高中数学题库之概率统计期望方差部分(百题尖子生高考数学分类汇编)
高中数学题库之概率统计期望方差部分（百题尖子生高考数学分类汇编）一、选择题（共30小题；共150分）1. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 12，甲获胜的概率是 13，则甲不输的概率为 ( )A. 56B. 25C. 16D. 132. 4 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( ) A. 13B. 12C. 23D. 343. 一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ( ) A. 18B. 116C. 127D. 384. 在区间 [0,π] 上随机取—个数，则事件“tanx ⋅cosx ≥12”发生的概率为 ( )A. 12 B. 34C. 13 D. 235. 已知离散型随机变量 X 服从二项分布 X ∼B (n,p ) 且 E (X )=12，D (X )=4，则 n 与 p 的值分别为 ( ) A. 18,23B. 18,13C. 12,23D. 12,136. 有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、 黄、蓝、 绿、 紫．从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ( ) A. 45B. 35C. 25D. 157. 同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《十年》，《父亲》，《单身情歌》 四首歌选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》 未选取的概率为 ( ) A. 13B. 12C. 23D. 568. 如图正方形的曲线 C 是以 1 为直径的半圆，从区间 [0,1] 上取 1600 个随机数 x 1，x 2，⋯，x 800，y 1，y 2，⋯，y 800，已知 800 个点 （ x 1,y 1 ），（ x 2,y 2 ），⋯，（ x 800,y 800 ） 落在阴影部分的个数为 m ，则 m 的估计值为 ( )A. 157B. 314C. 486D. 6289. 在区间 [−1,1] 上随机取一个数 k ，使直线 y =k (x +3) 与圆 x 2+y 2=1 相交的概率为 ( )A. 12B. 13C. √24D. √2310. 某班有 50 名学生，一次数学考试的成绩 ξ 服从正态分布 N (105,102)，已知 P (95≤ξ≤105)=0.32，估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为 ( ) A. 10B. 9C. 8D. 711. 若不等式组 {x +y −1≤0,x −y +1≥0,y +12≥0表示的区域 Ω，不等式 (x −12)2+y 2≤14 表示的区域为 Γ，向 Ω 区域均匀随机撒 360 颗芝麻，则落在区域 Γ 中芝麻数约为 ( ) A. 114B. 10C. 150D. 5012. 设 X ∼N (1,σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且 P (X ≥3)=0.0228，那么向正方形 OABC中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为 ( )（附：随机变量 ξ 服从正态分布 N (μ,σ2)，则 P (μ−σ<ξ<μ+σ)=68.26%，P (μ−2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%）A. 6038B. 6587C. 7028D. 753913. 已知函数 f (x )=log a x +log 1a8（a >0 且 a ≠1），在集合 {14,13,12,3,4,5,6,7} 中任取一个数 a ，则 f (3a +1)>f (2a )>0 的概率为 ( ) A. 14B. 38C. 12D. 3414. 在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 的方程为 x 2−y =0）的点的个数的估计值为 ( )A. 5000B. 6667C. 7500D. 785415. 学校开展运动会活动，甲、乙两位同学各自报名参加跳高、跳远、游泳三个项目中的一个，每位同学参加每个项目的可能性相同，则这两位同学参加同一个体育项目的概率为 ( ) A. 14 B. 13 C. 38 D. 23 16. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (2,σ2)，P (ξ≤4)=0.84，则 P (ξ≤0)= ( )A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.8417. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是 ( )18. 已知 P 是 △ABC 所在平面内一点，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，现将一粒黄豆随机撒在 △ABC 内，则黄豆落在 △PBC 内的概率是 ( )A. 14B. 13C. 12D. 2319. 设 p 在 [0,5] 上随机地取值，则关于 x 的方程 x 2+px +1=0 有实数根的概率为 ( )A. 15B. 25C. 35D. 4520. 设 x ∈[0,4]，则 x 2≤4 的概率是 ( )A. 23B. 14C. 13 D. 1221. 已知函数 f (x )=13mx 3+12nx 2+x +2017，其中 m ∈{2,4,6,8}，n ∈{1,3,5,7}，从这些函数中任取不同的两个函数，它们在 (1,f (1)) 处的切线相互平行的概率是 ( ) A.7120B. 760C. 730D. 以上都不对22. 从 1 至 9 共 9 个自然数中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是 5 的概率为 ( )A. 23B. 13C. 19D. 1823. 设函数 f (x )={e x ,0≤x <1lnx +e,1≤x ≤e在区间 [0,e ] 上随机取一个实数 x ，则 f (x ) 的值不小于常数e 的概率是 ( ) A. 1eB. 1−1eC.e1+eD.11+e24. 已知函数 f (x )=log 2x ，x ∈[1,8]，则不等式 1≤f (x )≤2 成立的概率是 ( )A. 17B. 27C. 37D. 4725. 某个路口交通指示灯，红灯时间为 30 秒，黄灯时间为 10 秒，绿灯时间为 40 秒，黄灯时间可以通行，当你到达路口时，等待时间不超过 10 秒就可以通行的概率为 ( ) A. 34B. 47C. 57D. 5826. 平面直角坐标系中，在直线 x =1，y =1 与坐标轴围成的正方形内任取一点，则此点落在曲线y =x 2 下方区域的概率为 ( ) A. 13B. 23C. 49D. 5927. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N (3,4)，若 P (ξ<2a −3)=P (ξ>a +2)，则 a 的值为 ( )A. 73B. 53C. 5D. 328. 已知点 P 是 △ABC 所在平面内一点，且 PA⃗⃗⃗⃗⃗ =−2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，在 △ABC 内任取一点 Q ，则 Q 落在 △APC 内的概率为 ( )A. 13B. 23C. 14D. 1229. 四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为 ( )30. 五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( )A. 12B. 1532C. 1132D. 516二、填空题（共30小题；共150分）31. 如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列a n(n∈N∗)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2013+a2014+a2015=．32. 从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为．33. 书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为．34. 从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为．35. 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒．当你到达路口时，看见红灯的概率是．36. 甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88，89，90；乙组：87，88，92．如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是．37. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A，“两颗骰子的点数之和大于8”为事件B，则P(B∣A)=．38. 给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”；④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”；其中属于互斥事件的是．（把你认为正确的命题的序号都填上）39. 设随机变量X∼N(3,σ2)，若P(X>m)=0.3，则P(X>6−m)=．40. 如图的矩形，长为 5，宽为 2，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138 颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 ．41. 已知随机变量 ξ 的分布列为：ξ−1012Px 1316y若 E (ξ)=13，则 x +y = ，D (ξ)= ．42. 已知随机变量 X 服从正态分布 N (3,σ2)，若 P (1<X ≤3)=0.3，则 P (X ≥5)= ． 43. 若随机变量 X ∼N (μ,σ2)，且 P (X >5)=P (X <−1)=0.2，则 P (2<X <5)= ． 44. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 ． 45. 方程 x 2+x +n =0(n ∈[0,1]) 有实根的概率为 ．46. 某班有 50 名同学，一次数学考试的成绩 X 服从正态分布 N (110,102)，已知 P (100≤X ≤110)=0.34，估计该班学生数学成绩在 120 分以上有 人．47. 连续掷两次骰子，以先后看到的点数 m ，n 作为点 P 的坐标 (m,n )，那么点 P 在圆 x 2+y 2=17 内部（不包括边界）的概率是 ．48. 袋中有 6 个编号不同的黑球和 3 个编号不同的白球，这 9 个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取 3 个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是 ．设摸取的这三个球中所含的黑球数为 X ，则 P (X =k ) 取最大值时，k 的值为 ．49. 如图，向边长为 1 的正方形内随机地投点，所投的点落在由 y =x 2 和 y =x 12 围成的封闭图形的概率为 ．50. 在平面直角坐标系内，满足 {0≤x ≤1,−2≤y ≤2的点 (x,y ) 构成的区域为 D ，曲线 y 2=4x 与直线 x =1 围成的封闭区域为 M ．向 D 内随机投入一点，该点落入 M 内的概率为 ．51. 已知长方形 ABCD 中，AB =4，BC =1，M 为 AB 中点，则在此长方形内随机取一点 P ，P 与M 的距离小于 1 的概率为 ．52. 在长为 5 的线段 AB 上任取一点 P ，以 AP 为边长作等边三角形，则此三角形的面积介于 √3 和4√3 的概率为 ．53. 已知 Ω={(x,y )∣ ∣ x∣ ≤1,∣ y∣ ≤1}，A 是曲线 y =x 3 与 y =x 12 围成的区域，若向区域 Ω 上随机投一点 P ，则 P 落入区域 A 的概率为 ．54. 一只小虫在半径为 3 的球内自由飞行，若在飞行中始终保持与球面的距离大于 1，称为“安全距离”，则小虫安全的概率为 ．55. 在区间 [0,3] 上随机地取一个数 x ，则事件“−1≤log 12(x +12)≤1”发生的概率为 ．56. 随机向边长为 5，5，6 的三角形中投一点 P ，则点 P 到三个顶点的距离都不小于 2 的概率是 ．57. 在三棱锥 P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA =1，AB =AC =√3，∠BAC =120∘，D 为棱 BC 上一个动点，设直线 PD 与平面 ABC 所成的角 θ，则 θ 不大于 45∘ 的概率为 ．58. 已知离散型随机变量 X 的分布列为X012P141214则变量 X 的数学期望 E (X )= ，方差 D (X )= ．59. 两所学校分别有 2 名，3 名学生获奖，这 5 名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为 ．60. 100 张卡片上分别写有 1，2，3，⋯，100，从中任取 1 张，则这张卡片上的数是 6 的倍数的概率是 ．三、解答题（共40小题；共520分）61. 某校夏令营有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女同学 X,Y,Z ，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学A B C 女同学XYZ现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）．（1）用表中字母列举出所有可能的结果；（2）设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”，求事件 M 发生的概率．62. 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛．（1）求所选 3 人都是男生的概率； （2）求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率； （3）求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率．63. 编号分别为A1，A2，⋯，A16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10,20)[20,30)[30,40]人数（2）从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，（i）用运动员编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率．64. 空气质量问题，全民关注，有需求就有研究，某科研团队根据工地常用高压水枪除尘原理，制造了雾霾神器---雾炮，虽然雾炮不能彻底解决问题，但是能在一定程度上起到防霾、降尘的作用，经过测试得到雾炮降尘率的频率分布直方图：若降尘率达到18%以上，则认定雾炮除尘有效．