营销策略数学建模

课程设计：

营销生产策略的制定

指导老师：韩曙光

学生学号：2011326630118

学生姓名：李泽伟

2014年6月19日星期四

目录

营销生产策略的制定 (2)

姓名：李泽伟（2011326630118） (2)

时间：2014年6月19日 (2)

摘要 (2)

一.问题分析与解题思路 (3)

二.模型假设与变量说明 (3)

A.模型假设 (3)

B.变量说明 (4)

三.解答过程与结果 (4)

1、问题一 (4)

2、问题二 (6)

3、问题三 (7)

四.测试与检验结果 (8)

1、问题一 (8)

2、问题二 (9)

3、问题三 (10)

五.模型的评价与改进 (10)

对问题一的模型改进 (10)

对问题二的模型改进 (11)

对问题三的模型改进 (11)

模型评价 (11)

六.参考文献及相关资料 (12)

七.附录 (12)

问题一的程序 (12)

问题二的程序 (13)

问题三的程序 (15)

营销生产策略的制定

姓名：李泽伟（2011326630118）

时间：2014年6月19日

摘要

产品销售问题是经济应用数学的一个应用领域，本文主要运用了Frank M.Bass建立的Bass模型建立模型，利用Matlab软件进行模拟求解，得出在不同情况下，新产品的营销生产策略。

问题一中，在假设外在因素相对稳定的前提下，将消费者分成了创新采用者和模仿采用者，通过建立模型并作图，了解到：新产品进入市场的需求曲线呈“S”型，一开始增长，达到一定时间后在最大市场需求量趋于稳定，达到稳定的时间和对外影响因素，对内模仿因素有关，在一定范围内，对外影响因素、对内模仿因素越大，达到平衡所用的时间就越短。

问题二中，由于有了类似产品的竞争，在BASS模型的基础上建立了产品竞争模型，通过各个变量的变化比较得出，由于A产品和B产品类似，所以他们的内部模仿因素相同，所以外部影响因素对A产品所占市场份额受起到了举足轻重的作用，在一定范围内，公司通过加大广告媒体试用品、赠品等的宣传力度，才能够使得A产品的销售更多。

问题三种，考虑到产品的寿命，所以做出的模型比较复杂,通过观察图像可以得出，产品的寿命对产品的销售影响也是不确定的。

本文还分别对问题一、问题二、问题三中的模型进行了改进和优化，最后对Bass模型进行了评价。

关键词：Bass模型 Matlab编程外部影响因素内部模仿因素产品寿命

一. 问题分析与解题思路

当A产品推向市场的时候，消费者接受产品需要一个过程。产品的推广就像群落增长：起先，消费者并不能很快地接受；随着产品的影响力进一步扩大，消费者的接受能力也会加大；然后市场的总需求不可能是无限的，同时还有其他类似产品的竞争，所以最终需求增长会趋于平缓。

影响到A产品需求的因素有很多。1、产品需求会受到广告、促销等媒体推广力度的影响，某时刻的宣传力度越大，在某时刻的增长也就比较大。2、产品需求会随着已售出的产品形成一个口碑影响，产品的质量、体验等会影响到口碑，而口碑会影响到产品的需求，好的口碑会带动需求增长，反之则可能抑制增长。

3、产品的需求还跟目前市场的剩余需求密切相关，需求会随着市场占有率的增加逐渐放缓，最终趋于饱和。为了简化模型，本文不考虑产品自身的口碑影响，也不考虑市场需求的变化，只考虑广告、促销等媒体推广产生的外部影响和某时刻A产品的需求量的关系。希望通过这个模型，能为产品的产量和推广力度的制定提供理论支持。

对于问题一，新产品上市的推广，和Frank M.Bass建立的Bass模型很符合，所以可以利用这个模型进行推广。

对于第二个问题，由于Bass模型并没有考虑竞争对于扩散的影响，而Logistic 模型中有竞争者这个条件，在此基础上对Bass模型进行改进，从而建立竞争环境下产品需求量和推广力度关系的数学模型。对于该问题，模型只考虑只有类似产品B一个竞争对手的情况。

问题三，在杭州市场上还没有出现过产品A或类似的产品时，考虑新产品A 的寿命是有限的，即新产品A有一个服从均值为5（年）的寿命分布，新产品A 的报废会使市场上的剩余销售量增加，所以，有理由认为新产品的销售速度不仅受销售量、剩余量的影响，还受到新产品A的寿命的影响。

