分形与混沌
分形和混沌的基本概念和应用
分形和混沌的基本概念和应用在科学和数学领域中，分形和混沌是两个非常重要的概念。
它们不仅有着丰富的理论内涵，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文旨在介绍分形和混沌的基本概念、性质以及其应用领域。
一、分形的基本概念和性质分形最初是由法国数学家Mandelbrot所提出的。
分形，定义简单点来说，就是在各种尺度下都表现出相似性的图形。
比如说，我们在放大树叶时，会发现树叶的分支和小结构上会有许多特征，在不断放大过程中，树叶上的分支和结构会产生类似于整个树叶的结构。
这个例子就是分形学的一个典型例子。
分形的最重要的特性是自相似性和不规则性。
自相似性是指，在分形中，任意一部分都与整个结构相似，这种相似性具有尺度不变性，即不会因为放大或缩小而改变。
不规则性是指，分形的形状十分奇特，与传统的几何图形相比，分形形状复杂多变，没有任何几何规律可循。
分形广泛用于科学研究、艺术美学、计算机图像处理等领域。
在生物学、地震学、天文学中也有广泛应用。
例如，在生物学中，许多生物组织和器官都具有分形结构，如肺组织、血管系统、神经元等。
利用分形理论可以更好地研究这些生物结构的形态和发展规律。
此外，在土地利用和城市规划领域，也可以应用分形理论来研究城市建筑的空间结构和空间分布规律。
二、混沌的基本概念和性质混沌又称为非线性动力学。
混沌指的是用微观因素推算出宏观效应的过程，该过程结果不可预测，但随着时间的推移，能够生成复杂、有规律的系统。
混沌体系可用方程式表示出来，但由于该方程式是个非线性方程式，所以其结果会随这方程式微小变化而产生巨大的差异。
混沌具有以下几个突出的性质：灵敏依赖于初始条件，长期不稳定，难以预测和控制。
混沌理论可以用于预测经济和金融领域中出现的一些紊乱现象，如股市波动。
混沌最初应用在天文学领域，例如研究太阳系中行星之间的轨道。
这些轨道不像我们所想的那样规律。
然而，混沌的发现不仅在天文学领域中应用，也在许多其它领域解决一些不规则的问题。
动力系统理论中的混沌与分形
动力系统理论中的混沌与分形混沌与分形是动力系统理论中的两个重要概念，它们在探索非线性系统行为和描述自然界的复杂性方面发挥着关键作用。
本文将从混沌与分形的基本原理、实际应用以及研究方向等多个角度来探讨这两个重要的理论概念。
一、混沌混沌是指在动力系统中，即使系统的运动规律是确定的，但其行为却表现出极端敏感的特性，即微小的初始条件改变会导致系统演化出完全不同的轨迹。
混沌理论的起源可以追溯到20世纪60年代，当时Lorenz通过研究大气环流模型，意外地发现了这一现象，这也被称为“蝴蝶效应”。
混沌现象的数学描述是通过非线性动力学方程实现的，例如著名的洛伦兹方程和Logistic映射等。
混沌行为的特点是演化过程不断变化，但却不失稳定性。
这种看似矛盾的特性给动力系统理论的研究带来了很大的挑战和启示。
混沌理论的实际应用非常广泛。
在天气和气候预测、金融市场、生态系统、心脏疾病等领域，混沌理论都发挥着重要作用。
通过混沌理论，我们能够更好地理解和预测这些复杂系统中的行为，为实际问题的解决提供了新的思路和方法。
目前，混沌理论仍然是一个活跃的研究领域。
研究人员致力于发展更精确的混沌理论模型，深入探究混沌行为的内在规律，以及在实际应用中的更多可能性。
