2013高考数学备考训练-同角三角函数的关系
高考数学复习同角三角函数的基本关系及诱导公式理含解析
高考数学复习核心素养提升练十九同角三角函数的基本关系及诱导公式(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.sin(-1 020°)=( )A. B.- C. D.-【解析】选C.sin(-1 020°)=sin(-3×360°+60°)=sin60°=.2.α是第四象限角,tan α=-,则sin α=( )A. B.- C. D.-【解析】选D.因为tan α=-,所以=-,所以cos α=-sin α,代入sin2α+cos2α=1得sin α=±,又α是第四象限角,所以sin α=-.【一题多解】选 D.因为tan α=-,且α是第四象限角,所以可设y=-5,x=12,所以r==13,所以sin α==-.3.已知cos 29°=a,则sin 241°·tan 151°的值是( )A. B.C.-D.-【解析】选B.sin 241°·tan 151°=sin(270°-29°)·tan(180°-29°)=(-cos 29°)·(-tan 29°)=sin 29°=.4.若tan α=2,则2cos 2α+3sin2α-sin2α的值为( )A. B.- C.5 D.-【解析】选A.2cos 2α+3sin2α-sin2α=====.5.若sin(π-α)=-2sin,则sin α·cos α的值等于( )A.-B.-C.或-D.【解析】选A.因为sin(π-α)=-2sin,所以sin α=-2cos α,即tan α=-2,所以原式====-.【延伸探究】本题条件不变,试求的值. 【解析】由sin(π-α)=-2sin知tan α=-2,所以原式====.6.已知tan(α-π)=,且α∈,则sinα+等于( )A. B.- C. D.-【解析】选B.因为tan(α-π)=-tan(π-α)=tanα=>0,又α∈,所以α∈,即cos α<0,所以sin α=cos α,又因为sin2α+cos2α=1,故cos2α+cos2α=1,故cos α=-,因此sin=cos α=-.二、填空题(每小题5分,共15分)7.已知cos=,则sin=________.【解析】sin=sin=cos=.答案:8.已知sin α+2cosα=0,则2sin αcosα-cos2α的值是______.【解析】因为sin α+2cosα=0,所以sin α=-2cos α,所以tan α=-2,又因为2sin αcosα-cos2α==,所以原式==-1.答案:-19.若sin=-,且α∈,则sin=________. 【解析】因为α∈,所以α+∈,所以cos=-=-,所以sin=sin=cos=-.答案:-三、解答题10.(15分)已知在△ABC中,sin A+cos A=.(1)求sin Acos A的值.(2)求tan A的值.【解析】(1)因为sin A+cos A=,所以(sin A+cos A)2=,即1+2sin Acos A=, 故sin A cos A=-.(2)因为sin A-cos A====, ①又sin A+cos A=, ②由①②知,sin A=,cos A=-,因此tan A==-.(20分钟40分)1.(5分)已知θ为直线y=3x-5的倾斜角,若A(cos θ,sin θ),B(2cos θ+sin θ,5cos θ-sin θ),则直线AB的斜率为( )A.3B.-4C.D.-【解析】选D.由题意知:tan θ=3,k AB====-.2.(5分)若sin θ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为( )A.1+B.1-C.1±D.-1-【解析】选B.由题意知sin θ+cosθ=-,sin θ·cos θ=.又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以=1+,解得m=1±.又Δ=4m2-16m≥0,所以m≤0或m≥4,所以m=1-.【变式备选】(2018·衡水模拟)已知2θ是第一象限的角,且sin4θ+cos4θ=,那么tan θ=( )A. B.-C. D.-【解析】选A.因为sin4θ+cos4θ=,所以(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=,所以sin θcosθ=,所以=,所以=,解得tan θ=(舍去,这是因为2θ是第一象限的角,所以tan θ为小于1的正数)或tan θ=.3.(5分)(2018·镇江模拟)已知锐角θ满足tan θ=cos θ,则= ________.【解析】因为tan θ=cos θ,所以sin θ=cos2θ=(1-sin2θ).因为θ为锐角,所以sin θ=,tan θ=,所以===3+2.答案:3+24.(12分)已知<α<,tan α+=.(1)求tan α的值.(2)求的值.【解析】(1)由已知可得tan α+=,3tan2α-10tan α+3=0,即tan α=3或tan α=.又因为<α<,所以tan α=3.(2)===-=-3.5.(13分)已知tan α=-,α为第二象限角.(1)求的值.(2)求++的值.【解析】(1)原式===-cos α.因为tan α=-,α为第二象限角,所以=-.又sin2α+cos2α=1.解得cos α=-,故原式=.(2)原式=++=++=+,因为α为第二象限角,所以上式=-1-=-1-221313=-1.。
2013届高考数学同角三角函数的关系式及诱导公式
同角三角函数的关系式及诱导公式一、 基础知识（一） 同角三角函数的基本关系式：①平方关系1cos sin 22=+αα；②商式关系αααt a n c o s s i n =；③倒数关系1c o t t a n =αα。
（二） 正弦余弦的诱导公式：απ±⋅2k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“奇变偶不变，符号看象限”。
注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为0~ 90角的三角函数。
2、主要用途：a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义求解会更方便）；b) 化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式。
二、 题型剖析1、化简求值例1：化简（1）())cos(])1sin[(])1cos[(sin απαπαπαπ+⋅++--⋅-k k k k （Z k ∈） （2）αααα4266sin sin cos sin 1---解：（1）当k 为偶数时，原式=ααααcos sin )cos (sin --⋅-=－1；当k 为奇数时同理可得，原式=－1，故当Z k ∈时，原式=-1。
（2）原式=()()()αααααααα222222222sin 1sin ]cos sin 3cos sin [cos sin 1-⋅-++-=3【思维点拨】（1）分清k 的奇偶，决定函数值符号是关键；（2）平方降次是化简的重要手段之一。
练习：（变式2）()z n n n ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫⎝⎛--απαπ414cos 414sin 化简 解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-αππαππ4cos 4sin n n （1）当n 为奇数时，设()z k k n ∈+=12，则原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+απππαπππ42cos 42sin k k =04cos 4cos 4cos 4sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπαπαπ。
高考数学专题复习题：同角三角函数基本关系式和诱导公式
