【重要】分形与混沌PPT课件
上帝的指纹——分形与混沌
上帝的指纹——分形与混沌来源：王东明科学网博客云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。
——分形几何学之父Benoit Mandelbrot话说在一个世纪以前，数学领域相继出现了一些数学鬼怪，其整体或局部特征难以用传统的欧式几何语言加以表述。
著名的数学鬼怪包括处处不稠密而完备的Cantor集，每段长度都无限而围成有限面积的Koch曲线，面积为零而周长无限的Sierpinski三角形。
Koch 曲线Sierpinski 三角形这些数学鬼怪曾缠绕数学家多年，直到20世纪后半叶，才被美籍法国数学家Benoit Mandelbrot创立的分形几何学彻底制服。
分形几何学是新兴的科学分支混沌理论的数学基础。
1967年Mandelbrot在美国《科学》杂志上发表了题为“英国的海岸线到底有多长”的划时代论文，该文标志着分形萌芽的出现。
在这篇文章中Mandelbrot证明了在一定意义上任何海岸线都是无限长的，因为海湾和半岛会显露出越来越小的子海湾和子半岛，他将这种部分与整体的某种相似称为自相似性，它是一种特殊的跨越不同尺度的对称性，意味着图案之中递归地套着图案。
事实上，具有自相似性的现象广泛存在于自然界中，这些现象包括连绵起伏的山川，自由漂浮的云彩，江河入海形成的三角洲以及花菜、树冠、大脑皮层等等。
Mandelbrot将具有自相似性的现象抽象为分形，从而建立了有关斑痕、麻点、破碎、缠绕、扭曲的几何学。
这种几何学的维数可以不是整数，譬如Koch曲线的维数约为1.26，而Sierpinski三角形的维数则接近1.585。
分形植物（在生成分枝形状和叶片图案时遵循简单的递归法则）分形闪电（经历的路径是逐步形成的）Mandelbrot研究了一个简单的非线性迭代公式xn 1=xn2 c，式中xn 1和xn都是复变量，而c是复参数。
Mandelbrot发现，对某些参数值c，迭代会在复平面上的某几点之间循环反复；而对另一些参数值c，迭代结果却毫无规则可言。
分形课件08
第讲混沌与分形（Ⅱ）混沌是表象的无序、内在的有序。
混沌的签名是分形。
——方兆本《走出混沌》第讲数学家方兆本所推出的走向数学丛书《走出混沌》中写道：混沌的签名是分形。
这句话惟妙惟肖地描绘出混沌与分形两者之间的关系。
研究Chaos有很多途径。
生物群的研究是其中典型途径之一。
第讲一.生物爆炸和生物灭绝最早接触的是生物群的线性迭代，其表述方程是(7-1)式中, 表示第年的某种群数; 表示第年的种群数；而则是发展参数。
i i kx x =+1L,2,1,0=i 1+i x 1+i k i i x第讲特别应该提到：这里所谈的“年”——更确切地说用代或周期更为确切。
中国古代名著《庄子》提到年寿有明显的层次差次，小的年绝不及大的年：朝菌存活不过七天；夏蝉只有三个月时间；但楚国之南的一种树名叫冥灵，持续500年的花开叶茂是冥灵一春，再持续500年花谢叶落是冥灵一秋。
人世千年，冥灵一岁，这才是大的年。
《庄子》所述，即揭示了生物群各自内部的“种”是各不相同的。
第讲1.生物爆炸若我们不论什么原因，这种生物群种数有,且发展的参数，则可写出序列：(7-2)上式表示等比的等比数列。
如Fig7-1所示。
0x 1>k 1>k }{i x L,,,0200x k kx x 1>k第讲Fig7-1当时生物群发生爆炸1>k ii kx x =+10x第讲2.生物灭绝同样是种群方程(7-1)，原始生物群，所不同的参数。
这种情况下序列表示的等比数列。
如图7-2所示。
1<k 0x 1<k }{i x 1<k第讲Fig7-2 当时生物群灭绝1<k ii kx x =+1第讲一.Logistic 方程长期以来，人们对于数列的理解主要有两种可能：收敛或发散。
————————当然也有极个别跳跃的数列如不过这不是我们研究的主要对象。
L1,1,1,1−−}{i a第讲上面所讨论的生物种群数列正是这种情况：要末单调上升发散；要末单调下降收敛。
分形和混沌
作为非线性科学三大理论前沿之一的分形理论,具有 一些不同与整形(欧氏几何里具有整数维的几何图形) 的特点,概括有五个基本特征或性质.
