第六章 图论与网络101117
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运筹学课件 第六章图与网络分析(清华大学出版社)
w(P ) = min w(P) 0
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 12
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs到 j的 短 v 最 路
vs ,...,vi ,...,vj ⇒ vs ,...,vi
vs到 i的 短 v 最 路
OR3 17
4 ）
标号的点，考察弧（ v 4 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ v 4 , v 6），（ v 4 , v 7）的端点 v 6，v 7： T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [13 , 9 + 9 ] = 13 46 6 6 4 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 , 9 + 7 ] = 14 47 7 7 4 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 13 。 6 6 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 。 6 7）v 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ 标号的点，考察弧（ v 6 , v 7），（ v 6 , v 8）的端点 v 7， 8： v 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 ,13 + 5 ] = 14 67 7 7 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ ,13 + 4 ] = 17 68 8 8 6 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 14 。 7 7 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 7 。 7
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 12
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs到 j的 短 v 最 路
vs ,...,vi ,...,vj ⇒ vs ,...,vi
vs到 i的 短 v 最 路
OR3 17
4 ）
标号的点，考察弧（ v 4 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ v 4 , v 6），（ v 4 , v 7）的端点 v 6，v 7： T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [13 , 9 + 9 ] = 13 46 6 6 4 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 , 9 + 7 ] = 14 47 7 7 4 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 13 。 6 6 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 。 6 7）v 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ 标号的点，考察弧（ v 6 , v 7），（ v 6 , v 8）的端点 v 7， 8： v 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 ,13 + 5 ] = 14 67 7 7 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ ,13 + 4 ] = 17 68 8 8 6 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 14 。 7 7 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 7 。 7
运筹学 第6章 图论与网络分析
(4) 重复第3步，一直到t点得到标号为止。 例3 求从v1到v7的最短路
v2
5 2 7 6
v5
3 1 2 6
v1
2 7
v4
v7
解：
5
v3
v2
0 2 7 7
4
v6
v5
6 1 2 6 3
(1)
v1
2
v4
v7
v3
4
v6
(2)
L1 p min d12 , d13 min 5, 2 2 L13
• 若两个点之间的边多于一条，称为具有多重边；
• 对无环、无多重边的图称为简单图。 次、奇点、偶点、孤立点、悬挂点 • 与某一个点vi 相关联的边的数目称为次(也称度)，记d(vi)；
次为奇数的点称为奇点；次为偶数的点称为偶点；
次为0的点称为孤立点；次为1的点称为悬挂点。
多重边 v1 e'13 v3 e13
( vi , v j )
3-1 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法 算法的思想：如果P是从vs到vt的最短路，vi是P上的一个 点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。 设dij为图中两相邻点i与j的距离，若不相邻，dij=0；Lsi为点 s到i的最短距离, 求s点到t点最短距离。 算法的步骤：
v4
v7
v3
2
4
v6 6
(5) L1 p min L12 d 25 , L12 d 24 , L13 d 34 , L16 d 64 , L16 d 65 , L16 d 67 min 5 7, 5 2, 2 7, 6 2,6 1,6 6 7 L14 L15
第6章 图与网络分析――基础知识PPT课件
D
E
F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
将研究对象用点表示。对象与对象之间用边表示。依题意，找出不相邻的顺序。
B
C
ACBFED
A
D
36
F
E
类型2. 求最小部分树。避圈法和破圈法
基本定理：图中任一个点i，若j是与i相邻点 中距离最短的，则边[i，j]一定含在该图的 最小部分树内。
推论：把图的所有点分成集合V和它的补集两 个集合，则两集合之间连线的最短边一定 包含在最小部分树内。
A
7
2 2
S
5
B
5
D
5
T
1
1
4
3
7
C
E
4
39
[例2]如图6-2，SABCDET代表村镇，它们中间 连线表明各村镇间现有道路交通情况，连线旁 数字代表道路的长度。现要求沿图中道路架设 电线，使上述村镇全部通上电，应如何架设使 总的长度为最短。
A
7
2 2
S
5
B
5
D
5
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E
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[例2]如图6-2，SABCDET代表村镇，它们中间 连线表明各村镇间现有道路交通情况，连线旁 数字代表道路的长度。现要求沿图中道路架设 电线，使上述村镇全部通上电，应如何架设使 总的长度为最短。
点边交替序列，点边均不重 复。
点边交替序列，起点和终点 不重复。 点边交替序列，起点和终点 重复。
第六章运筹学图与网络-PPT课件
C
哥尼斯堡七桥问题变为,能否从图 的某一点开始不重复地一笔画出 这个图形.你能一笔画出吗?