（1）根据以上数据估计雾炮除尘有效的概率；（2）现把A市规划成三个区域，每个区域投放3台雾炮进行除尘（雾炮之间工作互不影响），若在一个区域内的3台雾炮降尘率都低于18%，则需对该区域后期追加投入20万元继续进行治理，求后期投入费用的分布列和期望．65. 某校某次N名学生的学科能力测评成绩（满分120分）的频率分布直方图如下，已知分数在100∼110的学生数有21人．（1）求总人数N和分数在110∼115分的人数n；（2）现准备从分数在 110∼115 的 n 名学生（女生占 13）中选 3 位分配给 A 老师进行指导，设随机变量 ξ 表示选出的 3 位学生中女生的人数，求 ξ 的分布列与数学期望 E (ξ)；（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导建议，对他前 7 次考试的数学成绩 x ，物理成绩 y 进行分析，该生 7 次考试成绩如表数学(x )888311792108100112物理(y )949110896104101106已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的．求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ^=b ^x +a ^，若该生的数学成绩达到 130 分，请你估计他的物理成绩大约是多少? 附：对于一组数据 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯，(x n ,y n )，其回归方程 y ^=b ^x +a ^ 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 b ^=i −x )ni=1i −y )∑(x −x )2n ，a ^=y −b ^x ．66. 据统计，截至 2016 年底全国微信注册用户数量已经突破 9.27 亿，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取 100 位同学进行了抽样调查，结果如下：微信群数量(个)频数频率0∼4 0.155∼8400.49∼122513∼16a c 16以上5b合计1001（1）求 a ，b ，c 的值及样本中微信群个数超过 12 的概率；（2）若从这 100 位同学中随机抽取 2 人，求这 2 人中恰有 1 人微信群个数超过 12 的概率； （3）以（1）中的频率作为概率，若从全市大学生中随机抽取 3 人，记 X 表示抽到的是微信群个数超过 12 的人数，求 X 的分布列和数学期望 E (X )．67. 某人玩掷骰子移动棋子的游戏，棋盘分为A ，B 两方，开始时棋子放在A 方，根据下列①，②，③的规定移动棋子：①骰子出现1点时，不能移动棋子；②出现2，3，4，5点时，把棋子移向对方；③出现6点时，若棋子在A 方就不动，若棋子在B 方就移至A 方．（1）将骰子连掷 2 次，求掷第一次后棋子仍在A 方而掷第二次后棋子在B 方的概率； （2）若将骰子连掷 3 次，3 次中棋子移动的次数记为 ξ，求随机变量 ξ 的分布列和期望．68. 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏．（1）求这 4 个人中恰在此有 2 人去参加甲游戏的概率；（2）用 X ，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 ξ=∣X −Y∣，求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 E (ξ)．69. 甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐 3 米线内设一点 A ，在点 A 处投中一球得 2 分，在距篮筐 3 米线外设一点 B ，在点 B 处投中一球得 3 分．已知甲、乙两人在 A 和 B 点投中的概率相同，分别是 12和 13，且在 A 、 B 两点处投中与否相互独立，设定每人按先 A 后 B 再 A 的顺序投篮三次，得分高者为胜．（1）若甲投篮三次，试求他投篮得分 ξ 的分布列和数学期望． （2）求甲胜乙的概率．70. 为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从 A,B,C 三个区中抽取 7个工厂进行调查．已知 A,B,C 区中分别有 18,27,18 个工厂． （1）求从 A,B,C 区中应分别抽取的工厂个数；（2）若从抽得的 7 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比，用列举法计算这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率．71. 从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 12，13，14．（1）设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （2）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率．72. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派 3，1，2 名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为 A 1，A 2，A 3，乙协会编号为 A 4，丙协会编号分别为 A 5，A 6，若从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛．（1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率； （3）求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率．73. 甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用 7 场 4 胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜 4 场就结束比赛．现已比赛了 4 场，且甲篮球队胜 3 场．已知甲球队第 5，6 场获胜的概率均为 35，但由于体力原因，第 7 场获胜的概率为 25． （1）求甲队以 4:3 获胜的概率； （2）设 X 表示决出冠军时比赛的场数，求 X 的分布列及数学期望．74. 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球． （1）求取出的 4 个球均为黑球的概率； （2）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率； （3）设 ξ 为取出的 4 个球中红球的个数，求 ξ 的分布列和数学期望．75. 某产品的三个质量指标分别为 x ，y ，z ，用综合指标 S =x +y +z 评价该产品的等级．若 S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取 10 件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A 1A 2A 3A 4A 5质量指标(x,y,z )(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A 6A 7A 8A 9A 10质量指标(x,y,z )(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率． （2）在该样本的一等品中，随机抽取 2 件产品．①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为"在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4 "，求事件B发生的概率．与p，且乙投球2次均未命76. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12．中的概率为116（1）求乙投球的命中率p；（2）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（3）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．77. 有编号为A1，A2，⋯，A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2个零件直径相等的概率．78. 某加油站工作人员根据以往该加油站的销售情况，绘制了该加油站日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于40吨，另一天的日销售量低于40吨的概率；（2）用ξ表示未来3天日销售量不低于40吨的天数，求随机变量ξ的数学期望．79. 在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题．”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论．现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的数学和物理成绩，如表：成绩编号12345物理(x)9085746863数学(y)1301251109590（参考公式：b ^=i i ni=1−nxy ∑x 2n −nx2，a ^=y −b ^x ）（参考数据：902+852+742+682+632=29394，90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595）（1）求数学成绩 y 对物理成绩 x 的线性回归方程 y ^=b ^x +x ^（b^ 精确到 0.1）．若某位学生的物理成绩为 80 分，预测他的数学成绩；（2）要从抽取的这五位学生中随机选出 2 位参加一项知识竞赛，求选中的学生的数学成绩至少有一位高于 120 分的概率．80. 植树节期间我市组织义工参加植树活动，为方便安排任务将所有义工按年龄分组：第 1 组[25,30)，第 2 组 [30,35)，第 3 组 [35,40)，第 4 组 [40,45)，第 5 组 [45,50]，得到的部分频率分布表如下：区间人数频率第 1 组[25,30)500.1第 2 组[30,35)500.1第 3 组[35,40)a 0.4第 4 组[40,45)150b（1）求 a ，b 的值；（2）现在要从年龄较小的第 1，2，3 组中用分层抽样的方法随机抽取 6 人担任联系人，在第 1，2，3 组抽取的义工的人数分别是多少?（3）在（2）的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人担任本次活动的宣传员，求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率．81. 某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为 20 人）进行教学（两班的学生学习）（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性都一样）．如图所示茎叶图．附参考公式及数据：P (x 2≥k )0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.7910.828（K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )）（1）现从乙班数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学，求至少有一名成绩为 90 分的同学被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于 75 分的为优秀．请填写下面的 2×2 表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班乙班合计优秀不优秀合计82. 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050附表及公式P(k2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5∼7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6∼8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．83. 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数2040201010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1020204010（1）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．84. 为宣传3月5日学雷锋纪念日，成都七中在高一，高二年级中举行学雷锋知识竞赛，每年级出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分．（1）求随机变量X的分布列及其数学期望E(X)；（2）求甲队和乙队得分之和为4的概率．85. 甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．86. 某地政府在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0,120]，历年中日泄流量在区间[30,60)的年平均天数为156天，一年按364天计．（1）请把频率分布直方图补充完整；（2）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才能够运行一台发电机，如60≤X<90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据．问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机?87. 某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n(n∈N∗)关者奖励2n−1件小奖品（奖品都一样）．如图是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．（1）求小明在这十次游戏中所得奖品数的均值；（2）规定过三关者才能玩另一个高级别的游戏，估计小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率；（3）已知小明在某四次游戏中所过关数为{2,2,3,4}，小聪在某四次游戏中所过关数为{3,3,4,5}，现从中各选一次游戏，求小明和小聪所得奖品总数超过10的概率．88. 当今，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，手机已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取n名市民，按年龄情况进行统计得到频率分布表和频率分布直方图如下：（1）求出表中的a，b的值，并补全频率分布直方图；（2）媒体记者为了做好调查工作，决定在第2，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名市民进行问卷调查，再从这6名市民中随机抽取2名接受电视采访，求第2组至少有一名接受电视采访的概率．89. PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM 2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即PM 2.5日均值在35微克/立方米以下的空气质量为一级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解甲、乙两座城市2016年的空气质量情况，从全年每天的PM 2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本，监测值如以下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）在甲、乙两城市共采集的40个样本数据中，从PM 2.5日均值在[60,80]范围内随机取2天的数据，求取到2天的PM 2.5均超标的概率；（2）以这20天的PM 2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况，则甲、乙两城市一年（按365天计算）中分别约有多少天空气质量达到一级或二级．90. 下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天．。