形态的不规则性.它是如此的不规则,以致不能用传统的 数学语言来描述; 结构的精细性,即具有任意小的比例细节; 局部与整体的自相似性,即局部与整体具有自相似性(这 种自相似性可以是严格的,近似的或统计的); 维数的非整数性,它的维数一般是分数的,并且大于其拓 扑维数; 生成的迭代性,分形虽然具有复杂结构,但是通常可以用 迭代方法生成.
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下面我们来讲混沌的特性。
（1）确定系统的内在随机性. 混沌现象是由系统内部的非线性因素引起 的，是系统内在随机性的表现，而不是外来随 即扰动所产生的不规则结果。混沌理论的研究 表明，只要确定性系统中有非线性因素作用， 系统就会在一定的控制参数范围内产生一种内 在的随机性，即确定性混沌。 混沌现象是确定性系统的一种“内在随机 性”，它有别于由系统外部引入不确定随机影 响而产生的随机性。为了与类似大量分子热运 动的外在随机性和无序性加以区别，我们称所 研
初值x0与x0’之差z= | x0’- x0 |=13/(7* 23002) =1/ 10900是 非常小的，但经过3002次迭代之后结果就完全不同了。这就是 说， x0小数的前900位（或二进制的3002位）信息完全丧失。 这里并没有在迭代中进行“舍入”处理，而完全是由于初值的 不确定性造成的。
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我们再看一个著名的例子——“蝴蝶效应”.洛仑兹有一 个形象的比喻“巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀,可能会改变3 个月后美国得克萨斯的气候”。他说明了天气演变对初值 的敏感依赖性。用混沌学的术语表述就是，系统的长期行 为对初值的敏感依赖性。
（1）混沌的定义 （2）混沌的特性：
最新整理数学实验之五迭代(1)分形与混沌.ppt
4 阶幻方构造法
4x
+
同加1
独孤求败基本定理 ---- 高水平=简单
• 山寨算术例1: 算24 • 将以下每组四个数经过加
减乘除得到24. • (1)5,5,5,1;(2)3,3,7,7 • (3)4,4,7,7;(4)3,3,8,8
• 算24 • 5*5-1=24 • 5*(5-1/5)=24 • 运算律的应用! • (3*8)/(3*3-8)= 24 • 分子分母同除以 3 • 8/ (3-8/3) = 24
• 删去多余的方程 ---- 打假 • 将打假进行到底 • 极大线性无关组 • 剩下的方程的个数---- 秩rank
数学聊斋
之三
•人与照片之维数
线性代数
空间为体, 矩阵为用
• 研究对象----几何：线性空间(向量) • 研究工具----代数：矩阵运算 • 向量 (问题) 矩阵语言描述
矩阵运算解决 向量(解答) • 与微积分的关系:
• 分子分母都是多项式: 享受幸运约分. • Else,创造幸运 化成多项式再约分.
微积分诗四首
之三 定积分
一帆难遇风顺 一路高低不平 平平淡淡分秒 编织百味人生
微积分基本概念（二） ---- 定积分
速度 v(t) 路程 s(t) • 路程 = 速度* 时间 • 速度变化怎么办? • 分段计算: Dsi = v(ti)* Dti • 各段相加：s = Si Dsi, Dti 0
足球的方与圆
•圆---比赛胜负有偶然性 •方---强弱差别客观存在 •米卢---实现概率 •施与霍---提高概率
概率
•沙场百胜古来稀, •九密一疏已足奇。 •祸福偶然存概率， •风云多变泄天机。
4溷沌与分形
第九章混沌与分形混沌学习了牛顿力学后，往往会得到这样一种印象，或产生这样一种信念:物体受力已知的情况下，给定了初始条件，物体以后的运动情况（包括各时刻的位置和速度）。
就完全定了，并且可预测了。
这种认识被称作决定论的可预测性。
验证这种认识的最简单例子是抛体运动。
物体受的重力是已知的，一旦初始条件（抛出点的位置和抛出时速度）给定了，物体此后任何时刻的位置和速度也就决定了。
物体在弹力作用下的运动也是这样，已知的力和初始条件决定了物体的运动。
这两个例子中都可以写出严格的数学运动学方程，即解析解，从而使运动完全可以预测。
牛顿力学的这种决定论的可预测性，其威力曾扩及宇宙天体。
1757年。
哈雷慧星在预定的时间回归，1846年海王星在预言的方位上被发现，都惊人的证明了这种认识。
这样的威力曾使伟大的法国数学家拉普拉斯夸下海口：给定宇宙的初始条件，我们就能预言它的未来。
当今日蚀和月蚀的准确预测，宙宙探测器的成功发射与轨道设计，可以说是在较小范围内实现了拉普拉斯的壮语。
