对二次曲面教学中截痕法的探讨
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二次曲面
一点或椭圆 抛物线 抛物线
图形：
z
o
z
y
x
y
x
o
2、双曲抛物面 2 2 x y 2 z 方程 2 a b
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
两条直线或双曲线 抛物线 抛物线
图形：
z
o
x
y
三、双曲面 1、单叶双曲面
x2 y2 z2 方程 2 2 1 2 a b c
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
椭圆 双曲线 双曲线
图形：
zz
o
y
x
2、双叶双曲面
x2 y2 z2 方程 2 2 2 1 a b c
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
图形：
o
x
y
一点或椭圆 一点或椭圆 一点或椭圆
z
二、抛物面 1、椭圆抛物面
方程
x2 y2 2 z 2 a b
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
一点或椭圆 双曲线 双曲线
图形：
z
o
y
x
四、椭圆锥面
方程
x2 y2 z2 2 2 0 2 a b c
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
求二次曲面切平面的截面法
＝
◎ 张 佳 鑫 何 莎 （ 西 南 交通 大 学峨 眉校 区 ，峨 眉 ６ １ ４ ２ ０ ２ ）
【 摘 要】 本 文 对 利 用 多元 函数 微 分 法求 曲 面 的 切 平 面 的
问题 提 出 了一 个 新 的 思路 ， 根据切平 面 的几何性质 ， 运 用 空 间 几何 知 识 ， 通过 傲 截面 的方 法对 空间 曲面切平 面 的法 向 量进 行 求 解 ， 从 而 得 到 切 平 面 方 程．
，
ｌ
：
：
Ｊ
一
｛ － ｛ Ｆ ， Ｆ ， ， Ｆ ： ｝ ．
３ ． 检 验 求曲面 ｅ 一：＋ｘ ｙ＝３在 点 （ ２ ， １ ， ０ ） 处 的 切 平 面 及 法
０ 拍
向量 ． 解： 如 罔所 示 ， 用 平 面 ＝ ２及 平 面 Ｙ＝ｌ 截取 曲面 ｅ 一
ｚ＋ｘ ｙ ＝３．
ｅ ｘ ｐ （ 。 ）一 ＋ｘ ｙ＝３
，
Ｐ… 的 切 甲 面 ．
现过点 Ｐ 在 曲面 任 做一 条 ｝ Ｈ １ 线 ｆ ， 设 ｆ的 方 程 为 ＝ （ ｔ ） ， Ｙ＝ Ｙ （ ｔ ） ， ＝ （ ｔ ） ， Ｐ 。对 应 参 数 ｔ 。 ． 冈ｚ 在 曲面 Ｆ （ ， Ｙ ， Ｚ ）＝ ０上 ， 故Ｆ （ （ ｔ ） ， Ｙ （ ｔ ） ， （ ｔ ） ）＝ ０ ， 对 ｆ 求导 ， 在 Ｐ … 有
同理 ， 辟 Ｊ 平 面 Ｙ＝Ｙ 。 与 曲面 相 交 时 ， 交线在 Ｐ 。 点 对 轴 的切 线 斜 率 为 ｚ ： ＝＿ ＿ ＿ ＿ ． 故此交线在 Ｐ 。点 的 切线 的 方 向 向
量为 （ １ ， ０， ） ．
了讨 论 ． 求 面 在 Ｐ … 处 的切 平 面 的 常 规 方 法 是 首 先 在 曲 面 内任 取 一 条 过 定 点 Ｐ 的 曲 线 ， 然 后 对 曲 线 的 方 程 进 行 求 导， 求导的结果 可以看作恢曲线在 Ｐ 处 的 切 向 量 和 切 平 面 的法 向量 的 数 量 积 ， 从而得出切平 面的法 向量 ， 进 而得 Ｈ ｊ 切平 面方程． 本 文 从 空 间 几 何 彤 的 角 度 发 ， 给 了 另 一 种 求 解 曲面法向量的方法—— 截面法． 若 假 设 有 曲 面 Ｆ（ ， ｙ ， ： ）＝ Ｏ ， 及其 上一定点 Ｐ 。 （ 。 ． Ｙ 。 ， ） ， 现欲求 解 曲面在 Ｐ 。 点 处 的 切 平 面． 截 而法的 基本 思想 是 ， 当我们 以 空间 内过 定 点 Ｐ 且 垂直于一坐标 轴 的平面 去截 曲面 ， 使 曲 面 与 该 平 面 产 生 交线 ， 可求 得交线在 Ｐ 。 点 的切线 ， 此 切线属 于 曲面在 Ｐ 。 