全国卷高考选做题坐标系与参数方程专题

全国卷高考选做题坐标系与参数方程专题

标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

坐标系与参数方程选做专题（2015-10-14）

命题：靳建芳

1．在直角坐标系x y O 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标

系．已知曲线1C :452x t

y t

=+??=+?（t 为参数），曲线2C :26cos 10sin 90ρρθρθ--+=．

（Ⅰ）将曲线1C 化成普通方程，将曲线2C 化成参数方程； （Ⅱ）判断曲线1C 和曲线2C 的位置关系．

2．曲线1C 的参数方程为)(sin 22cos 2为参数αα

α

???+==y x ，M 是曲线1C 上的动点，且M 是线段

OP 的中点，P 点的轨迹为曲线2C ，直线l 的极坐标方程为sin()24

π

ρθ+=，直线l

与曲线2C 交于A ，B 两点。 （Ⅰ）求曲线2C 的普通方程； （Ⅱ）求线段AB 的长。

3．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 2(1

cos 2

x y α

αα=+???=??为参数），在极坐标系中,曲线2C 的极坐标方程为sin()24

πρθ-=．

（1）求曲线2C 的普通方程；

（2）设1C 与2C 相交于,A B 两点，求AB 的长．

4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲

线C 1的极坐标方程为θρ2

2sin 12

+=，直线l 的极坐标方程为θ

θρcos sin 24+=。 （Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值。

5．在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32

x t t y t ?=+??

?

?=??为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为23sin ρθ=. （Ⅰ）写出的直角坐标方程；

（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标.

6．在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()2

2

121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4

R π

θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN

?的面积.

7．已知直线l

：512

x y t ?=+????=??（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；

（2）设点M

的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA||MB|的值．

8.在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为2sin cos 0ρθθ-=，点(1,)2

M π

．以极点O 为原

点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为1-的直线l 过点M ，且与曲线C 交于,A B 两点．

（Ⅰ）求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）求点M 到两点,A B 的距离之积．

9．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()2sin cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l

的参数方程为

2242

x y ?=-+???

?=-+?? （t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点．

（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；

（Ⅱ）若2

PA PB AB ?=，求a 的值．

10．．(本小题满分12分)极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C 的极坐标方程为()θθρsin cos 2+=，斜率为3的直线l 交y 轴与点()1,0E ．

（1）求C 的直角坐标方程，l 的参数方程；

（2）直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求EB EA +的值．

11．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ?

??=+??

=?为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；

（Ⅱ）设直线l

极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3

OM π

θ=与圆C 的交点为O 、

P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.

12．选修４－４：坐标系与参数方程） 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,

极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l

的极坐标方程为sin()4

π

ρθ-=

(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程;

(2)已知P 为椭圆22

:139

x y C +

=上一点,求P 到直线l 的距离的最小值.

坐标系与参数方程选做专题（2015-10-14）（参考答案）

1．（Ⅰ） 1:C 23y x =-，2:C 35cos ,

55sin .x y αα=+??=+?

（α为参数） ；（Ⅱ）相交.

解析：（Ⅰ）∵4,

52.

x t y t =+??=+?，∴4t x =-，代入52y t =+得，52(4)y x =+-，即

23y x =-．∴曲线1C 的普通方程是23y x =-．

将ρ=cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线2C 的方程

26cos 10sin 90ρρθρθ--+=，得2261090x y x y +--+=，

即 22(3)(5)25x y -+-=．设35cos x α-=，55sin y α-=得曲线2C 的参数方

程：35cos ,55sin .

x y αα=+??=+?（α为参数）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线1C 是经过点(4,5)P 的直线，曲线2C 是以(3,5)O '为圆心半径为5r =的圆．∵1PO r '=<，∴点(4,5)P 在曲线2C 内，∴曲线1C 和曲线2C 相交．

2．（Ⅰ）

16)4(22=-+y x

（Ⅱ）解：（Ⅰ）设),(y x P ，则由条件知

)

2,2(y x M 。因为点M 在曲线1C 上，所以???????+==ααsin 222cos 22y x

，即 ???+==ααsin 44cos 4y x 。化为普通方程为16)4(22=-+y x ，即为曲线2C 的普通方程。

（Ⅱ）直线l 的方程为2

)4sin(=+π

ρx ，化为直角坐标方程为02=-+y x 。由（Ⅰ）知曲线2C 是圆心为)4,0(，半径为4的圆，因为圆2C 的圆心到直线l

的距离2

22

4=-=

d ，所以14

2222=-=d r AB 。

3．（1）2y x =+．（2）16．

解析：（1

）将sin()4

π

ρθ-=sin cos 2,ρθρθ-=2y x ∴=+①

（2）将1C 的参数方程化为普通方程得：28x y =②。所以直线经过抛物线的焦点。由①，

②联立消去x 得：21240y y -+=。1212y y ∴+= 1216AB y y p ∴=++=．

4．（Ⅰ）221:22C x y +=

，4l x +=;

. 解析：解：（Ⅰ）221:22C x y +=

，4l x +=

（Ⅱ）设)

,sin Q

θθ，则点Q 到直线l 的距离

d==≥当且仅当

2

42

k

ππ

θπ

+=+，即2

4

k

π

θπ

=+（k Z

∈）时，Q点到直线l

距离的最小值为。

5

．（Ⅰ）(2

23

x y

+-=；（Ⅱ）(3,0).

