第二章 整数规划+答案
运筹学第二章习题答案
运筹学第二章习题答案运筹学是一门应用数学学科，旨在通过数学模型和定量方法来解决实际问题。
在运筹学的学习中，习题是必不可少的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和应用。
本文将针对运筹学第二章的习题进行解答，希望能够帮助读者更好地掌握运筹学的知识。
第一题：线性规划问题的基本要素包括目标函数、约束条件和决策变量。
请问线性规划问题的目标函数通常是什么形式？为什么？答：线性规划问题的目标函数通常是线性函数的形式。
这是因为线性函数具有简单的数学性质，容易求解和分析。
此外，线性函数的图像为直线，可以通过直观的图形方法来理解问题的解。
第二题：什么是单纯形法？请简要描述单纯形法的基本思想和步骤。
答：单纯形法是一种求解线性规划问题的常用方法。
其基本思想是通过不断地移动到更优解的顶点，直到找到最优解。
单纯形法的步骤如下：1. 初始解的选择：选择一个可行解作为初始解。
初始解可以通过图形方法或其他启发式算法得到。
2. 进行迭代：通过计算目标函数的改进方向来确定下一步移动的方向。
如果目标函数不能再改进，则停止迭代，当前解即为最优解。
3. 顶点的移动：通过改变决策变量的值，将当前解移动到相邻的顶点。
移动的方向和距离由迭代步骤中计算得到。
4. 检验最优性：对移动后的顶点进行最优性检验，判断是否达到最优解。
如果达到最优解，则停止迭代，当前解即为最优解；否则，返回第2步。
第三题：什么是整数规划问题？请举一个实际应用的例子，并说明为什么需要使用整数规划方法来解决。
答：整数规划问题是线性规划问题的一种扩展形式，要求决策变量的取值为整数。
整数规划问题通常用于需要离散决策的场景，如生产调度、资源分配等。
举个例子，假设某公司有多个项目需要进行投资，每个项目的投资金额和预期收益已知。
公司希望选择一些项目进行投资，使得总投资金额不超过公司的可用资金，并最大化预期收益。
由于项目的投资金额和收益都是整数，这就是一个整数规划问题。
使用整数规划方法来解决这个问题的原因是，如果将决策变量的取值限制为整数，可以更好地符合实际情况。
整数规划问题的求解
C o 3 4
x1
分支定界法
x2
A
Page 16
由 于Z 21 Z 1， 选 择 LP 21进 行 分 枝 ， 增 加 约 束 x1 4及x1 5， 得 线 性 规 划 LP 211 及LP 212 ：
10
A
x2 7不可行
max Z 4 x1 3 x 2 1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 LP 22 : x1 4，x 2 7 x1 , x 2 0
B 6 LP1
LP21
LP21:X=(4.33,6),Z21=35.33
整数规划问题的求解
整数规划问题的求解方法： 分支定界法和割平面法
Page 1
匈牙利法（指派问题）
分支定界法
分支定界法的解题步骤：
Page 2
1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下 一步； 2）分支与定界： 任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1 组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题 是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目 标值是分枝问题的下界。 检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若 还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
运筹学03_整数规划2
二、固定成本问题
高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资 源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种 资源的数量如下表所示。每种容器售出一只所得的利润分别 为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动 力有300人月，机器有100台月，此外不管每种容器制造的数 量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中 号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划， 使获得的利润为最大。
投资额 利润
A1 100 36
A2 A3 120 150 40 50
A4 80 22
A5 70 20
A6 90 30
A7 80 25
A8 140 48
A9 160 58
A10 180 61
解：设：0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用）或 0 (Ai 点 没被选用）。 这样我们可建立如下的数学模型：
例(p90)
求下列问题：
Max Z=3x1- 2x2 + 5x3
s.t. x1+2x2 - x3 2
x1+4x2 + x3 4 x1 + x2 xj 0或1 3 4x2 + x3 6
(1)
(2) (3) (4) (5)
解： 容易看出(1,0,0)满足约束条件， 对应Z=3，对Max Z来说，希望Z 3,所 以增加约束条件： Z=3x1- 2x2 + 5x3 3 (0)
当y=1时,(1)(3)无差别,(4)式显然成立; 当y=0时,(2)(4)无差别,(3)式显然成立。 以上方法可以处理绝对值形式的约束 f(x) 此时
a (a>0)
f(x)
a
运筹学课后答案2
运筹学（第2版）习题答案2第1章 线性规划 P36~40第2章 线性规划的对偶理论 P68~69 第3章 整数规划 P82~84 第4章 目标规划 P98~100 第5章 运输与指派问题 P134~136 第6章 网络模型 P164~165 第7章 网络计划 P185~187 第8章 动态规划 P208~210 第9章 排队论 P239~240 第10章 存储论 P269~270 第11章 决策论 Pp297－298 第12章 博弈论 P325~326 全书360页由于大小限制，此文档只显示第6章到第12章，第1章至第5章见《运筹学课后答案1》习题六6.1如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。
