2020年河南省南阳市高二(下)期中数学试卷(理科)

期中数学试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z满足，则|z|=（）A. 1B.C. 3D.2.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程是（）A. 4x-y-3=0B. x+4y-5=0C. 4x-y+3=0D. x+4y+3=03.如图，阴影部分的面积为（）A. 2B. 2-C.D.4.已知f（x）=e x+2xf′（1），则f′（0）等于（）A. 1+2eB. 1-2eC. -2eD. 2e5.如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项，则{a n}的通项公式可以是（）A. a n=3n-1B. a n=2n-1C. a n=3nD. a n=2n-16.已知函数f（x）与其导函数f'（x）的图象如图，则满足f'（x）＜f（x）的x的取值范围为（）A. （0，4）B. （-∞，0），（1，4）C. D. （0，1），（4，+∞）7.用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A. 增加了一项B. 增加了两项C. 增加了两项，又减少了一项D. 增加了一项，又减少了一项8.曲线在点处的切线的斜率为2，则的最小值是( )A. 10B. 9C. 8D.9.已知函数g（x）=a-x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A. [1，+2]B. [1，e2-2]C. [+2，e2-2]D. [e2-2，+∞）10.如图是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图一是第1代“勾股树”，重复图一的作法，得到图二为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为（）A. nB. n2+1C. n+1D. n+211.已知奇函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数是f′（x）．当x＞0时，f′（x）＜2f（x）恒成立，则下列不等关系一定正确的是（）A. e2f（1）＞-f（2）B. e2f（-1）＞-f（2）C. f（2）＜e2f（1）D. f（-2）＜-e2f（-1）12.已知定义城为R的函数f（x）的图象连续不断，且∀x∈R，f（x）+f（-x）=4x2，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜4x（f′（x）为f（x）的导函数）设g（x）=f（x）-2x2，若g（2m+1）≤g（-m），则实数m的取值范围为（）A. B. [-1，+∞） C. D. （-∞，-1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y∈R，i为虚数单位，，则x+y= ______ ．14.计算：=______．15.设S n是公差为d的等差数列{a n}的前n项和，则数列S6-S3，S9-S6，S12-S9是等差数列，且其公差为9d．通过类比推理，可以得到结论：设T n是公比为2的等比数列{b n}的前n项积，则数列，，是等比数列，且其公比的值是______ ．16.设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）满足f（1）+f（3）=2f（2），现给出如下结论①若f（x）是（0，1）上的增函数，则f（x）是（3，4）的增函数；②若a•f（1）≥a•f（3），则f（x）有极值；③对任意实数x0，直线y=（c-12a）（x-x0）+f（x0）与曲线y=f（x）有唯一公共点．其中正确的结论是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知x＞0，y＞0，且xy=1，求的最小值及相应的x，y的值．18.已知函数f（x）=x3+mx2+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g（x）=f′（x）+6x的图象关于y轴对称．（1）求m、n的值及函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）在区间（0，a）内的极值．19.用数学归纳法证明：++…+＜．20.2016年双十一期间，某电子产品销售商促销某种电子产品，该产品的成本为2元/件，通过市场分析，双十一期间该电子产品销售量y（单位：千件）与销售价格x （单位：元）之间满足关系式：y=+2x2-35x+170（其中2＜x＜8，a为常数），且已知当销售价格为3元/件时，该电子产品销售量为89千件．（Ⅰ）求实数a的值及双十一期间销售该电子产品获得的总利润L（x）；（Ⅱ）销售价格x为多少时，所获得的总利润L（x）最大？并求出总利润L（x）的最大值．21.已知函数f（x）=x2-2x+2a ln x，若函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：．22.已知函数f（x）=（t+1）x-ln x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若∀x∈[1，e]，不等式f（x）≥3x+恒成立，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足，∴z-i=2i+1，可得z=3i+1．则|z|==．故选D．2.【答案】A【解析】解：设与直线x+4y-8=0垂直的直线l为：4x-y+m=0，即曲线y=x4在某一点处的导数为4，而y′=4x3，∴y=x4在（1，1）处导数为4，将（1，1）代入4x-y+m=0，得m=-3，故l的方程为4x-y-3=0．