第九章 欧氏空间复习资料
高等代数课件(北大版)第九章-欧式空间§9
中向量 Y 使 B 到它的距离 ( Y B ) 比到
L (1 ,2 , ,s)中其它向量的距离都短.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
设 C B Y B A X ,
为此必 C L (1 ,2 , ,s )
这等价于 ( C , 1 ) ( C , 2 ) ( C , s ) 0 , （4）
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的
距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
2024/10/23
数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离
一、向量到子空间的距离 二、最小二乘法
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
即为
1 0 6 . 7 5 a 2 7 . 3 b 1 9 . 6 7 5 0 2 7 . 3 a 7 b 5 . 1 2 0 解得 a 1 .0 5 , b 4 .8 1（取三位有效数字）.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
可能无解， 即任意 x1,x2, ,xn都可能使
n
ai1x1ai2x2 ainxnbi 2
i 1
不等于零．
（2）
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
设法找实数组 x10,x02,
,x0 使（2）最小, n
这样的 x10,x02,
,x0 为方程组（1）的最小二乘解， n
此问题叫最小二乘法问题.
最小二乘法的表示:
设
n
n
高等代数考研复习[欧氏空间]
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即 ( , ) 0, 则称 与 正交，记为 .
非零向量组 1, 2 , , n如果满足 (i , j ) 0,(i j).
实数
称为向量 的长度，记为 0
1的向量称为单位向量.如果 长度为
则
称为
的单位化向量.长度有以下性质：
a) | | 0 当且仅当 0 时取等号； b) | k | k | |; c)
| || | | | .
夹角：欧氏空间V中向量 , 的夹角 , 定
(1 ,1 ) (1 , 2 ) ( , ) ( , ) 2 2 2 1 ( m ,1 ) ( m , 2 ) (1 , m ) ( 2 , m ) ( m , m )
则称 1, 2 , , n 是正交向量组. a)正交向量组一定是线性无关的； b) 若1, 2 , , n 是正交组，则
| 1 2 n || 1 | | 2 | | n | .
2 2 2 | | | | | | . c) 如果 , 则
为基 1, 2 , , n 的度量矩阵.
2) 度量矩阵的性质
a) 设 , 在n维欧氏空间V的基 1, 2 , , n 下的 坐标分别为 X ( x1, x2 , , xn ), Y ( y1, y2 , , yn ), 则 ( , ) X AY , 其中A是基 1, 2 , , n 的度量矩 阵.特别当 1, 2 , , n 是标准正交基时，A=E,则
高等代数考研复习
第九章 欧氏空间
第九章欧式空间 (2)
( ), ( )
( ( )), ( ( )) ( ), ( )
( , )
为欧氏空间V到V"的同构映射.
§9.3 同构
5、两个有限维欧氏空间V与V'同构
d im V d im V .
'
§9.3 同构
标准正交基， 在这组基下，V中每个向量 可表成
x 1 1 x 2 2 x n n ,
xi R
作对应 : V R n , ( ) ( x 1 , x 2 , , x n ) 易证 是V到 R n 的 1 1 对应. 且 满足同构定义中条件1）、2）、3）， 故 为由V到 R n 的同构映射，从而V与 R n 同构.
( , ) (
1
是
1
( )), (
1
( ))
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( ),
1
( )
1
为欧氏空间V'到V的同构映射.
§9.3 同构
③ 若 , 分别是欧氏空间V到V'、V'到V"的同构映射， 则 是欧氏空间V到V"的同构映射. 事实上，首先， 是线性空间V到V"的同构映射. 其次，对 , V , 有
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
§9.3 同构
一、欧氏空间的同构 二、同构的基本性质
图形学欧氏空间具体概念
(α , β ) ≤ α β
三、欧氏空间中向量的夹角（续） 欧氏空间中向量的夹角（
〈α , β 〉 = arc cos (α , β )
α β
( 0 ≤ 〈α , β 〉 ≤ π )
(α , β ) = 0
定义： 为欧氏空间中两个向量， 定义：设 α、β为欧氏空间中两个向量，若内积
正交或互相垂直， 则称 α 与 β 正交或互相垂直，记作 α ⊥ β . 注： ① 零向量与任意向量正交 零向量与任意向量正交.