二. 模型假设与变量说明

A.模型假设

1、新产品A价格、质量以及销售人员的销售情况等其他影响新产品销售的外在

因素是相对稳定，对研究不产生影响；

2、市场对产品A的需求量是有限的；

3、采用者是无差异的、同质的。

4、不存在供给约束；

5、A产品和乙产品的宣传是独立的；

6、社会系统的地域界限不随扩散过程而改变；

7、新产品A的需求量、类似产品的需求量、剩余需求量之和为总需求量；

8、在问题一和问题二下，不考虑新产品A的使用寿命，即新产品A为耐用品，

产品的性能随时间推移保持不变。

9、新产品A服从均值为5（年）的指数分布；

10、新产品A的报废量与新产品A的需求量成正比；

11、新产品A报废后，人们仍愿意进行购买.

B.变量说明

: 市场上总的潜在需求量

: 到时刻A产品累积需求量

: t时刻A产品的需求量

: A产品外部影响系数

: A产品内部模仿系数

: 到t时刻类似产品B累积需求量

: t时刻类似产品B的需求量

: 类似产品B外部影响系数

: 类似产品B内部模仿系数

: A产品的寿命函数

: A产品t时刻的报废数量

三. 解答过程与结果

1、问题一

新产品上市，总要通过广告、促销等各种营销手段使得其打入市场，新产品A价格、质量以及销售人员的销售情况等其他影响新产品销售的外在因素是相对稳定，对此建立符合新产品营销的BASS模型，如下：

t时刻A产品的累计需求量为：

(1)

则t时刻A产品的需求量为：

(2)

对于(2)中，代表因外部影响而购买新产品的采用人数，即这些采用者不受那些已经采用该产品的人的影响，称为创新采用者，式中

代表那些先前购买者影响而购买的采用人数，称为模仿者。当t=0时，，即在创新扩散开始时，有这么多个采用者，也可以理解为新产品引入市场前的试用和赠送的样品，在问题一中.

解得：x=10000*tanh(t/100)

假设在问题一中市场总的需求量为，外部影响系数,内部模仿系数,利用Matlab模拟出模型内的需求图像如下：

图1：问题一的结果

从图中可以看出，产品的销售从0开始增长，在时间300附近达到了最大值，

并且保持稳定，产品的需求也达到了最大的需求量，新产品在市场的占有率和新物种到一个新环境中生长的模式一样。

2、问题二

问题二中，在问题一的基础上，增加了竞争对手类似产品B，所以我们引进，产品A和产品B的市场份额是相互影响的，为此我们建立这两个产品的BASS模型如下：

(3)

(4) 其中.

由于A、B两个产品类似，所以我们假定这两个产品在消费者产生的影响是相同的，即产品A和B的内部模仿系数是相同的，也就是。

为进行分析，首先我们假定产品A和产品乙的外部影响系数相同，

利用Matlab模拟出产品A和产品B在需求模型，作图如下图2：

图2：问题2的模拟结果

从图中可以看出，在外部影响系数和内部模仿系数都一样的基础上，A 、B 两个产品几乎同时在时间40附近达到最大值，但是由于有B 产品的影响，A 产品的市场份额明显下降，达到平衡时只占了市场总需求份额的40%，若想扩大市场，公司应该从各方面加大宣传力度，并找出A 产品的卖点。 3、 问题三

在问题一的基础上，新产品A 有一个服从均值为5（年）的寿命分布，而寿命分布服从指数分布，即产品A 的寿命服从均值是5年的指数分布，用

表示

时刻报废的新产品A 的数量，新产品A 的需求量有一个上界，则尚未购置的人数大约为

.另外，新产品A 的报废量与新产品A 的需求量成正

比，比例系数为,.