B 欧拉在论文中证明了这是不可 能的.为什么?
A
D
理由是:图上的每一个顶点都与 奇数条边相连接,不可能一笔画 出.
第一节 图的基本概念与基本定理 一.图的基本概念 日常生活中我们见过大量的图,如各种交通图, 各种管网图(电网图,自来水管网,煤气管网,计 算机网络).都是用点表示研究对象,用线(边) 表示这些对象间的关系.因此,图可以定义为点 和边的集合.记作G=[V,E],其中V是点的集合,E 是边的集合.在图的点和边上赋予权值(如距离, 费用,容量等)则称这样的图为网络图记为N,网 络图又可分有向网络图和无向网络图.
B
C
结果:比赛顺序 是A,C,B,F,E,D.
D
A
F
E
练习1 有甲,乙,丙,丁,戊,己六名运动员报名参 加A,B,C,D,E,F六个项目比赛.报名情况如下表, 问六个项目的比赛顺序如何安排,做到每名运 动员不连续参加两项比赛.
A 甲 乙 丙 丁 戊 己 * * * * * * * B C D * * * * * E F *
铁路的转用线,管理机构图,学科分类图,AHP决策方法 等,都可用树来表示.
树的特点:1.树是边数最多的无圈连通图,即在 树上再任意增加一条边,必定出现圈; 2.树的任意两点间,有一条且仅有一 条通路.也可以说,树是最脆弱的连通图,只要 在树中去掉任一条边,图就不连通了.
图的最小部分树(最小生成树):设 G 2 是一个图,如 果 G 1 是 G 2 的支撑子图(部分图),且 G 1 是一个树, 则称 G 1 是 G 2 的部分树.树的各条边称为树枝.在 图的每条边上赋予权值的图称为赋权图. 在 G 2 中一般含有许多部分树,其中树枝总长为 最小的部分树,称为该图的最小部分树.
哥尼斯堡七桥问题变为,能否从图 的某一点开始不重复地一笔画出 这个图形.你能一笔画出吗?
B 欧拉在论文中证明了这是不可 能的.为什么?
A
D
理由是:图上的每一个顶点都与 奇数条边相连接,不可能一笔画 出.
第一节 图的基本概念与基本定理 一.图的基本概念 日常生活中我们见过大量的图,如各种交通图, 各种管网图(电网图,自来水管网,煤气管网,计 算机网络).都是用点表示研究对象,用线(边) 表示这些对象间的关系.因此,图可以定义为点 和边的集合.记作G=[V,E],其中V是点的集合,E 是边的集合.在图的点和边上赋予权值(如距离, 费用,容量等)则称这样的图为网络图记为N,网 络图又可分有向网络图和无向网络图.
B
C
结果:比赛顺序 是A,C,B,F,E,D.
D
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E
练习1 有甲,乙,丙,丁,戊,己六名运动员报名参 加A,B,C,D,E,F六个项目比赛.报名情况如下表, 问六个项目的比赛顺序如何安排,做到每名运 动员不连续参加两项比赛.
A 甲 乙 丙 丁 戊 己 * * * * * * * B C D * * * * * E F *
铁路的转用线,管理机构图,学科分类图,AHP决策方法 等,都可用树来表示.
树的特点:1.树是边数最多的无圈连通图,即在 树上再任意增加一条边,必定出现圈; 2.树的任意两点间,有一条且仅有一 条通路.也可以说,树是最脆弱的连通图,只要 在树中去掉任一条边,图就不连通了.
图的最小部分树(最小生成树):设 G 2 是一个图,如 果 G 1 是 G 2 的支撑子图(部分图),且 G 1 是一个树, 则称 G 1 是 G 2 的部分树.树的各条边称为树枝.在 图的每条边上赋予权值的图称为赋权图. 在 G 2 中一般含有许多部分树,其中树枝总长为 最小的部分树,称为该图的最小部分树.