点 的切平面 ； 同理 ， 用过 定点 Ｐ 且 垂 直 于 另 一 坐 标 轴 的 平 面与曲面相交 ， 得 到 另 一曲 线 ， 并 求 曲线 的 切 线 ， 此 切 线 也 为 切平 面 内 一 直 线 ． 由 于 两 直 线 都 过 已知 定点 Ｐ 空 间 内 两 相交直线可确定一平 面 ， 所 以 南这 两 条直 线 可 确 定 切 平 面． 通 过求 解 两 条 切 线 方 向 向 量 的 向 量 积 可 取 得 Ｐ 点 处 切 平 面的法向量 ， 从而确定 ｌ 珀面 在 Ｐ 点 的 切 平 面 方 程 ． １ ． 常 规 解 法 因 切 点 坐标 已 知 ， 即切 平 面 所 过 定 点 已 知 ， 故 只需 求 解 切 平 面 的 法 向昔 ． 设曲面 Ｆ （ ， ｙ ， ｚ ）＝ ０上 一 点 为 Ｐ 。 （ 。 ， Ｙ ， ｚ 。 ） ， 并设 Ｆ ， Ｆ 在 Ｐ … 点处 存 在 且 连 续 ， 且 不 同时为 零 ， 要 求 曲 面 在
◎ 张 佳 鑫 何 莎 （ 西 南 交通 大 学峨 眉校 区 ，峨 眉 ６ １ ４ ２ ０ ２ ）
【 摘 要】 本 文 对 利 用 多元 函数 微 分 法求 曲 面 的 切 平 面 的
问题 提 出 了一 个 新 的 思路 ， 根据切平 面 的几何性质 ， 运 用 空 间 几何 知 识 ， 通过 傲 截面 的方 法对 空间 曲面切平 面 的法 向 量进 行 求 解 ， 从 而 得 到 切 平 面 方 程．
，
ｌ
：
：
Ｊ
一
｛ － ｛ Ｆ ， Ｆ ， ， Ｆ ： ｝ ．
３ ． 检 验 求曲面 ｅ 一：＋ｘ ｙ＝３在 点 （ ２ ， １ ， ０ ） 处 的 切 平 面 及 法
０ 拍
向量 ． 解： 如 罔所 示 ， 用 平 面 ＝ ２及 平 面 Ｙ＝ｌ 截取 曲面 ｅ 一
ｚ＋ｘ ｙ ＝３．
ｅ ｘ ｐ （ 。 ）一 ＋ｘ ｙ＝３
，
Ｐ… 的 切 甲 面 ．
现过点 Ｐ 在 曲面 任 做一 条 ｝ Ｈ １ 线 ｆ ， 设 ｆ的 方 程 为 ＝ （ ｔ ） ， Ｙ＝ Ｙ （ ｔ ） ， ＝ （ ｔ ） ， Ｐ 。对 应 参 数 ｔ 。 ． 冈ｚ 在 曲面 Ｆ （ ， Ｙ ， Ｚ ）＝ ０上 ， 故Ｆ （ （ ｔ ） ， Ｙ （ ｔ ） ， （ ｔ ） ）＝ ０ ， 对 ｆ 求导 ， 在 Ｐ … 有
同理 ， 辟 Ｊ 平 面 Ｙ＝Ｙ 。 与 曲面 相 交 时 ， 交线在 Ｐ 。 点 对 轴 的切 线 斜 率 为 ｚ ： ＝＿ ＿ ＿ ＿ ． 故此交线在 Ｐ 。点 的 切线 的 方 向 向
量为 （ １ ， ０， ） ．
了讨 论 ． 求 面 在 Ｐ … 处 的切 平 面 的 常 规 方 法 是 首 先 在 曲 面 内任 取 一 条 过 定 点 Ｐ 的 曲 线 ， 然 后 对 曲 线 的 方 程 进 行 求 导， 求导的结果 可以看作恢曲线在 Ｐ 处 的 切 向 量 和 切 平 面 的法 向量 的 数 量 积 ， 从而得出切平 面的法 向量 ， 进 而得 Ｈ ｊ 切平 面方程． 本 文 从 空 间 几 何 彤 的 角 度 发 ， 给 了 另 一 种 求 解 曲面法向量的方法—— 截面法． 若 假 设 有 曲 面 Ｆ（ ， ｙ ， ： ）＝ Ｏ ， 及其 上一定点 Ｐ 。 （ 。 ． Ｙ 。 ， ） ， 现欲求 解 曲面在 Ｐ 。 点 处 的 切 平 面． 截 而法的 基本 思想 是 ， 当我们 以 空间 内过 定 点 Ｐ 且 垂直于一坐标 轴 的平面 去截 曲面 ， 使 曲 面 与 该 平 面 产 生 交线 ， 可求 得交线在 Ｐ 。 点 的切线 ， 此 切线属 于 曲面在 Ｐ 。 点 的切平面 ； 同理 ， 用过 定点 Ｐ 且 垂 直 于 另 一 坐 标 轴 的 平 面与曲面相交 ， 得 到 另 一曲 线 ， 并 求 曲线 的 切 线 ， 此 切 线 也 为 切平 面 内 一 直 线 ． 由 于 两 直 线 都 过 已知 定点 Ｐ 空 间 内 两 相交直线可确定一平 面 ， 所 以 南这 两 条直 线 可 确 定 切 平 面． 通 过求 解 两 条 切 线 方 向 向 量 的 向 量 积 可 取 得 Ｐ 点 处 切 平 面的法向量 ， 从而确定 ｌ 珀面 在 Ｐ 点 的 切 平 面 方 程 ． １ ． 常 规 解 法 因 切 点 坐标 已 知 ， 即切 平 面 所 过 定 点 已 知 ， 故 只需 求 解 切 平 面 的 法 向昔 ． 设曲面 Ｆ （ ， ｙ ， ｚ ）＝ ０上 一 点 为 Ｐ 。 （ 。 ， Ｙ ， ｚ 。 ） ， 并设 Ｆ ， Ｆ 在 Ｐ … 点处 存 在 且 连 续 ， 且 不 同时为 零 ， 要 求 曲 面 在