二、分形分形是指具有自相似性和尺度不变性的几何形状。
与传统几何学中定义的规则形状不同，分形具有复杂的结构和非整数维度。
分形理论最早由Mandelbrot提出，并得到了广泛的应用。
分形的自相似性意味着它的一部分与整体具有相似的结构，这种特性使得分形能够用于描述自然界中许多复杂的形状，如云朵、树枝、河流等。
分形的尺度不变性意味着它在不同的比例下具有相似的结构，这也是分形与传统几何形状的显著区别。
分形理论在各个领域有着广泛的应用。
在计算机图形学中，分形可以用于生成自然风景和仿真自然材料的纹理。
在金融市场中，分形理论可以用于预测和分析股票价格的波动。
在生物学中，分形可以用于描述复杂的生物结构，如血管网络和肺泡等。
非线性动力学混沌和分形
非线性动力学混沌和分形非线性动力学是研究非线性系统行为的学科，其中混沌和分形是两个重要的概念。
本文将从混沌和分形的定义、产生原因以及在自然界和科学领域的应用等方面，探讨非线性动力学中的混沌和分形现象。
一、混沌的定义和产生原因混沌是指在非线性系统中表现出的随机、不可预测的行为。
它与线性系统中稳定、可预测的行为形成对比。
混沌的产生是由于非线性系统的敏感依赖性和非周期性。
非线性系统中存在着参数的微小变化对系统行为的剧烈改变的敏感依赖性。
也就是说，微小的输入扰动会在系统中产生指数级的放大效应，导致系统行为出现不可预测的、随机的演化轨迹。
非周期性是混沌的另一个重要特征。
与周期行为不同，混沌系统的演化轨迹不会重复，而是具有无限多的轨迹。
这种非周期性导致了混沌系统的随机性和不可预测性。
二、分形的定义和产生原因分形是指具有自相似性质的几何结构。
这种自相似性是指无论在何种尺度上观察，都能看到相似的图形形态。
分形在数学上可以通过重复迭代、自身放缩等方式来构造。
分形的产生原因与非线性动力学中的迭代过程密切相关。
在迭代过程中，每一次迭代都会根据某种规则对前一次结果进行变换或修改。
这种迭代的特性导致了分形的自相似性质。
三、混沌和分形在自然界中的应用混沌和分形不仅存在于数学和物理领域，也广泛存在于自然界中的各种系统中。
1. 混沌天气模型气象系统是典型的非线性系统，其中存在着许多复杂的变量相互作用。
应用混沌理论来模拟天气系统，可以更好地理解和预测天气变化。
例如，洛伦茨模型是一个典型的混沌系统，通过该模型可以模拟大气环流的混沌行为。
2. 分形地貌自然界中的许多地貌形状具有分形的特征。
例如，河流的分岔结构、山脉的起伏形态都展现了自相似的分形结构。
分形地貌的研究有助于了解地壳运动和地表形态的演化机制。
3. 植物生长模型植物生长是一个既复杂又多变的过程，涉及到生理、环境和遗传等多个因素的交互作用。
应用非线性动力学的方法，可以通过建立植物生长模型，研究植物生长的混沌行为以及其对环境的响应。
分形和混沌
作为非线性科学三大理论前沿之一的分形理论,具有 一些不同与整形(欧氏几何里具有整数维的几何图形) 的特点,概括有五个基本特征或性质.
形态的不规则性.它是如此的不规则,以致不能用传统的 数学语言来描述; 结构的精细性,即具有任意小的比例细节; 局部与整体的自相似性,即局部与整体具有自相似性(这 种自相似性可以是严格的,近似的或统计的); 维数的非整数性,它的维数一般是分数的,并且大于其拓 扑维数; 生成的迭代性,分形虽然具有复杂结构,但是通常可以用 迭代方法生成.