高考数学专题复习题：同角三角函数基本关系式和诱导公式一、单项选择题（共4小题）1.已知4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值是（ ） A ．34− B ．43− C ．34 D ．432.tan600°的值是（ ）A ．33−B ．33C ．3−D ．33.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3⎪⎭⎫ ⎝⎛+βπ2cos ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝（ ）A ．355B ．377C ．31010D ．134．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为（ ）A ．－12B ．12C ．－32D ．32二、多项选择题（共3小题）5.已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则（ ） A ．θ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2 B ．cos θ＝－35 C ．tan θ＝－34 D ．sin θ－cos θ＝756.在△ABC 中，若tanA ＋B 2＝sinC ，则下列结论正确的是（ ） A .tan A tan B ＝1 B ．1<sin A ＋sin B ≤2C ．sin 2A ＋cos 2B ＝1D ．cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C 7.下列结论中，正确的是（ ）A ．sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角B .若cos(n π－α)＝13(n ∈Z)，则cos α＝13C ．若α≠k π2(k ∈Z)，则tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ2＝－1tan αD ．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α＝1三、填空题（共4小题）8.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α=________. 9.若sin α＝2cos α，则cos 2α＋sin αcos α－sin 2α＝________.10.已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.11.已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ125＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-12＝________. 四、解答题（共3小题）12.化简计算：（1）sin sin1sin 1sin αααα−+−； （2 13.求值：（1）若α是第二象限角，且cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ2＝－13，求tan α的值； （2）已知f (α)＝sin (3π－α)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos (π－α)sin (－π－α)，化简f (α)，在(1)的条件下，求f (α)的值. 14.某同学在思考是否存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22-ππα，，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛−βπ2cos ，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.。
2023年新高考数学一轮复习5-2 同角三角函数的基本关系与诱导公式(真题测试)解析版
专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（真题测试）一、单选题1．（2013·广东·高考真题（文））已知51sin()25πα+=，那么cos α=（ ） A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】C 【解析】由51sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，得 1cos 5α=.故选C ． 2．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）已知3tan 4α=，α为第三象限角，则cos α的值为（ ）A ．35B ．35 C ．45D ．45-【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系求解即可 【详解】 因为3tan 4α=，故sin 3cos 4αα=，即2216sin 9cos αα=，221616cos 9cos αα-=，所以216cos 25α=，因为α为第三象限角，故4cos 5α=-故选：D3．（2022·辽宁· ） A ．sin 4cos4- B ．sin4cos4-- C ．cos4sin 4- D ．sin4cos4+【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式和平方关系求解. 【详解】==cos4sin 4=-，故选：C4．（2007·山西·高考真题（理））α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系，得到22sin 5cos 12sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，求解，再根据题意，即可得出结果. 【详解】因为5tan 12α=-，由同角三角函数基本关系可得：22sin 5cos 12sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得：5sin 13α=±， 又α是第四象限角，所以5sin 13α=-. 故选：D.5．（2020·全国·高考真题（理））已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） AB ．23C ．13D【答案】A 【解析】 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴==故选：A.6．（2014·全国·高考真题（理））设sin 33,cos55,tan 35,a b c =︒=︒=︒则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：利用诱导公式、三角函数的单调性即可得出． 解：∵a=sin33°，b=cos55°=sin35°， ∴a ＜b ， 又sin 35tan 35sin 35cos35=>，∴c ＞b ＞a ． 故选C ．7．（2010·全国·高考真题（理））记0cos(80)k -=，那么0tan100=（ ）AB ．C D ．【答案】B 【解析】 【详解】()0cos 80k -=,cos80k ∴=,从而22sin801cos 801k =-=-，sin 801tan 80cos80∴==， 那么21tan100tan(18080)tan 80k k-=-=-=- 故选B ．8．（2022·安徽·高一期中）设0πα<<，1sin cos 2αα+=，则cos sin αα-=（ ）A ．12B ．12±C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由条件两边平方结合同角关系可求2sin cos αα，结合同角关系求cos sin αα-.【详解】 因为1sin cos 2αα+=，所以()21sin cos 4αα+=，32sin cos 4αα=-，sin α与cos α异号．