双曲面简介
x 2 y z 1 2 +
2- 2=
(1 )用坐标面xoy (z = 0)与曲面相截
截得中心在原点。(0,0,0)的椭圆.
2
2
x丄 y =i
2+ a
z =0
V.
与平面z = Z1的交线为椭圆.
♦2 2
2
xy +
1=
+
Z1 c2
a b 2 2
z
〔
=
z1
当Zi变动时，这种椭圆的中心都在z轴上.
222
a2
V
Vy b 、=
-+-=0 ac .
x2 a2
z2
c 1 2 =
一
2
yi b2
ly = yi
yb
、=
(4‘)yi =一b截痕为一对相交于点(0,—b,0)的直线.
XA 0 ---=
Xz -+-=0
Va c , v a c .
212
xyz .
(3 )用坐标面yoz (x = 0) , x = X］与曲面相截均可得双曲线.
ly = yi
(1) y2 Vb2,实轴与x轴平行，虚轴与z轴平行. (2) y2 > b2,实轴与z轴平行，虚轴与x轴平行.
222
a+- % =1
与平面y = y1 (y1工土b)的交线为双曲线. 双曲
线的中心都在y轴上.
(3‘)yi = b,截痕为一对相交于点(0,b,0)的直线.
x_-_z =/0 a c , X z ..
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之. 相应地 平面被称为一次曲面.
讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,
椭球面简介
V
222
x y z a+b+c =1
椭球面与三个坐标面的交线:
22
=1
ac
、y = o
x
y
222
x y z a+b+c =1
椭球面与三个坐标面的交线:
y z2 2 +十
b c =1
<
x=0
y
椭球面与平面Z = Z1的交线为椭圆
f
2
2
X y/
n------+ ------=b12
L 球面的区X I别f =：§与（平-面妒Z）= Z1（|知|< c）的交线为
圆. 截面上圆的方程i J = Z1
222
(2) a = b = c, 1 球面 :+ 七 + 七= aaa
方程可写为x2 + y2 + z2 = a\
截痕法研究椭球面：
用平行于坐标面的平面去截椭球面，观察截痕 的形状大小，然后综合考察曲面的形状特征。
二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之. 相应地平面被称为一次曲面.
讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合, 从而了解曲面的全貌.
222
x y z a+b+c =1
椭球面与三个坐标面的交线:
22
y2十 2 =1 ab
z=0
常见的椭球面方程： x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1 X 2 + 2 y2 + 3 z2 = 1
c
c
J = Z1 I Z1|V c
同理与平面X = Xi和y = yi的交线也是椭圆. 椭
222
x y z a+b+c =1
椭球面与三个坐标面的交线:
22
=1
ac
、y = o
x
y
222
x y z a+b+c =1
椭球面与三个坐标面的交线:
y z2 2 +十
b c =1
<
x=0
y
椭球面与平面Z = Z1的交线为椭圆
f
2
2
X y/
n------+ ------=b12
L 球面的区X I别f =：§与（平-面妒Z）= Z1（|知|< c）的交线为
圆. 截面上圆的方程i J = Z1
222
(2) a = b = c, 1 球面 :+ 七 + 七= aaa
方程可写为x2 + y2 + z2 = a\
截痕法研究椭球面：
用平行于坐标面的平面去截椭球面，观察截痕 的形状大小，然后综合考察曲面的形状特征。
二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之. 相应地平面被称为一次曲面.
讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合, 从而了解曲面的全貌.
222
x y z a+b+c =1
椭球面与三个坐标面的交线:
22
y2十 2 =1 ab
z=0
常见的椭球面方程： x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1 X 2 + 2 y2 + 3 z2 = 1
c
c
J = Z1 I Z1|V c
同理与平面X = Xi和y = yi的交线也是椭圆. 椭
椭球面简介
椭球面方程一、截痕法二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．o zyx 椭球面与三个坐标面的交线：1222222=++cz b y a x ,012222⎪⎩⎪⎨⎧==+z b y a xo z yx ,012222⎪⎩⎪⎨⎧==+y c z a x 1222222=++cz b y a x 椭球面与三个坐标面的交线：o z yx 1222222=++cz b y a x .012222⎪⎩⎪⎨⎧==+x c z b y 椭球面与三个坐标面的交线：椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆1z z =同理与平面和的交线也是椭圆.1x x =1y y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b y z c c a x c z <||1椭球面的几种特殊情况：,)1(b a =1222222=++cz a y a x 旋转椭球面由zox 面上椭圆绕轴旋转而成．12222=+c z a x z 旋转椭球面与椭球面的区别：122222=++cz a y x 方程可写为.)(12122222⎪⎩⎪⎨⎧=-=+z z z c c a y x 截面上圆的方程与平面的交线为圆.1z z =)||(1c z <,)2(c b a ==1222222=++a z a y a x 球面.2222a z y x =++方程可写为三、小结截痕法研究椭球面：用平行于坐标面的平面去截椭球面，观察截痕的形状大小，然后综合考察曲面的形状特征。
常见的椭球面方程：12222=++z y x 132222=++z y x。
再论二次曲面的圆截线
（ ） ３
命 题 ３： 二 次 曲 面 （ ） 三 个 特 征 根 满 足 ｔ＞ ＞ ， 若 １的 ， 且 ≠ ０， 二 次 曲 面 （ ） 过 原 点 的 两 个 实 的 则 １的
。＿ ２ ｌ一 ｌ ｌ
圆截线平面为：
￡ｉ Ｉ
一
。， 一
ｌｌ —ｏ
（） ４
一
（ ） １ （ ２）
－ ｚ
－
命 题 ２： 次 曲 面 （ ） 过 点 （ ， ， ） 圆 截 线 平 面 为 非 零 特 征 根 决 定 的 平 面 二 １的 ｏ 的 ｏ
Ｉｎ。ｌ ｌ 三＝ ＝ Ｉ。 Ｉ
ｌ ２ 吼ｊ
—
¨ 一 。ｚ ， — 。 －
维普资讯
２００２年 ２月 第 ８卷第 １期
安 庆师范学 眈学报 （ 膏兰 科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＡ ｑｌｇＴ ａ ｈ ｃ ¨ ｇ （ ｔ ａ １ ｅ ） ｏ ｒａ ｎ ｎ ｅ ｃ ｅ ｓＣｏ ｅ ｅ Ｎａｕｒｌ ．ｎ ｅ ｏ Ｓｏ
一
在 圆截 线 ．
关键词 ： 圆截线 ； 特征根 Ｉ 不变量 ； 规范方程 中圉分 类号 ： １ １ 文献标识码 ： ０８ Ａ 文章编号 ；０ ７ ４８ （０ ８ ０ － ０４ － ０ １ ０ － ８０ ８０ ） １ ０ １ ８
铀 一
ｄ － ｚ ＋ 口 ３ －２ ｌ ¨ －ａ ｚ ｙ。 ３ － ａ ２ ２ ｘｙ＋ ２ 】ｘｚ－ ２ ｙ ａ ３ － ａ ｚ￣ ２ 】ｘ－ ａ ｙ－ ２ ３ ａ ‘ －２ “ － ａ ‘ ￡＋ ｄ “一 ０
。
啦 心
０ ０
＾
一
推 论 ： 二 次 曲面 （ ） 三 个 特 征 根 满 足 ＞ ＞ ， ２ ｏ， 二 次 曲 面 （ ） 过 点 （ ， 若 １的 且 ≠ 则 １的 。∞ ） 圆 的
第八节：二次曲面
（2）双曲抛物面（马鞍面）
x 2 y2 2 z 2 a b
其图形不可由旋转曲面伸缩变形而来
可用截痕法讨论其图形的形状。
（三）双曲面 （1）单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
可由旋转单叶双曲面伸缩变形得到 （2）双叶双曲面
x 2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
N ( x, ) C , F ( x, ) 0
y
y
C : F ( x, ) 0
y
结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩 倍而得到平面曲线 C´ ， 则 C´ 的平面方程为： y F ( x, ) 0
结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩 倍而得到平面曲线C´ ， 则 C´ 的平面方程为： y F ( x, ) 0
