若3,2a b ==，6sin B =求当04x π≤≤时()()4cos 26g x f x A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的取值范围.变式2-3．已知向量23,22x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2cos ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()f x m n =⋅.（1）求方程()0f x =在区间[]2,2ππ-的解集；（2）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围.巩固练习练习一 结合三角函数1．已知()2223sin cos sin cos f x x x x x =+- （1）求函数()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）设锐角．．ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1f C =，3c =求ABC 的面积S 的最大值.2．设函数21()cos 3cos 2f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3()2f B C +=，3a =3b c +=，求ABC 的面积.3．已知函数()2123sin cos 2cos f x x x x m =--+在R 上的最大值为3. （1）求m 的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）若锐角ABC 中角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且()0f A =，求sin sin BC的取值范围.4．已知函数21()cos 3)cos()2f x x x x ππ=-+-，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()1,3f A a =-=， sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.5．设函数()22sin 2sin cos 6f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若角A 满足()1f A =，3a =ABC 3b c +的值.6．已知函数22()sin 3cos 2cos f x x x x x =-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2c =，()1f C =且2C π≠，求ABC 周长的范围.7．函数()sin 16f x m x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（0m >，0>ω）的最大值为3，其图像相邻两个对称中心之间的距离为2π.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且22B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23b =ABC 的面积为23a c +的值.8．已知向量(sin ,cos ),(3cos ,cos )a x x b x x ==. （1）求函数()f x a b =⋅的最小正周期；（2）在ABC ∆中，7,sin 3sin BC B C =，若()1f A =，求ABC ∆的周长.。
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第五章三角函数、解三角形-第七节 正弦定理和余弦定理
4
π
2
π
2
15
,
8
解因为cos = − ,所以 < < π,故0 < < ,又sin =
sin 2 = 2sin cos =
cos 2 =
2cos2
−1=
15
2×
×
4
1
2× −1
16
1
−
4
=
=−
7
− .而sin
8
=
故sin 2 − = sin 2cos − cos 2 ⋅ sin = −
=− −
,
,
移项得 + = ,
所以△ 一定为直角三角形.
.又因为A, ∈ , ,
［对点训练2］（1）在△ 中,内角,,所对的边分别是,,,若
− cos = 2 − cos ,则△ 的形状为() D
A.等腰三角形
B.直角三角形
由
=
+
− ⋅ = + − × × × = ,得 = .故选D.
（2）在△ 中,角,,的对边分别为,,.若 = 2, = 30∘ , = 105∘ ,则 =()
A.1B. 2C.2 2D.2 3
[解析]∵ = ∘ , = ∘ , + + = ∘ ,∴ = ∘ ,∴由正弦定理可知
6 = 4 2 + 2 + 2 ,解得 = 1（负值舍）.
②求sin 的值；
解由①可求出 = 2,而0 < < π,所以sin = 1 − cos 2 =
苏教版高考总复习数学精品课件 主题二 函数 第五章 三角函数、解三角形 第三节 两角和与差的三角函数
B
2− 6
2− 6
2+ 6
2+ 6
B.
C.
D.
2
4
2
4
∘
∘
[解析] = +
×
=
−
.故选B.
∘
∘
∘
∘
∘
= − ⋅ =
×
−
（2）已知sin + 2sin −
1
3
A.3B. C.−3D.−
=
−
=
−
= − .