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下面我们来讲混沌的特性。
（1）确定系统的内在随机性. 混沌现象是由系统内部的非线性因素引起 的，是系统内在随机性的表现，而不是外来随 即扰动所产生的不规则结果。混沌理论的研究 表明，只要确定性系统中有非线性因素作用， 系统就会在一定的控制参数范围内产生一种内 在的随机性，即确定性混沌。 混沌现象是确定性系统的一种“内在随机 性”，它有别于由系统外部引入不确定随机影 响而产生的随机性。为了与类似大量分子热运 动的外在随机性和无序性加以区别，我们称所 研
初值x0与x0’之差z= | x0’- x0 |=13/(7* 23002) =1/ 10900是 非常小的，但经过3002次迭代之后结果就完全不同了。这就是 说， x0小数的前900位（或二进制的3002位）信息完全丧失。 这里并没有在迭代中进行“舍入”处理，而完全是由于初值的 不确定性造成的。
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我们再看一个著名的例子——“蝴蝶效应”.洛仑兹有一 个形象的比喻“巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀,可能会改变3 个月后美国得克萨斯的气候”。他说明了天气演变对初值 的敏感依赖性。用混沌学的术语表述就是，系统的长期行 为对初值的敏感依赖性。
（1）混沌的定义 （2）混沌的特性：
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分形与混沌英国人L.理查森发现在西班牙、葡萄牙、比利时、荷兰等国出版的百科全书中，记录的一些海岸线的长度竟相差20%，原因何在？Mandelbrot 认为：海岸线不规则，不同的测量尺度导致不同结果，从数学角度研究这一问题，创立分形几何。
一维的直线只有一个方向，而海岸线在方向上进行了无数次的改变，故要修改维数定义，Mandelbrot 发现海岸线等具有自相似性，故从自相似性角度研究维数。
一 分形自相似性：如果几何对象的一个局部放大后与其整体相似，这种性质叫自相似性。
自然界有许多图形有自相似性，如浪花、岩石、山脉、河网水系的分布；人的血管系统；海岸线的形状；星云的分布；剧烈变化的气候；股市等。
分形：(Mandelbrot,1986年）部分以某种形式与整体相似的形状，叫分形。
二 分维一个正方形边长扩大3倍后，得到9个正方形，设一个小立方体，边长扩大3倍后，得到27个小立方体，几何图形的维数为分维。
分维数反映的是：图形充满整个空间的情况，或图形的粗糙度。
三 两种分形曲线（一）Koch 曲线1 构造方法如下:Koch 曲线是分形的,其分维:2 分形曲线的测量分形曲线无法用直尺测量,无论单位取得如何小,因为更细小部分与整体相似,仍有许多不同层次.koch 曲线用一段局部的koch 曲线测量,这样会变得简单.3 分形曲线的生成按照简单规则,经无穷次迭代,得到复杂图形.（二）Cantor 三分集Cantor 三分集时分形的Cantor 三分集是现实世界的一种模型,Mandelbrot 研究的电子通讯线路中出现误差的规律与Cantor 三分集十分相似.维的则2,23ln ln ,9,3∴===N N l 维的则3,33ln ln ,27,3∴===N N l 允许取分数，设l N D ln ln =分形具有五个基本特征或性质：⑴形态的不规则性；⑵结构的精细性⑶局部与整体的自相似性⑷维数的非整数性⑸生成的迭代性。
四分形几何的历史1967年,蒙德尔布罗(法,B.Mandelbrot)在《科学》杂志发表文章《英国海岸线有多长？》标志分形几何的诞生。
第六章+分形与混沌简介
客观世界特别丰富的现象。
• 基于传统欧几里得几何学的各门自然科学 总是把研究对象想象成一个个规则的形体， 而我们生活的世界竟如此不规则和支离破 碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全 不同层次的复杂性。分形几何则提供了一 种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结 构的新方法。