结论2：将平面曲线C ：F ( x , y ) = 0 沿 x 轴方向伸缩 倍而得到平面曲线C´ ， 则 C´ 的平面方程为： x F ( , y) 0
结论3：将空间曲面C ：F ( x , y , z ) = 0 沿 y 轴方向伸 缩 倍而得到空间曲面C´ ， 则 C´ 的方程为： y F ( x, , z ) 0
a2
b2
c2
Байду номын сангаас
当 a = b = c 时，椭球面即为球面： x y z a
2 2 2
2
椭球面也可由下面方法伸缩变形而来
2 2 2 2 （1）将球面 x y z a c a 沿 z 轴方向伸缩 倍：z z , a c
得旋转椭球面：
二次曲面(2012)
2 2
解
表示圆柱面， x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面， 表示平面， 2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面，
x2 + y2 = 1 2 x + 3 y + 3z = 6
交线为椭圆. 交线为椭圆
z = a2 − x2 − y2 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 a2 a2 表示怎样的曲线？ 2 ( x − ) + y = 2 4
（一）椭球面
x2 y2 z2 1 2 + 2 + 2 = a b c
椭球面与 三个坐标面 的交线： 的交线：
2 z2 x2 + 2 = 1 , a c y = 0
2 y2 x2 + 2 = 1 , a b z = 0
2 y2 2 + z2 = 1 . b c x = 0
= z1 ( | z1 |< c)的交线为圆 的交线为圆.
2 a2 2 2 x + y 2 = 2 (c − z1 ) . 截面上圆的方程 c z = z 1
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
方程可写为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点. 部点
M 在圆柱面x2 + y2 = a2 上以 例 3 如果空间一点 ω z 轴旋转， v z 角速度 绕 轴旋转，同时又以线速度 沿平行于 ω v 都是常数）， 轴的正方向上升（ ），那么点 轴的正方向上升（其中 、 都是常数），那么点 M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． 构成的图形叫做螺旋线 试建立其参数方程． 螺旋线． z 取时间t为参数 动点从 点出 为参数， 取时间 为参数， 动点从A点出 解 经过t时间 运动到M点 时间， 发，经过 时间，运动到 点 M 在 xoy 面的投影 M ′( x , y ,0)
解
表示圆柱面， x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面， 表示平面， 2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面，
x2 + y2 = 1 2 x + 3 y + 3z = 6
交线为椭圆. 交线为椭圆
z = a2 − x2 − y2 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 a2 a2 表示怎样的曲线？ 2 ( x − ) + y = 2 4
（一）椭球面
x2 y2 z2 1 2 + 2 + 2 = a b c
椭球面与 三个坐标面 的交线： 的交线：
2 z2 x2 + 2 = 1 , a c y = 0
2 y2 x2 + 2 = 1 , a b z = 0
2 y2 2 + z2 = 1 . b c x = 0
= z1 ( | z1 |< c)的交线为圆 的交线为圆.
2 a2 2 2 x + y 2 = 2 (c − z1 ) . 截面上圆的方程 c z = z 1
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
方程可写为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点. 部点
M 在圆柱面x2 + y2 = a2 上以 例 3 如果空间一点 ω z 轴旋转， v z 角速度 绕 轴旋转，同时又以线速度 沿平行于 ω v 都是常数）， 轴的正方向上升（ ），那么点 轴的正方向上升（其中 、 都是常数），那么点 M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． 构成的图形叫做螺旋线 试建立其参数方程． 螺旋线． z 取时间t为参数 动点从 点出 为参数， 取时间 为参数， 动点从A点出 解 经过t时间 运动到M点 时间， 发，经过 时间，运动到 点 M 在 xoy 面的投影 M ′( x , y ,0)
8-5-二次曲面
同理： 同理 ： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程 轴旋转一周的旋转曲面方程为 旋转曲面方程为
f y , ± x 2 + z 2 = 0.