图论与网络流理论ppt课件
1）V (G ) { v 1 ,v 2 , ,v }是非空有限集，称为顶点集，
2）E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素偶对 (vi,vj )
组成的集合，即称为边集,其中元素称为边.
图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用v来表示；图的边的数
目|E(G)|用 来表示.
用G (V (G )E ,(G )表)示图，简记 G(V,E).
算法。最短路问题有很多算法，其中最基本的一个是
Dijkstra算法
23
可编辑课件
3、Dijkstra算法
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定理 1.2.1 Dijkstra 算法结束时，对任一个顶点v， 其标号l(v)恰是v0 到v 的最短路的长。
定理1.2.2 Dijkstra 算法的计算复杂度为O(υ 2 )。
9 图的同构
我们已经知道，同一个图可以有不同形状的图示。反 过来，两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
易见G1 和G2 的顶点及边之间都一一对应，且连接关
系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这样的 两个图称为是同构的(isomorphic)。
19
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定义1.1.1 对两个图G = (V(G),E(G))与H = (V (H),E(H))，
事实上，假如G 不连通，则至少有一个连通分支的 顶点数不超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是n −1。这与δ (G) ≥ n矛盾。证毕。 例1.1.7 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。
证明：用反证法。设u、v为仅有的两个奇度顶点。 18 假如u与v不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将
2）E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素偶对 (vi,vj )
组成的集合，即称为边集,其中元素称为边.
图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用v来表示；图的边的数
目|E(G)|用 来表示.
用G (V (G )E ,(G )表)示图，简记 G(V,E).
算法。最短路问题有很多算法，其中最基本的一个是
Dijkstra算法
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3、Dijkstra算法
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定理 1.2.1 Dijkstra 算法结束时，对任一个顶点v， 其标号l(v)恰是v0 到v 的最短路的长。
定理1.2.2 Dijkstra 算法的计算复杂度为O(υ 2 )。
9 图的同构
我们已经知道，同一个图可以有不同形状的图示。反 过来，两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
易见G1 和G2 的顶点及边之间都一一对应，且连接关
系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这样的 两个图称为是同构的(isomorphic)。
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定义1.1.1 对两个图G = (V(G),E(G))与H = (V (H),E(H))，
事实上，假如G 不连通，则至少有一个连通分支的 顶点数不超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是n −1。这与δ (G) ≥ n矛盾。证毕。 例1.1.7 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。
证明：用反证法。设u、v为仅有的两个奇度顶点。 18 假如u与v不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将
第6章 图与网络分析
为了区别起见。把两点之间的不带箭头的连线称 为边，带箭头的连线称为弧。 用图来描述事物间的联系，不仅直观清晰，便于 统观全局，而且网络图的画法简便，不必拘泥于 比例和曲直。总之，这里所讲的图是反映对象之 间关系的一种工具。
29
2013-2-14