故选：A．欲求l的方程，根据已知条件中：“切线l与直线x+4y-8=0垂直”可得出切线的斜率，故只须求出切点的坐标即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切点坐标．从而问题解决．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查定积分求面积，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．【解答】解：由题意阴影部分的面积等于=（3x-x3-x2）=（3--1）-（-9+9-9）=，故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了导数运算，理解原函数解析式中的f′（1）只是一个常数是关键，是基础题．把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′（1）的值，继而求出f′（0）的值．【解答】解：由f（x）=e x+2xf′（1），得：f′（x）=e x+2f′（1），取x=1得：f′（1）=e+2f′（1），所以，f′（1）=-e．故f′（0）=1+2f′（1）=1-2e，故选B．5.【答案】A【解析】解：着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项，分别为：a1=1，a2=3，a3=3×3=32，a4=32×3，因此{a n}的通项公式可以是：a n=3n-1．故选：A．着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项，分别得出，即可得出{a n}的通项公式．本题考查了等比数列的通项公式，考查了观察分析猜想归纳推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】【分析】本题函数的单调性与导函数的关系，是基础题．利用导函数的图象以及原函数的图象的关系，判断推出结果即可．【解答】解：如图，记两个函数分别为g(x)和h(x)，若g（x）为导函数，则h（x）应在单调递减，明显与图像不符，所以f（x）=g（x），f'（x）=h（x），由图像可知，则满足f'（x）＜f（x）的x的取值范围为：（0，1），（4，+∞）．故选：D．7.【答案】C【解析】解：，=故选：C．本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“++…+＞（n＞2）左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共n项，当由n=k到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查基本不等式的运用：求最值，注意运用“1”的代换，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．求出f（x）的导数，可得切线的斜率，即有2a+b=2，则=（2a+b）（+）=（8+2++），运用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：f（x）=2a ln x+bx（a＞0，b＞0）的导数为f′（x）=+b，可得在点（1，f（1））处的切线的斜率为2a+b，即有2a+b=2，则=（2a+b）（+）=（8+2++）≥（10+2）=×（10+8）=9．当且仅当b=4a=时，取得最小值9．故选B．9.【答案】B【解析】解：由已知，得到方程a-x2=-2ln x⇔-a=2ln x-x2在上有解．设f（x）=2ln x-x2，求导得：f′（x）=-2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，∵f（）=-2-，f（e）=2-e2，f（x）极大值=f（1）=-1，且知f（e）＜f（），故方程-a=2ln x-x2在上有解等价于2-e2≤-a≤-1．从而a的取值范围为[1，e2-2]．故选：B．由已知，得到方程a-x2=-2ln x⇔-a=2ln x-x2在上有解，构造函数f（x）=2ln x-x2，求出它的值域，得到-a的范围即可．本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a-x2=-2ln x⇔-a=2ln x-x2在上有解．10.【答案】C【解析】解：第1代“勾股树”中，正方形的个数3=21+1-1=3个，如图一，设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，根据勾股定理得a2+b2=c2，所有正方形的面积之和为2=（1+1）×1，第2代“勾股树”中，正方形的个数7=22+1-1，如图二，所有的正方形的面积之和为3=（2+1）×1，…以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1-1，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）×1=n+1．故选：C．第1代“勾股树”中，正方形的个数3，所有正方形的面积之和为2=（1+1）×1，第2代“勾股树”中，正方形的个数7，所有的正方形的面积之和为3=（2+1）×1，以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1-1，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为n+1．本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．