(
)
第23页
e.g.6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程． 求生成的旋转曲面的方程．
第26页
8.5.4 锥面
给定空间一曲线C , 给定空间一点 A ， 过C 上每一点引过 A 的直线 l ， 这些直线组成的曲面称为锥面 这些直线组成的曲面称为锥面 最简单且最常用 最简单且最常用的例子 且最常用的例子： 的例子：正圆锥面
z 2 = x2 + y2 , x = 1 − y2 + z 2
( x − t )2 + ( y − t )2 + ( z − t )2 = t 2
思考： 思考：如果球面过M(-1,2,-5), 应该如何？ 应该如何？ 修改圆方程的形式， 修改圆方程的形式，也就是圆心的 三个坐标的正负号
第4页
8.5.2 柱面
准 线 定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 母 线
8-5 二次曲面
第1页
一、基本内容 二次曲面的定义： 二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面 实际上我们主要讨论没有交叉项的情形 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
2 y2 x2 + 2 = 1 , a b z = 0
空间二次曲面的欧式性质资料
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椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
截口法
用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面
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z
c
o a
x
by
返回
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
• (1) 对称性 • 椭球面关于各坐标平面、各坐标轴、原点都是
对称的
椭球面
x2 a2
y2 b2
空间二次曲面的欧式性质
对称性，范围，形状，渐进面
二次曲面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
讨论二次曲面形状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
z
o
y
x
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二、双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面 z
上一页 下一页
o
y
x
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双曲面及其渐进锥面
双叶：x 2 y 2 z 2 1
a2 b2 c2
渐进锥面：x 2
a2
y2 b2
z2 c2
0
单叶：x a
2 2
y2 b2
z2 c2
1
在平面上，双曲线有渐进线。
相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。
a 2
c
2
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“ 间解 析几何 与 向量代数 ”】 章中的第三节 空 ［ １ 一
象 的伸缩法 呢？主要原 因可能在于用截痕 法讨论二
次 曲面时 ， 程较 为繁琐 ， 过 耗时太多 ．然而伸缩法与
截痕相 比，截痕法更 能全 面体现二 次曲面 的图象特 征．传统 的“ 粉笔 ＋黑 板” 教学 方法 中 ， 师基 于教 教
Ｌ Ｕ Ｘ ｎ — ｕ ｎ Ｈ －ｕ Ｉ ｉｇ ｙ ａ ， Ｅ Ｙｉｊｎ