高考中的分布列、期望、方差问题汇编
几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率例2（日本高考题）袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。
二、从不等式大小比较的角度看概率例3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes ”与“No ”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？三、从“至多”、“至少”的角度看概率.例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验。
（I ）求恰有一件不合格的概率；（II ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）。
四、从“或”、“且”的角度看概率例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92。
（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数 的数学期望和方差。
相关练习1.（山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ）511（B ）681（C ）3061 （D ）40812.（福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是A.16625B.96625C. 192625D.2566253.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．344.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．5.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），1）求至少3人同时上网的概率；2）至少几人同时上网的概率小于0.3？6.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。
高三数学随机变量的期望与方差试题
高三数学随机变量的期望与方差试题1. 2008年5月12日，四川汶川发生8.0级特大地震，通往灾区的道路全部中断. 5月12日晚，抗震救灾指挥部决定从水路（一支队伍）、陆路（东南和西北两个方向各一支队伍）和空中（一支队伍）同时向灾区挺进．在5月13日，仍时有较强余震发生，天气状况也不利于空中航行. 已知当天从水路抵达灾区的概率是，从陆路每个方向抵达灾区的概率都是，从空中抵达灾区的概率是．（1）求在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率；（2）求在5月13日抵达灾区的队伍数的数学期望.【答案】（1）.（2）=.【解析】（1）依据题意，因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C，且B、C相互独立，而且．根据独立事件概率的计算公式即得.（2）设5月13日抵达灾区的队伍数为，则=0、1、2、3、4.根据独立事件概率的计算公式即得分布列，进一步计算数学期望.试题解析：（1）解法一：依据题意，因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C，且B、C相互独立，而且． 2分在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是. 5分解法二：在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是. 5分（2）依据题意，因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C，且B、C相互独立，而且.设5月13日抵达灾区的队伍数为，则=0、1、2、3、4. 6分由已知有：； 7分； 8分； 9分； 10分. 10分因此其概率分布为：11分所以在5月13日抵达灾区的队伍数的数学期望为：=0×+ 1× + 2× + 3×+ 4×=.答：在5月13日抵达灾区的队伍数的数学期望=. 12分【考点】独立事件概率的计算，随机变量的分布列与数学期望.2.从1,2,3,4,5中选3个数，用ξ表示这3个数中最大的一个，则E(ξ)＝()A．3B．4．5C．5D．6【答案】B【解析】由题意知，ξ只能取3,4,5．则P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝．故E(ξ)＝×3＋×4＋×5＝4．5．3.为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：续驶里程（公里）万元/辆万元/辆万元/辆某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了辆纯电动乘用车，根据其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：分组频数频率合计（1）求，，，的值；（2）若从这辆纯电动乘用车中任选辆，求选到的辆车续驶里程都不低于公里的概率；（3）若以频率作为概率，设为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求的分布列和数学期望．【答案】（1），，，.（2）；（3）所以的分布列为.【解析】（1）根据频率之和为1，可得，，，；（2）由古典概型的利用“从这辆纯电动车中任选辆，选到的辆车的续驶里程都不低于公里”为事件，. （3）根据题意，的可能取值为，，；则，，所以.试题解析：（1）由表格可知，所以，，，. 4分（2）设“从这辆纯电动车中任选辆，选到的辆车的续驶里程都不低于公里”为事件，则. 4分（3）的可能取值为，， 1分所以的分布列为3分. 5分【考点】1.频率与频数的应用；2.古典概型的应用；3.分布列及期望.4.某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天制作10件，该厂质检部每天从每位师傅制作的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过．已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有2件、1件次品．(1)求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率；(2)若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求李师傅在这两天内得分的数学期望．【答案】（1）（2）【解析】(1)设李师傅产品第一天通过检查为事件A；第二天产品通过检查为事件B.则有P(A)＝＝，P(B)＝＝，由事件A、B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝.答：李师傅这两天产品全部通过检查的概率为.(2)记得分为ξ，则ξ的可能值为0，1，2.∵P(ξ＝0)＝×＝；P(ξ＝1)＝×＋×＝；P(ξ＝2)＝×＝.∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.答：李师傅在这两天内得分的数学期望为.5.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，且ξ、η分布列为(1)求a、b的值；(2)计算ξ、η的期望和方差，并以此分析甲、乙的技术状况．【答案】（1）a＝0.3，b＝0.4.（2）甲、乙两人技术都不够全面【解析】(1)由离散型随机变量的分布列性质可知a＋0.1＋0.6＝1，即a＝0.3，同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2.V(ξ)＝0.81，V(η)＝0.6.由计算结果E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中甲的平均得分比乙高，但V(ξ)>V(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术都不够全面．6.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为E(X)＝________．【答案】【解析】用分布列解决这个问题，根据题意易知X＝0，1，2，3.列表如下：X0123所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.7.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)=.【答案】【解析】1-=.∵P(X=0)==(1-p)2×,∴p=.1-=.随机变量X的可能取值为0,1,2,3,因此P(X=0)=,P(X=1)=×()2+×()2×2=,P(X=2)=×()2×2+×()2=,P(X=3)=×()2=,因此E(X)=0×+1×+2×+3×=.8.某高校在202年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，(ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；(ⅱ)学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有名学生被考官D面试，求的分布列和数学期望.【答案】（1）第3，4，5组的频率分别为；（2）学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；的分布列：P数学期望．【解析】（1）根据频率分步直方图的性质，根据所给的频率分步直方图中小矩形的长和宽，求出矩形的面积，即这组数据的频率；（2）(ⅰ)本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是，满足条件的事件数是，根据等可能事件的概率公式，得到结果；(ⅱ)由题意知变量的可能取值是0，1，2，该变量符合超几何分布，根据超几何分布的概率公式写出变量的概率，写出这组数据的分布列和期望值．试题解析：(1) 第三组的频率为0.065=0.3；第四组的频率为0.045=0.2；第五组的频率为0.025=0.1. 3分(2)(ⅰ)设M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试P(M)== 6分(ⅱ)s%5￥u012P10分12分【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；离散型随机变量的期望与方差．9.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于()．A．B．C．D．【答案】B【解析】125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＝.10.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为 .【答案】4【解析】一列数的平均数，方差为，把已知的数代入平均数公式可得，，代入方差公式得，由此有，从而．【考点】平均数，方差．11.某市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，且各轮次通过与否相互独立．（I）设该选手参赛的轮次为，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）对于（I）中的，设“函数是偶函数”为事件D，求事件D发生的概率．【答案】（I）的分布列为：123P的数学期望（Ⅱ）事件D发生的概率是.【解析】（I）是否可以取0？每一选手必然能参加初赛，最多参加3场比赛，所以的取值为1，2，3．由于各轮次通过与否相互独立，所以用独立事件同时发生的概率公式便求得每个取值的概率，从而得分布列和期望.（Ⅱ）可以取1、2、3三个值，将这三个值代入函数式可知，．当和时，为偶函数. 和表示的事件是互斥的，所以由互斥事件的概率公式知，将这两个事件的概率相加，即得事件D发生的概率是.试题解析：（I）可能取值为1，2，3． 2分记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，5分的分布列为：P的数学期望 7分（Ⅱ）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当时，为偶函数；∴事件D发生的概率是. 12分【考点】随机变量的分布列及期望.12.在一个盒子里装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品，1枝三等品.(1)从盒子里任取3枝恰有1枝三等品的概率多大？；(2)从盒子里任取3枝，设为取出的3枝里一等品的枝数，求的分布列及数学期望.【答案】(1)；(2)分布列见解析，.【解析】(1)先求出从6枝圆珠笔中任取3支的事件的总数A，再求出恰有1枝是三等品的事件的总数B，用B除以A即是所求的概率；(2)先判断的所有可能的取值，再求出取每个值时对应的概率，根据分布列的列法将所求的概率与对应的的值分别填入表格，列出分布列，根据分布列中的的值及其对应的概率以及公式求数学期望.试题解析：(1) ..2分4分(2) 5分，，，. .9分所以的分布列是：10分. 12分【考点】1.随机事件的概率；2.离散型随机变量及其应用；3.离散型随机变量的分布列与数学期望13.某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人.（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3 个成绩中语文，外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X ，求X的分布列和期望E（x）.附：【答案】（Ⅰ）能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）根据题意得到列联表，代入公式求解的值进行数据比较得出结论；（Ⅱ）根据题意可知X的分布满足二项分布X～B(3，)，利用二项分布的公式直接求解.试题解析：（Ⅰ）由题意得列联表：语文优秀语文不优秀总计因为K2＝≈16.667＞10.828，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．5分（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是．则X～B(3，)，P(X＝k)＝ ()k()8－k，k＝0，1，2，3．X的分布列为E(X)＝3×＝．【考点】1.线性相关；2.二项分布.14.一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量为取出3球中白球的个数，已知．（Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量的分布列及其数学期望．【答案】（1）（2）【解析】解：（Ⅰ）设袋中有白球个，则，…4分即，解得．…7分（Ⅱ）随机变量的分布列如下：…11分．…14分【考点】分布列和期望点评：解决的关键是根据已知中的排列组合的知识来得到概率的求解，以及结合分布列的性质得到期望，属于基础题。