牛顿力学在技术中得到了广泛的成功的应用。
物理教科书中利用典型的例子对牛顿力学进行了定量的严格的讲解。
这些都使得人们对自然现象的决定论的可预测性深信不疑。
但是，这种传统的思想信念在20世纪60年代遇到了严重的挑战。
人门发现由牛顿力学支配的系统，虽然其运动是由外力决定的，但是在一定条件下，却是完全不能预测的。
原来，牛顿力学显示出的决定论的可预测性，只是那些受力和位置或速度有线性关系的系统才具有的。
这样的系统叫线性系统。
牛顿力学严格地成功处理过的系统都是这种线性系统。
对于受力复杂的非线性系统，情况就不同了。
下面通过一个实际例子说明这一点。
决定论的不可预测性。
用畅销名著《混沌——开创一门新科学》的作者格莱克的说法，蝴蝶效应指的是“今天在北京一只蝴蝶拍动一下翅膀，可能下月在纽约引起一场暴风雨。
”下面是几个混沌实例。
1．天体运动的混沌现象前已述及，三体问题，更不要说更多体的问题，不可能有解析解。
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分形与混沌英国人L.理查森发现在西班牙、葡萄牙、比利时、荷兰等国出版的百科全书中，记录的一些海岸线的长度竟相差20%，原因何在？Mandelbrot 认为：海岸线不规则，不同的测量尺度导致不同结果，从数学角度研究这一问题，创立分形几何。
一维的直线只有一个方向，而海岸线在方向上进行了无数次的改变，故要修改维数定义，Mandelbrot 发现海岸线等具有自相似性，故从自相似性角度研究维数。
一 分形自相似性：如果几何对象的一个局部放大后与其整体相似，这种性质叫自相似性。
自然界有许多图形有自相似性，如浪花、岩石、山脉、河网水系的分布；人的血管系统；海岸线的形状；星云的分布；剧烈变化的气候；股市等。
分形：(Mandelbrot,1986年）部分以某种形式与整体相似的形状，叫分形。
二 分维一个正方形边长扩大3倍后，得到9个正方形，设一个小立方体，边长扩大3倍后，得到27个小立方体，几何图形的维数为分维。
分维数反映的是：图形充满整个空间的情况，或图形的粗糙度。
三 两种分形曲线（一）Koch 曲线1 构造方法如下:Koch 曲线是分形的,其分维:2 分形曲线的测量分形曲线无法用直尺测量,无论单位取得如何小,因为更细小部分与整体相似,仍有许多不同层次.koch 曲线用一段局部的koch 曲线测量,这样会变得简单.3 分形曲线的生成按照简单规则,经无穷次迭代,得到复杂图形.（二）Cantor 三分集Cantor 三分集时分形的Cantor 三分集是现实世界的一种模型,Mandelbrot 研究的电子通讯线路中出现误差的规律与Cantor 三分集十分相似.维的则2,23ln ln ,9,3∴===N N l 维的则3,33ln ln ,27,3∴===N N l 允许取分数，设l N D ln ln =分形具有五个基本特征或性质：⑴形态的不规则性；⑵结构的精细性⑶局部与整体的自相似性⑷维数的非整数性⑸生成的迭代性。
四分形几何的历史1967年,蒙德尔布罗(法,B.Mandelbrot)在《科学》杂志发表文章《英国海岸线有多长？》标志分形几何的诞生。
分形几何与混沌 ppt课件
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3
巴恩斯利蕨就是依此规则生成的。它的仿射变换组内含有四个公式，形式如下——
a、b、c、d、e、f 都是参数，参数对应的数值表格如下，p 是该运算规则 R 被选中的概 率。
R
a
b
c
d
e
f
p
1
0
0
0
0.16 0
0
0.01
2
0.85 0.04 －0.04 0.85 0
1.6 0.85
3
0.2 －0.26 0.23 0.22 0
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分形特征
大自然中的山、树、云、海岸线都可以看成是分形．一般地说，分形具 有以下一些特征：该集合具有精细的结构，即有任意小比例的细节（无 限可分性）；该集合整体与局部间有某种自相似性；分形集合的分形维 数一般不是整数，而是分数，且一般大于它的拓扑维数；分形集合是如 此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述；在 大多数情况下，分形集合可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产 生；通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的.