11.【答案】C【解析】解：解：设g（x）=，∴g′（x）=＜0恒成立，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（1）＞g（2），∴＞，∴e2f（1）＞f（2），C正确；又f（-x）=-f（x）∴-＜-，即e2f（-1）＜f（-2）=-f（2），排除A、B、D，故选：C．设g（x）=，求导，可判断其的单调性，再结合函数的奇偶性即可得到答案．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，体现了转化思想及运算求解能力，数中档题．12.【答案】A【解析】解：依题意，f（x）+f（-x）=4x2，故g（x）+2x2+g（-x）+2×（-x）2=4x2，故g（x）+g（-x）=0，可知，函数g（x）为奇函数．因为当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜4x，即当x∈（0，+∞）时，[f（x）-2x2]'＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，由奇偶性可知，函数g（x）在R上单调递减．因为g（2m+1）≤g（-m），故2m+1≥-m．故，故实数m的取值范围为．故选：A．由题意分别确定函数g（x）的奇偶性和函数的单调性，然后脱去函数符号g求解实数m 的取值范围即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，函数的奇偶性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．13.【答案】2【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：==1-i，∴，解得x=1，y=1．则x+y=2．故答案为：2．14.【答案】π【解析】解：∵y=表示x轴上方的半圆，∴dx=∴=2dx-sin xdx=2×-（-cos x）=π-0=π．故答案为：π根据y=表示x轴上方的半圆，可得dx=，利用=2dx-sin xdx，即可求得结论．本题考查定积分的计算，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是根据y=表示x轴上方的半圆，确定dx=．15.【答案】512【解析】【分析】本题主要考查等比数列的性质、类比推理，属于基础题．由等差数列的性质可类比等比数列的性质，因此可根据等比数列的定义求出公比即可．【解答】解：由题意，类比可得数列，，是等比数列，且其公比的值是29=512.故答案为512．16.【答案】①②③【解析】解：函数函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）满足f（1）+f（3）=2f（2），∴（a+b+c+d）+（27a+9b+3c+d）=2（8a+4b+2c+d），化简得6a+b=0，解得b=-6a；对于①，f′（x）=3ax2+2bx+c=3ax2-12ax+c，是二次函数，对称轴为，且（0，1）和（3，4）关于对称轴对称，当f（x）是（0，1）上的增函数时，f′（x）＞0，∴x∈（3，4）时，f′（x）＞0．∴f（x）是（3，4）的增函数，故①正确；对于②，当a＞0时，a•f（1）≥a•f（3）化为f（1）≥f（3），即a+b+c+d≥27a+9b+3c+d．∴26a+8b+2c≤0，∴13a-24a+c≤0，即11a≥c；∴△=（12a）2-12ac=12a （11a-c）（）（），由a＞0，∴△=12a（11a-c）≥0，f（x）有极值；当a＜0时，a•f（1）≥a•f（3）化为f（1）≥f（3），即11a≤c，∴△=（12a）2-12ac=12a（12a-c）≥0，f（x）有极值；故②正确；对于③，f″（x）=6ax-12a，令f″（x）=0，解得x=2；又f′（2）=c-12a，过点（2，f（2））作曲线的切线，切线方程为y=（c-12a）（x-x0）+f（x0），∴切线与曲线y=f（x）有唯一公共点，故③正确；故答案为：①②③．分析题意化简f（1）+f（3）=2f（2），得出b=-6a；对于①，根据f′（x）是二次函数，对称轴为x=-2，（0.1）和（3.4）关于对称轴对称；当f（x）是（0，1）上的增函数时，得出f（x）是（3，4）的增函数；对于②，讨论a＞0和a＜0时，f′（x）=0有实数根，判断f（x）有极值；对于③，根据f″（x）=0得x=2，求出f′（2），写出过点（2，f （2））处的切线方程，得出结论正确．本题为导数与三次函数结合，考查利用导数研究函数性质，本题参数较多，需要根据题干条件进一步挖掘三次函数及二次函数性质，分类讨论也是解决此类问题的重要方法．17.【答案】解：已知x＞0，y＞0，且xy=1，所以x+y，当且仅当x=y=1时取等号，设t=x+y，t∈[2，+∞），则=，设f（t）=，t∈[2，+∞），则f（t）在[2，+∞）单调递增，故f（t）的最小值为f（2）=2-1=1，此时x+y=2，xy=1，解得x=1，y=1，故当x=1，y=1时，的最小值为1．【解析】先由已知条件求出x+y≥2，设t=x+y，t∈[2，+∞），则=，构造函数f（t），判断函数的单调性求出最值，得出答案．本题考查基本不等式及其应用，还考查了构造函数法求最值，考查运算能力和逻辑推理能力，中档题．18.【答案】解：（1）由函数f（x）图象过点（-1，-6），得m-n=-3，……………………①由f（x）=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n，则g（x）=f′（x）+6x=3x2+（2m+6）x+n；而g（x）图象关于y轴对称，所以=0，所以m=-3，代入①得n=0．