理科数学2010-2019高考真题分类训练35专题十一 概率与统计 第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差
最 终 认 为 甲 药 比 乙 药 更 有 效 ” 的 概 率 ， 则 p0 0 ， p8 1 ，
pi api1 bpi cpi1 (i 1, 2, , 7) ， 其 中 a P( X 1 )， b P(X 0) ， c P(X 1) ．假设 0.5， 0.8 ． (i)证明：{pi1 pi} (i 0,1, 2, , 7) 为等比数列；
m 3, n 3 ，从乙盒中随机抽取 i i 1, 2 个球放入甲盒中．
（a）放入 i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 i i 1, 2 ； （b）放入 i 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi i 1, 2 ．则
A． p1 p2, E 1 E 2
B． p1 p2, E 1 E 2
专题十一 概率与统计 第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差
2019 年
1.（2019 天津理 16）设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 2 .假定 3
甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列
合格品的概率都为 p(0 p 1) ，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f ( p) ，求 f ( p) 的最大值点 p0 ．
(2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以(1)中确定的 p0 作为 p 的值．已
知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格 品支付 25 元的赔偿费用．
概率统计与期望方差分布列大题拔高练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
概率统计与期望方差分布列大题拔高练新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间0,20,20,40,40,60,60,80,80,100分组，绘制频后测量小白鼠的某项指标值，按[)[)[)[)[]率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．指标值抗体合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计a=的独立性检验，判断能否认为注射(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及0.05疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；（ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X=99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n．参考公式：22()()()()()n ad bc x a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）20()P x k ≥0.500.400.250.150.1000.0500.0250k 0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.0242．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如图数据：(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X 为选出“基地学校”的个数，求X 的分布列和数学期望．3．（2023·广东广州·统考一模）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为34，各次答题结果互不影响.(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；(2)记甲第i 次答题所得分数)N (i X i *∈的数学期望为()i E x .①写出()1i E X -与()i E x 满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：②若()100i E x >，求i 的最小值.4．（2023·广东湛江·统考一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：cm ），经统计得到下面的频率分布直方图：(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数x 和方差2s ．（用每组的中点代表该组的均值）(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布()2,N μσ，用直方图的平均数估计值x 作为μ的估计值 μ，用直方图的标准差估计值s 作为σ估计值 σ．（i ）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了()3,3μσμσ-+之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：0.8 1.20.95 1.01 1.23 1.12 1.330.97 1.210.83利用 μ和 σ判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．（ii ）若设备状态正常，记X 表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在()3,3μσμσ-+之外的零件个数，求()1P X ≥及X 的数学期望．参考公式：直方图的方差()221n i i i s x x p ==-∑，其中i x 为各区间的中点，i p 为各组的频率．参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈，0.105≈0.110≈，90.99730.9760≈，100.99730.9733≈．5．（2023·江苏·统考一模）某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占a %，若逐个化验需化验2000次.为减轻化验工作量，随机按n 人一组进行分组，将各组n 个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n 个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.(1)若0.2a =，20n =，试估算该小区化验的总次数；(2)若0.9a =，每人单独化验一次花费10元，n 个人混合化验一次花费9n +元.求n 为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小.（注：当0.01p <时，()11np np -≈-）6．（2023·江苏·统考一模）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12（先验概率）.(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.7．（2023·辽宁沈阳·统考一模）2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金．已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的概率为()01p p <<，黄政/孙艺赢的概率为1p -，且每场比赛相互独立．(1)若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率()f p ；(2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况？(3)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设12p =，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲/陈宇组合获得奖金数X 的分布列．8．（2023·江苏·二模）为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费.A 商场在春节期间推出“你摸球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取2个球．具体规则如下：摸出3个红球记为一等奖，没有红球记为二等奖，2个红球记为三等奖，1个红球记为鼓励奖.(1)获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为5折、7折、8折和9折．记随机变量ξ为获得各奖次的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望()Eξ；(2)某一时段内有3人参加该促销活动，记随机变量η为获得7折及以下资格的人数，求()2Pη=．9．（2023·辽宁·哈尔滨三中校联考一模）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数[0，5]（5，10]（10，15]（15，20]（20，25]（25，30]人数4153331116(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且 6.1σ=，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：性别活动天数合计[0，15]（15，30]男生女生合计并依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.附：参考数据：()0.6827P X μσμσ-≤≤+=；()220.9545P X μσμσ-≤≤+=；()330.9973P X μσμσ-≤≤+=.()()()()()()22n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.82810．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员M 都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为35和25，且每场比赛中犯规4次以上的概率为14．(1)求甲队第二场比赛获胜的概率；(2)用X 表示比赛结束时比赛场数，求X 的期望；(3)已知球员M 在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．11．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果呈阳性的概率为2%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.(1)假设该疾病患病的概率是0.3%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；(2)根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人，试分析哪一个方案的工作量更少？参考数据：50.980.904≈，110.980.801≈.12．（2023·福建福州·统考二模）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，σ2），其中σ2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若随机变量×服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827，P（μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545≈4.7，0.158653≈0.004．13．（2023·山东青岛·统考一模）今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就．某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用()P X k =表示这10名学生中恰有k 名学生的成绩在[]90,100上的概率，求()P X k =取最大值时对应的k 的值；(3)从测试成绩在[]90,100的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．14．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱．并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；(2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率．15．（2023·山东聊城·统考一模）某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目．选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表：思想政治地理化学生物物理类100120200180历史类1201406080(1)利用上述样本数据填写以下22⨯列联表，并依据小概率值0.001α=的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异．科类生物学科选法选不选合计物理类历史类合计(2)假设该校高一所有学生中有35的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为15，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为110．