• 什么是分形几何
• 通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定 意义下的自相似图形和结构的几何学。 • 什么是自相似？ • 例如一棵苍天大树与它自身上的树 枝及树枝上的枝杈，在形状上没什 么大的区别，大树与树枝这种关系 在几何形状上称之为自相似关系。
Newton分形
•Paul Derbyshire研究牛顿分形图形时，他把Julia 集合的常值C加入进去改变了一下算法，并用同样 的方法去估算Z，逼近答案，产生奇特的并称之为 "Nova"的分形图形。
• 需要说明的是，虽然分形的理论体系到目 前为止还没有一个完整的体系，研究进展 也不是很快。但是，因为其意义之深远、 价值之高都远远超出了我们的想像。所以， 世界各国特别是发达国家对此特别的重视， 如美国就将分形研究作为国家重点攻关项 目来设立，中国也很重视对分形几何的研 究，甚至在《标准》意义下的新《数学》 教材中就有相关内容的阅读知识。浙教版 初中数学教材九年级（上） 《精彩的分 形》。
至此蒙德尔布罗等考虑的分形自相似性都
是像柯克曲线那样在平移和线性放大下的
自相似性(即在线性变换下保持不变)。现实
世界的分形现象往往要复杂得多，如实际
海岸线的性状就远不如柯克曲线那样规则。
• 从1978年开始，蒙德尔布罗等人开始研究 在非线性变换(即允许比简单放大与平移更 复杂的操作如平方、立方等)下保持不变的 分形，他们利用电子计算机来产生这样的 分形图形，并研究它们的性质，又发现了 所谓“混沌”(chaos)现象，导致了混沌动 力学的建立。
动力系统理论中的混沌与分形
动力系统理论中的混沌与分形本文旨在探讨动力系统理论中的混沌与分形现象。
混沌与分形是动力系统理论中的两个重要概念，它们帮助我们理解非线性系统中的复杂行为。
通过对混沌和分形的介绍和解释，可以更好地理解这些现象对于动力系统理论的重要性。
一、混沌现象1.1 混沌的定义与特征混沌是一种看似随机、无序的、复杂的系统行为，但实际上具有确定性的特点。
混沌系统的演化过程是高度敏感的，微小的初始条件变化会导致系统行为的巨大差异。
1.2 混沌系统的示例尽管混沌系统无法通过常规的数学方法进行精确描述，但它们在自然界和科学领域中广泛存在。
例如，洛伦兹吸引子和双拱摆动等系统都展现了混沌行为。
1.3 混沌在动力系统中的应用混沌现象在动力系统控制和信息处理等领域有着重要的应用。
通过对混沌现象的研究，可以开发出一些混沌控制方法和混沌加密算法等技术。
二、分形现象2.1 分形的定义与特征分形是一种具有自相似性的几何形状。
分形对象的局部部分与整体之间存在着相似的结构，无论是放大还是缩小都能看到相似的形态。
2.2 分形的分类与例子分形可以分为确定性分形和随机分形，分形的例子包括科赫雪花曲线、谢尔宾斯基三角形和曼德尔布罗集合等。
2.3 分形在动力系统中的应用分形几何在动力系统的建模和分析中有广泛应用。
例如，在天气系统中，分形几何可以用来描述云朵的形状和天气的变化规律。
三、混沌与分形的关系混沌和分形都是非线性动力系统中的重要现象，它们之间存在着紧密的联系。
3.1 分形维度与混沌系统混沌系统的分维度是一个重要的非线性度量指标，在描述混沌系统的复杂性和自相似性方面起着关键作用。
3.2 分形分析揭示的混沌机制分形分析方法能够揭示混沌系统中的规律和结构。
通过分形分析可以得到混沌系统的分维度、分形维数等重要参数，从而更深入地理解混沌现象。
结论混沌与分形是动力系统理论中的重要概念，它们对于我们理解非线性系统中的复杂行为起到了关键作用。
混沌现象展示了非线性系统的敏感依赖性和不确定性，而分形则展示了系统的自相似性和复杂性。
给中学生的纯科普——分形与混沌
给中学生的纯科普——分形与混沌下面我们开始分别介绍分形与混沌。
分形是具有以非整数维形式充填空间的形态特征，通常被定义为一个粗糙或零碎的，Mandelbrot于1973年首次提出了分维和分形的思想。
分形是一个数学术语，也是一套以分形特征为研究主题的数学理论。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科，是研究一类现象特征的新的数学分科，相对于其几何形态，它与微分方程与动力系统理论的联系更为显著。