无向图
由点和边组成的图称为无向图。
无向图可表示为一个有序二元组(V，E)，记为 G＝(V，E)，其中 V ＝(v1，v2,…….vp)是 p 个点的集合，E＝{e1，e2，……eq}是 q 条边的集 合，并且 ei 是一个无序二元组，记为 ei＝[vi，vj]＝[vj,vi]， vi,vj∈V。
2013-2-14 31
环、多重边、简单图、多重图
一条边的两个端点如果相同，称此边 为环（自回路） 。如上图中的 e1。 两个点之间多于一条边的，称为多重 边。如上图中的 e4，e5。 不含环和多重边的图称为简单图，含 有多重边的图称为多重图。
2013-2-14 32
点的次
以点 v 为端点的边数叫做点 v 的次， 记作 d(v)。 如上图中， 1)=4， 2)=4。 d(v d(v 若 V＝(v1，v2,…….vp)，则称{ d(v1)，d(v2),…….d(vp)}为图 G 的次序列。 次为 1 的点称为悬挂点，连接悬挂点的边称为悬挂边。次为 0 的点称为 孤立点。 次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点称为偶点。 定理 1 任何图 G＝(V，E)中，所有点的次数之和等于边数的 2 倍。即
运筹学 Operations Research
高 谦
烟台大学文经学院 基础教学部
2013-2-14 1
引言 图论是专门研究图的理论的一门数学 分支，属于离散数学范畴，与运筹学有 交叉，它有200多年历史，大体可划分 为三个阶段： 第一阶段是从十八世纪中叶到十九世纪 中叶，处于萌芽阶段，多数问题围绕游 戏而产生，最有代表性的工作是所谓的 Euler七桥问题，即一笔画问题。
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2013-2-14
无向图
由点和边组成的图称为无向图。
无向图可表示为一个有序二元组(V，E)，记为 G＝(V，E)，其中 V ＝(v1，v2,…….vp)是 p 个点的集合，E＝{e1，e2，……eq}是 q 条边的集 合，并且 ei 是一个无序二元组，记为 ei＝[vi，vj]＝[vj,vi]， vi,vj∈V。
2013-2-14 31
环、多重边、简单图、多重图
一条边的两个端点如果相同，称此边 为环（自回路） 。如上图中的 e1。 两个点之间多于一条边的，称为多重 边。如上图中的 e4，e5。 不含环和多重边的图称为简单图，含 有多重边的图称为多重图。
2013-2-14 32
点的次
以点 v 为端点的边数叫做点 v 的次， 记作 d(v)。 如上图中， 1)=4， 2)=4。 d(v d(v 若 V＝(v1，v2,…….vp)，则称{ d(v1)，d(v2),…….d(vp)}为图 G 的次序列。 次为 1 的点称为悬挂点，连接悬挂点的边称为悬挂边。次为 0 的点称为 孤立点。 次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点称为偶点。 定理 1 任何图 G＝(V，E)中，所有点的次数之和等于边数的 2 倍。即
运筹学 Operations Research
高 谦
烟台大学文经学院 基础教学部
2013-2-14 1
引言 图论是专门研究图的理论的一门数学 分支，属于离散数学范畴，与运筹学有 交叉，它有200多年历史，大体可划分 为三个阶段： 第一阶段是从十八世纪中叶到十九世纪 中叶，处于萌芽阶段，多数问题围绕游 戏而产生，最有代表性的工作是所谓的 Euler七桥问题，即一笔画问题。
计算机科学中的图论和网络科学
计算机科学中的图论和网络科学图论是计算机科学中的一个重要分支，它研究顶点之间通过边相互联系的图形结构。
其应用在通讯、电子商务、社会网络等领域，被广泛使用。
随着时代的变迁，由于互联网的兴起和网络科学的兴盛，图论又与网络科学融合在了一起。
本文将深入探讨计算机科学中的图论和网络科学的基本概念和研究方向。
一、图论图论是一种研究顶点和边构成的图结构的数学分支。
在计算机科学领域，图论常常被用来分析不同的计算机网络，比如社交网络、信息网络、生物网络等等。
图结构可以用来表示很多现实场景，比如邮路图，城市道路、人际关系等等。
a. 图的基本概念在图论中，对于一个图结构，我们通常会有以下概念：·顶点（Vertex）：一个图结构中的单独节点；·边（Edge）：两个顶点之间的连线；·权重（Weight）：边上的值，用于表示两个顶点之间的距离或代价等。
b. 图的类型在图论中，有许多不同的图类型，以用于解决不同的问题。
这里我们简单介绍几种常见的类型：·简单图（Simple Graph）：没有自环和重边的图；·完全图（Complete Graph）：所有的顶点两两之间都有边相连的图；·有向图（Directed Graph）：边有方向的图；·加权图（Weighted Graph）：边上有权值的图。
二、网络科学网络科学是一门新兴的学科，它研究各种网络之间的复杂性和特征。