而已知0πα<<，所以sin 0α>，cos 0α<．因为()237cos sin 12sin cos 144αααα-=-=+=，所以取cos sin αα-=． 故选：C. 二、多选题9．（2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习）已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是（ ） A ．()sin sin x x -= B ．3sin cos 2x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．cos sin 2x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D ．()tan tan x x π+=【答案】CD 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式化简可得. 【详解】∵()sin sin x x -=-，故A 不成立；∵3sin cos 2x x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，故B 不成立；∵cos sin 2x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故C 成立；∵()tan tan x x π+=，故D 成立. 故选：CD.10．（2021·江苏·高一专题练习）在平面直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是（ ）A ．()sin sin απβ+=B ．()sin sin απβ-=C ．()sin 2sin παβ-=-D ．()sin 2sin παβ+=【答案】CD 【解析】【分析】根据α与β的终边关于y 轴对称可得()2k k Z αβππ+=+∈，利用诱导公式依次验证各个选项即可. 【详解】α与β的终边关于y 轴对称，()2k k Z αβππ∴+=+∈，对于A ，()sin sin απα+=-，()sin sin 2sin k βππαα=+-=，则()sin sin απβ+=不恒成立，A 错误； 对于B ，()sin sin απα-=-，()sin sin 2sin k βππαα=+-=，则()sin sin απβ-=不恒成立，B 错误；对于C ，()sin 2sin παα-=-，()sin sin 2sin k βππαα-=-+-=-，则()sin 2sin παβ-=-恒成立，C 正确； 对于D ，()sin 2sin παα+=，()sin sin 2sin k βππαα=+-=，则()sin 2sin παβ+=恒成立，D 正确. 故选：CD.11．（2022·云南玉溪·高一期末）已知(0,)θπ∈，sin cos θθ+= ）A ．sin cos 0θθ<B ．sin cos θθ-C ．cos θ=D ．sin θ=【答案】ABD 【解析】 【分析】考虑角θ 所在的象限，以及同角关系和题目所给的条件即可. 【详解】由sin cos θθ+=…①，以及22sin cos 1θθ+= ， 对等式①两边取平方得112sin cos 5θθ+= ，2sin cos 5θθ=- …②，()0,θπ∈ ，sin 0θ∴＞，由②，cos 0θ＜ ，由①②sin θ ，cos θ 可以看作是一元二次方程2205x -= 的两个根，解得sin θ=，cos θ= ，故A 正确，B 正确，C 错误，D 正确； 故选：ABD.12．（2022·福建·+） A ．3B ．3-C ．1D ．1-【答案】ABCD 【解析】 【分析】 由题得原式cos 2sin |cos ||sin |αααα=+，再对α分四种情况讨论得解.【详解】cos2sin|cos||sin|αααα=+，当α在第一象限时，原式cos2sin=3c=os sinαααα+；当α在第二象限时，原式cos2sin=1cos si=nαααα+-；当α在第三象限时，原式cos2sin==3cos sinαααα+---；当α在第四象限时，原式cos2s=in=1cos sinαααα+--.故选：ABCD三、填空题13．（2011·重庆·高考真题（文））若cosα=﹣，且α∈（π，），则tanα=______．【答案】【解析】【详解】试题分析：根据α∈（π，），cosα=﹣，求出sinα，然后求出tanα，即可．解：因为α∈（π，），cosα=﹣，所以sinα=﹣，所以tanα==故答案为14．（2015·四川·高考真题（文））已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.【答案】－1【解析】【详解】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－22sinαcosα－cos2α＝22222sin cos cos2tan1411sin cos tan141ααααααα----===-+++15．（2010·上海·高考真题）在△ABC中，tan A，则sin A=____________【解析】【详解】因为tan 03A =>，则A ∠是锐角，于是2221111tan 199cos A A +=+==，则29cos11A =，cos A =sin tan cos A A A =⋅==．（或由29cos 11A =得22sin 11A =，因为sin 0A >，则sin A =．） 16．（2012·山东·高考真题（文））如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为______________.【答案】()2sin 2,1cos2--【解析】 【详解】如图，连结AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知BP 的长为2.∵圆的半径为1，∴∠BAP ＝2， 故∠DAP ＝2－2π.∴DP ＝AP·sin 22π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos 2，∴PC ＝1－cos 2，DA ＝APcos 22π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 2.∴OC ＝2－sin 2.故OP ＝(2－sin 2,1－cos 2)． 四、解答题17．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）（1）已知()1sin 3πα-=，求()sin 3,cos 2ππαα⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值．（2）化简()()sin 2cos 3sin cos 22παπαππαα-⋅+⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）sin ()3πα+13=-；1cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（2）1-．【解析】 【分析】（1）化简已知得sin 13α=，再利用诱导公式化简即得解；（2）直接利用诱导公式化简即得解. 【详解】（1）由sin ()13πα-=，有sin 13α=，所以sin ()()13sin sin 3παπαα+=+=-=-；1cos sin 23παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭.（2）()()()()sin 2cos sin cos 13cos sin sin()cos 22παπαααππαααα-⋅+⋅-⋅-==-⋅-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭. 18．