分形的自相似特征可以是统计自相似，构成分形也不限于几何形式，时间过程也可以，故而与随机过程中的鞅论关系密切。
上图可以看到西兰花一小簇是整个花簇的一个分支，而在不同尺度下它们具有自相似的外形。
故较小的分支通过放大适当的比例后可以得到一个与整体几乎完全一致的花簇，因此可以说西兰花簇是一个分形的实例。
分形一般有以下特质：在任意小的尺度上都能有精细的结构；太不规则以至难以用传统欧氏几何的语言描述；自相似Hausdorff维数会大于拓扑维数；且有著简单的递归定义。
（1）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（2）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（3）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（4）一般，分形集的分形维数严格大于它相应的拓扑维数。
（5）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
Koch曲线是一种外形像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线，它是分形曲线中的一种，其Hausdorff维数是ln4/ln3，具体画法如下: （1）任意画一个正三角形，并把每一边三等分；（2）取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；（3）重复上述两步，画出更小的三角形。
（4）一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做Koch曲线。
混沌（chaos）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。
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分形与混沌我今天和大家分享的话题是，分形与混沌。
我在大概一、两个月前，突然发现和石总同时都对这个话题感兴趣，后来石总说，做一个沙龙吧。
其实我挺诚惶诚恐的，因为这个话题太深了，我并不是那么专业，和用哲学忽悠大家不一样啊！但我还是认真准备了一下，来和大家分享，因为我觉得内容真的太有意思了，对我们认识世界，认识市场都有帮助。
我希望以后我们群友聊到相关的话题能有更多默契，相互启发，相互推动。
这也是石总所希望的。
言归正传，我现在开始今天的主题分享。
说到今天分享的主题，跳入脑海的两个词组就是混沌物理和分形几何，接着有朋友很谨慎的问，是否有必要浪费流量和时间来看，以及让我评估一下能听懂的可能性。
我想这也是群主让我，而不是他自己，来做这个主题分享的初衷，如果我都能看懂和说明白，那大家都是毫无压力的。
[呲牙]我们生活的这个世界简单而复杂，我们面对的市场似乎总有什么规律在眼前闪现，而当你伸出手时，却无法抓个确切。
我们在经验中学习，在逻辑中预测，当我们回头看时，一切都那么清晰井然，而当我们向前看时，未来仿佛陷入迷雾。
从中找到方法，绝对的方法论，从这个市场中追寻至高的道，这可能么？这不可能么？我们可以一起来看一看，透过混沌与分形的世界，我们是否能看到一个Whole New World。
一、分形——从分形龙开始看似深奥的理论通常有着非常简单的起点。
如何构造一条分形龙，有下面几个简单的不行的步骤：1、拿出一根纸条；2、将它对折后展开，这是一根纸条变成了两个部分；3、每一部分还按照前面的方法对折，这时，它变成了四折；4、将每一折还是按第2条的方法对折后打开，你能想象这个图么？如果不能，请看图：你看，简单吧，让我们把这个对折的次数重复无限次，分型龙就现身了！最右下角一副即是。
你看，多么简单的方法，我们得到了一条龙。
这个方法是什么呢，不断的重复同一个简单的步骤。
这个时候大家就会问了，分型龙有什么特别之处呢，他的特别之处在于，你有没有发现，他的每一个部分都和整体呈现出一种相似性，好像他在模仿自己一样。
如果想象不出来也没有关系，下一副图就非常清楚了。
将a缩小1/2成b的大小，再复制4份，按照c中箭头方向组合，结果得到d，和a 一模一样！很神奇吧！这就是分形，它在模仿自己。