网络科学广泛应用于社会、生物、信息、市场等不同领域，以帮助人们理解和预测这些领域中的现象和行为。
网络科学使用数学和电脑模拟等方法来研究各种网络，比如社交网络、互联网、生物网络等。
在网络科学的各个领域中，我们可以发现许多基于图论的算法和模型。
a. 网络的结构网络结构是网络科学的一个基本概念。
根据这个概念，网络可以分为以下类型：·随机图（Random Graph）：网络中的节点和连接是完全随机的；·小世界网络（Small World Network）：在这种网络结构中，任意两个节点之间的距离很短，通常是对数级别的；·无标度网络（Scale-Free Network）：在这种网络结构中，一些节点会拥有更多的连接，而大多数节点只有很少的连接。
图论与网络流第六章答案蒋长浩
图论与网络流第六章答案蒋长浩图论与网络流第六章——蒋长浩在第五章中已经定义连通图是任二顶点间都有路相连的图。
对于连通图，其连通的程度也有高有低。
例如，下列三个图都是连通图。
对于图G1，删除一条边或一个顶点便可使其变得不连通；而对于图G6，至少需要删除两条边才能使其不连通，也可以删除一个顶点使其不连通；对于图G3，要破坏其连通性，则至少需要删除三条边或三个顶点。
第六章主要讨论如何通过图的顶点集、边集和不交的路集合的结构性质来获知图的连通性程度。
通过研究割边和割点来刻画1连通图的特性；定义连通度和边连通度来度量连通图连通程度的高低；通过不交路结构和元素的共圈性质来反映图的6连通和k连通性。
§6.1割点和割边定义6.1.1设)(GVv∈，如果)()(GwvGw>？，则称v为G的一个割点。
（注：该定义与某些著作中的定义有所不同，主要是在环边的顶点是否算作割点上有区别）。
例如，下图中u，v两点是其割点。
定理6.1.1如果点v是简单图G的一个割点，则边集E(G)可划分为两个非空子集1E和6E，使得][1EG和][6EG恰好有一个公共顶点v。
证明留作习题。
推论6.1.1对连通图G，顶点v是G的割点当且仅当vG？不连通。
定理6.1.6设v是树T的顶点，则v是T的割点当且仅当1)(>vd。
证明：必要性：设v是T的割点，下面用反证法证明1)(>vd。
若0)(=vd，则1KT？，显然v不是割点。
若1)(=vd，则vT？是有1)(？vTν条边的无圈图，故是树。
从而)(1)(TwvTw=？。
因此v不是割点。
以上均与条件矛盾。
充分性：设1)(>vd，则v至少有两个邻点u，w。
路uvw是T中一条)，(wu路。
因T是树，uvw是T中唯一的)，(wu路，从而)(1)(TwvTw=>？。
故v是割点。
证毕。
第六章 图与网络理论
图的概念 图的表示
(1 , 2 ,3 , 4 ,5 , 6 ), E (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 )
e1 [1 , 2 ]
e3 [1 , 4 ] e5 [1 , 3 ]
e7 [ 3 , 4 ]
例 降低管道网络成本的最小树方法
O: 锅炉房; C 5 4 4 O 6 D
C 4 5 O
B 9 10 A
C 4 5 O 4 B
A,B,C,D: 浴室。
如何架设管道，既保证四个 浴室都有蒸汽管道供应，又 使管道的的总长度为最短。
C
8 6 D 4 5 O 10 13 A D 4 9
8
13
B 9
B
C 6
v1
e2 e3 e4 e5
v3
e6 e7 e9 v5 v6
v4
e8
图的概念 树
一个没有圈的图称为一个无圈图或称为林。 一个连通的无圈图则称为树，一个林的每个连通子图 都是一个树。 定理 以下关于树的六种不同描述是等价的： ①无圈连通图。 ②无圈，q=p-1。 ③连通，q=p-1。 ④无圈，但若任意增加一条边，则可得到一个且仅一 个圈。 ⑤连通，但若任意舍弃一条边，图便不连通。 ⑥每一对顶点之间有一条且仅有一条链。
图的概念 简单链
若链中所含的边均不相 同，则称为简单链； v1 若点均不相同，则称 为初等链或通路。 e1 e2 e3 e4 e5 除起点和终点外点均不 相同的闭链，称为初 v2 v3 等回路或称为圈。 e6 e7 例如图中 e9 v5 1 , e1 , 2 , e2 ,1 , e3 , 4
的一个不含圈的支撑子图Gk，于是Gk是G的一个支撑
图论与网络基本知识
称为G的点连通度
(G)=min{|E| | E是G的边割集}称为G的边连通度
例如
(G)= 3 (G)= 3
有向图的连通性及其分类
设有向图D=<V,E>, u,vV, u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. u与v相互可达: u可达v且v可达u
D弱连通(连通): 略去各边的方向所得无向图为连通图 D单向连通: u,vV，u可达v 或v可达u D强连通: u,vV，u与v相互可达
点之间恰有一条边, n 4
方体图
n方体图Qn=<V,E>是2n阶无向简单图, 其中 V={v|v=a1a2…an, ai=0,1, i=1,2,…,n} E={(u,v)| u,vVu与v恰好有一位数字不同}.