试题解析：（Ⅰ）由ρθ

=

，得2sin

ρθ

=

，从而有22

x y

+=

所以(2

23

x y

+-=

（Ⅱ）设

1

3,

22

P t

??

+

?

??

，又C，

则PC==0

t=时，PC取得最小值，此时P点的坐标为(3,0).

6．（Ⅰ）cos2

ρθ=-,22cos4sin40

ρρθρθ

--+=（Ⅱ）

1

2

试题解析：（Ⅰ）因为cos,sin

x y

ρθρθ

==，

∴

1

C的极坐标方程为cos2

ρθ=-，

2

C的极坐标方程为

22cos4sin40

ρρθρθ

--+=.……5分

（Ⅱ）将=

π

θ代入22cos4sin40

ρρ

θρθ

--+=，得

240

ρ

-+=，解得1

ρ=

2

ρ|MN|=

1

ρ－

2

ρ

因为

2

C的半径为1，则

2

C MN的面积o

1

1sin45

2

?=

1

2

.

7．（1）22

(1)1

x

y

-+=；（2

）18.

解析：（1）∵2cos

ρθ

=，∴22cos

ρρθ

=，∴222

x y x

+=，故它的直角坐标方程为22

(1)1

x y

-+

=；

（2）直线l

：

5

2

1

2

x

y t

?

=+

??

?

?=

??

（t为参数），普通方程为y x

=-

在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则22

||(51)3118

MT=-+-=，由切割线定理，可得2

||||||18

MT MA MB

=?=．

8．（1）x

y=

2，

?

?

?

??

?

?

+

=

-

=

t

y

t

x

2

2

1

2

2

；（2）2．

解析：（Ⅰ）θ

ρcos

=

x，θ

ρsin

=

y，由0

cos

sin2=

-θ

θ

ρ得

θ

ρ

θ

ρcos

sin2

2=．

所以x y =2即为曲线C 的直角坐标方程； 点M 的直角坐标为)10(，，

直线l 的倾斜角为43π，故直线l 的参数方程为??

??

?

+==43sin 143cos ππt y t x （t 为参数）即???

???

?+=-=t y t x 22122（t 为参数） （Ⅱ）把直线l 的参数方程???

????+=-=t y t x 22122（t 为参数）代入曲线C 的方程得

t t 2

2

)221(2-=+

，即02232=++t t ，01024)23(2>=?-=?， 设B A ,对应的参数分别为21t t 、，则???=?-=+22

32121t t t t 又直线l 经过点M ，故由t 的

几何意义得点M 到B A ,两点的距离之积2||||||||||2121=?==?t t t t MB MA

9．（Ⅰ）曲线C ：()2

0y ax a =>;l ：2

y x =-（Ⅱ）a 的值为2.

解析：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程()2

sin cos 0a a ρθθ=>，

可化为()22sin cos 0a a ρθρθ=>，即()20y ax a =>；

直线l 的参数方程为2

22242x t y t ?=-+

???

?=-+??

（t 为参数），消去参数t ，化为普通方程是2y x =-；

（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程()20y ax a =>中， 得；设A 、B 两点对应的参数分别为t1，t2，

则

)()

121228,48t t a t t a ++?=+；∵

2

PA PB AB

?=，∴()

2

1212

t t

t t -=?，

即()2

12125t t t t +=?；∴)()2

28208a a ?+=+?，解得：2a =，或8a =-（舍

去）；

∴a 的值为2．

10． 解析：（1）由)sin (cos 2θθρ+=得()θρθρρsin cos 22+=，即y x y x 2222+=+即()()2112

2

=-+-y x

l 的参数方程为??????

?+==t y t x 23121（t 为参数）；（2）将???

?

???+==t y t x 23121代入()()21122=-+-y x 得012=--t t 解得2511+=t ，2

512-=t ，则

52121=-=+=+t t t t EB EA 11．（Ⅰ）=2cos ρθ（Ⅱ）2

解析：（Ⅰ）圆C 的普通方程为

22

(1)1x y -+=又cos ,sin x y ρθρθ== 所以圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ

（Ⅱ）设11(,)P ρθ，则由=2cos 3ρθπθ??

?=??，解得

11=1=3πρθ， 设22(,)Q ρθ

，则由(sin )3ρθθπθ?=?

?=??，解得

22=3=3π

ρθ， 所以||2PQ =

12．（1）40x y -+=;（2

）

(1)直线l

的极坐标方程sin 4ρθπ??-= ??

?,

sin cos θθ=即

sin cos 4ρθρθ-=,所以直线l 的直角坐标方程为40x y -+=;

(2)P 为椭圆22

139

x y C +=:上一点,

设3sin )P αα,,其中[02)α∈π,,

则P 到直线l

的距离d =

所以当0cos(60)1α+=-时,d

的最小值为