，设使用寿命函数为

，由于，

由此可求得

，则

，即单位时间内报废的新产品A

的数量为

，即

。

在问题一的基础上建立模型：

(5‘) (6’)

考虑此时新产品A 的需求量

dt

dx

仍旧与累计需求量)(t x 和剩余需求量的积成正比，比例系数为q ，可得假定三下的如下微分方程销售

模型：

?????=+-=0)0()

(x x Kx x M qx dt

dx

（5） 化简后可得：

?????=-+=0

2)0()1(x x x

K q qMx dt

dx （6） 令1-=x w ，算得：

dt dx

x dt dw 2--=，代入（6），得到：)1(K q qMw dt

dw -+-=

将

代入

)1(K q qMw dt dw -+-=得：t qe qMw dt

dw

2.0-+-=，这是一阶线性微分方程，运用常数变易法，求得它的通解为：

t qMt e qM q

Ce w 2.02

.0---+

=，即（5）的通解为：

t

qMt qe e qM C qM x 2.0)2.0(2

.0--+--=

（C 为任意常数） (7) 代入初值0)0(x x =，得：t

qMt qe

e q x qM qM x 2.00])2.0[(2

.0--+---=

取

利用Matlab 编程作图如下：

图3：问题三的模拟结果

四. 测试与检验结果

1、 问题一

在模型一的基础上，分别改变内部影响因素和外部影响因素的大小，分析他们对新产品营销的影响。

外部影响系数

保持不变，比较内部模仿系数,与的

变化的影响。

(a) (b)

图（a）为的情况，图（b）为的情况，观察图可以看到，内

部影响因素越大，需求量达到最大需求量所需的时间越少，内部需求量对产品营销有正方面作用，所以在营销的过程中，在消费者中间树立良好的口碑是非常重要的，这就要求公司在生产方面要保证质量。

内部模仿系数保持不变，比较外部影响系数,与的变化的影响。

(c) (d)

图（c）为的情况，图（d）为的情况，观察图可以看到，外部影响因素对产品的营销起着举足轻重的作用，当时，在将近125的时间达到最大需求量，而时，在50左右的时间内就达到最大生产需

求，所以为了在最短的时间内占领市场，公司应该加大广告、媒体的宣传，同时也相应的增加试用品，提供给顾客更多的样品，充分让消费者了解该产品。

2、问题二

通过改变两种产品的外部影响因素来比较两种产品的市场营销情况

内部模仿系数保持不变，比较外部影响系数,与的不同,再改变A产品的外部影响系数，其他因素不变，作图

对比。

利用Matlab作图如下：

(e) (f)

通过改变A产品的外部系数，作图可以看出，当其他因素不变，A产品的外部影响系数增大，A产品也会较早的达到最大市场份额，而且所占市场份额也会逐步增大，从40%增到了70%多，但是当外部影响系数增加到一定数值之后，对A产品的最大市场需求的影响就不是很大了。

3、问题三

通过对图三的观察，曲线趋势先减少，后增加，所以如果产品有寿命，那么对产品的销售产生了很大的影响，建立的模型也是比较复杂的。

五. 模型的评价与改进

对问题一的模型改进

在本文中，建模过程我们假定季节对需求量没有影响，而在实际生产过程中，许多产品或多或少都会受到季节因素的影响，所以在问题一的模型的基础上加入

季节系数,对预测进行季节性修正，得到每期需求预测模型如下：

(8)

} (9)

对问题二的模型改进

问题二中，建立的模型我们假定外部和内部影响系数是相互独立的，即A产品系数的改变并不会影响到B产品的系数，但是在实际生活中，这两个量之间是相互影响的，如A产品的提高B产品的必然会下降，二者呈反比例。

所以需要引进对外部影响系数的一个削减影响系数，对内部影响系数的一个削减影响系数.

改进后的模型如下：

(10)

(11) 对问题三的模型改进

问题三中假设新产品A的报废量与新产品A的需求量成正比，这一点在实际操作中可能做不到，应该有一个更好的操作函数。同时，我们假设即使产品寿命有限，对消费者的购买不会产生影响这一点在实际生活中是达不到这个效果的。

假设函数为

原模型可改进为：

(12)

(13)

(14)

这样模型就比较复杂，但是计算模拟起来就会有一定难度。

模型评价

本模型适用于耐用消费品的分析预测，既适用于新产品，也适用于已进入市场的产品。

Bass扩散模型简单明了，适用于初次评估，给出的是产品的需求量，而且在这里假定了消费者每个人只能买一个单位的该产品，而且在短时间内不重复购买，所以有一定的局限性。

