131函数的单调性与导数(第二课时)
函数的单调性与导数(第二课时)
§1.3.1 函数的单调性与导数（第二课时）【学习目标】1、进一步掌握函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不定式；3、 会求函数的单调区间（其中多项式函数次数一般不超过三次）。
【自主学习】1、 函数的单调性与其导数的正负关系一般地，设函数y=f(x),在区间（a,b ）上()0,()____________;(2)()0,()f x f x f x f x '>'<(1)如果则在该区间上如果则在该区间上_____________.2、 函数单调性与导数值大小的关系一般地，设函数y=f(x),在区间（a,b ）上1(),(),f x a b f x a b ''（）如果越大，函数在区间（）上变化得_________,函数的图像就比较“陡峭”（向上或向下）；(2)如果越小，函数在区间（）上变化得_________,函数的图像就比较“平缓”（向上或向下）.3、(f 'x)>0是f(x)在此区间为增函数的充要条件吗？4、怎样证明函数f(x)在一个区间上是增函数？5、求下列函数的单调区间：1ln ;y x x =-（） (2).y =【质疑探究】探究一 证明函数ln ()x f x x=在区间（0,2）上是单调递增函数。
探究二 已知0,1,a a >≠且证明函数()ln - 0)x f x a x x =-∞在(，内是减函数。
3.(1)+(2)1+y x ax b y a y a =-+∞∞探究三 已知函数若函数在（1，）内是增函数，求的取值范围.若函数的一个单调递增区间为（，），求的值。
1,ln(1)x x x >>+探究四 已知证明:。
高中数学 第一章 导数及其应用 3.1 函数的单调性与导数(2)课件 新人教B版选修2-2
(3 )函 数 y x 3的 定 义 域 为 R ,并 且 在 定 义 域 上 是 增 函 数 ,
其 导 数 y 3 x 2
若 x 0 , 则 其 导 数 3 x 2 0 ; 当 x 0 , 则 其 导 数 3 x 2 0 . (4)函 数 y1的 定 义 域 为 (,0) (0,),并 且
第1章 导数及应用
1.3.1 函数的单调性与导数
函数的 单调性 与导数
内容：利用导数研究函数的单调性
应用
利用导函数判断原函数大致图象
利用导数求函数的单调区间 从导数的角度解释增减及增 减快慢的情况
有关含参数的函数单调性问题
本课主要学习利用导数研究函数的单调性.利用动画剪纸之 对称性引入新课,接着复习了函数单调性的相关问题，通过探 究跳水运动中高度h随时间t变化的函数的图象,讨论运动员的 速度v随时间t变化的函数关系，再结合具体函数，探究函数在 某个点处的导数值与函数在该点处的单调性问题。结合具体例 子探索函数的单调性与导数的关系、利用导数判断函数的单调 性或求函数的单调区间、从导数的角度解释增减及增减快慢的 情况及含参数的函数单调性问题．重点是利用导数研究函数的 单调性,会求函数的单调区间．
函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调
性的关系是：
y f (x)
(x1, f (x1))
(x0, f (x0))
在 xx0处 ,f(x0)0,切 线 是 左 下 右 上 , 函 数 f(x)在 x0附 近 单 调 递 增
在 xx1处 ,f(x1)0,切 线 是 左 上 右 下 , 函 数 f(x)在 x1 附 近 单 调 递 减
4.讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
图象法 定义法
单增区间：(２，+∞). 单减区间：(－∞，２).
3.3.1函数的单调性与导数(二)
• 解法二：(数形结合) • 如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在 (1,4) 内 f′(x)≤0 ， (6 ，＋ ∞ ) 内 f′(x)≥0 ，且 f′(x) ＝0有一根为1，则另一根在[4,6]上．
f′(4)≤0， 所以 f′(6)≥0，
3(5－a)≤0， 即 5(7－a)≥0，
x3
因为函数在（0，1]上单调递增
2 f '(x)>0,即a - 3 在x （0， 1]上恒成立 x 1 而g(x) 3 在（0， 1]上单调递增， x g(x)max g(1)=-1
a〉 -1
11
2 当a 1时，f '(x) 2 3 x 所以a的范围是[-1，+） 练习1 1 1
所以 5≤a≤7.