【解】边[i ，j ]的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最小部分树内边0],[1j i x ij数学模型为：,12132323243434364635365612132434343546562324463612132446362335244656121324354656m in 52,22,233344,510ij ijij i j ij Z c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==++≤++≤++≤++≤+++≤+++≤+++≤++++≤++++≤+++++≤=∑或,[,]i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩所有边6.2如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。
图6－42【解】弧(i ，j )的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最短路径中弧0),(1j i x ij数学模型为：,1213122324251323343524344546253545564656m in 100,00110,(,)ijiji jij Z cx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =⎧+=⎪---=⎪⎪+--=⎪⎪+--=⎨⎪++-=⎪⎪+=⎪=⎪⎩∑或所有弧 6.3如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最大流问题的线性规划数学模型。
5.4整数规划2
整数规划——卫星信号传输问题
x=[0 5 0 1 0 0 6 1 3 4 0 0 6 0 9 0 7 0 0 0 0 0]’ s=10
模式和传输量为：
Mathematical Experiments
30
整数规划——数独问题
Mathematical Experiments
发源于欧洲的 数学大师欧拉 之手； 在日本广泛流 传； 近年来在全世 界流行。
Mathematical Experiments
决策变量为ri,i=1,2,…,24，表示在第i种传输模式下的传输量。 记双随机矩阵为D，所有的四阶置换矩阵Pi,i=1,2,…,24。
r1P1 r2 P2 ... r24 P24 D
得到线性规划模型：
min
s.t.
ri i
r1 P1 r2 P2 ... r24 P24 D ri 为非负整数
i 1 33
x(i U , j V , k ) 1,U ,V {0, 3, 6}
i 1 j 1
x(i, j, k ) {0,1}, i 1, , 9, j 1, , 9, k 1, , 9
整数规划——数独问题
部分代码：
B = [1,2,2; 1,5,3; 1,8,4; 2,1,6; 2,9,3; 3,3,4; 3,7,5; 4,4,8; 4,6,6; 5,1,8; 5,5,1; 5,9,6; 6,4,7; 6,6,5; 7,3,7; 7,7,6; 8,1,4; 8,9,8; 9,2,3; 9,5,4; 9,8,2]; figure;hold on;axis off;axis equal rectangle('Position',[0 0 9 9],'LineWidth',3,'Clipping','off') rectangle('Position',[3,0,3,9],'LineWidth',2) rectangle('Position',[0,3,9,3],'LineWidth',2) rectangle('Position',[0,1,9,1],'LineWidth',1) rectangle('Position',[0,4,9,1],'LineWidth',1) rectangle('Position',[0,7,9,1],'LineWidth',1) rectangle('Position',[1,0,1,9],'LineWidth',1) rectangle('Position',[4,0,1,9],'LineWidth',1) rectangle('Position',[7,0,1,9],'LineWidth',1) for ii = 1:size(B,1)
整数规划习题解答 ppt课件
15
14
练习
第四步：增加独立零元素
0 3 0 11 8
0
1
7
7
3
1 3 0 11 8
0
0
6
6
2
0 2 3 2 1
0
0
5
0
4
0 2 3 4 0
0 1 2 1 0
1
0
5
0
4
1 2 3 4 0
解矩阵为
0 0 1 0 0
0
1
0
0
0
X* 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
以 x 4 ,x 5 ,x 6 为 基 变 量 ， B (p 4 ,p 5 ,p 6 ) E 为 初 始 可 行 基 ， 运 用 单 纯 性 法 求 解
（增加了人工变量x4）
5
练习
（2）不增加人工变量，通过对约束方程组进行行变换得到 初始可行基
max z x2 2 x3
x1 2 x2 x3
6
练习
cj
0
1
-2
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x1 13/2 1
0
0 -1/2 5/2
1
x2
5/2
0
1
0 -1/2 3/2
-2
x3 1/2
0
0
1 -1/2 1/2
-z
-3/2 0
0
0 -1/2 -1/2
7
练习
伴随规划问题的最优解不是整数解，构造割平面（由 最终表中任意一个不取整数值得基变量所对应的约束方程 进行构造，不妨选x3）
第02章 整数规划
必须为 1；当 x j = 0 时只有 y j 为 0 时才有意义，所以（4）式完全可以代替（3）式。
3.2 0 −1型整数规划解法之一（过滤隐枚举法） 解 0 −1型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规划的情形一样，就是穷举法，