若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用X表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量X的均值()E X．附：()()()()()22n ad bca b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.0010.0050.001xα 2.706 3.841 6.6357.87910.82816．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.(1)记总的抽取次数为X，求E（X）；(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.17．（2023·湖北·统考模拟预测）某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布()2,Nμσ，其中μ为样本平均数的估计值，13σ≈，试估计初试成绩不低于88分的人数；(3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为35，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y ，求Y 的分布列及均值．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则：()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=．18．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．若年份x （2015年记为1x =，2016年记为2x =，以此类推）与发展总指数y 存在线性关系．(1)求年份x 与发展总指数y 的回归方程；(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X 表示赋分之和，求X 的分布列和数学期望．参考公式：回归方程y bx a =+$$$，其中a y bx =-$$，()()()121n ii i ni i x x y y b x x ==--=-∑∑ ，()()81228.9i i i x x y y =--=∑，119.05y =．19．（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知识测试”，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该校“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，并将这10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有6名学生，乙组有4名学生．甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）．(1)求这10名学生测试成绩的平均分x 和标准差s ；(2)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布2(,)N μσ．将上述10名学生的成绩作为样品，用样本平均数x 作为μ的估计值，用样本标准差s 作为σ的估计值．利用估计值估计：高一学生知识达标是否“合格”？(3)已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为12，选择两个选项的概率为13，选择三个选项的概率为16．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记X 表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求X 的分布列及数学期望．附：①n 个数的方差2211()n i i s x x n ==-∑；②若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．20．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.(1)若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；(2)经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为35，18班代表队胜的概率为25，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为25，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X ，求随机变量X 的数学期望()E X .21．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某学校食堂中午和晩上都会提供,A B 两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择A 类套餐的概率为23，选择B 类套餐的概率为13；在中午选择A 类套餐的前提下，晩上还选择A 类套餐的概率为14，选择B 类套餐的概率为34；在中午选择B 类套餐的前提下，晩上选择A 类套餐的概率为12，选择B 类套餐的概率为12.(1)若同学甲晩上选择A 类套餐，求同学甲中午也选择A 类套餐的概率；(2)记某宿舍的4名同学在晩上选择B 类套餐的人数为X ，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求X 的分布列及数学期望.22．（2023·湖南·校联考模拟预测）基础学科招生改革试点，也称强基计划，强基计划是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（x ）和物理成绩（y ），绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A ，B .经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：5015800i i x==∑，5013900i i y ==∑，501462770i i i x y ==∑，()502128540i i x x =-=∑，()502118930i i y y =-=∑，其中,i i x y 分别表示这50名考生的数学成绩､物理成绩，1i =，2，…，50，y 与x 的相关系数0.45r ≈.(1)若不剔除A ，B 两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r .试判断0r 与r 的大小关系（不必说明理由）；(2)求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B 考生加了这次物理考。
2022学年高三上(编号1-25)概率统计、期望方差大题汇编(学生版)
2022学年高三上（编号1-25）概率统计、期望方差大题汇编（学生版）1：（2023届湖北圆创第一次联合测试解析第19题）1：有9个外观相同的同规格砝码，其中1个由于生产瑕疵导致质量略有增加，小明想通过托盘天平秤量出这个瑕疵的砝码，设计了如下两种方案：方案一：每次从待称量的砝码中随机选2个，按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上，若天平平衡，则选出的2个砝码是没有瑕疵的，否则，有瑕疵的砝码在下降一侧，按此方法，直到找出有瑕疵的砝码为止方案二：从待称量的砝码中随机选8个，按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上，若天平平衡，则未被选出的那个砝码是有瑕疵的，否则，有瑕疵的砝码在下降的一侧，每次再将该侧砝码按个数平分，分别放在天平的左、右托盘上，……，直到找出有瑕疵的砝码为止（1）记方案一的称量次数为随机变量X，求X的概率分布；（2）上述两种方案，小明应选择何种方案可使称量次数的期望较小？并说明理由2：（2023届湖北九师联盟高三开学考解析第19题）2：某校为了缓解高三学子复习压力，举行“趣味数学”闯关活动，规定每人从10道题中随机抽3道回答，至少答对2题即闯过第一关，某班有5位同学参加闯关活动，假设每位同学都能答对10题中的6道题，且每位同学能否闯过第一关相互独立．（1）求B同学闯过第一关的概率；（2）求这5位同学闯过第一关的人数X的分布列和数学期望．3：（2023届广东梅州中学高三上阶段性考试解析第21题）3：第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某国运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和32p-，其中34p<<．（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；（2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为2972，求p 的值，在此基础上，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．4：（2023届南京市一中高三上学期数学模拟卷1解析第19题） 4：若()2,X N μσ，从X 的取值中随机抽取()*,2k k N k ∈≥个数据，记这k 个数据的平均值为Y ，则随机变量2,YN k σμ⎛⎫⎪⎝⎭，以下问题的求解中可以利用这一结论．根据以往的考试数据，某学校高三年级数据模考成绩()2100,5XN ，设从X 的取值中随机抽取25个数据的平均值为随机变量Y ．现在从X 的取值中随机抽取25个数据从小到大排列为1x ，2x ，3x ，⋅⋅⋅，25x ，1210901.5x x x ++⋅⋅⋅+=，1617251048x x x ++⋅⋅⋅+=，其余5个数分别为97，97，98，98，98．（1）求1x ，2x ，3x ，⋅⋅⋅，25x 的中位数及平均数； （2）求()98103P Y ≤≤．附：随机变量η服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσημσ-+=≤≤，()220.9545P μσημσ-+=≤≤，()330.9973P μσημσ-+=≤≤．5：（2023届武汉市高三上7月新起点考试解析第20题）5：为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量达到峰值，2060年前实现“碳中和”．某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业：（1）假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布2,N μσ，其中近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得12.8x ≈， 5.2s ≈．试估计这320甲企业中“超标”企业的家数；（2）通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y 为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y 的分布列与数学期望．参考数据：若()2,XN μσ，则()0.6827P μσημσ-+=≤≤，()220.9545P μσημσ-+=≤≤，()330.9973P μσημσ-+=≤≤．6：（2023届南京市高三年级学情调研1解析第20题）6:（本小题满分12分）根据北京冬奥组委与特许生产商的特许经营协议，从7月1日开始，包括冰墩墩公仔等在内的2022北京冬奥会各种特许商品将停止生产．现给出某零售店在某日（7月1日前）上午的两种颜色冰墩墩的销售数据统计表（假定每人限购一个冰墩墩）：（1）若有99%的把握认为顾客购买的冰墩墩颜色与其性别有关，求a 的最小值；（2）在a 取得最小值的条件下，现从购买蓝色冰墩墩的顾客中任选p 人，从购买粉色冰墩墩的顾客中任选q 人，且9p q +=（,0p q ≥），记选到的人中女顾客人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++)k7：（2023届湖北省二十一所重点中学高三上第二次联考解析第20题）7：某种电子玩具启动后，屏幕上的LED 显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对()1101p p <<赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为1p ，亮起绿灯的概率为11p -．随后若第()*n n ∈N次亮起的是红灯，则第1n +次亮起红灯的概率为13，亮起绿灯的概率为23；若第n 次亮起的是绿灯，则第1n +次亮起红灯的概率为23，亮起绿灯的概率为13．（1）若输入112p =，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间10101,20212⎛⎫⎪⎝⎭内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入113p =，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌?8：（2023届浙江省新高考研究高三上8月测试解析第17题）8：2022年8月7日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区100位奶茶爱好者的年龄， 得到如下样本数据频率分布直方图．（1）估计奶茶爱好者的平均年龄；(同一组数据用该区间的中点值作代表) （2）估计奶茶爱好者年龄位于区间[20,60)的概率；（3）已知奶茶爱好者喜欢浙江奶茶品牌“古茗”的概率为21%，该地区奶茶爱好者年龄位于区间[10,20)的人口数占该地区奶茶爱好者总人口数的35%，从该地区选出1名奶茶爱好者，若此人的年龄位于区间[10,20)，求此人喜欢古茗的概率．9：（2023届广东惠州高三第一次调研考解析第19题）9：（本小题满分12分）2021年秋季，国家教育部在全国中小学全面开展“双减”，实施“52+”服务模式．为响应这一政策，某校开设了“篮球”、“围棋”、“文学社”、“舞蹈”四门课后延时服务课程，供500名学生选择学习．经过一个学期的学习后，学校对课后延时服务课程的效果进行调研，随机抽选了50名男生和50名女生，统计数据如下表所示：兴趣较大兴趣一般男生 35 15女生3020（1）试依据小概率值0.100α=的独立性检验，分析学生对课后延时服务课程的兴趣是否与性别有关； （2）若用频率估计概率，从该校抽选调研的女生中按分层抽样的方式任选5人，再从中选出3人进行深入调研，用ξ表示选取的女生兴趣一般的人数，求ξ的分布列与数学期望． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.100 0.010 0.001 αχ2.7066.63510.82810：（2023届重庆市巴蜀中学月考卷（一）解析第18题）10：炎炎夏日，酷暑难耐！一种新型的清凉饮料十分畅销，如图3是某商店7月1日至15日售卖该种饮料的累计．．销售量(单位：十㼛)的散点图： (参考数据：1515152111970,1240,9979i ii i i i i y x x y ======∑∑∑)（1）由散点图可知,15日的数据偏差较大，请用前14 组数据求出累计销售量y (单位：十瓶)关于日期x (单位：日） 的经验回归方程；（2）请用（1）中求出的经验回归方程预测该商店9月份(共30天)售卖这种饮料的累计销售量．