混沌与分形笔记
风险投资中混沌与分形浅谈
风险投资中混沌与分形浅谈导读：纵观整个风险投资市场当中，无论是股票市场，期货市场或者货币市场，所有的品种自从出现定价的一刻起，就是一个模糊不清的概念，其后期走势无法预测性以及不固定性，导致价格在经历一段时间之后便开始出现层级不清，混乱无章的状态当中。
要想在一个混沌不堪的市场当中获取收益，必须要对整个市场趋势分形。
市场趋势无论涨跌，都离不开三种趋势，上升趋势，下降趋势，横向整理趋势。
但是这只是笼统的说法，我们可以继续细分，上升趋势中又存在上升趋势，下降趋势，横向整理趋势。
下降趋势中也存在上升趋势，下降趋势和横向整理趋势。
横向整理趋势中也会存在上升趋势和下降趋势以及更小级别的横向整理。
依次细分下去，我们就会把整个大趋势分解为若干个次级趋势，次级趋势被分成若干个更小的趋势，这样，所有的形态便开始分清，之后我们才可以按照趋势进行交易环节。
如下图所示：上图当中将原油的走势分为了整个几个主要趋势之后，我们便可以长期的判定该行情的运行。
次级趋势如下图所示：上图当中我们将主要趋势中的一部分波段扩大，分为次级趋势的几个部分，可以看出价格依然处于一个下降五浪的过程当中，反弹六浪正在运行当中，根据分形我们依然可以把价格趋势继续细分如下图所示：上图中我们将次级趋势中的某一波段继续细分成更小级别的趋势，从图中我们已经可以看到，价格开始反弹并且向上突破多空分界点，此时可以多头建仓，但是其中一点必须注意，这只是我们小级别的趋势反转，之前的次级趋势的环节压制我们必须要考虑进去，也就是我们的大致目标为不会超过次级趋势。
我们可以继续将趋势继续细分成下图所示：上图中我们可以看出，价格出现上涨信号，并且一路上涨，我们可以多头建仓，但是我们必须要考虑到更加细小级别的次级趋势的压制，所以即便是多头建仓我们也要判定好点位是否能够满足。
从以上的趋势细分当中，我们可以看出原本混沌不清的行情我们便可以一一细分破解，之后寻找建仓点位，获取收益。
本质上的混沌与分形就是趋势细分的一个环节。
动力系统理论中的混沌与分形
动力系统理论中的混沌与分形混沌与分形是动力系统理论中的两个重要概念，它们在探索非线性系统行为和描述自然界的复杂性方面发挥着关键作用。
本文将从混沌与分形的基本原理、实际应用以及研究方向等多个角度来探讨这两个重要的理论概念。
一、混沌混沌是指在动力系统中，即使系统的运动规律是确定的，但其行为却表现出极端敏感的特性，即微小的初始条件改变会导致系统演化出完全不同的轨迹。
混沌理论的起源可以追溯到20世纪60年代，当时Lorenz通过研究大气环流模型，意外地发现了这一现象，这也被称为“蝴蝶效应”。
混沌现象的数学描述是通过非线性动力学方程实现的，例如著名的洛伦兹方程和Logistic映射等。
混沌行为的特点是演化过程不断变化，但却不失稳定性。
这种看似矛盾的特性给动力系统理论的研究带来了很大的挑战和启示。
混沌理论的实际应用非常广泛。
在天气和气候预测、金融市场、生态系统、心脏疾病等领域，混沌理论都发挥着重要作用。
通过混沌理论，我们能够更好地理解和预测这些复杂系统中的行为，为实际问题的解决提供了新的思路和方法。
目前，混沌理论仍然是一个活跃的研究领域。
研究人员致力于发展更精确的混沌理论模型，深入探究混沌行为的内在规律，以及在实际应用中的更多可能性。
二、分形分形是指具有自相似性和尺度不变性的几何形状。
与传统几何学中定义的规则形状不同，分形具有复杂的结构和非整数维度。
分形理论最早由Mandelbrot提出，并得到了广泛的应用。
分形的自相似性意味着它的一部分与整体具有相似的结构，这种特性使得分形能够用于描述自然界中许多复杂的形状，如云朵、树枝、河流等。
分形的尺度不变性意味着它在不同的比例下具有相似的结构，这也是分形与传统几何形状的显著区别。
分形理论在各个领域有着广泛的应用。
在计算机图形学中，分形可以用于生成自然风景和仿真自然材料的纹理。
在金融市场中，分形理论可以用于预测和分析股票价格的波动。
在生物学中，分形可以用于描述复杂的生物结构，如血管网络和肺泡等。
上帝的指纹——分形与混沌