即检查变量取值为 0 或 1 的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就需要检查
5x1 + 4x2 ≤ 24 或 7x1 + 3x2 ≤ 45 。 为了统一在一个问题中，引入 0 − 1 变量 y ，则上述约束条件可改写为：
⎪⎨⎧57xx11
+ +
4x2 3x2
≤ ≤
24 45
+ +
yM (1 −
y)M
⎪⎩ y = 0或1
其中 M 是充分大的数。
约束条件
可改写为
x1 = 0 或 500 ≤ x1 ≤ 800
x2
=
3 2
, min
z
=
3 2
。
若限制整数得： x1 = 1, x2 = 1, min z = 2 。
（ii） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1.3 求解方法分类：
（i）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（ii）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
（iii）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：
第二章 整数规划
§1 概论
1.1 定义
规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，
变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适
用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2 整数规划的分类
《管理运筹学》第二版)课后习题参考答案
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章 线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？ 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解； （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。
基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,86238321321321x x x x x x x x x解：标准化 32124max x x x Z ++=s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++0,,,,862385432153214321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表故最优解为T X )6,0,2,0,0(*=，即2,0,0321===x x x ，此时最优值为4*)(=X Z ．6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中d c c a a ,,,,2121为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以1x 代替基变量5x ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。
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故最优解为：X
0010
1 0
0 1
0 0
0 0
，最优值为 14。
0001
6103 0211 1030 5300
5、在今后三年内有五项工程考虑施工，每项工程的期望收入和年度费用（千元）如表所示。假定 每一项已批准的工程要在三年内完成，目标是要选出使总收入达到最大的那些工程。
工程
第1年
费用（千元） 第2年
2 3 14 s. t. 4 2 18
, 0 且为整数
B：X=（3.25,2.5）z=14.75
x2<=3
x2>=4
B1：X=（3,2.67）z=14.33
B2：X=（4,1）z=14
x2<=2
x2>=3
B11：X=（3,2）z=13
B12：X=（2.5,3）z=13.5
所以，最优解为：X=（4,1），最优值为 14。
人
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
解：（1）由于任务数多于人数，所以需要一名假想的人，设为戊。因为工作 E 必须完成，故设戊完
成 E 的时间为 M，其余的假象为 0，建立如下的效率矩阵。
任务
人
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
解：变换目标函数 max Z=16‐（2 3 5 6 ）
Z值 x1
组合解 x2 x3 x4
是否满足约束条件 ①② ③
16 0 0 0 0 ×
14 1 0 0 0 √ ×
13 0 1 0 0 ×
11 0 0 1 0 ×
11 1 1 0 0 √ ×
10 0 0 0 1 ×
9
1010√ √ √
故，最优解为：（1,0,1,0），此时目标函数值为 7。
1 x1
1
0
0
-1
1 x2
0
1
0
1
0 s1
0
0
1
1
0 s2
0
0
0
0
σj
0
0
0
0
1 x1
1
0
0
-1
1 x2
0
1
0
1
0 x3
0
0
1
1
0 s2
0
0
0
0
σj
0
0
0
0
故，最优解为：X=（0,4），最优值为 4。
0
s1 1 -4/5 -6/5 -4/5 -1/5 0 0 0 1 0
0
s2 0 0 0 1 0 5/4 -1 -3/2 -5/4 -1/4
6
45
3
=> (X=(3,3),Z=39)
0
对 1 进行分支 1.1 max z 5 8 0 0 +0 +0
59 s. t.
,,,
6
45 4 => (无解) 2
0
1.2 max z 5
59 s. t.
,,,
8 0 0 +0 +0
6
45 4 => (X=(1,4.44),Z=40.5) 1
0
对 1.2 进行分支
2、用割平面法求解下列整数规划问题：
（1）max z 4 3
6 4 30
s. t.
2 10
, 0 且为整数
解：松弛问题为 max z 4 3 0 0
64
30
s. t.