（2）已知sin + sin +
1
2
3
3
2
3
A. B. C. D.
得 +
= 1,则cos
π
−
3
=() B
2
2
[解析]由 + +
3
4
3π
π,
2
,sin =
3
− ,则tan
5
+
π
4
=() D
1
7
A.1B. C. D.7
[解析]因为 ∈ ,
则 = −
可得 =
, = − ,
−
=
−
=
高考数学二轮复习三角函数与解三角形多选题知识点-+典型题及解析
高考数学二轮复习三角函数与解三角形多选题知识点-+典型题及解析一、三角函数与解三角形多选题1．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的周长为10+B ．ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列C ．ABC 的外接圆半径为3D ．ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =ABCS =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2C =，则π3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据2sin c R C =即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos 14B =，再根据cos 14B =求出CD 长，D 错误. 【详解】A 项：设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =设2a t =，3b t =，()0c t =>，因为ABCS =△，所以=解得2t =，则4a =，6b =，c =故ABC 的周长为10+A 正确；B 项：因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确；C 项：因为π3C =，所以sin C =由正弦定理得2sin 3c R C ===，R =C 错误；D 项：由余弦定理得222cos214a cb B ac +-===，在BCD △中4BC =，BD =由余弦定理得2cos14B ==，解得CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222cos 2a c b B ac+-=，考查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.2．设函数()sin 6f x M x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,0)M ω＞＞的周期是π，则下列叙述正确的有（ ）A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为MC ．()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】已知只有周期的条件，只能求出ω，其中M 未知；A 选项代值判定；B 选项由解析式可知；C 选项由()f x 的单调递减区间在32,2,22k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上化简可得；D 选项由()f x 的对称中心为(),0,k k Z π∈化简可得. 【详解】 由题可知2T ππω==，解得2ω=，即()sin 26f x M x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当0x =时，()0sin 20sin 662Mf M M ππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，故选项A 错误；因为()sin 26f x M x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以最大值为M ，故选项B 正确； 由解析式可知()f x 在3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 即2,63x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦上单调递减，当0k =时，选项C 正确； 由解析式可知()f x 的对称中心的横坐标满足26x k ππ+=，即212k x ππ=- 当1k =时，512x π=，对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的性质，其中涉及最值、对称轴、对称中心，属于较难题.3．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在y 3C ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =，设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确；由()02cos 6f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y B 正确； 由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确； 令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.4．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭；由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误； 对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.5．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）A ．()1y f x =+在()02π，有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．将()f x 的图象先右移4π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2g x x ω=【答案】BC 【分析】首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则5264ππωππ≤⋅+<，得192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移4π个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x πω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.6．函数()cos |cos |f x x x =+，x ∈R 是（ ） A ．最小正周期是π B ．区间[0，1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)()k Z ∈对称 D ．周期函数且图象有无数条对称轴 【答案】BD 【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】2cos (22)22()30(22)22x k x k f x k x k ππππππππ⎧-+⎪⎪=⎨⎪+<≤+⎪⎩，则对应的图象如图：A 中由图象知函数的最小正周期为2π，故A 错误，B 中函数在[0,]2π上为减函数，故B 正确，C 中函数关于x k π=对称，故C 错误，D 中函数由无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确 故正确的是B D 故选：BD【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）A ．::7:5:3sinA sinB sinC = B ．0AB AC ⋅>C ．若6c =，则ABC 的面积是3D ．若8+=b c ，则ABC 73【答案】ACD 【分析】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；222222cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=222222.5 1.5 3.515028k k +-==-<，故选项B 不正确；若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，所以222106141cos 21062A +-==-⨯⨯，所以sin A =，故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，所以2225371cos 2532A +-==-⨯⨯，所以sin A =， 则利用正弦定理得：ABC 的外接圆半径是：12sin a A ⨯=， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.8．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误； 故选：AB 【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.二、数列多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（ ） A ．若21,n S n =-则{}n a 是等差数列B ．若21,nn S =-则{}n a 是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则221212n n n S S S -+⋅>【答案】BC 【分析】由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与22S 大小即可判断D. 【详解】对于A 选项，若21n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A错误；对于B 选项，若21nn S =-，则1112,21,1n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确；对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()199995099992a a S a +==，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，()()222222132111110S S S a q qa q a q ⋅-=++-+=-<，故当1n =时不等式不等式，故221212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.故选：BC 【点睛】本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，13S S ⋅与22S 大小情况.此外还需注意一下公式：11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数列，则()2121n n S n a -=-.10．设数列{}n a 前n 项和n S ，且21n n S a =-，21log n n b a +=，则（ ） A ．数列{}n a 是等差数列 B ．12n n aC ．22222123213n na a a a -++++= D ．122334111111n n b b b b b b b b +++++< 【答案】BCD 【分析】利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式，可判断AB 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C 选项的正误；利用裂项求和法可判断D 选项的正误. 【详解】对任意的n *∈N ，21n n S a =-.当1n =时，11121a S a ==-，可得11a =； 当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-， 上述两式作差得122n n n a a a -=-，可得12n n a a -=，所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，A 选项错误，B选项正确；()221124n n na --==，所以，22221231441143nn n a a a a --==-++++，C 选项正确； 212log log 2n n n b a n +===，()1111111n n b b n n n n +==-++， 所以，12233411111111111111112233411n n b b b b b b b b n n n +++++=-+-+-++-=-<++， D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.。