附：经验回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆˆ,ni ii nii x ynxyb a y bx xnx==-==--∑∑11：（2023届重庆市巴蜀中学月考卷（一）解析第20题）11：某大型名胜度假区旅游景点、酒店餐饮，娱乐休闲于一体，极大带动了当地的经济发现，为了完善度假区的服务工作，进一步提升景区品质，现从某天的游客中随机抽取了500人，按他们的消费金额（元）进行统计，得到如图5所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a 的值；（2）估计该度假区2000名游客中，消费金额低于1000元的人数（3）为了刺激消费，回馈游客，该度假区制定了两种抽奖赠送代金券（单位：元）的方案（如下表），抽奖规则如下：①消费金额低于1000元的游客按方案A 抽奖一次； ②消费金额不低于1000元的游客按方案B 抽奖两次．记X 为所有游客中的任意一人抽奖时获赠的代金券金额，用样本的频率代替概率，求X 的分布列和数学期望()E X ．12：（2023届江苏省盐城中学8月高三上开学考解析第20题）12：乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制．在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方．（1）假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为23．在一局比赛中，若现在甲、乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；（2）假设甲选手每局获胜的概率为34，在前三局甲获胜的前提下，记X 表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X 的分布列及数学期望．13：（2022年8月福建福安一中高三上第一次检测解析第18题）13：根据统计，某蔬菜亩产量的增加量y (百千克)与某种液体肥料每亩使用量x (千克)之间对应数据的散点图如图所示．方案A代金券金额 50100概率13 23方案B代金券金额100概率12 12（1）请从相关系数r （精确到0.001）；（2）建立y 关于x 的线性回归方程，并用其估计当该种液体肥料每亩使用量为9千克时，该蔬菜亩产量的增加量约为多少百千克?参考公式：对于一组数据(),(1,2,3,,)i i x y i n =，相关系数()()nii xx y y r --=∑线ˆˆˆybx a =+中，()()()121ˆnii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-，参考数据：()()514i ii x x y y =--=∑ 2.236≈．14：（2022年8月福建福安一中高三上第一次检测解析第21题）14：(本小题满分12分)为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同的校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采用5局3胜制)，最后根据积分选出最后的冠军．积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分．已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为(01)p p <<．（1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）第10轮比赛中，记张三3：1取胜的概率为()f p ．①求出()f p 的最大值点0p ．②若0p 作为p 的值，这轮比赛张三所得积分为X ，求X 的分布列及期望．15：（2023届广州市真光中学高三上8月开学考解析第20题）15：某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A 的数量y 与连续用药天数x 具有相关关系．随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据(),i i x y ，1i =，2，3，4，5，其中i x 表示连续用药i 天，i y 表示相应的临床疗效评价指标A 的数值．根据临床经验，刚开始用药时，指标A 的数量y 变化明显，随着天数增加，y 的变化趋缓．经计算得到如下一些统计量的值:5162i i y ==∑，()()5147i i i x x y y =--=∑，514.79ii u=≈∑，()5211.615i i u u =-≈∑，()()5119.38i i i u u y y =--≈∑其中ln i i u x =．（1）试判断y a bx =+与ln y a b x =+哪一个适宜作为y 关于x 的回归方程类型？并建立y 关于x 的回归方程；（2）新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍．若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立．（i ）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率； （ii ）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率． 参考公式:对于一组数据()11,x y ，()22,x y，，(),n n x y ，其回归直线y a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-16：（2023届湖北协作体联考解析第19题）16:（本小题满分12分）袋中有同样的球5个，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回的摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：（1）(2)P ξ=的值；（2）随机变量ξ的概率分布列和数学期望．17：（2023届湖北协作体联考解析第21题）17：为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物 与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内， 一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0，20)， [20，40)， [40，60)，[ 60，80) [80，100]分组，绘制频率分布直方图 如图所示．试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只， 其中该项指标值不小于60的有110只， 假设小白鼠注射 疫苗后是否产生抗体相互独立．(1)填写下面的22⨯列联表，并根据列联表及0.05α=的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60 有关．单位:只(2)结果又有20只小白鼠产生抗体．(i)用频率估计计率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p ；(ii)以(i)中确定p 作为人体注射2次疫苗后产生体的概，进行人体接种试验，记n 个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X ，试验后统计数据显示，当X =99时，P (X )取最大值，求参加人体接种试验的人数n 及E (X )．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++)(其中n a b c d =+++为样本容量) 参考数据：18：（2023届广东省高三上学期开学联考解析第20题）18:（本小题满分12分）甲、乙两人进行下象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制． 已知在每 局比赛中，甲获胜的概率为p ，01p <<．（1）设甲以3:1获胜的概率为()f p ，求()f p 的最大值；（2）记（1）中，()f p 取得最大值时p 的值为0p ，以0p 作为p 的值，用X 表示甲、乙两人比赛的局数，求X 的分布列和数学期望()E X ．。
高中数学题库之概率统计期望方差部分(百题尖子生高考数学分类汇编)
南开培优题库难度较大适合提高使用高中数学题库之概率统计期望方差部分（百题尖子生高考数学分类汇编）
一、选择题（共30小题；共150分）
1. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
A. B. C. D.
2. 张卡片上分别写有数字，，，，从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数
字之和为奇数的概率为
A. B. C. D.
3. 一只蜜蜂在一个棱长为的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体个表面
的距离均大于，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为
A. B. C. D.
4. 在区间上随机取—个数，则事件“”发生的概率为
A. B. C. D.
5. 已知离散型随机变量服从二项分布且，，则与的值分别
为
A. B. C. D.
6. 有支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这支彩笔中任取支
不同颜色的彩笔，则取出的支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A. B. C. D.
7. 同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《十年》，《父亲》，《单身情歌》四首歌选出两首歌
进行表演，则《爱你一万年》未选取的概率为
A. B. C. D.
8. 如图正方形的曲线是以为直径的半圆，从区间上取个随机数，，，，
，，，，已知个点（），（），，（）落在阴影部分的个数为，则的估计值为
A. B. C. D.
9. 在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为
A. B. C. D.
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2024年高考数学大题--概率统计题型分类汇编(学生版)
概率统计概率统计是是高考数学的热点之一，概率统计大题是新高考卷及多省市高考数学的必考内容。
回顾近几年的高考试题，主要考查古典概型、相互独立事件、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差等内容，多与社会实际紧密结合，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用。
重点考察考生读取数据、分析数据和处理数据的能力。
题型一：离散型随机变量及其分布列题型二：超几何分布与二项分布题型三：均值与方差的实际应用题型四：正态分布与标准正态分布题型五：线性回归与非线性回归题型六：独立性检验及应用题型七：条件概率/全概率公式/贝叶斯公式题型八：概率与统计图表的综合应用题型九：概率与其他知识的交汇应用题型十：利用概率解决决策类问题题型一：离散型随机变量及其分布列1(2023·广东肇庆·高三广东肇庆中学校考阶段练习)为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：奖项组别个人赛团体赛获奖一等奖二等奖三等奖高一20206050高二162910550(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：(1)根据题中条件确定随机变量的可能取值；(2)求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；(3)根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望(在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算。
)1(2024·四川成都·成都七中模拟预测)甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取七局四胜制．已知甲每局比赛获胜的概率为23，输掉的概率为13，每局的比赛结果互不影响．(1)求甲最终获胜的概率；(2)记总共的比赛局数为X，求X的分布列与数学期望．2(2024·云南德宏·高三统考期末)设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的4个球，其中甲箱有2个蓝球和2个黑球，乙箱有3个红球和1个白球，丙箱有2个红球和2个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X表示最后摸出的2个球的分数之和，求X的分布列及数学期望.题型二：超几何分布与二项分布2(2024·广东广州·广州市培正中学校考二模)某校高二(1)班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在6张卡片上印有“奖”字.(1)采取放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数X的分布列、数学期望及方差；(2)采取不放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率.1、独立重复试验与二项分布(1)定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1-p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．(2)定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．(3)列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．(4)求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．相关公式：已知X~B(n，p)，则P(X=k)=C k n p k(1-p)n-k(k=0,1,2，⋯，n)，E(X)=np，D(X)=np(1-p)．2、超几何分布的适用范围及本质(1)适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布；(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。
高中高考总结复习概率、随机变量分布列、期望方差.doc