9
• 解法三：(转化为不等式的恒成立问题) • f′(x) ＝ x2 － ax ＋ a － 1. 因为 f(x) 在 (1,4) 内单调递减，所 以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上 恒成立，所以a≥x＋1，因为2<x＋1<5，所以当a≥5时， f′(x)≤0在(1,4)上恒成立， • 又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在 (6，＋∞)上恒成立，
象“陡峭”,在 (b, )
或 ( , a )
内的图象平缓.
5
练习
函数 y f 的大致形状
( x ) 的图象如图所示, 试画出导函数 f ( x )图象
6
题型：根据函数的单调性求参数的取值范围
例2：求参数的范围 若函数f(x) ax 3 - x 2 x - 5在(-,+)上单调递增， 求a的取值范围
高中数学 131函数的单调性与导数教案教案 新人教A版选修2 2
课时）1.3.1函数的单调性与导数（2教学目标：．了解可导函数的单调性与其导数的关系；1 ．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；2 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授，它表示跳水运动1）．问题：图3.3-1（ 1th数函变化的中高度随时间20?.51?4.t9?6th(t)?3.3-1的图像，图t v随时间2）表示高台跳水运动员的速度（'6.5?t()??9.8tv(t)?h图变化的函数的像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：t)th(h是增函（1）随时间运动员从起点到最高点，离水面的高度的增加而增加，即'0)?hv(t)?(t数．相应地，．t)h(t h是减函从最高点到入水，运动员离水面的高度（2）的增加而减少，即随时间'0?h(vt)?(t)数．相应地，．．函数的单调性与导数的关系2观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．- 1 -专心爱心用心．')xf(，导数3.3-3图如0),yx()xf(处的切线的斜率．表示函数在点00'xxx?0x)?f()(xf附近单调递处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在在000增；'xxx?0f()?x)(xf 附近单调递处，在，切线是“左上右下”式的，这时，函数在101减．结论：函数的单调性与导数的关系'0f(x)?)f?(ba(,)xy在这个区间内单调递增；如果在某个区间内，如果，那么函数- 2 -专心爱心用心．'0)?(xf)x(y?f，那么函数在这个区间内单调递减．'0x)?f()f(xy?）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．说明：（1)x?f(y单调区间的步骤：3．求解函数)x?f(y 1）确定函数的定义域；（'')fxy(?；（2）求导数'0?x)f(）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（3'0?xf)(，解集在定义域内的部分为减区间．（4）解不等式三．典例分析')fx(：例1．已知导函数的下列信息'0?(x)f4x?1?时，；当'0?(x)f1x?x?4当时，，或；'0(x)f?1?x?4x，或当时，)?f(xy图像的大致形状．试画出函数'0x)f?()f(xy?41?x?解：当时，，可知在此区间内单调递增；'0)f?(x)(xy?f1x?x?4可知在此区间内单调递减；，或当时，；'0)f?(x1x?4x?时，．当，或，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”)xy?f(综上，函数所示．图像的大致形状如图3.3-4 判断下列函数的单调性，并求出单调区间．例2．233?2xx3f(x)?x(fx)?x??（1）；（2）23?1x??24xf(x)?2x?3)x?(0,xxf()?sin?x4）；（3（）3x?x3(fx)?，所以，1）因为（解：2'203(?x??1)f)(x?3x?33x?3)f(x?x R 1因此，在上单调递增，如图3.3-5（）所示．- 3 -专心爱心用心．??'21?2x?2?2xf?(x)3??2x(fx)?x，所以，2）因为（'23?(x)?x?2xff(x)?01x?