00
01
100
101
000 001
0
1
010 011
10
11
110
111
二部图（二分图）
相邻；
平行边：具有相同端点的两条边
环：两个端点为同一个点的边
简单图：无平行边无环的图
e1
a
e4
e2
d
e6e3
b
e7
e5
e1 v1 e2 v2
e3 v5 e7
e4
e5 e6 v3
v4
带权图（网络）
图G的每一条边e附加一个实数w(e), 称作边e的权. 图G连 同附加在边上的权称作带权图（网络）, 记作G=<V,E,W>.
例如 A(G)=
11001 10201 02000 00000 11000
e1
v1 e2 v2
e3 e4 e5 e6
v5
v3
(G)=min{|E| | E是G的边割集}称为G的边连通度
例如
(G)= 3 (G)= 3
有向图的连通性及其分类
设有向图D=<V,E>, u,vV, u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. u与v相互可达: u可达v且v可达u
D弱连通(连通): 略去各边的方向所得无向图为连通图 D单向连通: u,vV，u可达v 或v可达u D强连通: u,vV，u与v相互可达
点之间恰有一条边, n 4
方体图
n方体图Qn=<V,E>是2n阶无向简单图, 其中 V={v|v=a1a2…an, ai=0,1, i=1,2,…,n} E={(u,v)| u,vVu与v恰好有一位数字不同}.
00
01
100
101
000 001
0
1
010 011
10
11
110
111
二部图（二分图）
相邻；
平行边：具有相同端点的两条边
环：两个端点为同一个点的边
简单图：无平行边无环的图
e1
a
e4
e2
d
e6e3
b
e7
e5
e1 v1 e2 v2
e3 v5 e7
e4
e5 e6 v3
v4
带权图（网络）
图G的每一条边e附加一个实数w(e), 称作边e的权. 图G连 同附加在边上的权称作带权图（网络）, 记作G=<V,E,W>.
例如 A(G)=
11001 10201 02000 00000 11000
e1
v1 e2 v2
e3 e4 e5 e6
v5
v3
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一、图的基本概念与模型
12. 支撑树（生成树）： G1是 G2的 支撑图，又是树图， 则称G1 是G的生成树。 生成树的寻找方法有： 破圈法、避圈法。 v2 e1 v1 e2 e3 v2 e1 v1 e2 e3
e5
e4 v4
e6 e7 e8 v5
v3 v2
e5
e4 v4
e6 e7 e8 v1 v5
e1
e2 v3
e4 v4
e6
v5 避圈法
破圈法
一、图的基本概念与模型
树枝总数（权总数） 最小的生成树称为该图的 S 最小生成树。 最少生成树的寻找方法有： 破圈法、避圈法。
A 2 S 4 5 7 2 1 3 4 B 5 1 E D 5 7 TS 2 A 2 5 7
2 1
C 3 4 A
B
5 1
E
D 5 7
5.支撑图：若V` =V，则称为G`称 为G的生成子图（支撑图）
6 .链、圈：无向图中连接两顶点之间的、点边交替的序列 称为链；两顶点重合则为圈。
一、图的基本概念与模型
v1 v1 e2 e2 v2 v2 e e6 8 v5 v5 e6 8.网络：点或边带有某种数量指标的 e1 e1e e e3 5 5 有向图称为网络，或称赋权图。 e7 e 7 v6
2、Floyd算法
计算基本步骤为：
(1)输入权矩阵D(0)=D; (2)计算D(k) =(dij(k))n×n (k=1,2,3,…n) (k) (k 1) (k 1) (k 1) , dik d kj ] 其中 d ij min[d ij (3) D(n)=(dij(n))n×n中元素dij(n)就是vi到vj的最短 路长．
2、Floyd算法
求任意两点间的最短距离，如采用Dijkstra算 法比较繁琐。 而Floyd算法可直接求出网络中 任意两点间的最短路。