上帝的指纹——分形与混沌来源：王东明科学网博客云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。
——分形几何学之父Benoit Mandelbrot话说在一个世纪以前，数学领域相继出现了一些数学鬼怪，其整体或局部特征难以用传统的欧式几何语言加以表述。
著名的数学鬼怪包括处处不稠密而完备的Cantor集，每段长度都无限而围成有限面积的Koch曲线，面积为零而周长无限的Sierpinski三角形。
Koch 曲线Sierpinski 三角形这些数学鬼怪曾缠绕数学家多年，直到20世纪后半叶，才被美籍法国数学家Benoit Mandelbrot创立的分形几何学彻底制服。
分形几何学是新兴的科学分支混沌理论的数学基础。
1967年Mandelbrot在美国《科学》杂志上发表了题为“英国的海岸线到底有多长”的划时代论文，该文标志着分形萌芽的出现。
在这篇文章中Mandelbrot证明了在一定意义上任何海岸线都是无限长的，因为海湾和半岛会显露出越来越小的子海湾和子半岛，他将这种部分与整体的某种相似称为自相似性，它是一种特殊的跨越不同尺度的对称性，意味着图案之中递归地套着图案。
事实上，具有自相似性的现象广泛存在于自然界中，这些现象包括连绵起伏的山川，自由漂浮的云彩，江河入海形成的三角洲以及花菜、树冠、大脑皮层等等。
Mandelbrot将具有自相似性的现象抽象为分形，从而建立了有关斑痕、麻点、破碎、缠绕、扭曲的几何学。
这种几何学的维数可以不是整数，譬如Koch曲线的维数约为1.26，而Sierpinski三角形的维数则接近1.585。
分形植物（在生成分枝形状和叶片图案时遵循简单的递归法则）分形闪电（经历的路径是逐步形成的）Mandelbrot研究了一个简单的非线性迭代公式xn 1=xn2 c，式中xn 1和xn都是复变量，而c是复参数。
Mandelbrot发现，对某些参数值c，迭代会在复平面上的某几点之间循环反复；而对另一些参数值c，迭代结果却毫无规则可言。
生物学中的混沌与分形
生物学中的混沌与分形生命是一种神秘而又复杂的存在，生物学作为探究生命奥秘的学科，也常常涉及到许多神秘和复杂的现象。
混沌与分形是生物学中的两个非常重要的概念，它们被广泛地应用于生物学的研究当中，帮助我们更好地理解生物系统内部的复杂性和耦合性。
一、混沌理论在生物系统中的应用混沌现象是指一些看似随机但却呈现出复杂规律性的现象。
在生物学中，混沌现象常常出现在神经系统、心血管系统、生物钟和遗传系统等方面。
比如，在心血管系统中，心跳的节律可以被认为是一种混沌现象，这是由于心跳周期的长短具有一定的随机性和不确定性，但是却呈现出一定的规律性。
混沌理论在生物学研究中的应用主要体现在以下几个方面：1. 生物信息处理在生物信息处理方面，混沌理论可以用于建立神经网络模型，帮助我们更好地模拟和理解神经元之间的交互过程。
此外，混沌理论还可以用于分析遗传密码子序列的随机性和复杂性，从而预测基因的功能和表达方式。
2. 生物节律研究在生物节律研究方面，混沌理论主要用于描述生物节律的复杂性和分层性。
例如，在赤潮生态学研究中，混沌现象被广泛应用于描述藻类群体的生长和迁移规律。
3. 生物系统稳定性分析混沌现象还可以用于分析生物系统的稳定性和复杂性。
生物系统中存在大量的非线性和随机性因素，例如，天气变化、食物链的变幻、天敌的侵袭等等，这些因素会影响生物群体的数量和分布。
混沌理论可以帮助我们更好地理解这些因素对生物系统稳定性产生的影响。
二、分形理论在生物系统中的应用分形是指一些看似简单却却具有内部复杂性和自我相似性的几何形状。
在生物学中，分形理论主要用于描述自然造型和空间分布的复杂性。
分形理论可以很好地表达生物体内部的分形结构、分形外表面以及分形空间分布等特征。
分形理论在生物学研究中的应用主要体现在以下几个方面：1. 生物形态研究在生物形态研究方面，分形理论主要用于描述生物体内部的分形结构和外表面的复杂性。
例如，分形理论可以很好地解释树枝结构、花瓣形态以及动物骨骼的结构等种种形态特征。
分形和混沌