，即时，函数当单调递增；2'3?x?2x)f(x)?0f(x?1x?时，函数，即当单调递减；23?2xxf(x)??函数）所示．（2的图像如图3.3-5'?0xf()?cos x?1?)(0,x(fx)?sin x?x?，所以，3）因为（?x sin?x?f(x))(0,）所示．在3.3-5（因此，函数3单调递减，如图231x?24x??f(x)?2x3．）因为（4，所以2'3fxf()?0(x)?x?2x?；当，即时，函数2'3?)?x2x?xf?f(x)0(时，函数当；，即231xxf()?2?3x?24x?）所示．4的图像如图函数3.3-5（ 4）生练（）（注：3、例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相th的函数关系图像．与时间同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度- 4 -专心爱心用心．分以析：器容）（2为例，于由器容细上下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图 A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．像上，（????????????????C,3,?1??AB?,D24解：结不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．思考：例3表明，通过函数图像，合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．????0ba,0,)xy?f(所示，函数如图3.3-7，在或内的图像“陡峭”????a????,b,在．或内的图像“平缓”??232,1?1?12xx?3x?y?24．求证：函数内是减函数．在区间例??????2'22?1?6x?6x?12?6x?x?2?xx?y6证明：因为????23'2,1??x?2,11?y?2x?3x?12x0?y12??x?内时，即所以函数在区间当，是减函数．????b,fax在说明：证明可导函数内的单调性步骤：??'xf）求导函数；（1????'bxfa,内的符号；（2）判断在????''0f?xx?0f为增函数，（3）做出结论：为减函??321,1?)?Rx()f(x?4x?ax?x a的在区间上是增函数，求实数5例．已知函数3取值数．2范围．????2''1,1xf?0)?f(xax?f(x)4?2?2x对解：上是增函数，所以在区间，因为????21,1?1,1?xx??02x?ax??1?a?1?对恒成立，即恒成立，解之得：??1,1?a的取值范围为．所以实数- 5 -专心爱心用心．已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调说明：''0(x)?ff(x)?0”来求解，注；若函数单调递减，则性关系：即“若函数单调递增，则意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．1xy. =，试讨论出此函数的单调区间+例6．已知函数x1xy=()+解：′′x2)x?11(x?1)(x??2－x==1－1·22xx(x?1)(x?1)＞令0.2xxx1. 1或解得＜－＞1xy). ∞，+(－∞，－∴1)=和+(1的单调增区间是x)1x?x?1)((xx1. ＜0或00令＜，解得－1＜＜＜2x1xy，1)0)和+(0的单调减区间是(－1∴，=x四．课堂练习．求下列函数的单调区间11?23]2[?0,y=xlnxfxfx fxxxx x 1.(()=2 －6)=sin+7 2.4.()=, +2x 3. x练习2．课本五．回顾总结）函数的单调性与导数的关系????baf,x 3（）证明可导函数在内的单调性（1)xf(y? 2）求解函数单调区间（六．布置作业- 6 -专心爱心用心．- 7 -专心爱心用心．。
1.3.1 函数的单调性与导数 课件(人教A版选修2-2) (1)
A．[3，＋∞)
B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：f′(x)＝3x2＋a，
令3x2＋a≥0，则a≥－3x2[x∈(1，＋∞)]．∴a≥－3.
答案：B
练习题：1．已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k＞ 0)．若f(x)的单调递减区间为(0,4)，单调递增区间为(－∞，0) 与(4，＋∞)，求k的值．
x ( 1 ,1) 3
.