这种每一部分都具有“自相似性”类似性质的图形，就叫做分形。
什么是自相似性呢，粗浅的定义是，一个图形的资深可以看成是由许多于自己相似的、大小不一的部分组成。
还有一个很奇妙的分形图形是这样的1、将一段直线分成三等份；2、以三等分中间的一段为边做等边三角形，再把底边擦掉，得到a3、在a的每一段线上重复之前的操作得到b4、在b的每一段线上重复之前的操作得到c......当操作次数趋近于无限时，问题来了：我们得到了一条平滑的曲线，但这条平滑的曲线可不同于我们数学课时所学的曲线哦，它处处是尖点，处处无切线。
是的，我们得到了一条处处不可导的平滑曲线！而且这条曲线由于每一次变化都导致它的总长度变成了前一次的三分之四倍，所以当变换次数趋近于无穷大时，他的长度也趋近于无穷大（4/3的n次方，n趋近于无穷大）......可是我们明明看到他是一段有起点有终点而又处处连续的曲线诶......这个变态的曲线是一位叫做科赫的瑞典数学家1904年发明的，当时的论文题目叫做“关于一个可由基本几何方法构造出的、无切线的连续曲线”，这条曲线被叫做科赫曲线。
科赫在这条变态的路上继续走了下去。
他不满足与对线的颠覆，他用一个六角星来作图，把它的每一条边看作一段科赫曲线第一步的直线，然后按照科赫曲线的生成规律来画图，他最后得到了一朵科赫雪花。
这个科赫雪花有什么特点呢：1、同样的，周长无限大；2、曲线上任意两点之间的距离无限大。
3、曲线任意一点都连续，但处处不可导（即没有确定的切线方向，到处都是尖点）4、周长虽然无限大，但面积是一个确定值（这里就不罗列公式了）听到这里做计量经济学的同志们发愁了，要是真实的世界里都是这样找抽的曲线，那我们该上哪里去做切线求解得到那个确定值呢......好在现实的世界未必是酱紫的。
这时地理学家跳出来说了，真实的世界还未必就不是这样，至少英国的海岸线就是一个分形。
英国的海岸线究竟有多长，你可能会天真的认为，只要精确测量，总会有个数值吧！答案是，NO英国海岸线的长度，取决于度量标尺的尺度，如果测量标准的尺度越小，测出来的海岸线越长，这个抽象的想想能够理解吧。
不能的话就想想科赫曲线，每当减小度量的尺度，测量的总长度都会增大。
因此，英国的海岸线是一个分形，任何一段的长度都是无穷大，总长度当然也是无穷大了。
这个世界到底是肿么了~大自然中，分形无处不在，让我们来看看，大自然是如何用简单的步骤来构建自己的复杂形态的。
你们看，这是用电脑按照简单迭代画出的树叶，像不像蕨类植物，无需画家和摄影师哦。
看看大自然中的蕨类植物我也可以在非写生的状态下画出一棵树来。
这个时候，我想，上帝造物到真心未必那么难。
看看大自然中的分形吧。
前面的电脑画图和大自然造物的区别主要在于，电脑是用简单的线性迭代法生成的分形蕨类，而大自然更多时候将简单的线性迭代法和随机过程结合了起来，这样看来，我画的树倒是更接近大自然的思路，充满随机性嘛。
在我们技术分析派里，有一个很重要的指标，叫斐波那契回档，本质就是黄金分割，再本质是斐波那契数列，也和波浪理论息息相关，这个数列就是在以一种简单的方式来反复的迭代自己的过去。
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...你看，从2开始，每一个数都等于他前面俩数相加。
当数列趋近于无穷时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割0.618，如果用前一项比后一项，则是0.382。
所以，你看在一个涨幅回撤、或跌幅回调时，38.2%，50%，61.8%总是显示出实际上的支撑力量。
其实波浪理论的本质也就是市场价格的变动是个分形，他在以一种随机的方式，不断重复自己，你看似没有规律，规律却总是在那里，但你向前探索的时候，又抓不到那个随机性。
在人类的世界里，我们在建筑和绘画中，总是能发现黄金分割的影子，因为这些比例让我们觉得最舒服，我们也是大自然的造物，我们也是分形的，这个后面会讲。
但很多人没有注意到，音乐当中，也随处可见分形。
人们通过计算机，研究音乐大师们的作品，发现分形结构普遍存在于经典音乐作品中。
比如巴赫和贝多芬的作品。