2024年高考数学真题分类汇编05：三角函数与解三角形
三角函数与解三角形一、单选题1．（2024·全国）已知cos(),tan tan 2m a b a b +==，则cos()a b -=（）A ．3m-B ．3m-C ．3m D ．3m2．（2024·全国）当[0,2]x p Î时，曲线sin y x =与2sin 36y x p æö=-ç÷èø的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．83．（2024·全国）设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x Î-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （）A ．1-B ．12C ．1D ．24．（2024·全国）已知cos cos sin a a a =-πtan 4a æö+=ç÷èø（）A ．1B ．1CD ．15．（2024·全国）在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．32B C D 6．（2024·全国）设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．237．（2024·北京）已知()()sin 0f x x w w =>，()11f x =-，()21f x =，12min π||2x x -=，则w =（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2024·天津）已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（）A ．B ．32-C ．0D ．329．（2024·上海）下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（）A ．sin cos x x +B ．sin cos x xC ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-二、多选题10．（2024·全国）对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列说法正确的有（）A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴三、填空题11．（2024·全国）已知a 为第一象限角，b 为第三象限角，tan tan 4a b +=，tan tan 1a b ，则sin()a b +=.12．（2024·全国）函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是．13．（2024·北京）已知ππ,63a éùÎêúëû，且α与β的终边关于原点对称，则cos b 的最大值为．四、解答题14．（2024·全国）记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3，求c ．15．（2024·全国）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16．（2024·北京）在△ABC 中，7a =，A 为钝角，sin 2cos B B =．(1)求A Ð；(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．①7b =；②13cos 14B =；③sin c A =注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．17．（2024·天津）在ABC 中，92cos 5163a B b c ===，，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -．参考答案：1．A【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin a b a b 的关系，结合tan tan a b 的值可求前者，故可求()cos a b -的值.【解析】因为()cos m a b +=，所以cos cos sin sin m a b a b -=，而tan tan 2a b =，所以sin sin 2cos cos a b a b =，故cos cos 2cos cos m a b a b -=即cos cos m a b =-，从而sin sin 2m a b =-，故()cos 3m a b -=-，故选：A.2．C【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【解析】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x æö=-ç÷èø的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx Î上函数π2sin 36y x æö=-ç÷èø有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3．D【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-Î-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【解析】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x Î-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x Î-，则220,1cos 0x x ³-³，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-³，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--Î-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-Î-，又因为220,1cos 0x x ³-³当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ³，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.4．B【分析】先将cos cos sin aa -a 弦化切求得tan a ，再根据两角和的正切公式即可求解.【解析】因为cos cos sin aa a =-所以11tan =-atan 1Þa =，所以tan 1tan 11tan 4a +p æö==a +ç÷-a èø，故选：B.5．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【解析】因为29,34B b ac p ==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=故选：C.6．A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【解析】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+×¢=+，则()()()()()02e 2cos010e 2sin 000310f ++-+´¢==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =´´-=.故选：A.7．B【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【解析】由题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点，则12min π22T x x -==，即πT =，且0w >，所以2π2Tw ==.故选：B.8．A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出w ，得()sin2f x x =-，再整体求出,126éùÎ-êúëûππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【解析】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x w w w æö=+=+=-ç÷èø，由2ππ3T w ==得23w =，即()sin2f x x =-，当,126éùÎ-êúëûππx 时，ππ2,63x éùÎ-êúëû，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126éù-êúëû上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A 9．A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【解析】对A ，πsin cos 4x x x æö+=+ç÷èø，周期2πT =，故A 正确；对B ，1sin cos sin22x x x =，周期2ππ2T ==，故B 错误；对于选项C ，22sin cos 1x x +=，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，22sin cos cos2x x x -=-，周期2ππ2T ==，故D 错误，故选：A ．10．BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【解析】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =ÎZ ，即为()f x 零点，令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+ÎZ ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+Û=+ÎZ ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+Û=+ÎZ ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC11．