在模型中，把潜在用户分为创新者和模仿者的概念基础是比较简单和合理的，本文中建立的模型，通过对问题一、二、三的解答，使得模型不断完善，更适合于多类新产品的推广。

六. 参考文献及相关资料

[1]娜娅，中国联通新产品推广问题研究——以内蒙古联通为例，硕士毕业论文。

[2] 徐爱东，龙勇，新产品开发的质量与价格竞争策略研究，科技管理研究1000-7695（2008）12-0340-04

[3]徐贤号，宋奇志，改进BASS模型应用于短生命周期产品需求预测，工业工程与管理，1007-5429（2007）05-0027-05

[4]杨敬辉，BASS模型及其两种扩展型的应用研究，博士学位论文；

[5]曾勇，唐小我，竞争环境下的新产品市场扩散模型，电子科技大学学报，1993，22（1）

七. 附录

问题一的程序

1.图1

dsolve('Dy+0.000001*y^2-100=0','y(0)=0')

ans =

10000*tanh(t/100)

f.m

function y=f(t)

y=10000*tanh(t/100)

fplot(@f,[0,500])

2.a

dsolve('Dy-(0.01+0.00001*y)*(10000-y)','y(0)=0')

ans =

-(1000*exp(log(10) - (11*t)/100) - 10000)/(exp(log(10) - (11*t)/100) + 1)

f.m

function y=f(t)

y=-(1000*exp(log(10) - (11*t)/100) - 10000)/(exp(log(10) - (11*t)/100) + 1)

fplot(@f,[0,400])

3.b

dsolve('Dy-(0.01+0.000005*y)*(10000-y)','y(0)=0')

ans =

-(2000*exp(log(5) - (3*t)/50) - 10000)/(exp(log(5) - (3*t)/50) + 1)

f.m

function y=f(t)

y=-(2000*exp(log(5) - (3*t)/50) - 10000)/(exp(log(5) - (3*t)/50) + 1)

fplot(@f,[0,400])

4.c

dsolve('Dy-(0.05+0.000001*y)*(10000-y)','y(0)=0')

ans =

-(50000*exp(- (3*t)/50 - log(5)) - 10000)/(exp(- (3*t)/50 - log(5)) + 1)

f.m

function y=f(t)

y=-(50000*exp(- (3*t)/50 - log(5)) - 10000)/(exp(- (3*t)/50 - log(5)) + 1)

fplot(@f,[0,400])

5.d

dsolve('Dy-(0.1+0.000001*y)*(10000-y)','y(0)=0')

ans =

-(100000*exp(- (11*t)/100 - log(10)) - 10000)/(exp(- (11*t)/100 - log(10)) + 1)

f.m

function y=f(t)

y=-(100000*exp(- (11*t)/100 - log(10)) - 10000)/(exp(- (11*t)/100 - log(10)) + 1) fplot(@f,[0,400])

问题二的程序

1.图2

[X,Y]=dsolve('Dx-(0.01+0.00001*x)*(10000-x-y),Dy-(0.01+0.00001*y)*(10000-x-y)','y( 0)=0.15*10000','x(0)=0')

X =

-(-17/8+17/8*exp(-3/25*t))/(17/8000*exp(-3/25*t)+7/8000)

Y =

(-25500*exp(-3/25*t)/(17/8000*exp(-3/25*t)+7/8000)+51/2*(-17/8+17/8*exp(-3/25*t))/( 17/8000*exp(-3/25*t)+7/8000)^2*exp(-3/25*t)+10000000-9000*(-17/8+17/8*exp(-3/25* t))/(17/8000*exp(-3/25*t)+7/8000)-(-17/8+17/8*exp(-3/25*t))^2/(17/8000*exp(-3/25*t)+7 /8000)^2)/(1000-(-17/8+17/8*exp(-3/25*t))/(17/8000*exp(-3/25*t)+7/8000))

f.m

function x=f(t)

x=-(-17/8+17/8*exp(-3/25*t))/(17/8000*exp(-3/25*t)+7/8000)

function y=f(t)

y=(-25500*exp(-3/25*t)/(17/8000*exp(-3/25*t)+7/8000)+51/2*(-17/8+17/8*exp(-3/25*t)) /(17/8000*exp(-3/25*t)+7/8000)^2*exp(-3/25*t)+10000000-9000*(-17/8+17/8*exp(-3/2 5*t))/(17/8000*exp(-3/25*t)+7/8000)-(-17/8+17/8*exp(-3/25*t))^2/(17/8000*exp(-3/25*t )+7/8000)^2)/(1000-(-17/8+17/8*exp(-3/25*t))/(17/8000*exp(-3/25*t)+7/8000))

fplot(@f,[0,100])

hold on

fplot(@f,[0,100])