分形蕨草 混沌蝴蝶
——————由一棵分形树想到的
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第一部分：分形蕨草
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1985年的某一天，世界上第一棵巴恩斯利蕨（Barnsley fern）从美国佐 治亚理工学院的巴恩斯利教授手中诞生了。与此同时，他成为了第一个 提出迭代函数系统(IFS，简称迭代函数系)的人，他实际上研究的是如何 利用自相似性把描绘自然景观的信息进行大幅压缩。基本思路是以一些 运算规则为基础，把原始图形(生成元)进行收缩、旋转、平移等收敛性 的仿射变换（affine transformations），最终形成具有自相似的分形结 构的极限图形, 该集就被称为 IFS。
第2节 分形与混沌简介
n • r2 = 1
将体积为1的正方体n等分,每一个小正方体 的边长为r,则
n • r3 = 1
分形维数
• 从上面的等式中可以看到,r 的幂次实际就是 该几何体的空间维数,可以表示为: n • rD = 1 • 对上式两边取对数得:
ln n D ln x
• 显然,D具有维数的概念.
分形维数(续)
• 以参数a为横坐标、以x的稳定定态(stable steady states)为纵坐标作图， 得到1、图2 等。从图中可以看出开始是周期加倍分 岔(也称周期倍化分岔或周期倍分岔)，然 后是混沌，混沌区中又有周期窗口。窗 口放大后又可见到同样结构的一套东西。 此 所谓无穷自相似结构。
• 对Koch曲线而言
分形维数(续)
• 在第n步时,其等长折线段总数为4n,每段的长 1 度为 3 • 则Koch曲线的维数为:
n
ln 4 D 1.26186 n ln 3 1 ln 3
ln 4n
• 英国海岸线的维数为D=1.25 (Mandelbrot)
如何来研究分形？
• Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。 • 在Euchlid几何学中我们知道维数的概念
– 点---0维； – 线---1维； – 面---2维； – 体---3维。
如何来研究分形？（续）
将长度为1的线段分为n等分,每段长为r,则
n•r=1
将面积为1的正方形n等分,每一个小正方形 的边长为r,则
分形的概念（续）
• 形看作具有如下所列性质的集合F：
– F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 – F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。 – F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意 义下的。 – F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的扑维数。 – F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。
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曼德布罗特擅长于形象的、空间的思维，具有把复杂问题化为简 单的、生动的、甚至彩色的图象的本领。他是个数学特别是几何 学与计算机兼通的难得人才。1967年发表于美国《科学》杂志上 的“英国的海岸线有多长”的划时代论文，是他的分形思想萌芽 的重要标志。1973年，在法兰西学院讲课期间，他提出了分形几 何学的整体思想，并认为分维是个可用于研究许多物理现象的有 力工具。
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神经元网络（续）
一个非常好的思路，可以同时解决线性和非线 性问题！ 问题是：训练样本空间与应用样本空间不是一 个集合，用训练样本空间训练出来的神经元模 型对于样本空间的样本是最优的结果，而对于 应用样本空间就不一定是最优的结果！ 例如：应用神经元网络识别0~9个数字，选定 三层神经网（输入层、隐含层、输出层），隐 含层包含128个节点，训练样本空间选择0~9 的手写数字分别为100个，共1000个样本集。
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英国的海岸线地图
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研究对象（续）
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量 时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线 ，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不 精确的。 如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就 会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近 似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发 现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就 越大。 如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
5
付里叶变换（续）
由此，付里叶得出如下的结论：
f(t)a 2 0n ( ansin nw )(itb nconsw )()t
任意时 间周期
信号
常量
权值
基元
6
付里叶变换（续）