3-【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan a b +=-a b +的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【解析】法一：由题意得()tan tan tan1tan tan a b a b a b ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m a b æöæöÎ+Î++ç÷ç÷èøèø，,Z k m Î，则()()()22ππ,22π2πm k m k a b +Î++++，,Z k m Î，又因为()tan 0a b +=-<，则()()3π22π,22π2π2m k m k a b æö+Î++++ç÷èø，,Z k m Î，则()sin 0a b +<，则()()sin cos a b a b +=-+()()22sin cos 1a b a b +++=，解得()sin 3a b +=-.法二：因为a 为第一象限角，b 为第三象限角，则cos 0,cos 0a b ><,cos a =，cos b ==则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )a b a b a b a b a b +=+=+4cos cos 3a b ====-故答案为：12．2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【解析】()πsin 2sin 3f x x x x æö==-ç÷èø，当[]0,πx Î时，ππ2π,333x éù-Î-êúëû，当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：213．12-/0.5-【分析】首先得出π2π,Z k k b a =++Î，结合三角函数单调性即可求解最值.【解析】由题意π2π,Z k k b a =++Î，从而()cos cos π2πcos k b a a =++=-，因为ππ,63a éùÎêúëû，所以cos a 的取值范围是12éêëû，cos b 的取值范围是12éù-êúëû，当且仅当π3a =，即4π2π,Z 3k k b =+Î时，cos b 取得最大值，且最大值为12-.故答案为：12-.14．(1)π3B =(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【解析】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC Î，所以sin 0C >，从而sin C ===又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB Î，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC Î，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 12462A æöæö==+==ç÷ç÷èøèø由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为211sin 222ABCSab C ===，由已知ABC的面积为3，可得2338c =所以c =15．(1)π6A =(2)2【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 122A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ÎÞ+Î，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=Û=，解得cos A =又(0,π)A Î，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x æö=+<<ç÷èø，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin()3f A A A A ===+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A ¢==，即tan A =又(0,π)A Î，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(1,3),(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ×==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ×==，则2cos ,2cos ,1a b a b =Û=，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A ×=Û=又(0,π)A Î，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A Î，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =Û=，又,(0,π)B C Î，则sin sin 0B C ¹，进而cos 2B =，得到π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=由正弦定理可得，sin sin sin a b c A B C ==，即2ππ7πsin sin sin 6412b c==，解得b c ==故ABC的周长为216．(1)2π3A =；(2)选择①无解；选择②和③△ABC.【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B p =，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin B =再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【解析】（1）由题意得2sin cos cos 7B B b B =，因为A 为钝角，则cos 0B ¹，则2sin B =，则7sin sin sin b a B A A ===，解得sin A =因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 7B ===2π3A =，则B 为锐角，则3B p =，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin B ==则代入2sin 7B =得2147´=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B æö=+=+=+ç÷èø131********æö=+-´=ç÷èø,则11sin 7322ABC S ab C ==´´=.选择③sin c A =c =5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C =，解得sin 14C =，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C æö=+=+=+ç÷èø11121421414æö=+-´=ç÷èø，则11sin 7522ABC S ac B ==´´=△17．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【解析】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-´´´，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin B ==再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===´´，因为()0,πA Î，则sin A =（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB Î，所以π0,2B æöÎç÷èø，由（2）法一知sin B =，因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A æö=-=´-=ç÷èø()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=´=.法二：3sin 22sin cos 2448A A A ==´=，则2231cos 22cos 12148A A æö=-=´-=ç÷èø，因为B 为三角形内角，所以sin B ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=´=。
2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题一三角函数和解三角形第1讲三角函数的图象和性质
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专题一 三角函数和解三角形
高考二轮总复习 • 数学
所以 ω＝－16＋23k，k∈Z， 所以 ω＝52，f(x)＝sin 52x＋π4＋2， 所以 fπ2＝sin 54π＋π4＋2＝1. 故选 A.
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专题一 三角函数和解三角形
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2．(2022·全国甲卷)设函数 f(x)＝sin ωx＋π3在区间(0，π)恰有三个极
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【解析】 f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，所以 f(x) 在区间0，π2和32π，2π上 f′(x)>0，即 f(x)单调递增；在区间π2，32π上 f′(x)<0， 即 f(x)单调递减，又 f(0)＝f(2π)＝2，fπ2＝π2＋2，f32π＝－32π＋1＋1＝－ 32π，所以 f(x)在区间[0，2π]上的最小值为－32π，最大值为π2＋2.故选 D.
值点、两个零点，则 ω 的取值范围是
( C)
A．53，163
B．53，169
C．163，83
D．163，169
专题一 三角函数和解三角形
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【解析】 依题意可得 ω>0，因为 x∈(0，π)，所以 ωx＋π3∈π3，ωπ＋π3，
要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，
又 y＝sin x，x∈π3，3π的图象如下所示：
则52π<ωπ＋π3≤3π，解得163<ω≤83，即 ω∈163，83.故选 C.
专题一 三角函数和解三角形
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3．(2022·全国甲卷)将函数 f(x)＝sin ωx＋π3(ω>0)的图象向左平移π2个 单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是 ( C )
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考点过关检测（五）
1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B －sin C)2＝sin2A－sin B sin C.