----------------------（3分）于是f′（x）=3x2-6x=3x（x-2），由f′（x）＞0得x＞2或x＜0，故f（x）的单调递增区间是（-∞，0），（2，+∞）；由f′（x）＜0得0＜x＜2，故f（x）的单调递减区间是（0，2）．----------------（6分）（2）由（1）得f′（x）=3x（x-2），令f′（x）=0得x=0或x=2．当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：x（-∞，0） 0（0，2）2（2，+∞）f′（x）+0-0+f（x）=↑极大值↓极小值↑由此可得：当0＜a≤2时，f（x）在（0，a）上无极值；---------------（10分）当a＞2时，f（x）在（0，a）上有极小值f（2）=-6，无极大值．---------------（12分）【解析】（1）将点（-1，-6）代入函数f（x）=x3+mx2+nx-2解析式，结合函数g（x）=f′（x）+6x的图象关于y轴对称，可求得m、n的值，继而可求函数y=f（x）的单调区间；（2）由（1）得f′（x）=3x（x-2），令f′（x）=0得x=0或x=2，当x变化时，将f′（x）、f（x）的变化情况列成表，即可求得函数y=f（x）在区间（0，a）内的极值．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值，考查等价转化思想及函数与方程思想的应用，考查运算能力与规范表达能力，属于中档题．19.【答案】证明：①当n=1时，显然成立；②假设当n=k时，该不等式仍成立，即，则n=k+1时＜==，故不等式对n=k+1仍成立，综合①②知，对n∈N*成立．【解析】①当n=1时，显然成立；②假设当n=k时，该不等式仍成立，然后证明n=k+1时，不等式++…++＜成立即可．本题考查了利用数学归纳法证明不等式，考查了转化思想和推理能力，属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）因为x=3时，y=89，y=+2x2-35x+170（其中2＜x＜8，a为常数），所以a+83=89，故a=6；∴该商品每日的销售量y=+2x2-35x+170，∴商场每日销售该商品所获得的利润为L（x）=（x-2）（+2x2-35x+170）（Ⅱ）L（x）=6+（x-2）（2x2-35x+170），2＜x＜8．从而，L′（x）=6（x-5）（x-8），于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：x（2，5）5（5，8）f'（x）+0-f（x）单调递增极大值141 单调递减由上表可得，是函数（）在区间（，8）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=5时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于141．答：当销售价格为5元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【解析】（Ⅰ）由x=3时，y=89，代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数；（Ⅱ）用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，求出利润的函数式和正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．21.【答案】（1）解：因为函数f（x）在定义域（0，+∞）上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，所以在（0，+∞）上有两个根x1，x2，且x1＜x2，又，即x2-x+a=0在（0，+∞）上有两个不相等的根x1，x2．所以,解得;（2）证明：由题可知x1，x2（0＜x1＜x2）是方程x2-x+a=0的两个不等的实根，所以,其中,故=（x1+x2）2-2x1x2-2（x1+x2）+2a ln（x1x2）=2a lna-2a-1，令g（a）=2a lna-2a-1，其中,故g'（a）=2ln a＜0，所以g（a）在上单调递减，则，即．【解析】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道较难题．（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质，确定a的范围即可；（2）结合二次函数的性质，求出f（x1）+f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．22.【答案】解（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，当t≤-1时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当t＞-1时，由f'（x）＞0，得，函数f（x）在上单调递增．由f'（x）＜0得，函数f（x）在上单调递减．（2）不等式恒成立，即，由题意知，不等式．，又x∈[1，e]时，x lnx≥0，x＜4，∴x-x lnx-4＜0∴g'（x）＜0，∴g（x）在[1，e]上是减函数，∴t≥g（1）=4，即实数t的取值范围是[4，+∞）．【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关可求函数的单调性；（2）由已知不等式可先分离参数，然后构造函数，转化为求解函数的最值，结合导数可求．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及由不等式的恒成立求解参数范围问题，分离常量是常见的处理方法．。