算法分析解题报告--棋盘问题

河南理工大学计算机学院算法分析解题报告
棋盘覆盖问题
专业：软件工程.net11-03班
学号：311109070314
姓名：李少伟
1.问题描述：
在一个2^k×2^k （k≥0）个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为特殊方格。

显然，特殊方格在棋盘中可能出现的位置有4^k种，因而有4k种不同的棋盘，下图所示是k=2时16种棋盘中的一个。

棋盘覆盖问题（chess cover problem）要求用下图所示的4种不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

2.解题思路
关键技术: 分治与递归
分治的技巧在于如何划分棋盘，使划分后的子棋盘的大小相同，并且每个子棋盘均包含一个特殊方格(这句话很重要)，从而将原问题分解为规模较小的棋盘覆盖问题。

先把原始棋盘划分成4个相等的棋盘，由于棋盘只有一个特殊棋盘，所以这4个子棋盘中只有一个子棋盘包含该特殊棋盘，以便采用递归的方法求解，可以用1一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的汇合处。

从而将原问题转换为4个较小规模的棋盘覆盖问题。

递归使用这种划分策略，直至将棋盘分割为1*1的子棋盘。

3.解决方案
数据结构设计：
（1）棋盘：可以一个二维数组board[size][size]表示一个棋盘，其中，size = 2^k。

为了在递归处理的过程中使用同一个棋盘，将数组board设置为全局变量
（2）子棋盘：子棋盘由原始棋盘数组board的行下标tr，列下标tc 表示。

（3）特殊方格：用board[dr][dc]表示特殊方格，dr和dc表示该特殊方格的在二维数组board中的下标
（4）L型骨牌：一个（2^k）*（2^k）的棋盘中有一个特殊方格，所以用到L型骨牌的个数为（4^k - 1）/3，将所有L型骨牌从1开始连续编号，同一个骨牌有3个方格组成，这3个方格用同一个编号。

4.源代码
//问题描述：在一个2^k×2^k （k≥0）个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为特殊方格。

显然，特殊方格在棋盘中可能出现的位置有4^k种，因而有4k种不同的棋盘，图4.10(a)所示是k=2时16种棋盘中的一个。

棋盘覆盖问题（chess cover problem）要求用下图所示的4种不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠
覆盖。

//解题思路：分治的技巧在于如何划分棋盘，使划分后的子棋盘的大小相同，并且每个子棋盘均包含一个特殊方格(这句
话很重要)，从而将原问题分解为规模较小的棋盘覆盖问题。

先把原始棋盘划分成4个相等的棋盘，由于棋盘只有一个特殊
棋盘，所以这4个子棋盘中只有一个子棋盘包含该特殊棋盘，以便采用递归的方法求解，可以用1一个L型骨牌覆盖这3个
较小棋盘的汇合处。

从而将原问题转换为4个较小规模的棋盘
覆盖问题。

递归使用这种划分策略，直至将棋盘分割为1*1的
子棋盘。

//关键技术：分治与递归
//开发语言：c++
//运行环境：DEV-C++ 5
//开发日期：2014年4月10日
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 100
int board[N][N];
int t;
void ChessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
{
int m,s;
if(size==1) return;
m=++t;
s=size/2;
if(dr<tr+s&&dc<tc+s) chessboard(tr,tc,dr,dc,s);
else
{
board[tr+s-1][tc+s-1]=m;
chessboard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s); }
if(dr<tr+s&&dc>tc+s) chessboard(tr,tc,dr,dc,s);
else
{
board[tr+s-1][tc+s]=m;
chessboard(tr,tc,tr+s-1,tc+s,s); }
if(dr>tr+s&&dc<tc+s) chessboard(tr,tc,dr,dc,s);
else
{
board[tr+s][tc+s-1]=m;
chessboard(tr,tc,tr+s,tc+s-1,s);
}
if(dr>tr+s&&dc>tc+s)
chessboard(tr,tc,dr,dc,s);
else
{
board[tr+s][tc+s]=m;
chessboard(tr,tc,tr+s,tc+s,s);
}
}
void print(int n)
{
int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
{
for (j=0;j<n;j++)
{
printf("%d ",board[i][j]);
printf("\n");
}
}
}
int main()
{
int tr,tc,dr,dc,size;
tr=0;
tc=0;
pringtf("请输入棋盘的大小");
scanf("%d",&size);
pringtf("请输入特殊方格的行号");
scanf("%d",&dr);
pringtf("请输入特殊方格的列号");
scanf("%d",&dc);
board[dr-1][dc-1]=0;
chessboard(tr,tc,dr-1,dc-1,size);
print(size);
system("pause");
return 0;
}
5.问题回顾
遇到什么问题，怎么克服。