2017 高考复习 ---概率、随机变量分布列、期望方差1．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设 3 道题，每道题答对给 10 分、答错倒扣 5 分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为分．2．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（ n， p），且 Eξ =300， Dξ =200，则 P 等于．3．设随机变量 X～ B（ 6，），则 P（ X=3） = ．4．口袋中装有大小质地都相同、编号为1， 2， 3，4， 5， 6 的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X 的数学期望是．5．随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣1 0 1P a b c其中 a，b， c 成等差数列，若．则 Dξ的值是．6．已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞ 0， y＞0，随机变量ξ的方差 Dξ=，则x+y= ．ξ1 2 3P X y x7．袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得3 分，设得分为随机变量ξ，则 P（ξ≤ 7） = ．8．一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个球，则其中含红球个数的数学期望是．9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有 4 个红球、 2 个白球，乙袋装有 1 个红球、 5 个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取 1 个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望 Eξ= ．10．有一种游戏规则如下：口袋里有 5 个红球和 5 个黄球，一次摸出 5 个，若颜色相同则得 100 分，若 4 个球颜色相同，另一个不同，则得50 分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．11．为参加 2012 年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a， b，c， d 四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择 a 线路旅游团数ξ的数学期望 Eξ= ．12．随机变量 X 的分布列如下：若，则 DX 的值是．X ﹣ 1 0 1P a c13．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望Eξ =1.，5则a的值等于．ξ012 3P0.1a b0.214．一个人随机的将编号为1， 2， 3，4 的四个小球放入编号为1， 2， 3， 4 的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望 Eξ=．15．从三男三女 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．16．盒子中装有编号为1， 2，3， 4， 5， 6，7 的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）17．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2 ，3， 4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为．18．盒子中有大小相同的 3 只白球， 1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．19．从长度分别为2， 3，4，5 的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．20．从分别写有0， 1， 2， 3， 4 五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是．21．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b ，且 a，b ∈{ 1，2 ，3，4} ，若 | a﹣ b| ≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．22．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为 n，向量=（ m， n）， =（ 3， 6），则向量与共线的概率为．23．某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．24．在一次招聘口试中，每位考生都要在 5 道备选试题中随机抽出 3 道题回答，答对其中 2 道题即为及格，若一位考生只会答 5 道题中的 3 道题，则这位考生能够及格的概率为．2017 年 03 月 25 日茅盾中学09 的高中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共24 小题）1．（ 2012?温州一模）某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设 3 道题，每道题答对给10 分、答错倒扣 5 分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为15 分．【分析】设该生在面试时的得分为 X，由题设条件知 X 的可能取值为﹣ 15，0， 15， 30，分别求出 P（ X=﹣ 15）， P（ X=0）， P（ X=15）， P（ X=30），由此能求出该学生在面试时得分的期望值．【解答】解：设该生在面试时的得分为X，由题设条件知X 的可能取值为﹣15，0，15，30，P（X=﹣ 15 ） = = ，P（X=0）= = ，P（X=15） = = ，P（X=30） = = ，∴E X=﹣ 15× +0× +15× +30×=15．∴该学生在面试时得分的期望值为15 分．故答案为： 15．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，解题时要认真审题，注意n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率计算公式的灵活运用．2．（ 2016 春 ?松桃县校级期末）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ =300，Dξ =200，则 P 等于．【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于 n 和 p 的方程组，解方程组得到要求的未知量 p．【解答】解：∵ξ服从二项分布 B～（ n ，p）Eξ =300， Dξ =200∴Eξ=300=np，①；Dξ =200=np（ 1﹣ p），②．可得 1﹣ p==，∴p=1﹣ = ．故答案为：．【点评】本题主要考查分布列和期望的简单应用，本题解题的关键是通过解方程组得到要求的变量，注意两个式子相除的做法，本题与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式，本题是一个基础题．3．（2013 春 ?渭滨区校级期末）设随机变量X～B（ 6，），则P（X=3）=．【分析】根据条件中所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式，本题 x=3，代入公式得到要求的概率．【解答】解：∵随机变量X 服从二项分布B（ 6，），∴P（ X=3） =C36（）3×（1﹣）3=．故答案为：．【点评】本题考查二项分布的概率计算公式，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（ 2015?中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为 1，2，3，4，5，6 的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量 X 的数学期望是．【分析】确定 X 的可能取值为1，2，3，4，5，求出相应的概率，可求随机变量X 的数学期望【解答】解：由题设知X 的可能取值为 1，2， 3， 4， 5．随机地取出两个球，共有：=15 种，∴P（ X=1） = ， P（ X=2） = ， P（ X=3） = ， P（ X=4）= ， P（ X=5）= ，∴随机变量 X 的分布列为X 1 2 3 4 5P故 EX=1×+2×+3×+4×+5×= ．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，确定X 的可能取值，求出相应的概率是关键．5．（2007?浙江）随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣1 0 1P a b c其中 a，b， c 成等差数列，若．则 Dξ的值是．【分析】要求这组数据的方差，需要先求出分布列中变量的概率，这里有三个条件，一个是三个数成等差数列，一个是概率之和是 1，一个是这组数据的期望，联立方程解出结果．【解答】解：∵ a， b， c 成等差数列，∴2b=a+c，∵a+b+c=1，Eξ=﹣1× a+1× c=c﹣ a=．联立三式得，∴．故答案为：【点评】这是一个综合题目，包括等差数列，离散型随机变量的期望和方差，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望的公式．6．（ 2014?余杭区校级模拟）已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0， y＞ 0，随机变量ξ的方差 Dξ=，则 x+y=．ξ12 3P X y x【分析】利用离散型随机变量的期望与方差即可得出．【解答】解：由题意可得：2x+y=1， Eξ=x+2y+3x=4x+2y=4x+2（ 1﹣ 2x）=2．∴方差 Dξ= =（ 1﹣ 2）2x+（ 2﹣2）2（1﹣ 2x） +（ 3﹣ 2）2x．化为，解得，∴= ．∴= ．故答案为．【点评】熟练掌握离散型随机变量的期望与方差是解题的关键．7．（ 2015 春 ?淮安校级期末）袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量ξ，则 P（ξ≤7） = ．【分析】取出的 4 只球中红球个数的可能为4， 3， 2， 1 个，黑球相应个数为0， 1， 2，3 个，得分的随机变量ξ=4， 6， 8，10，由经能求出P（ξ≤7）的值．【解答】解：取出的 4 只球中红球个数的可能为4， 3， 2， 1 个，黑球相应个数为0， 1，2， 3 个，∴得分的随机变量ξ=4， 6， 8， 10，∴P（ξ≤ 7） =P（ξ=4） +P（ξ=6）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．8．（2001?江西）一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个球，则其中含红球个数的数学期望是 1.2．【分析】由题意知ξ的可能取值是0、1、2，当ξ=0时，表示从中取出 2 个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出 2 个球，其中 1 个红球， 1 个黄球，当ξ=2时，表示从中取出2 个球，其中 2 个红球，这三种情况根据古典概型概率公式得到结果，求出期望．【解答】解：设含红球个数为ξ，ξ的可能取值是 0、 1、 2，当ξ=0时，表示从中取出 2 个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出 2 个球，其中 1 个红球， 1 个黄球，当ξ=2时，表示从中取出 2 个球，其中 2 个红球，∴P（ξ=0） = =0.1，P（ξ =1） = =0.6P（ξ =2） ==0.3∴Eξ=0× 0.1+1× 0.6+2× 0.3=1.2．故答案为： 1.2．【点评】本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．不过大多数题目是以解答题的形式出现的．9．（ 2012?浙江校级模拟）甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有 4 个红球、 2 个白球，乙袋装有 1 个红球、 5 个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取 1 个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=．【分析】由题中ξ的取值可能是 0，1，2，由等可能事件的概率计算出概率，得出分布列再有公式求出期望即可【解答】解：由题ξ的取值可能是0， 1，2，从丙个袋中各一个球，总的取法有6× 6=36故 P（ξ=0） =，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=所以ξ的分布列为ξ01 2P=故答案为【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题的关键是根据相应的概率计算公式求出变量取每一个可能值的概率，列出分布列，求出期望．10．（ 2013?浙江模拟）有一种游戏规则如下：口袋里有 5 个红球和 5 个黄球，一次摸出 5 个，若颜色相同则得 100 分，若 4 个球颜色相同，另一个不同，则得50 分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．【分析】由题意知小张摸一次得分X 的可能取值是0，，50，100，当得分为 100 时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，当得分50 时，表示取到的球有四个颜色相同，结合变量对应的事件，做出分布列和期望．【解答】解：由题意知小张摸一次得分X 的可能取值是0，， 50，100，当得分为 100 时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，从10 个球中取 5 个共有 C105种结果，而球的颜色都相同包括两种情况，∴P（ X=100） ==，当得分 50 时，表示取到的球有四个颜色相同，P（X=50） ==，P（X=0）=1﹣=，∴EX=100×==，故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．11．（2013?西湖区校级模拟）为参加2012 年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a， b， c，d 四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择 a 线路旅游团数ξ的数学期望Eξ=．【分析】确定ξ的可能取值，计算相应的概率，可得分布列，进而可求ξ的数学期望．【解答】解：由题意，ξ=0， 1，2， 3，P（ξ =0）= = ， P（ξ =1）= = ，P（ξ =2）= = ， P（ξ =3）= =∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3P∴期望 Eξ=0×+1×+2×+3×=故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（ 2011?海珠区一模）随机变量X 的分布列如下：若，则DX的值是．X﹣ 10 1P a c【分析】由分布列的性质和期望列出关于 a 和 c 的方程组，解出 a 和 c，再利用方差公式求方差即可．【解答】解：由题意：，解得：所以 DX=故答案为：【点评】本题考查分布列的性质、期望和方差的计算，考查基础知识和基本运算．13．（ 2012?浙江模拟）已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望Eξ =1，.5则a的值等于0.5 ．ξ012 3P0.1a b0.2【分析】由题意已经知道随机变量ξ的分布列表，又知道ξ的期望 Eξ=1.5，利用期望定义及分布列的性质建立方程求解即可．