3．已知函数f(x)＝ x ＋ln x，则有( )
A．f(2)<f(e)<f(3)
B．f(e)<f(2)<f(3)
C．f(3)<f(e)<f(2)
D．f(e)<f(3)<f(2)
解析：在(0，＋∞)内，f′(x)＝
2
1
x＋1x
>0，
所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．
1
234Fra bibliotekhh
h
h
o A t o B t o C t o D t
分析 以容器2为例,由于容器
上细下粗,所以水以恒速注入时, 开始阶段高度增加得慢,以后高 度增加得越来越快.反映在图象
上,A 符合上述变化情况.同理
可知其他三种容器的情况.
解 1→B, 2→A, 3→D, 4→C.
2 h
o A t
思考 例 3 表明,通过函数图象 ,不仅可以看出函 数的增与减 ,还可以看出其增减的快慢.结合图象, 你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗?
一般地,如果一个函
y
数在 某一范围内导 数 的绝对值较大,那 么函数 在 这个范围
1.3.1函数的单调性与导数第2课时课件
当 a 0时，令 f (x) 0 ，解得 x 1 ，（ x 1 不在定义域内，舍去），则当x (0, 1 ) 时，
a
2
a
f (x) 0 ，当 x ( 1 ,) 时， f (x) 0 ，故 f (x) 在(0, 1 ) 单调递减，在( 1 ,) 单调递
a
f (x) 0 ，则 F(x)
f (x) x
在 (0,) 单调递减，由于 y f (x), y x 为奇函数，则 F(x) f (x) 为偶函数，所 x
以 F(x) f (x) 在(,0) 单调递增，因为 f (1) 0 ，则 F(1) F(1) 0 ，则函数 x
f (x) ；
（3） F (x) x2 f (x) ， F(x) 2xf (x) x2 f (x) x(2 f (x) xf (x)) ；
（4） F(x)
f
(x) x2
，
F
(
x)
f
( x)
x2 x4
f
(x)
2x
f (x) x 2 f (x) ； x3
（5） F (x) ex f (x) ， F(x) ex ( f (x) f (x)) ；
（6） F(x)
f
(x) ex
，
F
(
x)
f (x) ex f (x) ex e2x
f (x) ex
f (x)
.
题型二：利用导数运算法则和单调性构造函数
变式 3：设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (1) 0 ，当 x 0 时，有 xf (x) f (x) 0 恒
高二数学函数的单调性与导数2精品PPT课件
o
x
令6x2－12x<0,解得,0<x<2
∴当x ∈(0,2)时，f(x)是减函数。
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演 稿
3 等
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示 1
后
文 2
知识点：
定理：
一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：
如果恒有 如果恒有 如果恒有
步骤：
，则 f(x)在是增函数。 f’(x)>0
，则 f(x)是减函数。 f’(x)<0
3.3.1函数的单调性与导数
情境设置 探索研究 演练反馈 创新升级 总结提炼 作业布置
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y 1 x
yx2 2x1 y 3x
y
y
y
o
x
1
o
x
1
o
x
在（－ ∞ ，0）和（0, ＋ ∞）上分别是减函数。
但在定义域上不是减函数。
在（－ ∞ ，1）上是减 函数，在（1, ＋∞）上 是增函数。
作业布置：
书本P107 A 1.（1）（2）,2.（2）(4). 第二教材 A
为方便学习与使用课件内容，
课件可以在下载后自由调整
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
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新课引入
y 1
o
1.在x＝1的左边函数图像的单 调性如何？
2.在x＝1的左边函数图像上的各
x 点切线的倾斜角为
(锐角/
钝角)?他的斜率有什么特征？
131函数的单调性与导数-课件人教A版选修2-2
当 x > 4 , 或 x < 1时, f(x)0;
当 x = 4 , 或 x = 1时, f(x)0. 试画出函数 f ( x) 的图象的大致形状.
解: 当1 < x < 4 时, f(x)0, 可知 f ( x) 在此区间内
单调递增;
当 x > 4 , 或 x < 1时, f(x)0,可知 f ( x) 在此区
间内单调递减;
y
当 x = 4 , 或 x = 1时,
f(x)0.