（2022·福建·高二学业考试）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于P 点34,.55⎛⎫⎪⎝⎭(1)求()sin πα-的值； (2)求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)45(2)-7【解析】 【分析】先求出 sin α 和tan α ，在根据诱导公式和两角和正切公式计算即可. (1)由题意，4445sin ,tan 3535αα===，()4sin sin 5παα∴-== ；(2)41tantan 34tan 7441tan tan 143παπαπα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-- ； 综上，()4sin π,tan 754παα⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭.19．（2022·四川省资中县第二中学高一阶段练习（理））已知sin cos αα+= (1)求π3πsin cos 22αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；(2)若ππ2α<<，β终边经过()3,4P -，求()()()111sin πcos 3πcos 2πααβ++-+--. 【答案】(1)1353【解析】 【分析】（1）将sin cos αα+=两边同时平方，得到1sin cos 3αα=-，再利用诱导公式计算可得；（2）首先求出sin cos αα-，再根据任意角的三角函数的定义求出cos β，再利用诱导公式化简，最后代入计算可得； (1)因为sin cos αα+=，所以()22sin cos αα⎛+= ⎝⎭，即112sin cos 3αα+=，所以1sin cos 3αα=-，所以31sin cos cos sin 223ππαααα⎛⎫⎛⎫+⋅-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)因为2απ<<π，所以sin 0cos αα>>所以sin cos αα- 又因为β终边经过()3,4P -，所以3cos 5β==- 所以111sin()cos(3)cos(2)παπαβπ++-+--111sin cos cos ααβ=-+cos sin 1sin cos cos ααααβ-=+15313335=+=--20．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）已知1sin cos 5αα+=.(1)求sin cos αα⋅的值(2)若2απ<<π，求()11sin cos απα+-的值. 【答案】(1)1225-； (2)3512. 【解析】 【分析】（1）把1sin cos 5αα+=平方即得解；（2）求出cos sin αα-，即得解. (1)解：21(sin cos )12sin cos 25αααα+==+， ∴12sin cos 25αα=-. (2) 解：原式=11cos sin sin cos sin cos αααααα--=，∵21249(cos sin )12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⋅-= ⎪⎝⎭， 又∵,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos 0α<，sin 0α>，cos sin 0αα-<，∴7cos sin 5αα-=-，∴原式7355121225-==-.21．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知1sin cos 2αα+=，0απ<<. (1)求sin cos αα的值. (2)求sin cos αα-的值. (3)的值.【答案】(1)38-(3)43- 【解析】【分析】（1）将已知平方结合平方关系即可得解；（2）由（1），可得sin 0,cos 0αα><，则sin cos αα-=，从而可得出答案；（3）=化简，从而可求出答案.(1)解：因为1sin cos 2αα+=， 所以()2221sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 4αααααααα+=++=+=， 所以3sin cos 8αα=-； (2)解：因为0απ<<，3sin cos 8αα=-，所以sin 0,cos 0αα><， 所以sin cos αα-=； (3) 解：由（2）得sin 0,cos 0αα><，=1sin 1cos cos sin αααα--=--()()sin 1sin cos 1cos sin cos αααααα-+-=-sin cos 1sin cos αααα+-=-11238-=--43=-. 22．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（理））已知()0,θπ∈，7sin cos 5θθ-=． (1)求sin cos θθ+的值；(2)求tan θ的值．【答案】(1)15±(2)见解析.【解析】【分析】（1）将已知等式两边平方，求出sin cos θθ的值，结合()0,θπ∈，可知θ为第二象限角，可得sin cos θθ+的值；（2）由（1）知sin cos θθ+的值，与已知等式联立可求出sin cos θθ，的值，则tan θ的值可求. (1) 把7sin cos 5θθ-=平方后得，4912sin cos 25θθ-=，可得12sin cos 25θθ=-，可得sin cos 0θθ<，由()0,θπ∈，可得sin 0θ>，cos 0θ<，有,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 由()2241sin cos 12sin cos 12525θθθθ+=+=-=，有1sin cos 5θθ+=±． (2)由（1）有，①1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得4sin 53cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得4sin 45tan 3cos 35θθθ===--． ②1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得3sin 35tan 4cos 45θθθ===--．。
高考数学专题复习题：同角三角函数基本关系式及诱导公式
高考数学专题复习题：同角三角函数基本关系式及诱导公式一、单项选择题（共8小题）1.已知α是第三象限角，sin α＝－35，则tan α＝（ ）A.－34B.34C.－43D.43 2.已知tan 2θ=，则3πsin sin 2θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．35 B ．12 C ．12− D ．25− 3.若cos α＝35，α是第一象限角，角α，β的终边关于y 轴对称，则tan β＝（ ）A.34B.－34C.43D.－434.“sin cos 1αα+=”是“sin20α=”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若α为锐角，tan α＝1cos 2α＋1，则tan α＝（ ）A.12B.1C.2－3D.36.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5，cos 4π5，则α的最小正值为（ ） A.π5 B.3π10 C.4π5 D.17π107.如果函数321()(1)23f x x x f =++'，且该函数的图象在点3x =处的切线的倾斜角为α，那么π3πsin cos 22αα⎛⎫⎛⎫+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．310 B ．310− C ．910 D ．34−二、多项选择题（共3小题）9．