高考数学专题卷：专题十八《坐标系与参数方程》

高三一轮复习理科数学专题卷 专题十八 坐标系与参数方程

考点58：极坐标与直角坐标（1-6题，13,14题，17-19题） 考点59：参数方程（7-12题，15,16题，20-22题）

考试时间：120分钟 满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I 卷（选择题）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．【来源】2017届山西太原市高三上期中 考点58 易 在极坐标系中，点()1,0与点()2,π的距离为 （ ）

A.1

B.3

C.2

1π+ D.2

9π+

2．【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷）考点58 中难 下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）.

（A ）θρcos 56+= （B ）65sin ρθ=+ （C ）θρcos 56-= （D ）65sin ρθ=-

3．【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷） 考点58 中难 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段

()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ）

A.1,0cos sin 2πρθθθ=

≤≤+ B.1,0cos sin 4

π

ρθθθ=≤≤+

C.cos sin ,02

π

ρθθθ=+≤≤

D.cos sin ,04

π

ρθθθ=+≤≤

4．【来源】2017届上海市闸北区高三下学期期中练习 考点58 中难 在极坐标系中，关于曲线:4sin 3C πρθ?

?

=- ??

?

的下列判断中正确的是 A 、曲线C 关于直线56πθ=

对称 B 、曲线C 关于直线3

π

θ=对称

C 、曲线C 关于点2,

3π??

??

?

对称 D 、曲线C 关于极点()0,0对称 5．【来源】2017届安徽省淮南一中等四校高三5月联考 考点58 中难 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos sin x a y θ

θ=+??

=?

（θ为参数）.以坐标原点为

极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为sin()4

π

ρθ-=

若直线l 与圆C 相切，则实数a 的取值个数为（ ）

A .0 B.1 C.2 D.3 6．【来源】2017届重庆市巴蜀中学高三10月月考 考点58 难

在极坐标系中，设曲线12sin C ρθ=：与22cos C ρθ=：的交点分别为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为（ ）

A ．1

sin cos ρθθ

=+

B ．1

sin cos ρθθ

=-

C ．()4R π

θρ=

∈ D ．3()4

R πθρ=∈

7．【来源】2016届天津市蓟县马伸桥中学高三5月月考 考点59 易

直线2x t y at a =??=+?

(t 为参数)与曲线ρ=1的位置关系是( )

A ．相离

B ．相交

C ．相切

D ．不确定 8．【来源】2017届四川省成都市高三模拟 考点59 易

若曲线0

2sin 301sin 30

x t y t ?=-??=-+?? （t

为参数）与曲线ρ=B ,C 两点，则||BC 的值为（ ）．

A ．72 B

C ．27

D ．30 9．【来源】2017-2018学年河北省黄骅中学高二下期中 考点59 中难

参数方程?????

-=+

=2

1y t t x （t 为参数）所表示的曲线是 （ ）

A ．一条射线

B ．两条射线

C ．一条直线

D ．两条直线

10．【来源】2013届中国人民大学附属中学高考冲刺十 考点59 中难

若直线l 的参数方程为13()24x t

t y t

=+??=-?为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为（ ）

A ．45-

B ．35-

C ．35

D ．45

11．【来源】2014届江西师大附中高三三模 考点59 中难

直线l 的参数方程是2242

x t y t ?=??=+??（其中t 为参数），圆C 的极坐标方程

)4

cos(2π

θρ+=，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是（ ）

A ．2 Ｂ．2 C ．3 D ．26

12．【来源】2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考 考点59 难 已知实数

满足

，则

的最大值为（ ）

A. 6

B. 12

C. 13

D. 14

第II 卷（非选择题）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。） 13．【2017天津，理11】考点58 易

在极坐标系中，直线4cos()106

ρθπ

-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________. 14.【2017北京，理11】 考点58 中难

在极坐标系中，点A 在圆2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP |的最小值为___________.

15．【来源】2017届上海市行知中学高三第一次月考 考点59 易 方程??

?+=+=θ

θ

θ2sin 1cos sin y x （θ为参数）所表示曲线的准线方程是__________.

16．【来源】2017-2017学年宁夏六盘山高中高二下第二次月考 考点59 中难

直线y x b =+与曲线cos sin x y θθ

=??=?（θ为参数，且22ππθ-≤≤）有两个不同的交点，则实数

b 的取值范围___________．

三、解答题（本题共6小题，共70分。）

17. （本题满分10分）

【来源】山西省大同市灵丘豪洋中学2017届高三下学期第三次模拟考试 考点58 中难 已知半圆C 的参数方程为{

1x cos y sin αα

==+，其中α为参数，且,22ππα??