综上, 函数 f ( x)图象
的大致形状如右图所示.
O1
4
x
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
( 1 )f( x ) x 3 3 x ; ( 2 )f( x ) x 2 2 x 3 ;
(3 )f(x ) sx i n x ,x (0 ,);
G=(a,b)
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数， 则 f(x) 在G上具有严格的单调性。
G 称为单调区间
概念回顾
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y 1 x
yx22x1 y 3x
y
y
y
o
x
1
o
x
1
o
x
在（－ ∞ ，0）和（0, ＋∞）
上分别是减函数。但在定 义域上不是减函数。
观察: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的
函数 h(t)4.9t26.5t1的0图象, 图(2)表示高台跳水运
动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t)9.8t6.5的图象.
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所以f'(x)=3ax2-3ax
再由f '(1 ) 3a 3a 3 ,可得：a 2, b 3 2 4 22
所以f(x)=-2x3+3x2
（2）.令f (x) x,即 2x3 3x2 x 0 所以x(2x 1)( x 1) 0 可得0 x 1 或x 1
，x
(0,1],若（f x）
在x (0,1]上是增函数，求a的取值范围.
解：由已知得
f
'(x)
2a
2 x3
因为函数在（0，1]上单调递增
而fg('(xx))0x,13即在a（0-，1x]23上在单x调（递0， 增1]，上恒成立 g(x)max g(1)=-1
a -1
考点：判断根的个数
例 求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
2
证 令f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
f(x)在（ ， ）上是单调函数， 而当x 0时，（f x)=0
方程x 1 sin x 0有唯一的根x 0. 2
知识小结 一般：地，函数y＝f（x）在某个区间内：
如果 。
f’(x)>0
2. 对x∈(a,b),如果f/(x)≤0,且f/(x)不恒 为0,则f(x)在区间(a,b)上是减函数;
考点:运用导数与函数单调性求参数
练习2 已知函数f(x)=2ax - x3，x (0,1],a 0, 若f(x)在（0，1]上是增函数，求a的取值范围。
例
已知函数（f x）
2ax
1 x2
当a2 3b 0时，f ( x)在R上( A )
( A)增函数 (B)减函数 (C)常数 (D)既不是增函数也不是减函数
2：已知f (x) ax3 bx2 cx在区间[0,1]上是增函数
在区间（ ，0），（1， ）上是减函数，又f '(1) 3 22
(1)求f(x)0)上恒有f (x) x成立，求m的取值范围
（1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围
(4)下结论， 写出函数的单调区间。
思考：
设f (x)在(a,b)内可导,则f '(x) 0是f (x)在 (a, b)上单调递增的_充__分__不_必__要__条件.
补充结论
1. 对x∈(a,b),如果f/(x)≥0,且f/(x)不恒 为0,则f(x)在区间(a,b)上是增函数;
第二课时
在某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减
注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它 必是定义域内的某个区间。
“练导习数、法判”断求下单列调函区数间的的单步调骤性：，并求出单调区间。
，则 f(x)在该区间是增函数
如果 f’(x)<0
，则 f(x)在该区间是减函数
导函。数f’(x)的-正---负--与原函数f(x)的增减性有关
求单调区间的步骤 :
（1）求函数的定义域
（2）求函数的导数
（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即 函数的单调区间。
函数f ( x) x3 ax2 bx c,其中a,b,c为常数，
分析：由题目可获得以下信息： （1）.x=0，x=1是方程f'(x)=0的两个根；（2）f
'(1)
3
22
故解答本题可以先由f'(0)=0，f'(1)=0，f'(1/2)=3/2解出 a、b、c的值，得到f(x)。
然后解不等式 f (x) x，最后依照题设确定 m的值。
解：(1).f'(x)=3ax2+2bx+c， 再由已知f'(0)=0，f'(1)=0，可 得：
2
又f (x) x在区间[0, m]上恒成立，所以0 m 1 2