从当时的角度（哲学观点）来看，是任 何一个信号可以表示为“正弦”信号的 加权和，符合哲学观点，推导正确。 当Fourier将论文提交给法国研究院，由 Lagrangri等三名数学家组成的委员会没 有允许该论文的发表，原因是该数学推 导不严格， Lagrangri提出对于处处不可 导的信号（函数）该理论不成立。
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研究对象（续）
得到的结论是：海岸线的长度是多少： 决定与尺子的长短。 海岸线的长度是无限的！ 而显然海岸线的面积为零； 而我们确实看到了海岸线的存在，而且 海岸线应该是有界的。 海岸线什么有界？（长度、面积、体积 显然无界）。
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Koch 曲线
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Koch 曲线（续）
Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。 同样的道理：长度无限、面积为零、而 曲线还有“界”。 另外，有一个特点：当取其中的一部分 展开，与整体有完全的自相似性，似乎 是一个什么东西的无数次的自我复制。
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神经元网络（续）
训练结束后，对于样本空间的样本的识 别率可以达到100%，而如果选择一个手 写的字母“A”作为识别样本，发现他也 会得出一个0~9之间的一个结果，显然出 现了误识。 那么误识率会是多大？
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结论
在世界是由基元组成这一哲学思想下， 产生了一系列的十分有效的技术，可见 哲学对研究的意义。 相反，如果没有一种哲学思想，我们的 研究如何归纳总结出一种一般的规律？ 总结出的规律正确与否？
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自然界中的其他事物
取下一片蕨类植物叶子 似乎与整体有某种相似 性。 England的海岸线从视 觉上也感觉有某种自相 似性
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分形的概念
分形理论的创始人B.B.Mandelbrot，有人译为 曼德尔布罗特，有人译为曼得勃罗等等 通过对 这些不具有特征长度（欧氏几何学研究不了的 问题）提出了一个全新的概念：分形、分形几 何、分数维----fractal。
第六章 分形与混沌
1
内容目录
哲学与研究 分形的基本思想 混沌的基本思想
2
哲学与研究
哲学是人类认识世界的最高层次的思考。
寻找世界的本原问题； 人类在世界中的位置，即人类作为认识的主体 在研究中的重要性。 了解哲学是从总体上、大局上把握世界；把握 研究的方向，不至于走入死胡同。
3
付里叶变换
Fourier是法国大革命时期的数学家，他 在频谱分析领域做有卓越的贡献。
在当时，拿破仑时代，科学界流行一种 哲学：世界是有“基元”组成的，任何 一种物质只是基元的加权的代数和。基 元是什么？
运动是物质的一种存在形态，也应该具 有一种相同的特性，即运动应由基元组 成。
4
付里叶变换（续）
Fourier通过研究“振动弦”的运动得出 一个规律：即振动弦的运动可以分解为 多个“正弦”信号的和。 又通过对很多现象的研究，Fourier得出 一个结论：任何一个信号可以分解为多 个“简谐周期函数”的加权和，而sin(x)、 cos(x)是最简单的“简谐周期函数”。
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神经元网络（续）
每个神经元是基元，任何一个函数f(x)可以通 过神经元的加权和而得到。神经元的数目可以 选择，层次的个数可以选择，原则上三层以上 即可以模拟任何一个函数（包括线性函数、非 线性函数）功能十分强大！ 网络模型构建后，需要获得权值，权值的获取 方法是训练。即选择足够的训练样本空间，对 模型中的连接进行训练，训练完成，既可以用 于相关的应用。
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神经元理论
神经元网络：神经元网络(Nerual Net)指 由大量神经元互连而成的网络，有点象 服务器互连而成的国际互连网(Internet). 人脑有1000亿个神经元，每个神经元平 均与10000个其他神经元互连，这就构成 了人w1 x2 w2 x3 w3
xn
wn
Artifi cial Neural Network(A NN)
y
n
y f ( wixi ) i1
9
O1
O2
O3
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神经元网络
是根据生物的神经元组成而得来的 两态工作，即只有兴奋和抑制两个状态 阈值作用，超过某个阈值，神经元兴奋 多输入、单输出，树状突起获得众多输 入，轴突单输出 空间、时间叠加 可塑性连接，突起的连接强度可调节
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分形几何的基本思想
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研究对象
欧几里得几何学的研究对象是具有特征 长度的几何物体：
一维空间：线段，有长度，没有宽度； 二维空间：平行四边形，有周长、面积； 三维空间：球，表面积、体积；
自然界中很多的物体具有特征长度，诸 如：人有高度、山有海拔高度等。
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研究对象
有一类问题却比较特别，Mandelbrot就 提出了这样一个问题：英国的海岸线有 多长？