∈-

????

. （1）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，

求半圆C 的极坐标方程；

（2）在（1）的条件下，设T 是半圆C

上的一点，且OT =

，试写出T 点的极坐标.

18.（本题满分12分）

【来源】辽宁省鞍山市2017届高三下学期第一次质量检测 考点58 中难 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为{

x acos y bsin φ

φ

==（0a b >>， φ为参数），

在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点

的圆.已知曲线1C

上的点M ? ??对应的参数3πφ=，射线3π

θ=与曲线2C 交于点1,3D π?? ???

. （Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点()1,A ρθ， 2,2B πρθ??

+

??

?

在曲线1C 上，求

2

212

1

1

ρρ+

的值.

19．（本题满分12分）【2017课标II ，理22】 考点58 中难

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2

C

的直角坐标方程；

（2）设点A 的极坐标为(2,

)3

π

，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值。

20．（本题满分12分）【2017课标1，理22】考点59 易

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=??=?

（θ为参数），直线l 的参数方程

为

4,

1,x a t t y t =+??

=-?

（为参数）. （1）若a =?1，求C 与l 的交点坐标；

（2）若C 上的点到l

a. 21．（本题满分12分）【2017课标3，理22】 考点59 中难

在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =??=?

（t 为参数），直线l 2的参数方程为

2,

,x m m m y k =-+??

?

=??

（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设(

)3:cos sin 0l ρθθ+=，

M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.

22.（本题满分12分）

【来源】河北省石家庄市高三数学一模考试 考点59 难

在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的

12

，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 1C 的极坐标方程为2ρ=．

（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；

（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程．

参考答案

1．【答案】B

【解析】在极坐标系中，作出点()1,0与点()2,π，可得两点之间的距离为123d =+=，故选B. 2．【答案】D

【解析】依次取π

3π

0,,π,22

θ=，结合图形可知只有65sin ρθ=-满足，选D. 3．【答案】A

【解析】根据cos ,sin ,0,[0,2]x y ρθρθρθπ==>∈，()101y x x =-≤≤得：

[0,1],sin 1cos ,(0cos 1,0sin 1,)y ρθρθρθρθ∈=-≤≤≤≤

解得1,0cos sin 2

π

ρθθθ=

≤≤+，选A.

4．【答案】A .

【解析】由4sin 3πρθ??=- ??

?得2

2sin cos ρρθθ=-即(()2

2

14x y +-=，

所以曲线C 是圆心为()

，半径为2的圆，所以曲线C 关于直线56

π

θ=

对称，关于点52,6

π??

???

对称. 5．【答案】C

【解析】圆C 的普通方程为2

2

()1x a y -+=，直线l 的直角坐标方程为10x y -+=，因为

直线l 与圆C 1,1

a ==-±故选C . 6．【答案】A

【解析】曲线θρsin 2:1=C 的直角坐标方程y y x 222=+即

1)1(22=-+y x ，曲线θρcos 2:2=C 的直角坐标方程x y x 222=+即1)1(22=+-y x ，两曲线均为圆，圆心分

别)0,1(),1,0(21C C ，所以线段AB 的中垂线为两圆心连线，其直角坐标方程为1=+y x ，化为极坐标方程得1

sin cos ρθθ

=+，故选A ．

7．【答案】D

【解析】在平面直角坐标系下，2x t

y at a

=??

=+?表示直线2y ax a =+，ρ=1表示半圆

221(y 0)x y +=≥，由于a 的取值不确定，所以直线与半圆的位置关系不确定，选D.

8．【答案】D

【解析】将直线0

2sin 30

1sin 30

x t y t ?=-??=-+??化为普通方程为1=+y x ，曲线22ρ=的直角坐标方程为822=+y x ；圆心到直线的距离

2

2

2

1=

-=

d ，根据圆中特殊三角形，则

302

1

82222=-

=-=d r BC ，故选D ． 9．【答案】B

【解析】12x t t =+≥或12x t t

=+≤-,所以表示的曲线是两条射线 10．【答案】B

【解析】1312(),243

4

x t x y t y t

=+?--∴=?

=-?Q 为参数，故直线l 的方程为43100x y +-= ，所以倾斜角

θ的正切值为4tan 3

θ=-，所以,2

πθπ??∈ ???

，所以直线l 倾斜角的余弦值为21

cos 1tan θθ

=-

+

35

=-．

11．【答案】D

【解析】将圆的极坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程2

2

221x y ????-

++= ? ?

? ??

???