作为非线性科学三大理论前沿之一的分形理论,具有 一些不同与整形(欧氏几何里具有整数维的几何图形) 的特点,概括有五个基本特征或性质.
形态的不规则性.它是如此的不规则,以致不能用传统的 数学语言来描述; 结构的精细性,即具有任意小的比例细节; 局部与整体的自相似性,即局部与整体具有自相似性(这 种自相似性可以是严格的,近似的或统计的); 维数的非整数性,它的维数一般是分数的,并且大于其拓 扑维数; 生成的迭代性,分形虽然具有复杂结构,但是通常可以用 迭代方法生成.
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下面我们来讲混沌的特性。
（1）确定系统的内在随机性. 混沌现象是由系统内部的非线性因素引起 的，是系统内在随机性的表现，而不是外来随 即扰动所产生的不规则结果。混沌理论的研究 表明，只要确定性系统中有非线性因素作用， 系统就会在一定的控制参数范围内产生一种内 在的随机性，即确定性混沌。 混沌现象是确定性系统的一种“内在随机 性”，它有别于由系统外部引入不确定随机影 响而产生的随机性。为了与类似大量分子热运 动的外在随机性和无序性加以区别，我们称所 研
初值x0与x0’之差z= | x0’- x0 |=13/(7* 23002) =1/ 10900是 非常小的，但经过3002次迭代之后结果就完全不同了。这就是 说， x0小数的前900位（或二进制的3002位）信息完全丧失。 这里并没有在迭代中进行“舍入”处理，而完全是由于初值的 不确定性造成的。
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我们再看一个著名的例子——“蝴蝶效应”.洛仑兹有一 个形象的比喻“巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀,可能会改变3 个月后美国得克萨斯的气候”。他说明了天气演变对初值 的敏感依赖性。用混沌学的术语表述就是，系统的长期行 为对初值的敏感依赖性。
（1）混沌的定义 （2）混沌的特性：
4溷沌与分形
第九章混沌与分形混沌学习了牛顿力学后，往往会得到这样一种印象，或产生这样一种信念:物体受力已知的情况下，给定了初始条件，物体以后的运动情况（包括各时刻的位置和速度）。
就完全定了，并且可预测了。
这种认识被称作决定论的可预测性。
验证这种认识的最简单例子是抛体运动。
物体受的重力是已知的，一旦初始条件（抛出点的位置和抛出时速度）给定了，物体此后任何时刻的位置和速度也就决定了。
物体在弹力作用下的运动也是这样，已知的力和初始条件决定了物体的运动。
这两个例子中都可以写出严格的数学运动学方程，即解析解，从而使运动完全可以预测。
牛顿力学的这种决定论的可预测性，其威力曾扩及宇宙天体。
1757年。
哈雷慧星在预定的时间回归，1846年海王星在预言的方位上被发现，都惊人的证明了这种认识。
这样的威力曾使伟大的法国数学家拉普拉斯夸下海口：给定宇宙的初始条件，我们就能预言它的未来。
当今日蚀和月蚀的准确预测，宙宙探测器的成功发射与轨道设计，可以说是在较小范围内实现了拉普拉斯的壮语。
牛顿力学在技术中得到了广泛的成功的应用。
物理教科书中利用典型的例子对牛顿力学进行了定量的严格的讲解。
这些都使得人们对自然现象的决定论的可预测性深信不疑。
但是，这种传统的思想信念在20世纪60年代遇到了严重的挑战。
人门发现由牛顿力学支配的系统，虽然其运动是由外力决定的，但是在一定条件下，却是完全不能预测的。
原来，牛顿力学显示出的决定论的可预测性，只是那些受力和位置或速度有线性关系的系统才具有的。
这样的系统叫线性系统。
牛顿力学严格地成功处理过的系统都是这种线性系统。
对于受力复杂的非线性系统，情况就不同了。
下面通过一个实际例子说明这一点。
决定论的不可预测性。
用畅销名著《混沌——开创一门新科学》的作者格莱克的说法，蝴蝶效应指的是“今天在北京一只蝴蝶拍动一下翅膀，可能下月在纽约引起一场暴风雨。
”下面是几个混沌实例。
1．天体运动的混沌现象前已述及，三体问题，更不要说更多体的问题，不可能有解析解。
混沌与分形