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝15，则（ ）A. π2＜α＜πB. sin αcos α＝－1225C. cos θ＝－45D. cos α－sin α＝－75 10．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，－π2＜α＜π2，则（ ） A.tan α＝2B.sin α－cos α＝－55C.sin 4α－cos 4α＝35D.1－2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝1311．若sin θ＋cos θ＝t ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，t ∈(－1，2]，函数f (θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ，则下列选项正确的是（ ）A ．当t ＝12时，sin θcos θ的值为38B ．当t ＝12时，sin 3θ－cos 3θ的值为－5716C ．函数f (θ)的值域为(－1，2]D ．函数f (θ)的值域为(－1,1]三、填空题（共3小题）12．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan θ＝12，则sin θ－cos θ＝________. 13．已知sin(3π＋θ)＝13，则cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝________.14．已知－π＜x ＜0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝________.。
同角三角函数的基本关系与诱导公式-高考数学复习
3
θ＝ ，
5
cos
π
θ＜0，所以可得θ∈（ ，π），
2
sin θ cos
θ）2＝1－2
sin θ＋ cos
4
θ＝－ ，tan
5
1
θ＝ ，可得
25
sin θ cos
1
θ＝－ ，
5
sin θ cos θ
49
θ＝ ，所以
25
sin θ－ cos
sin θ
7
θ＝ ，联
5
3
θ＝－ ，故B错误，C正确.
4
目录
高中总复习·数学
可求解；
（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母
1用 sin 2α＋ cos 2α替换，再将分子与分母同除以 cos 2α，化为只
含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
目录
高中总复习·数学
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
可以知一求二.
目录
高中总复习·数学
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
解析：由 sin θ＋ cos
θ cos
1
θ＝ ，∴
6
sin 4θ＋ cos 4θ＝（
2 3
θ＝
，平方得1＋2
3
）
sin θ cos
4
θ＝ ，∴
3
sin
sin 4θ＋ cos 4θ＝（ sin 2θ＋ cos 2θ）2－2 sin 2θ cos 2θ
（1）思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成单
（4） sin α＝tan α cos
【高考调研】高考数学总复习 4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式配套课件 理 新人教A版
第 2 课时 同角三角 函数的基本关系式及诱导公式
2013•考纲下载
1．借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式：sin2α ＋cos2α＝1，csionsαα＝tanα，掌握已知一个角的三角函数值求其他 三角函数值的方法．
2．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(π2±α，π±α 的 正弦、余弦、正切)，经历并体验用诱导公式求三角函数值，感 受诱导公式的变化规律．
思考题 4 已知 tanα＝2，求sinαc＋ os2cαosα2的值．
【解析】 方法一 原式可化为sin2α＋cocos2sα2α－＋si2ns2iαnαcosα 分子、分母同除以 cos2α tan2α1＋－2tatann2αα＋1＝－3.
方法二 原式可化为 csoinsα2α＋－csoisnα2α2＝cosα－sisninαα＋ccoossαα＋2 sinα ＝scionsαα＋－csoinsαα＝t1a－nαt＋an1α＝－3. 【答案】 －3
tanα －tanα
1．(课本习题改编)sin2 490°＝________；
cos(－335π)＝________.
答案
－12
1 2
2．若 tanα＝2，则2sisninαα＋－2ccoossαα的值为
A．0
3 B.4
C．1
5 D.4
答案 B 解析 2sisniαnα＋－2ccoossαα＝2ttaannαα＋－21＝42－ ＋12＝34.
18.必修四数学同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系知识点一、同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.二、sin α±cos α与sin αcos α的关系(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.常考题型归纳类型一 同角三角函数的基本关系式的简单应用已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角的终边所在象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用sin αcos α＝tan α.时，没有选定正负号的问题。
例1.已知cos α＝－35，求sin α及tan α的值．变式练习1、已知 ，求 的值。
2、已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值．类型二 三角恒等式的证明证明三角恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程。
证明方法通常有： （1）由等式的一边证得它的另一边； （2）综合法：其依据是等价转化思想； （3）证明左右两边都等于同一个式子； （4）比较法：证明左边-右边=0，或左边/右边=1. 例2.证明：变式练习1、求证：(1)1＋tan2α＝1cos2α；(2)2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.(3)sinα1－cosα＝1＋cosαsinα.类型三三角函数式的化简(1)化简三角函数式的一般要求：①函数种类最少；②项数最少；③函数次数最低；④能求值的求出值；⑤尽量使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式．例3.已知sinαcosα<0，sinαtanα<0,化简变式练习1、化简tanα1sin2α－1，其中α是第二象限角．2、化简：.3、化简：类似四关于sinα，cosα的分式、齐次式的求值在已知tanα=m的条件下，求关于sinα，cosα的齐次式问题，需要注意以下两点：（1）一定是关于sinα，cosα的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；（2）因为cosα≠0，所以可用cos n α(n ∈N+)除之，这样可以转为关于tan α的表达式，代入tan α=m ，从而使问题获解。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(文)
(方法二)由
即( 2cos α+1) =0,所以 cos α=2
3π
4
又 α∈(0,π),所以 α= ,
3π
所以 tan α=tan 4 =-1.