【解答】解：由题意可得：?．故答案为： 0.5．【点评】此题属于基本题型，重点考查了随机变量的分布列的性质，期望定义及学生利用方程的思想求解问题．14．（ 2011?宁波模拟）一个人随机的将编号为1，2，3，4 的四个小球放入编号为1，2，3 ，4 的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望 Eξ= 1．【分析】由于ξ表示匹对的个数，由题意则ξ可能取：0，1，2，4，并利用古典概型随机事件的概率公式及排列数与组合数，求出其分布列，根据期望公式求出所求．【解答】解：由题意ξ可能取：0，1，2，4，则，，，ξ的分布列为：ξ0 1 2 4PEξ==1．故答案为： 1【点评】此题考查了离散型随机变量的定义及其分布列，并且利用分布列求出期望，还考查了考虑问题时的严谨的逻辑思维及计算能力．15．（ 2013?浙江）从三男三女 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的概率均相等），则2 名都是女同学的概率等于．【分析】由组合数可知：从 6 名学生中任选 2 名共有=15 种情况， 2 名都是女同学的共有=3 种情况，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从 6 名学生中任选 2 名共有=15 种情况，满足 2 名都是女同学的共有=3 种情况，故所求的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．16．（ 2013?上海）盒子中装有编号为1， 2，3， 4，5， 6，7 的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）【分析】从 7 个球中任取 2 个球共有=21 种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15 种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．【解答】解：从 7 个球中任取 2 个球共有=21 种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15 种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：= ．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（ A） = ，其中 n（ A）为事件 A 所包含的基本事件数，m 为基本事件总数．17．（ 2015?江苏模拟）口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1， 2， 3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为．【分析】由组合知识求出从 4 个球中随机抽取两个球的所有方法种数，由题意得到两球编号之和大于 5 的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：从 5 个球中随机抽取两个球，共有种抽法．满足两球编号之和大于 5 的情况有（2， 4），（ 3， 4）共 2 种取法．所以取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为．故答案为．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式，是基础题．18．（ 2010?江苏）盒子中有大小相同的 3 只白球， 1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．【分析】算出基本事件的总个数n=C42=6，再算出事件 A 中包含的基本事件的个数31=3，m=C算出事件 A 的概率，即 P（ A） = 即可．【解答】解：考查古典概型知识．∵总个数 n=C42 =6，m=C 1∵事件 A 中包含的基本事件的个数=33∴故填：．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，其算法是：（1）算出基本事件的总个数n ；（2）算出事件 A 中包含的基本事件的个数m；（3）算出事件 A 的概率，即 P（ A） = ．19．（ 2009?安徽）从长度分别为2，3，4， 5 的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．【分析】本题是一个古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共 4 种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共 3 种；根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概率∵试验发生包含的基本事件为2， 3， 4； 2，3， 5； 2， 4，5； 3， 4， 5 共 4 种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为2， 3， 4； 2， 4，5； 3， 4， 5 共 3 种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．故答案为：【点评】本题考查古典概型，考查三角形成立的条件，是一个综合题，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系．20．（ 2011?鼓楼区校级模拟）从分别写有0， 1， 2，3， 4 五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是．【分析】由题意抽两次且属于有放回的抽样，利用计数原理及古典概型随机事件的概率公式即可求出．【解答】解：由题意属于有放回的抽样，因为从分别写有0， 1， 2， 3，4 五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片，即抽两次，所以利用分步计数原理可得总数为：5× 5=25，即：“取出的两张卡片的数字之和恰好的等于 4 为事件 A”：事件 A 的个数为：（ 4， 0），（ 0，4），（ 2， 2），（1， 3），（ 3， 1）共 5 个，利用古典概型随机事件的概率公式及得：P（ A） =．故答案为：【点评】此题考查了有放回的抽样，古典概型随机事件的概率公式及分步计数原理．21．（ 2011?江西校级模拟）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且 a，b∈ { 1，2，3， 4} ，若 | a﹣ b| ≤1 ，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两个人分别从 4 个数字中各选一个数字，共有4× 4 种结果，满足条件的事件是| a﹣ b| ≤ 1，可以列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两个人分别从 4 个数字中各选一个数字，共有 4× 4=16 种结果，满足条件的事件是 | a﹣ b| ≤ 1，可以列举出所有的满足条件的事件，当a=1 时， b=1， 2，当a=2 时， b=1， 2， 3当a=3 时， b=2， 3， 4当a=4 时， b=3， 4总上可知共有2+3+3+2=10 种结果，∴他们“心有灵犀”的概率为=故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式．考查利用分类计数原理表示事件数，考查理解能力和运算能力，注意列举出的事件数做到不重不漏．22．（2012?东莞二模）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n ，向量=（ m，n）， =（ 3，6），则向量与共线的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6×6种结果，满足条件事件是向量共线，根据向量共线的条件得到 6m﹣ 3n=0 即 n=2m ，列举出所有的结果数，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6× 6=36 种结果，满足条件事件是向量=（ m， n）与=（3， 6）共线，即6m﹣ 3n=0，∴n=2m ，满足这种条件的有（ 1， 2）（ 2， 4）（ 3， 6），共有 3 种结果，∴向量与共线的概率P=，故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查向量共线的充要条件，考查利用列举法得到所有的满足条件的事件数，本题是一个比较简单的综合题目．23．（ 2013?西湖区校级模拟）某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙也有两种选法，根据乘法原理可知：共有 22=4 中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，因此他们在同一个食堂用餐的概率P=．故答案为．【点评】熟练掌握分步乘法原理和古典概型的概率计算公式是解题的关键．24．（ 2011?卢湾区一模）在一次招聘口试中，每位考生都要在 5 道备选试题中随机抽出 3 道题回答，答对其中 2 道题即为及格，若一位考生只会答 5 道题中的 3 道题，则这位考生能够及格的概率为．【分析】根据这位考生只会答 5 道题中的 3 道题，可先计算出所有的基本事件个数，及该考生不及格的事件个数，进行求出该生不能及格的概率，然后根据对立事件减法公式，得到答案．【解答】解：从 5 道备选试题中随机抽出 3 道题共有：3=10 种情况C5 =其中从该考生考试不及格，即正好抽中该生不会的两道题有： C31=3 种情况即这位考生不及格的概率为故这位考生能够及格的概率P=1﹣=故答案为：【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根据正繁则反的原则，先求对立事件的概率，是解答本题的关键．。
高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析
高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.已知随机变量X的分布列为则E(6X＋8)＝()A．13.2 B．21.2 C．20.2 D．22.2【答案】B【解析】由题意知，E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，∴E(6X＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2.2.小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立．(1)求小王过第一关但未过第二关的概率；(2)用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期望．【答案】（1）（2）X的分布列为X0100030006000∴X的数学期望E(X)＝2160，【解析】(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1＝()2×(＋×)＝．则P1(2)X的所有可能取值为0,1000,3000,6000，则P(X＝0)＝＋×＝，P(X＝1000)＝()2×(＋×)＝，P(X＝3000)＝()2×()2×[()2＋×()2×2]＝，P(X＝6000)＝()2×()2×[()2＋ ()2×]＝，∴X的分布列为∴X的数学期望E(X)＝0×＋1000×＋3000×＋6000×＝2160．3.甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数X的数学期望是()A．B．C．1D．【答案】A【解析】依题意，X的取值为0,1,2，且P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，P(X＝2)＝×＝．故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝，故选A．4.某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为、、，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．记ξ为该生取得A等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望E(ξ)的值为________．0123【答案】【解析】∵a＝××＋××＋××＝，b＝××＋××＋××＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．5.某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人．（1）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；3（2）详见解析【解析】（1）频率分布直方图中每个小矩形的面积表示概率，概率和为1，则可求得。
2024全国卷高考数学真题分类汇编学生版6.概率统计
6.概率统计1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈） A ．(2)0.2P X >> B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><2．（2024年新课标全国Ⅰ卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 3．（2024年新课标全国Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表据表中数据，结论中正确的是（ ）A ．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB ．100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C ．100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D ．100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间4．（2024年新课标全国Ⅱ卷）在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．5．（2024年高考全国甲卷数学（理））1013x⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是．6．（2024年高考全国甲卷数学（理））有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过12的概率是．7．（2024年高考全国甲卷数学（理））某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：(1)填写如下列联表：能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++8．（2024年新课标全国Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．(1)若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？。