混沌与分形摘要：分形论是70年代科学上的三大发现(耗散结构,混沌和分形论)之一,他与混沌可以看成是继相对论和量子力学之后的本世纪物理学的第三次革命。
本文简要介绍了分形与混沌的起始发展与应用。
关键词：混沌分形牛顿分维数学物理学（一）混沌学习了牛顿力学后，往往会得到这样一种印象，或产生这样一种信念:物体受力已知的情况下，给定了初始条件，物体以后的运动情况（包括各时刻的位置和速度）。
就完全定了，并且可预测了。
这种认识被称作决定论的可预测性。
验证这种认识的最简单例子是抛体运动。
物体受的重力是已知的，一旦初始条件（抛出点的位置和抛出时速度）给定了，物体此后任何时刻的位置和速度也就决定了。
物体在弹力作用下的运动也是这样，已知的力和初始条件决定了物体的运动。
这两个例子中都可以写出严格的数学运动学方程，即解析解，从而使运动完全可以预测。
牛顿力学的这种决定论的可预测性，其威力曾扩及宇宙天体。
1757年。
哈雷慧星在预定的时间回归，1846年海王星在预言的方位上被发现，都惊人的证明了这种认识。
这样的威力曾使伟大的法国数学家拉普拉斯夸下海口：给定宇宙的初始条件，我们就能预言它的未来。
当今日蚀和月蚀的准确预测，宙宙探测器的成功发射与轨道设计，可以说是在较小范围内实现了拉普拉斯的壮语。
牛顿力学在技术中得到了广泛的成功的应用。
物理教科书中利用典型的例子对牛顿力学进行了定量的严格的讲解。
这些都使得人们对自然现象的决定论的可预测性深信不疑。
但是，这种传统的思想信念在20世纪60年代遇到了严重的挑战。
人门发现由牛顿力学支配的系统，虽然其运动是由外力决定的，但是在一定条件下，却是完全不能预测的。
原来，牛顿力学显示出的决定论的可预测性，只是那些受力和位置或速度有线性关系的系统才具有的。
这样的系统叫线性系统。
牛顿力学严格地成功处理过的系统都是这种线性系统。
对于受力复杂的非线性系统，情况就不同了。
下面通过一个实际例子说明这一点。
决定论的不可预测性。
给中学生的纯科普——分形与混沌
给中学生的纯科普——分形与混沌下面我们开始分别介绍分形与混沌。
分形是具有以非整数维形式充填空间的形态特征，通常被定义为一个粗糙或零碎的，Mandelbrot于1973年首次提出了分维和分形的思想。
分形是一个数学术语，也是一套以分形特征为研究主题的数学理论。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科，是研究一类现象特征的新的数学分科，相对于其几何形态，它与微分方程与动力系统理论的联系更为显著。
分形的自相似特征可以是统计自相似，构成分形也不限于几何形式，时间过程也可以，故而与随机过程中的鞅论关系密切。
上图可以看到西兰花一小簇是整个花簇的一个分支，而在不同尺度下它们具有自相似的外形。
故较小的分支通过放大适当的比例后可以得到一个与整体几乎完全一致的花簇，因此可以说西兰花簇是一个分形的实例。
分形一般有以下特质：在任意小的尺度上都能有精细的结构；太不规则以至难以用传统欧氏几何的语言描述；自相似Hausdorff维数会大于拓扑维数；且有著简单的递归定义。
（1）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（2）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（3）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（4）一般，分形集的分形维数严格大于它相应的拓扑维数。
（5）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
Koch曲线是一种外形像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线，它是分形曲线中的一种，其Hausdorff维数是ln4/ln3，具体画法如下: （1）任意画一个正三角形，并把每一边三等分；（2）取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；（3）重复上述两步，画出更小的三角形。