为计算方便，令网络的权矩阵为D=(dij)n×n， lij 为vi到vj的距离 其中
l ij 当 (vi , v j ) E dij 其他
(0)
v1
5
1
3
10
2 8 4 4
v3
2
v5
2 2
6
v4
2、Floyd算法
0 5 1 2 5 0 10 2 3 0 2 2 6 0 2 4 4 v1 v 2 v 3 v 4
0 5 2 2 7 5 1 2 7 0 6 7 2 3 0 2 5 7 3 0 4 2 4 4 0
C
一、图的基本概念与模型
例2“环球旅行”问题 答案如图：
1857年，英国数学家哈米尔顿发明了一种游戏。正12面 体上有20个顶点，分别表示世界上20个城，要求游戏者从任 一城市出发，寻找一条可经由每一个城市一次且仅一次再回 到原出发点的路。 定义：在图中找一条经过每个点一次且仅一次的路， 通称哈密尔顿回路。
3.完全图：每一对顶点间都有边相连 的无向简单图，计为kn。 v2 e 7 e2 e9 e3 v3 e5 e6 e10 e4 v5 e8 v4
4.子图：图G=（V，E），若E`是E v1 e 1 的子集，V`是V的子集，且E `中的 边仅与V `中的顶点相关联，则称 G ` =（V` ，E` ）是G的子图。
2、Floyd算法
例:求任意两点间的最短路. 四条无向边,每条边可化为两条方向相反的有向边. v2
DD 0 5 1 2 5 0 10 2 3 0 2 2 6 0 2 4 4 v1 v 2 v 3 v 4 v1 2 v2 8 v3 4 v4 0 v5 v5
直接距离或通过v1为中间点的最短路径
D
( 2)
D ( 3)
D D(0)
v1 2 v2 8 v3 4 v4 0 v5 v5
D (1)
0 5 2 2
5 1 2 0 6 7 2 3 0 2 8 7 3 0 4 2 4 4 0 4 1 2 6 0 6 7 2 3 0 2 5 6 3 0 4 2 4 4 0
7 5
9
v6 T(∞) P(13) T(13)
4 5
v1 P(0)
4 4 7
v8 T(∞) P(15) T(17)
6
6
1
v3T(∞) T(6) P(6)
v5T(∞) P(8) T(8)
v7T(∞) T(14) P(14)
1、Dijkstra算法
(6)考虑点v3，(v3,v4)єE ，(v3,v5)єE，且v4,v5标号为T，重新计算 T(v4)=min[T(v4),P(v3)+l34]=min[9,6+4]=9 T(v5)=min[T(v5),P(v3)+l35]=min[8,6+7]=8 (7)比较所有T标号，T(v5)=8最小， ∴P(v5)=8 (8)考虑点v5，(v5,v6)єE ，(v5,v7)єE，且v6,v7标号为T T(v6)=min[T(v6),P(v5)+l56]=min[+ ∞,8+5]=13 T(v7)=min[T(v7),P(v5)+l57]=min[+ ∞,8+6]=14 (9)比较所有T标号，T(v4)=9最小， ∴P(v4)=9 (10)考虑点v4，(v4,v6)єE ，(v4,v7)єE，且v6,v7标号为T T(v6)=min[T(v6),P(v4)+l46]=min[13,9+9]=13 T(v7)=min[T(v7),P(v4)+l47]=min[14,9+7]=14 (11)比较所有T标号，T(v6)=13最小， ∴P(v6)=13 (12)考虑点v6，(v6,v8)єE ，(v6,v7)єE，且v6,v7标号为T T(v8)=13+4=17 T(v7)=14 (13)比较所有T标号，T(v7)=14最小， ∴P(v7)=14 (14)考虑点v7，(v7,v8)єE ， T(v8)=15；T(v8)=14最小 ∴P(v8)=15，结束。
1、Dijkstra算法
T(4) P(4) v2T(∞) 5
4
T(9) v4T(∞)
7 5
9
v6 T(∞)
4 5
v1 P(0)
4 4 7
v8 T(∞)
6
6
1
v3T(∞) T(6) P(6)
v5T(∞) T(8)