（ｅ ａ ｍ ｎ ｃ ｎｅａｄＩ ｏｍ ｔ ｎＴｃｎ ｌ ｙＳａｙｎ ｎｖｒ ，ｈｏａｇＨ ｎｎ４ ２ ０ ．ｈｎ ） Ｄ ｐ ｒ ｅ ｔｆＳ ￣ ｃ ｎ ｆｒ ａｉ ｅｈｏ ｇ，ｈ ｏａｇＵ ｉ ｓ Ｓ ａｙｎ ｕ ａ ２ ０ ０Ｃ ｉ ｔ ｏ ｎ ｏ ｏ ｅ ａ
摘
要 ：Ｍ ｔｅ ａ ｉａ软件 具有强大 的绘 图、 ａｈｍｔｃ 程序设 计功 能， 在二次 曲面的教学 中利 用软件 的绘 图和程序 设计功
能， 直观描述 二次 曲面和 平行 于坐标 面的平面相 交所 得的交线 即截痕 的动态变化过 程 ， 有利 于增 强教 学 内容 的直观 性，
加 强 对 二 次 曲面 图形 的 了解 和 掌 握 ．
“ 曲面及其 方程 ” 本章教 学 的重点 和难点 ， 是 主要 体
现在该部分 内部 是后续学 习内容 的基础 ；其 次是 该 部分 内容 牵涉到空间 图形 的绘制 ，需要学生 具有较
强 的 空 间 想 象 能 力 ． 按 照 同济 大 学 数 学 系编 写 的 高
学时间的限制 ， 只能按教材 的 阳 学 院学 报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ａ ｙ ｎ ｉｅｓｔ（ Ｎａｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅ ｄｔ ｎ） ｏ ｒａ ｏ Ｓｈ ｏ ａ ｇ Ｕｎｖ ｒｉ ｙ ｔ ｒｌ ｃｅ ｃ Ｅ ｉｏ ｉ
ＶＯ ． ＮＯ． １６ ２
２０ ０ ９年 ０ ６月
Ｊ ｕｎ． ０ ９ ２０
文 章 编 号 ：６ ２ ７ １ （ ０ ９ ０ — ０ ３０ １７ — ０ ０ ２ ０ ） ２ ０ １— ４
对 二次 曲面教 学 中截痕 法的探讨
刘 兴 元 ， 宜 军 何
（ 阳学 院 理 学 与 信 息 科 学 系 ， 南 邵 阳 ４ ２ ０ ） 邵 湖 ２０ ０
ｄｅｓａ ｄ ｎ ｆｔｅｑｕ ｄ ｃｇ ａ ｉｓ ｒｔ ｎ ｉ ｇｏ ａ ｒ ｒｐｈｃ ． ｈ ｉ Ｋｅ ｙｗｏｒ ： ｍ ａｈ ｍａｉａ； ｒ ｗｉ ｇ；ｑｕ ｄ ｃ；ｍｅ ｏ ｏ ｃ － ｆ ｍ ａｋ ｄｓ ｔｅ ｔ ｃ ｄａ ｎ ａｆ ｉ ｈ ｔ ｄ ｆ ｕｔｏ ｒ
１ 问题 的 提 出
关 键 词 ： ｔｅ ｔｉ Ｍａ ｍａ ｃ ｈ ｈ ａ软件 ； 图 ； 次 曲面 ； 痕 法 绘 二 截
中图分类号 ： ４ Ｇ６ ２ 文献标识码 ： Ａ
．
Ｄｉｃ ｓｉｎＯｎＱｕ ｄ ｉ ｆ ｈ ｅ ｃ ｉｇＭｅｈ ｄｏ ｔ ｏ ｒ ｓｕ ｓｏ ａ ｒｃｏ ｅＴ ａ ｈｎ ｔｏ ｆ ｔ Ｃｕ － ｆ Ｍａ ｋ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｍａｈ ｍａｉａＳ ｆ ａ ｅｈ ｓ ａｐ ｗ ｒ ｌ ｒ ｗ ｎ ｎ ｒ ｇ ａ ｄ ｓｇ ｎ ｔ ｎ ｉ ａ ｈ ｎ ｆ ｈ ｕ ｄ ｉ ｗｅｕ ｅ ｍａｈ ｓｒ ｃ： ｔｅ ｔ ｏｔ ｒ ａ ｏ ｅ ｆ ａ ｉ ｇａ ｄｐ ｒ ｍ ｅ ｉｎｆ ｃ ｏ ｓ， ｎｔ ｃ ｉｇｏ ｅ ｑ ａ ｒ ｃ ｗ ｕｄ ｏ ｕ ｉ ｅ ｔ ｃ， ｓ ｔ — ｅ ｔ ａｓ ｒ ｒ ｗ ｎ ｎ ｒ ｇ ａ ｍａ ｉ ｏ Ｗ８ ｅｄ ａ ｉ ｇ ａ ｄｐ ｏ ｒ ｍｍｉ ｇｆ ｎ ｔ ｎ ．ｏｄ ｓ ｒ ｅｑ ａ ｒ ｄ ｔ ｅｃ ｏ ｄ ｎ ｔｓｏ ｅｓ ／ ｃ ｆ ｈ ］ ｎ ｏ ｔ ｅｉ ｔｒ ｅ ｎ ｃ ｏ ｓ ｔ ｅ ｃ ｉ ｕ ｄ ｃａ ｏ ｒ ｉ ａｅ ｆ ｈ ￣ ｅｏ ｅｐ ａ ｅｆ ｍ ｅ － ｕ ｉ ｂ ｉ ｎ ｈ ｔ ｎ ａ ｔ ｒ ｈ ｎ ｓ ｃｉ ｎｌ ｅ ｓ ｙ ｔ ｅｃ ｔ ｏ ｒ ｓｄ ｎ ｍｉ ｐ ｃ ｓ ｆ ｈ ｇ ， ｉｈ ｗ ｌ ｓ ＿ ｈ ｎ ｔｅｔ ａ ｈ ｎ ｆ ｈ ｉｕ ｌ ｏ ｔｎ ｄｓｕ ｅ ｔ’ｎ ｅ ｔ ｉ ， ａ ，ｈ ｕ — ｆ ｍａ ｋ ，ｙ ａ ｃ ｒ ｅ ｓｏ ａ ｅ ｏ ｎ ｏ ｃｎ ｗｈ ｃ ｉ ｎ ｎ ｅ ｃ ｉｇｏ ｅ ｖｓ ａ ｎ ｅ ｔ ｌ ｅ ｈ ｅ ｔ ｃ ｎ ａ ｔ ｄ ｎｓｕ —