（4）一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做Koch曲线。
混沌（chaos）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。
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分形图形生成手法主要有五类：
1）实数相空间上的非线性映射、非线性微分方程求解、保守系统准则斑图（quasi-regular-patterns ）
2）复域上各式广义的朱丽亚集和芒德勃罗集‘等势面着色’方法，球面、双曲面对称图形的动力学生成。
3）迭代函数系统、分形插值和小波变换方法。
4）林德梅叶形式语言方法。
5）扩散置限凝聚模型、元胞自动机模型和自组织临界性方法。
科赫曲线
构造过程：
①设0E 是单位长线段；
②1E 是0E 除去中间1/3的线段，而代之以底边在被除去的线段上的等边三角形的另外两条边所得到的图形，它含四个线段。
③对1E 中的四条线段重复上述操作，一直进行下去
Fractal 中最重要的概念就是dimension ，不同于常规的一维、二维、三维。
大都是分数维。
叫做分形维数（fractal dimension ）：如果把曲线（或曲面或立体）等分为N 个小的自相似的线段（小曲面，小立体），每一段长度为s ，则曲线的自相似维数D 为.)/1log()(log s N D 通常是大于拓扑维数而小于欧几里得维数的非整数维。
1.拓扑维数（topology dimension ）
一个集合X 的拓扑T 就是由X 的一些子集组合而成的集合，而这些子集的有限交合无限并还是属于T 。
拓扑学是近代发展以来的研究连续性和连通性的一个数学分支，它也叫橡皮几何学。
拓扑学研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质。
拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的解析几何不同。
通常的解析几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。
拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。
举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。
但是在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化，也有可能在拓扑空间里是等价的。
在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。
例如，欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。
比如在橡皮膜上的两条相交曲线，对橡皮膜施以拉伸或挤压等形变，但在不破裂或折叠时，它们“相交”始终不变的，几何图形的这种性质称为拓扑性质。
一般说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，它的变换就是拓扑变换。
就存在拓扑等价。
球面不能拓扑成环面，所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。
画在橡皮膜上的三角形，经过拉伸或挤压可以变成一个圆，从拓扑学的观点看，三角形和圆有相同的拓扑维数。
对于任何一个海岸线，经过某些形变总可以变为圆，因而海岸线与圆具有相同的拓扑维数
（T D ）。
在欧氏几何中，圆作为一种曲线，它的欧几里得维数,1=E D 所以海岸线的拓扑维数也是1.可以论证对一个几何图形，恒有.T E D D =和欧几里得空间的维数是整数一样，拓扑维数T D 的值也为整数。
拓扑维数也叫覆盖维数（covering dimension ）。
通俗地说，拓扑维数就是决定空间中任何一点位置所需要变量的数目。