2.e

[X,Y]=dsolve('Dx-(0.05+0.000002*x)*(10000-x-y),Dy-(0.05+0.000002*y)*(10000-x-y)',' y(0)=0.15*10000','x(0)=0')

X =

-(-17/40+17/40*exp(-3/25*t))/(17/1000000*exp(-3/25*t)+103/1000000)

Y =

(-25500*exp(-3/25*t)/(17/1000000*exp(-3/25*t)+103/1000000)+51/50*(-17/40+17/40*e xp(-3/25*t))/(17/1000000*exp(-3/25*t)+103/1000000)^2*exp(-3/25*t)+250000000+15 000*(-17/40+17/40*exp(-3/25*t))/(17/1000000*exp(-3/25*t)+103/1000000)-(-17/40+17/ 40*exp(-3/25*t))^2/(17/1000000*exp(-3/25*t)+103/1000000)^2)/(25000-(-17/40+17/40 *exp(-3/25*t))/(17/1000000*exp(-3/25*t)+103/1000000))

f.m

function x=f(t)

x=-(-17/40+17/40*exp(-3/25*t))/(17/1000000*exp(-3/25*t)+103/1000000)

function y=f(t)

y=(-25500*exp(-3/25*t)/(17/1000000*exp(-3/25*t)+103/1000000)+51/50*(-17/40+17/40 *exp(-3/25*t))/(17/1000000*exp(-3/25*t)+103/1000000)^2*exp(-3/25*t)+250000000+ 15000*(-17/40+17/40*exp(-3/25*t))/(17/1000000*exp(-3/25*t)+103/1000000)-(-17/40+1 7/40*exp(-3/25*t))^2/(17/1000000*exp(-3/25*t)+103/1000000)^2)/(25000-(-17/40+17/4 0*exp(-3/25*t))/(17/1000000*exp(-3/25*t)+103/1000000))

fplot(@f,[0,100])

hold on

fplot(@f,[0,100])

3.f

[X,Y]=dsolve('Dx-(0.1+0.000002*x)*(10000-x-y),Dy-(0.01+0.000002*y)*(10000-x-y)','y (0)=0.15*10000','x(0)=0')

X =

-(-17/10+17/10*exp(-13/100*t))/(17/500000*exp(-13/100*t)+113/500000)

Y =

(-110500*exp(-13/100*t)/(17/500000*exp(-13/100*t)+113/500000)+221/100*(-17/10+1 7/10*exp(-13/100*t))/(17/500000*exp(-13/100*t)+113/500000)^2*exp(-13/100*t)+500 000000+40000*(-17/10+17/10*exp(-13/100*t))/(17/500000*exp(-13/100*t)+113/50000 0)-(-17/10+17/10*exp(-13/100*t))^2/(17/500000*exp(-13/100*t)+113/500000)^2)/(500 00-(-17/10+17/10*exp(-13/100*t))/(17/500000*exp(-13/100*t)+113/500000))

f.m

function x=f(t)

x=-(-17/10+17/10*exp(-13/100*t))/(17/500000*exp(-13/100*t)+113/500000)

f.m

function y=f(t)

y=(-110500*exp(-13/100*t)/(17/500000*exp(-13/100*t)+113/500000)+221/100*(-17/10

+17/10*exp(-13/100*t))/(17/500000*exp(-13/100*t)+113/500000)^2*exp(-13/100*t)+5 00000000+40000*(-17/10+17/10*exp(-13/100*t))/(17/500000*exp(-13/100*t)+113/500 000)-(-17/10+17/10*exp(-13/100*t))^2/(17/500000*exp(-13/100*t)+113/500000)^2)/(5 0000-(-17/10+17/10*exp(-13/100*t))/(17/500000*exp(-13/100*t)+113/500000))

fplot(@f,[0,100])

hold on

fplot(@f,[0,100])

问题三的程序

1.dsolve('Dx=(0.01+0.000001*x)*(10000-0.2*exp(0.2*t)*x)','x(0)=0')

ans =

exp(t/100 + exp(t/5)/100)/(exp(t/100 + exp(t)^(1/5)/100)/10000 + (1/(-1)^(1/20)*100^(1/20)*igamma(1/20, -exp(t)^(1/5)/100))/200000 + ((-1)^(19/20)*100^(1/20)*igamma(1/20, -1/100))/200000) - 10000

2.function x=ff(t)

x=0.8/(-0.0001*exp(-t)+0.0001*exp(-0.2*t))

fplot(@ff,[0,10])