v7T(∞)
(3)比较所有T标号，选取最小的改为P标号 P(v2)=4（图中画线） (4)v2刚得到P标号，考察边(v2,v4)∈E ，(v2,v5)∈E，且v4,v5标号为T
一、图的基本概念与模型
例3：a、b、c、d、e、f企业之间的业务往来。 a c
b e
两图无区别
d c 例4:石油流向的管网示意图。 B C 2 4 6 5 2 12 1 A D H 3 8 4 2 6 F E
b
a e
d
图论发展比较缓慢， 计算机的发展，重新 驱动图论发展
一、图的基本概念与模型
一、基本概念
1、Dijkstra算法
被认为是求无负权网络最短路问题的最好方法。
算法的基本思路基于以下原理： 若序列{vs,v1, …vn-1,vn}是从vs到vn的最短路， 则序列{vs,v1, …vn-1}必为从vs到vn-1的最短路。
1、Dijkstra算法
算法基本步骤
采用标号法：T标号：试探性标号（tentative label） P标号：永久性标号（permanent label） P(vi)：表示从vs到vi的最短路，vi点的标号不再改变。
7.有向图：点和有向边（或称弧）构 成的图。
9.路：有向图中有起点，有终点的链 为路（每条边方向相同），圈 为回路。 10.连通图：图中任两点之间至少有一 条链，则称此图为连通图。
v3 v3 e4 e4 v4 v4
一、图的基本概念与模型
11.树：比赛安排情况，企业组织结构用树 表示。
经理 董事长
定义：无圈的连通图称为树，T=(V,E） 性质： ①任两点间必有且仅有一条链。 ②两个不相邻的顶点间添上一条 边， 就得到一个圈。 ③去掉任何一条边，图就不连通。 ④含有p个顶点的树有p-1条边。
aij=
{0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 (vi,vj)єE 其它
v1
v3
v2
v4
[ ]
0 1 ∞ 0 1 1 1 ∞ 1 1 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 0
三、最短路问题
最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。 许多最优化问题可以使用这个模型，如设备更新， 管道铺设，线路安排，厂区布局,费用问题等。
1、Dijkstra算法：某一点至其他各点的距离最短 2、Floyd算法：任意两点间的距离最短 3、逐次逼近法：带有负权时求最短短路
第六章 图与网络分析
一、图的基本概念与模型
二、树图和图的最小支撑树 三、最短路问题
四、网络的最大流
五、网络的最小费用流
一、图的基本概念与模型
例1.哥尼斯堡七桥问题（七桥难题）
18世纪的哥尼斯堡城中流过一条河（普雷.哥尔河）， 河的两岸和河中的两个小岛有七座桥彼此相联。当地居民热 衷于讨论这样的问题：是否可以设计一种方案，使得人们从 自己家里出发，经过每座桥一次恰好一次，最后回到家里。 这便是著名的“哥尼斯堡七桥问题”。
例:
4
T(4) v2T(∞) 5
4 4 6 7
v4T(∞)
7 5 6
9
v6 T(∞)
4 5 1
v1 P(0)
v8 T(∞)
v3T(∞) T(6)
v5T(∞)
v7T(∞)
求v1到v8点的最短路。 解： (1)给起点vs以 P标号，P(vS)=0,其余各点均给T标号， T(vi)=+ ∞ 首先给v1以P标号，P(v1)=0， 给其余所有点T标号，T(vi)= + ∞ (2)若vi点为刚得到P标号的点，考虑这样的点vj：(vi,vj)∈E，且vj 为T标号，对vj的T标号进行如下的更改： T(vj)=min[T(vj),P(vi)+wij] 对v1,(v1,v2),(v1,v3)有边， (v1,v2)∈E ，(v1,v3)∈E， 且v2,v3标号为T T(v2)=min[T(v2),P(v1)+w12]=min[+ ∞,0+4]=4 T(v3)=min[T(v3),P(v1)+w13]=min[+ ∞,0+6]=6