(1)求A；
(2)若2a＋b＝2c，求sin C.
解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a2
2bc＝
1
2.
因为0°<A<180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，
由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，
即
6
2＋
3
2cos C＋
1
2sin C＝2sin C，
整理可得cos(C＋60°)＝－
2 2.
因为0°<C<120°，
所以C＋60°＝135°，C＝75°，
所以sin C＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝
2 2
×
3
2＋
2
2×
1
2＝
6＋2
4.
2．(2019·北京东城期末)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分
别为a，b，c，且a＝2,2sin A＝sin C.
(1)求c的长；
(2)若cos 2C＝－1
4，求△ABC的面积．
解：(1)在锐角三角形ABC中，
由正弦定理得
a
sin A＝
c
sin C，即
2
sin A＝
c
sin C，
∵2sin A＝sin C，∴c＝4.
(2)∵cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，
∴sin 2C ＝58，∴sin C ＝104或sin C ＝－104(舍去)．
∴sin A ＝12sin C ＝108.
∵A 为锐角，故cos A ＝368，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2
－36b ＋12＝0，解得b ＝26或b ＝ 6.
当b ＝26时，S △ABC ＝12ab sin C ＝15；
当b ＝6时，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋6－162×2×6
<0，C 为钝角，与题意不符，舍去．
∴△ABC 的面积为15.
3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a －2b )cos C ＋c cos A ＝0.
(1)求角C ；
(2)若c ＝23，求△ABC 周长的最大值．
解：(1)根据正弦定理，由已知得(sin A －2sin B )cos C ＋sin C cos A ＝0， 即sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos C ，
∴sin(A ＋C )＝2sin B cos C ，
∵A ＋C ＝π－B ，
∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B >0，
∴sin B ＝2sin B cos C ，∴cos C ＝12.
∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.
(2)由(1)及余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，
又c ＝23，∴a 2＋b 2－12＝ab ，
∴(a ＋b )2－12＝3ab ≤3⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22，
即(a＋b)2≤48(当且仅当a＝b＝23时等号成立)．
∴△ABC周长的最大值为6 3.
4．(2019·莆田质检)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos
B＋
3
2b＝a.
(1)求C；
(2)如图，若a＝b，D为△ABC外一点，AD∥BC，AD＝CD＝2，求四边形
ABCD的面积．
解：(1)在△ABC中，
由正弦定理得sin C cos B＋
3
2sin B＝sin A，
又A＝π－(B＋C)，所以sin C cos B＋
3
2sin B＝sin(B＋C)，
即sin C cos B＋
3
2sin B＝sin B cos C＋cos B sin C，
所以sin B cos C＝
3
2sin B.
又B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos C＝
3 2.
所以C∈(0，π)，所以C＝π
6.
(2)因为AD∥BC，故∠CAD＝∠ACB＝π
6.在△ACD中，因为AD＝CD＝2，
所以∠ACD ＝∠CAD ＝π6，
故∠ADC ＝2π3，所以AC 2＝22＋22－2×2×2cos 2π3＝12.又∠ACB ＝π6，AC ＝
BC ，所以S △ACB ＝12AC ·BC sin π6＝14AC 2＝3.又S △ACD ＝12CD ·AD sin 2π3＝3，所以四
边形ABCD 的面积为3＋ 3.
5．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且4sin A cos 2A －3cos(B ＋C )＝sin 3A ＋ 3.
(1)求A 的大小；
(2)若b ＝2，求△ABC 面积的取值范围．
解：(1)∵4sin A cos 2A －3cos(B ＋C )＝sin 3A ＋3，
∴4sin A cos 2A ＋3cos A ＝sin 3A ＋3，
∴2sin 2A cos A ＋3cos A ＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ＋3，
sin 2A cos A －cos 2A sin A ＋3cos A ＝3，
即sin(2A －A )＋3cos A ＝ 3.
∴sin A ＋3cos A ＝3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32
. 又A ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，∴A ＋π3＝2π3，即A ＝π3. (2)由(1)得B ＋C ＝2π3，∴C ＝2π3－B ，
∵△ABC 为锐角三角形， ∴2π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且B ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2， 解得B ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π2， 在△ABC 中，由正弦定理得2sin B ＝c sin C ，
∴c ＝2sin C sin B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B sin B ＝3tan B ＋1，
又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴1tan B ∈(0，3)，∴c ∈(1,4)，
∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32c ，∴S △ABC ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，23. 故△ABC 面积的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，23.。