2
.
2
-21考点1
考点2
考点3
(方法三)因为 sin α-cos α= 2,
π
所以 2sin - 4 = 2,
解析: (1)(方法一)因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,
所以 sin 2α=-1.
3π
2
因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α= .
3π
所以 α= 4 ,所以 tan α=-1.
sin-cos = 2,
sin2 + cos 2 = 1,
1
解 (1)联立方程
sin + cos = ,
5
sin2 + cos 2 = 1.②
1
由①得 cos α=5-sin α,将其代入②,
整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
①
-12考点1
考点2
考点3
∵α 是三角形内角,
4
sin = 5 ,
∴
3
4
∴tan α=-3.
cos = - 5 ,
对点训练 2(1)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A )
2
A.-1
π
B.- 2
2
C. 2
D.1
1
1
5
cos -sin
(2)已知- <α<0,sin α+cos α=- ,则
2013高考数学备考训练同角三角函数的关系
2013高考数学备考训练-同角三角函数的关系一、选择题1．sin930°的值是( )A.32 B ．－32C.12 D ．－12答案 D解析 sin930°＝sin210°＝－sin30°＝－12.2．已知α是第二象限角，且cos α＝－45，得tan α＝( )A.43 B ．－43C ．－34 D.34答案 C解析 ∵α为第二象限角且cos α＝－45，∴sin α＝35，∴tan α＝sin αcos α＝－34.3．化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α(π<α<3π2)得( ) A ．sin α＋cos α－2 B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α答案 A解析 原式＝cos α(1－sin α)2cos 2α＋sin α(1－cos α)2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0，∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.4．A 为△ABC 的内角，且sin2A ＝－35，则cos(A ＋π4)等于( )A.255 B ．－255 C.55 D ．－55 答案 B解析 cos 2( A ＋π4)＝[22(cos A －sin A )]2 ＝12(1－sin2A )＝45. 又cos A <0，sin A >0∴cos A －sin A <0∴cos(A ＋π4)＝－2555．若cos(π6－α)＝m (|m |≤1)，则sin(23π－α)的值为( )A ．－mB ．－m 2C.m 2 D ．m答案 D解析 sin(2π3－α)＝sin(π2＋π6－α)＝cos(π6－m)＝m，选D.6.1＋2sin(π－3)cos(π＋3)化简的结果是() A．sin3－cos3 B．cos3－sin3C．±(sin3－cos3) D．以上都不对答案 A解析sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3∴1－2sin3·cos3＝(sin3－cos3)2＝|sin3－cos3|∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0.∴原式＝sin3－cos3，选A.7．tan(5π＋α)＝m，则sin(α－3π)＋cos(π－α)sin(－α)－cos(π＋a)的值为()A.m＋1m－1B.m－1m＋1C．－1 D．1答案 A解析由tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m原式＝－sinα－cosα－sinα＋cosα＝sinα＋cosαsinα－cosα＝m＋1m－1，∴选A.8．已知A为锐角，lg(1＋cos A)＝m，lg11－cos A＝n，则1g sin A的值为()A．m＋1n B.12(m－n)C.12(m＋1n) D.12(m－1n)答案 B解析lg(1＋cos A)＝m，lg(1－cos A)＝－n ∴lg(1－cos2A)＝m－n∴lgsin2A＝m－n∴lgsin A＝12(m－n)，选B.二、填空题9．(2010·山东师大附中期中)若tanα＋1tanα＝3，则sinαcosα＝________，tan2α＋1tan2α＝________.答案1 3；7解析∵tanα＋1tanα＝3，∴sinαcosα＋cosαsinα＝3，即sin2α＋cos2αsinαcosα＝3.∴sinαcosα＝13.又tan2α＋1tan2α＝(tanα＋1tanα)2－2tanα1tanα＝9－2＝7.10．(2011·武汉市调研)已知tanα＝－12，π2<α<π，则sinα＝________.答案5 5解析法一：∵α为第二象限角，设α终边上一点P(x，y)，且设x＝－2，y＝1，则r＝5，∴sinα＝5 5.法二：依题意得sinα＝sinαsin2α＋cos2α＝11＋1tan2α＝11＋(－2)2＝55.11．(2011·重庆第一次诊断)已知2tanα·sinα＝3，－π2<α<0，则cos(α－π6)的值是________．答案0解析 依题意得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．又－π2<α<0，因此α＝－π3，故cos(α－π6)＝cos(－π3－π6)＝cos π2＝0.12．记a ＝sin(cos210°)，b ＝sin(sin210°)，c ＝cos(sin210°)，d ＝cos(cos210°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是________． 答案 c解析 注意到210°＝180°＋30°，因此sin210°＝－sin30°＝－12，cos210°＝－cos30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，cos 12>cos 32>0，a ＝sin(－32)＝－sin 32<0，b ＝sin(－12)＝－sin 12<0，c ＝sin(－12)＝cos 12>d＝cos(－32)＝cos 32>0.13．化简sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α的结果是________．答案 1解析 sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 4α－sin 2αcos 2α＋cos 4α)＋3sin 2αcos 2α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1.三、解答题14．(2011·青岛模拟)若cos2θ＋cos θ＝0，求sin2θ＋sin θ的值．答案 0或±3解析 ∵cos2θ＋cos θ＝0∴2cos 2θ＋cos θ－1＝0∴(2cos θ－1)(cos θ＋1)＝0∴cos θ＝－1或cos θ＝12当cos θ＝－1时，sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0当cos θ＝12时，sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝± 315．已知sin(π＋α)＝－13. 计算：(1)cos(α－3π2)；(2)sin(π2＋α)；(3)tan(5π－α)．分析 先利用诱导公式将条件和所求式子化简，然后再求值．