直线、曲线，乃至原盘的拓扑维数都是1，平面、曲面的拓扑维数都是2.决定一个物体的拓扑维数，一般用有限个最少可能的相交的开集来覆盖它，能覆盖此物体的每个点的最多数目的开集如果是1+n 个，那么这个物体的拓扑维数.n D T =
2.分形维数
设想一个由三维空间内具有有限大小的点组成的集合，N 是用来覆盖这个集合内所有点所需的半径为R 的球体的最少个数，则这个最小数N 是R 的一个函数，记作).(R N 显然R 越小则N 越大，假设)(R N 和d R 之间存在一个反比的关系，我们得到：.log
lim 0N d R R →-=
一般难以直接计算，一般的可以通过计盒维数（Box-counting dimension ）估计到它的一个上界，而且可以通过局部维数（点维数）（Local-dimension ）估计到它的一个下界。
在分形维数中有很多分数维，最有用的一种定义叫做相似维，记作.s D
先拿直线来说，如果直线分成了N 小段，每小段的长度是。
δ
平面图形等分成N 个变长为δ的多边形。
立体图形等分成N 个变长为δ的立体图形。
例如对Cantor 三分集，,3
1,2==δN 则 6309.03ln 2ln )/1log()log(s ≈==
δN D 对于柯西曲线，,3
1,4==δN 则 1862.13
ln 4ln )/1log()log(s ≈==δN D 对于sierpinski gasket 的分形构造的前四步，,21,3=
=δN 则 9584.12
ln 3ln )/1log()log(s ≈==δN D 上面都是精准自相似，然而在自然界，很多分形都是随机分形，也就是此类分形具有随机性。
相似维数的计算是对精准的分形而言的。
现对ISF 法画分形图做一下介绍：
对于一个坐标),(y x ，定义下面4个矩阵变换
收敛点⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3239.108219.15.1086.003.003.083.0:T 001y x y x y x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7951.15610.05.1023.021.025.02.0:T 002y x y x y x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5660.0.1551045.0026.025.027.015.0:T 003y x y x y x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000017.0000:T 004y x y x y x 然后，初始时令)0,0(),(=y x ，按照%1T %,8T %,6T %,85T 4321----的概率，随机选择一个变换对该点进行操作，生成的点就是新的),(y x 。
已知重复上述过程。
得到图如下：
这些变换的实质就是把图形转移为另一个位置下的另一个尺度，经过变换以后的每个点都仍然在这个图形内。
不同的变换有着不同的作用。
T1的作用很明显：把该点移动到下一片小树叶上相同的位置。
我们用红色的线条标注了对某个点连续三次T1变换的路径。
T2, T3的作用是，把这个点在整个大叶子上的位置“投射”到最底部的叶片上对应的位置，其中T2负责投射到左边，T3负责投影到右边。
我们分别用蓝色箭头和绿色箭头来演示T2和T3
的轨迹。
比如，对大叶
片的左边第三叶的中间某个点进行T2变换，得到左边第一叶的左边第三个更小的叶片的中间；如果再进行一次变换，则就变到了左边第一叶的左边第一叶。
T3的作用也基本上类似，我就不再多说了。
最后，T4的作用是把某个点初始化到(0, 0.17y)，以后再经过一系列T1变换后就可以画出树叶中间的线条（的一部分）了，并等待某次T2或T3把该点变到最底层的叶片的中间线条上。
有人会说，那这样变下去的话，岂不是所有点都只能在树叶中间的那根线条上？对！事实上，以后产生的每一个点都在某个“n级叶片”的中间那根线条上。