上世纪90年代，加州尔文分校的“神经生物学系记忆中心”的研究人员们，发现莫扎特的音乐对年轻孩童们，具有一种神奇的力量，可以加强注意力，提高创造力。
听一段莫扎特的音乐，好比是做了一场促进协调、提高脑部功能的运动。
这个结论公布之后，美国有些学校，在课堂上播放莫扎特的音乐，作为背景音乐，据说对加强课堂纪律，安抚学生情绪，起到良好作用。
莫扎特的音乐简单而纯粹，不像巴赫音乐的繁复，也不像贝多芬的使人荡气回肠。
有人利用计算机研究分析了几首莫扎特的小提琴协奏曲的曲式结构，发现99%都符合，或近似符合黄金分割律。
用更通俗的话来说，就是曲调的重要段落所在位置，大都在整部曲子的0.618处。
此外，附属主题、音调转接、主题再现、副歌开始等等，也大都相对发生于各段的黄金分割点。
也许，莫扎特的小提琴协奏曲给人的‘简单和美’的感觉，就根源于这些简单的黄金分割？分形的世界展开来讲还有非常多有意思的东西，但因为时间关系就先介绍这些，下面再让我们来看看混沌。
二、混沌——拉普拉斯妖之殇如果说分形的科赫曲线伤害了计量经济学家的情感，那么还有一个叫做拉普拉斯妖的怪物将在接下来的混沌世界里，让基本分析师也惆怅了。
牛顿说宇宙是个大机器，每种事件都是有序的、规则的、可测而可预测的，他建立了牛顿力学体系，并制造了放之四海而皆准的牛顿三大定律。
在牛顿的时代，宿命论、神秘主义是时代的主题，大家赞美造物主的伟大非凡，牛顿最后也拜在造物主脚下（当然，这个事情可以有多种解读，但这不是今天的重点，就当作一个叙事需要吧）在牛顿之后，有个叫拉普拉斯的NB科学家，把牛顿力学引用到整个太阳系，研究太阳系及其他天体的稳定问题，然后写了一本《天体力学》（嗯，他被称为天体物理之父）。
拿破仑读了这本书后奇怪的问他，《天体力学》为何只字不提上帝？拉说：在我的体系里不需要上帝这个假设。
他为什么会这样说呢？拉普拉斯有一句堪比阿基米德“给我一个支点，我就能撬起地球来”的名言，他是这样说的：假设知道宇宙中每个原子现在的确切位置和动量，智能者便能根据牛律，计算出宇宙事件的整个过程，在计算结果中，过去和未来都一目了然。
我们姑且把这个智者称为拉普拉斯妖吧遗憾的是，物理学的进一步发展杀死了这只无比聪明的拉普拉斯妖，或许它从来没有存在过。
量子物理的测不准原理告诉大家'粒子的位置和动量不可被同时测出'，一旦测量确定了他的位置，他的动量就改变，确定了他的动量，他的位置也发生变化，也就是，我们永远无法在同一时刻知道一个粒子的确切位置和动量，何谈宇宙中的每一个原子呢？（D旁白：这是翻译的问题，翻译成精灵就好多了，拉普拉斯精灵。
分享人：我喜欢妖。
某女群友：我也喜欢妖！）我在去年波普尔的那篇分享中，说到索罗斯所言的反身性理论，其中之一就是，由于我们处在这个世界之中，所以无法客观的观察这个世界，我们的每一次观察都会改变这个世界。
也是同样的原理。
前几天有一个做基本分析的朋友跟我说，她想厘清这个市场中所有的影响因素，知道他们此刻的状态，就能够知道市场未来的发展路径了。
这难道不是同样一个悖论！这到底是为什么呢，我们接下来就要讲混沌了：有一个数学出生的气象学家，叫洛伦茨，因为他数学牛掰嘛，所以他觉得只要取到当下所有的变量（就和基本分析师所想一样），他一定能够用数学公式推导出未来天气的变化情况，而且他确实是个天才，他把气象学中非常复杂的公式简化成仅由三个微分方程组成的方程组，如下（不想看的可以跳过，不一定要看的）：dx/dt = 10(y - x) dy/dt = R*x –y –xzdz/dt = (8/3)z + xy 然后让计算机自己跑数，得到了一组结果。
后来，这个严谨的科学家略微修改了第二部分计算的其中一个内容，准备重算一次；由于那个时候计算机还不够快，而他的基础数据估计非常多，以至于他不想重跑第一部分计算了，就直接取了以前计算的结果。
嗯，假设你用计算机算了一堆数，比如1.2356，2.2478，3.3690。
放在excel里，第一次是计算机直接取数带入接下去的计算中的，第二次你直接把这些数输入到接下去的计算中。
洛伦茨大概就是这样做的，他惊讶的发现，两次计算的结果完全不同，简直是差得太远了。
这个问题在什么地方呢，我们都懂的，当excel 单元格里显示1.2356时，实际结果可能是1.2355778...，如果直接引用单元格，那么取的是这个更长数位的小数，如果手工输入，取的是看到的4位小数。