和420x y -+=，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l 的距离d=5，要使切线长最

小，必须直线l 上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离d ，求出d ，由

勾股定理可求切线长的最小值．

12．【答案】B 【解析】实数满足的区域为椭圆及其内部，椭圆的参数方程为

（为参数），记目标函数

，易知

，故

．设椭圆上的点

，则

，其中，所以的最大

值为12，故选B ． 13．【答案】2

【解析】直线为23210x y ++= ，圆为22

(1)1x y +-= ，因为3

14

d =

< ，所以有两

个交点 14．【答案】1

【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为2

2

2440x y x y +--+= ，整理为

()()

22

121x y -+-= ，圆心()1,2C ，点P 是圆外一点，所以AP 的最小值就是

211AC r -=-=.

15．【答案】1

4

y =-

【解析】利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，参数方程 ?

?

?+=+=θθ

θ2sin 1cos sin y x （θ为

参数）化为普通方程可得()202

≤≤=y y x ，表示抛物线的一部分，故其准线方程为

1

4

y =-.

16．

【答案】(

1?-?

【解析】曲线cos sin x y θθ

=??

=?（θ为参数，且22ππθ-≤≤）的普通方程为22

1(0)x y x +=≥，

它是半圆，单位圆在y 右边的部分，作直线y x b =+，如图，它过点(0,1)A -时，1b =-，

当它在下方与圆相切时，b =

(1]b ∈-．

17.【答案】（1）2sin ρθ=， 0,2πθ??∈??

??

.（2）3

πθ=

【解析】（1）根据半圆C 的参数方程{

1x cos y sin α

α==+，其中α为参数，且,22ππα??∈-????

，得圆

的普通方程为： ()2

211x y +-= ()01x ≤≤，

所以，半圆C 的极坐标方程为： 2sin ρθ=， 0,2πθ??∈??

??

.

（2

）因为OT =

2sin θ， 0,2πθ??∈??

??

，

则解得3

π

θ=

.故点T 的极坐标为3,3π?

? ?

?

?

. 18． 【答案】（1）()2

211x y -+=（2）5

4

【解析】（Ⅰ）将31,M ?? ? ?

??

及对应的参数3

π

?=

，代入{

x acos y bsin ??

==，得

13

{

33

acos

bsin π

π==，即2

{1

a b ==，

所以曲线1C 的方程为2{x cos y sin ?

?==（?为参数），或

2

214

x y +=.设圆2C 的半径为R ，由题意，圆2C 的方程为2cos R ρθ=，（或()2

22x R y R -+=）.将点1,

3D π??

???

代入2cos R ρθ=，得12cos

3

R π

=，即1R =.

（或由1,3D π??

???

，得

13,2D ?? ? ???

，代入()222x R y R -+=，得1R

=）

， 所以曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=.

（Ⅱ）因为点()1,A ρθ， 2,2B πρθ??+ ?

?

?

在曲线1C 上，所以222211cos sin 14

ρθρθ+=， 222sin 4

ρθ+

2

22cos 1ρθ=，所以

22121

1ρρ+ 22cos sin 4θθ??=+ ???

22sin 5cos 44θθ??++= ???. 19．【答案】(1)()()22240x y x -+=≠；(2) 23+。 【解析】

（2）设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>,由题设知2,4cos B OA ρα==,于是OAB △面

积

1

sin 2

4cos sin 332sin 23223B S OA AOB ρ

πααπα=

??∠?

?=?- ?

?

??

?=--

???≤+。

当12

π

α=-

时，S 取得最大值23+。

所以OAB △面积的最大值为23+。

20．

（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为

17

d =

当4a ≥-时，d 17

.由题设得1717

=，所以8a =；

当4a <-时，d 的最大值为17.由题设得

1717

=，所以16a =-. 综上，8a =或16a =-.

21．【答案】(1) ()2240x y y -=≠；(2) 5 【解析】

设(),p x y ,由题设得()()21

2y k x y x k ?=-?

?=+??

，消去k 得()2

2

40x y y -=≠.

所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.

22．【答案】(1) 2{x cos y sin θθ

==（θ为参数）．（2）1

4

y x =

【解析】（Ⅰ） 2

214

x y +=， 2{

x cos y sin θ

θ

==（θ为参数）．

（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点()2cos ,sin A q q ，

8cos 4sin l θθ=+

()

4545sin 55θθθ??

==+??

，

且cos 5

? sin 5

?

所以，当22

k πθ?π+=+（k Z ∈）时， l 取最大值，

此时22

k πθπ?=+-，所以， 2cos 2sin 5

θ?= sin cos 5θ?=

此时， 55A ， 1l 的普通方程为14y x =．