2
10
,,, 0
Cj
4
3
0
0
进基 x1
CB XB
x1
x2
x3
x4
b
出基 x3
min{30/6,10/1}
0 x3
6
4
1
0
30
0 x4
（0,0,0） ×
（0,1,1） ×
（0,0,1） ×
（1,0,1） ×
（0,1,0） ×
（1,1,0） ×
（1,0,0） √ √ √ √ √ 6 （1,1,1） ×
故，最优解为：（1,0,1），此时目标函数值为 6。
（2）min z 2 3 5 6
623 35 s. t. 2
56
64 3
0 或 1（j 1,2,3,4）
1 3 0 11 8 00662 01210 10502 12340
故最优解为：X
00100 01000 1 0 0 0 0 ，最优值为 34。 00010 00001
9437
（2）
4 5
6 4
5 7
6 5
7523
9437
解：
4 5
6 4
5 7
6 5
7523
6104 0212 1031 5301
6103 0211 1030 5300
故最优解为X 为 131h。
01000 00010 0 0 0 0 1 ，即甲——B，乙——C 和 D，丙——E，丁——A，最少使用时间 10000 00100
1.2.1 max z 5
59 s. t.
,,,
8 0 0 +0 +0 6 45
5 => (X=(0,5),Z=40) 1
0
1.2.2 max z 5
80 6
0 +0 +0
59 s. t.
,,,
45 4 => (X=(1,4),Z=37) 1
0
所以，最优解为 X=（0,5），最优值为 40。
（2）max z 3 2
0
1/4
- 1/2
0
2 1/2
3 x2
0
1
- 1/8
3/4
0
3 3/4
0 s1
0
0
-1
-2
1
-2
σj
0
0
- 5/8 - 1/4
0
Cj
4
3
0
0
CB XB
x1
x2
x3
x4
0 s1
b
4 x1
1
0
1/2
0
- 1/4
3
3 x2
0
1
- 1/2
0
3/8
3
0 x4
0
0
1/2
1
- 1/2
1
σj
0
0
- 1/2
0
- 1/8
6、分配甲、乙、丙、丁 4 个人去完成 A、B、C、D、E 五项任务。每个人完成各项任务的时间如表 所示。由于任务数多于人数，故考虑： （1）任务 E 必须完成，其他 4 项工作中可任选 3 项完成； （2）其中有一人完成两项，其他每人完成一项。 试分别确定最优分配方案，使完成任务的总时间最少。
任务
是否可行解
否 否 否 否 否 否 是
4、用匈牙利法求解下列最小化指派问题：
4 8 7 15 12 7 9 17 14 10 （1） 6 9 12 8 7 6 7 14 6 10 6 9 12 10 6
解：
4 8 7 15 12 4 7 9 17 14 10 7 6 9 12 8 7 6 6 7 14 6 10 6 6 9 12 10 6 6
第3年
收入
1
5
1
8
20
2
4
7
10
40
3
3
9
2
20
4
7
4
1
15
5
8
6
10
30
可用基金最大数
25
25
25
解：这个问题表示为 0‐1 规划问题如下： max 20 40 20 15 30
5 4 3 7 8 25 7 9 4 6 25
8 10 2 1 10 25
0 或 1 j 1,2,3,4,5
最优解为 X=（1,1,1,1,0），最优值为 95。
s. t. 5
9 ,,,
58
0
0
b
x1
x2
x3
x4
1 0 2 1/4 - 1/4 2 1/4
0 1 -1 1/4 1/4 3 3/4
0 0 -1 1/4 - 3/4 41.25
8 0 0 +0
6 4 45 => (X=(1.8,4),Z=41)
0
2、max z 5
s. t. 5
9 ,,,
8 0 0 +0
0 4 5 17 7 19 18 5 0 8 7 0 0 13 0 1 19 12 0 17 47507
0 4 5 18 7 18 17 4 0 7 7 0 0 14 0 0 18 11 0 16 36406
0 0 1 18 3 18 13 0 0 3 11 0 0 18 0 0 14 7 0 12 32002
b
1 16/5 4/5 -4/5
0 4 2 1
3、用隐枚举法求解下列 0‐1 规划问题： （1）max z 4 3 2
253 5
4 s. t.
33 1
0 或 1（j 1,2,3）
解：通过观察找到一个可行解（1,0,1），此时目标函数值为 6；添加约束条件 4 3 2 6◎
解
◎①②③④Z