二 次 曲 面 的 方 程 ， 在 黑 板 上 绘 制 草 图来 说 明 问题 ， 再
等数学 （ 第六 版 ） 的编写体 系 ， 中介 绍 了两 种讨论 书 方法 ， 截痕法和伸缩法 ， 作为截痕法仅介绍 了椭 圆锥 面和双 曲抛物面 ，其它 的二次 曲面都 是通过 相应的 旋转 曲面采用 伸缩法而得到 的 ，笔者查看多 种数学
既耗 时 ， 又不 精确 ， 且不能达 到期望 的教学效果． 以 至于学 习完这部分 内容后 ， 学生不能很好 地掌握 ， 成 了后续 内容 学习的障碍 ．利 用 Ｍ ｔｅ ａｃ 软 件【 ａ ｍ ｔａ ｈ ｉ ３ ］ 的 绘图和程序设计功能 ，可 以动态 地表示二次 曲面 图
形 的 形 态 特 征 ． 在 该 章 教 学 时 ， 人 Ｍ ｔｅ ａｃ 引 ａ ｍ ｔａ软 ｈ ｉ
专业 的空间解 析几何教 材［ 没有 涉及到伸 缩法 ， Ｚ ｌ ， 都 是利用截痕法 来讨论 二次 曲面 的图形 ，为什 么在 高 等数学教材 中不采用直观 的截痕法 ，而改用 较为抽
件 ，动态显示 二次曲面与平行于坐标 面的平面 的交 线即截痕 ，１ ［ ４ 对于增 强教学 内容 的直 观性 ， 加强对 二
象 的伸缩法 呢？主要原 因可能在于用截痕 法讨论二
次 曲面时 ， 程较 为繁琐 ， 过 耗时太多 ．然而伸缩法与
截痕相 比，截痕法更 能全 面体现二 次曲面 的图象特 征．传统 的“ 粉笔 ＋黑 板” 教学 方法 中 ， 师基 于教 教
Ｌ Ｕ Ｘ ｎ — ｕ ｎ Ｈ －ｕ Ｉ ｉｇ ｙ ａ ， Ｅ Ｙｉｊｎ
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摘
要 ：Ｍ ｔｅ ａ ｉａ软件 具有强大 的绘 图、 ａｈｍｔｃ 程序设 计功 能， 在二次 曲面的教学 中利 用软件 的绘 图和程序 设计功
能， 直观描述 二次 曲面和 平行 于坐标 面的平面相 交所 得的交线 即截痕 的动态变化过 程 ， 有利 于增 强教 学 内容 的直观 性，
加 强 对 二 次 曲面 图形 的 了解 和 掌 握 ．
“ 曲面及其 方程 ” 本章教 学 的重点 和难点 ， 是 主要 体
现在该部分 内部 是后续学 习内容 的基础 ；其 次是 该 部分 内容 牵涉到空间 图形 的绘制 ，需要学生 具有较
强 的 空 间 想 象 能 力 ． 按 照 同济 大 学 数 学 系编 写 的 高
学时间的限制 ， 只能按教材 的 阳 学 院学 报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ａ ｙ ｎ ｉｅｓｔ（ Ｎａｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅ ｄｔ ｎ） ｏ ｒａ ｏ Ｓｈ ｏ ａ ｇ Ｕｎｖ ｒｉ ｙ ｔ ｒｌ ｃｅ ｃ Ｅ ｉｏ ｉ
ＶＯ ． ＮＯ． １６ ２
２０ ０ ９年 ０ ６月
Ｊ ｕｎ． ０ ９ ２０
文 章 编 号 ：６ ２ ７ １ （ ０ ９ ０ — ０ ３０ １７ — ０ ０ ２ ０ ） ２ ０ １— ４
对 二次 曲面教 学 中截痕 法的探讨
刘 兴 元 ， 宜 军 何
（ 阳学 院 理 学 与 信 息 科 学 系 ， 南 邵 阳 ４ ２ ０ ） 邵 湖 ２０ ０
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１ 问题 的 提 出
关 键 词 ： ｔｅ ｔｉ Ｍａ ｍａ ｃ ｈ ｈ ａ软件 ； 图 ； 次 曲面 ； 痕 法 绘 二 截
中图分类号 ： ４ Ｇ６ ２ 文献标识码 ： Ａ
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专业 的空间解 析几何教 材［ 没有 涉及到伸 缩法 ， Ｚ ｌ ， 都 是利用截痕法 来讨论 二次 曲面 的图形 ，为什 么在 高 等数学教材 中不采用直观 的截痕法 ，而改用 较为抽
件 ，动态显示 二次曲面与平行于坐标 面的平面 的交 线即截痕 ，１ ［ ４ 对于增 强教学 内容 的直 观性 ， 加强对 二