解析 sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos(α－3π2)＝cos(3π2－α)＝－sin α＝－13. (2)sin(π2＋α)＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89.∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin(π2＋α)＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin(π2＋α)＝cos α＝－223.(3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24.∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24.②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24.16．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 分析 (1)由sin α＋cos α＝15及sin 2α＋cos 2α＝1，可求sin α，cos α的值；(2)1＝sin 2α＋cos 2α，分子、分母同除以cos 2α即可．解析 (1)方法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15 ①sin 2α＋cos 2α＝1 ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0，∵α是三角形内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝－35， ∴tan α＝－43.方法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝(15)2，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝45cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α，∵tan α＝－43， ∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝(－43)2＋11－(－43)2＝－257. 1．(2010·全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案 －255解析 由α是第二象限的角且tan α＝－12，得cos α＝－11＋tan 2α＝－255.2．若α满足sin α－2cos αsin α＋3cos α＝2，则sin α·cos α的值等于( ) A.865 B ．－865C ．±865D ．以上都不对答案 B解析 sin α－2cos αsin α＋3cos α＝2，得sin α＝－8cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得64cos 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝±165，sin α＝∓865，所以sin α·cos α＝－865. 3．已知sin θ＝55，则sin 4θ－cos 4θ的值为________． 答案 －35解析 由sin θ＝55可得，cos 2θ＝1－sin 2θ＝45，所以sin 4θ－cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 2θ－cos 2θ)＝sin 2θ－cos 2θ＝15－45＝－35. 4.1－2sin10°·cos10° sin10°－1－sin 210°＝________. 答案 －1解析 ∵0°<10°<45° ∴原式＝|sin10°－cos10°|sin10°－cos10°＝cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－1 5．(08·四川)(tan x ＋1tan x )cos 2x 等于( )A ．tan xB ．sin xC ．cos xD ．cot x答案 D解析 (tan x ＋1tan x )cos 2x ＝(sin x cos x ＋cos x sin x )cos 2x ＝cos 2x sin x ·cos x ＝cot x。
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2013高考数学备考训练-同角三角函数的关系一、选择题 1．sin930°的值是( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－12 答案 D解析 sin930°＝sin210°＝－sin30°＝－12.2．已知α是第二象限角，且cos α＝－45，得tan α＝( ) A.43 B ．－43C ．－34 D.34 答案 C解析 ∵α为第二象限角且cos α＝－45，∴sin α＝35，∴tan α＝sin αcos α＝－34. 3．化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α(π<α<3π2)得( )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α 答案 A解析 原式＝cos α(1－sin α)2cos 2α＋sin α(1－cos α)2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0，∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.4．A 为△ABC 的内角，且sin2A ＝－35，则cos(A ＋π4)等于( ) A.255 B ．－255C.55 D ．－55 答案 B解析 cos 2( A ＋π4)＝[22(cos A －sin A )]2 ＝12(1－sin2A )＝45. 又cos A <0，sin A >0 ∴cos A －sin A <0∴cos(A ＋π4)＝－2555．若cos(π6－α)＝m (|m |≤1)，则sin(23π－α)的值为( )A ．－mB ．－m2 C.m2 D ．m 答案 D解析 sin(2π3－α)＝sin(π2＋π6－α)＝cos(π6－m )＝m ，选D.6.1＋2sin (π－3)cos (π＋3)化简的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对 答案 A解析 sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3 ∴1－2sin3·cos3＝(sin3－cos3)2＝|sin3－cos3| ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0. ∴原式＝sin3－cos3，选A.7．tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋a )的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．1 答案 A解析 由tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝m ＋1m －1，∴选A.8．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 11－cos A＝n ，则1g sin A 的值为( )A ．m ＋1n B.12(m －n ) C.12(m ＋1n ) D.12(m －1n ) 答案 B解析 lg(1＋cos A )＝m ，lg(1－cos A )＝－n ∴lg(1－cos 2A )＝m －n ∴lgsin 2A ＝m －n∴lgsin A ＝12(m －n )，选B. 二、填空题9．(2010·山东师大附中期中)若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α＝________.答案 13；7解析 ∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α＝3， 即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3.∴sin αcos α＝13.又tan2α＋1tan2α＝(tanα＋1tanα)2－2tanα1tanα＝9－2＝7.10．(2011·武汉市调研)已知tanα＝－12，π2<α<π，则sinα＝________.答案5 5解析法一：∵α为第二象限角，设α终边上一点P(x，y)，且设x＝－2，y＝1，则r＝5，∴sinα＝55.法二：依题意得sinα＝sinαsin2α＋cos2α＝11＋1tan2α＝11＋(－2)2＝55.11．(2011·重庆第一次诊断)已知2tanα·sinα＝3，－π2<α<0，则cos(α－π6)的值是________．答案0解析依题意得2sin2αcosα＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，解得cosα＝12或cosα＝－2(舍去)．又－π2<α<0，因此α＝－π3，故cos(α－π6)＝cos(－π3－π6)＝cosπ2＝0.12．记a＝sin(cos210°)，b＝sin(sin210°)，c＝cos(sin210°)，d＝cos(cos210°)，则a、b、c、d中最大的是________．答案c解析注意到210°＝180°＋30°，因此sin210°＝－sin30°＝－12，cos210°＝－cos30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，cos12>cos32>0，a＝sin(－32)＝－sin32<0，b＝sin(－12)＝－sin12<0，c＝sin(－12)＝cos12>d＝cos(－32)＝cos32>0.13．化简sin6α＋cos6α＋3sin2αcos2α的结果是________．答案 1解析sin6α＋cos6α＋3sin2αcos2α＝(sin2α＋cos2α)(sin4α－sin2αcos2α＋cos4α)＋3sin2αcos2α＝sin4α＋2sin2αcos2α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2＝1.三、解答题14．(2011·青岛模拟)若cos2θ＋cosθ＝0，求sin2θ＋sinθ的值．答案0或±3解析∵cos2θ＋cosθ＝0∴2cos2θ＋cosθ－1＝0∴(2cosθ－1)(cosθ＋1)＝0∴cosθ＝－1或cosθ＝1 2当cosθ＝－1时，sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0当cosθ＝12时，sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝± 315．已知sin(π＋α)＝－1 3.计算：(1)cos(α－3π2)；(2)sin(π2＋α)；(3)tan(5π－α)．分析先利用诱导公式将条件和所求式子化简，然后再求值．解析 sin(π＋α)＝－sin α＝－13， ∴sin α＝13.(1)cos(α－3π2)＝cos(3π2－α)＝－sin α＝－13. (2)sin(π2＋α)＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角． ①当α为第一象限角时，sin(π2＋α)＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin(π2＋α)＝cos α＝－223.(3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24.∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24.②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24.16．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15. (1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．分析 (1)由sin α＋cos α＝15及sin 2α＋cos 2α＝1，可求sin α，cos α的值； (2)1＝sin 2α＋cos 2α，分子、分母同除以cos 2α即可．解析 (1)方法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15 ①sin 2α＋cos 2α＝1 ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得 25sin 2α－5sin α－12＝0，∵α是三角形内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝－35，∴tan α＝－43.方法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝(15)2，即1＋2sin αcos α＝125， ∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925. ∵sin αcos α＝－1225<0且0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75，得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α，∵tan α＝－43， ∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝(－43)2＋11－(－43)2＝－257. 1．(2010·全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案 －255解析 由α是第二象限的角且tan α＝－12，得cos α＝－11＋tan 2α＝－255. 2．若α满足sin α－2cos αsin α＋3cos α＝2，则sin α·cos α的值等于( )A.865 B ．－865C ．±865 D ．以上都不对 答案 B解析 sin α－2cos αsin α＋3cos α＝2，得sin α＝－8cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得64cos 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝±165，sin α＝∓865，所以sin α·cos α＝－865.3．已知sin θ＝55，则sin 4θ－cos 4θ的值为________．答案 －35解析 由sin θ＝55可得，cos 2θ＝1－sin 2θ＝45，所以sin 4θ－cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 2θ－cos 2θ)＝sin 2θ－cos 2θ＝15－45＝－35.4.1－2sin10°·cos10°sin10°－1－sin 210°＝________. 答案 －1 解析 ∵0°<10°<45°∴原式＝|sin10°－cos10°|sin10°－cos10°＝cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－15．(08·四川)(tan x ＋1tan x )cos 2x 等于( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D ．cot x 答案 D解析 (tan x ＋1tan x )cos 2x ＝(sin x cos x ＋cos x sin x )cos 2x ＝cos 2x sin x ·cos x ＝cot x。