3) 非零向量 α 的单位化： α α . 的单位化：
1
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 柯西－ 对欧氏空间V中任意两个向量 α、β 对欧氏空间V
线性相关时等号成立. 当且仅当 α、β 线性相关时等号成立. 2. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义: 为欧氏空间， 中任意两非零向量， 夹角定义为 α 定义: 设V为欧氏空间， 、β 为V中任意两非零向量，α、β 的夹角定义为 ，有
π α ⊥ β ⇔ 〈α , β 〉 = 即 cos〈α , β 〉 .= 0 , ② 2
3. 勾股定理 为欧氏空间， 设V为欧氏空间，∀α , β ∈ V , α ⊥ β ⇔ α + β 2 = α 2 + β 为欧氏空间 推广：若欧氏空间V中向量 两两正交， 推广：若欧氏空间 中向量 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 两两正交， 即 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2,⋯ , m 2 2 2 2 α1 + α 2 + ⋯ + α m = α1 + α 2 + ⋯ + α m . 则
第09章 欧式空间
= α s−1
−
(α s−1, ε1 ) (ε1,ε1 )
ε
1
−⋯
−
(α s−1 (ε s−2
,ε ,ε
s −2 s−2
) )
ε
s
−2
，ε s
= αs
−
s −1 k=1
(α s (εk
− εk ) ,εk )
ε
k
① L(ε1 ,⋯,ε s ) = L (α1 ,⋯,αs ) ⇔ ε1,⋯,ε s 与 α1,⋯, αs 等价
α = (ε1,⋯,ε n ) X = (η1,⋯,ηn ) X ， X = T X ， β = (ε1,⋯,ε n)Y = (η1,⋯,η n)Y ，Y = T Y
(α, β )在基 ε1,⋯,ε n ，η1,⋯,ηn下的度量矩阵分别为 G, G
(α ,
β)
=
X
'GY
=
X
'
T
'GT Y
=
X
'
GY
∴G = T 'GT 即 G~G
⎧R欧式空间
线性空间定义度量性质后 ⎪⎪C酉空间
⎨⎪思维时空空间 ⎪⎩辛空间
三维几何空间 R3
R
2
：设
� a
=
(a1
,
a2
),
� b
=
(b1,
b2)
�� a ⋅b = a1b1 + a2b2 ∈R
� a 的长度：
� a
=
a2 + a2 =
�� a⋅a
1
2
�� a,b
的夹角：
<
�� a, b
>= ar
欧氏空间复习
欧氏空间复习 一、欧氏空间定义如果V 是实数域R 上维线性空间，而且存在V 上二元实函数(,)满足： 1）(,)(,)αββα=2）(,)(,)(,)k l k l αβγαγβγ+=+3）(,)0αα≥，而且等于0的充分必要条件是0α=其中,,,,V k l R αβγ∈∈。
则称V 为具有内积(,)的欧氏空间，简称为欧氏空间。
我们有： ●(,0)0α=●1111(,)(,)rsrsi i j j i ji j i j i j k l k lαβαβ=====∑∑∑∑● 2(,)(,)(,)αβααββ≤（可以用其定义角度，证明一些不等式）如果设12,,,n εεε 为V 基，则定义(,)i j n n A εε⨯⎡⎤=⎣⎦，称其为基12,,,n εεε 的度量矩同样我们有：● 基的度量矩阵正定；● 不同基的度量矩阵合同（由此可以证明标准正交基的存在性） ●如果设1212[,,,],[,,,]n n X Y αεεεβεεε== ，则有：(,)T X AY αβ=二、标准正交基和正交补欧氏空间V 的基12,,,n εεε 称为标准正交基，如果有(,)i j ij εεδ=。
标准正交基的存在性一可以通过基的度量矩阵为正定矩阵及其正定矩阵和单位矩阵合同的性质证明。
其次可以通过施密特正交化方法证明。
我们有： ●n 维列向量12,,,n ααα 为n R 标准正交基的充分必要条件是矩阵12[,,,]n A ααα= 满足T A A E =，换句话说A 是正交矩阵。
注意一个正交矩阵决定两组正交基，一个是正交矩阵的列向量组，另外一个是正交矩阵的行向量组。
● 标准正交基的过度矩阵是正交阵。
●根据施密特正交化我们可以推出，对任意实可逆矩阵A 存在正交矩阵U 和上（或者下）三角矩阵T 使得A TU =或者A U T =。
●如果12,,,n εεε 为欧氏空间V 的标准正交基，而且：1212[,,,],[,,,]n n X Y αεεεβεεε==则有(,)T X Y αβ=。
考研高数总复习第九章欧几里得空间第七节(讲义)
3.8a + b - 0.9 = 0 , 3.9a + b - 0.81 = 0 , 4.0a + b - 0.60 = 0 , 4.1a + b - 0.56 = 0 , 4.2a + b - 0.35 = 0
都成立.
实际上是不可能的.
任何 a , b 代入上面
各式都会发生些误差.
于是想找 a , b 使得上面各
第七节
向量到子空间的距离 最小二乘法
主要内容
定义 向量到子空间各向量间的最短距离 最小二乘法
一、定义
在解析几何中，两个点 和 间的距离等于向 量 - 的长度. 在欧氏空间中我们同样可引入长度 | - | 称为向量 和 的
定义 13
记为 d( , ) .
距离
不难证明距离的三条基本性质：
现在回到前面的例子，易知
3 .6 3 .7 3. 8 A 3 .9 4. 0 4 .1 4. 2
1 1 1 1 , 1 1 1
1.00 0.90 0.90 B 0.81 . 0.60 0.56 0.35
回忆矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相 乘的式子，即
1T C = 0 , 2T C = 0 , … , sT C = 0 .
而 1T , 2T , … , sT 按行正好排成矩阵 AT ，上述 一串等式合起来就是 AT(B - AX) = 0 ，
或
AT AX = AT B .
这就是最小二乘解所满足的代数方程，它是一个线 性方程组，系数矩阵是 ATA，常数项是 ATB. 线性方程组总是有解的. (参见第5章习题17) 这种
高代第9章讲义
(α,α) 第九章Euclid(欧几里得)空间知识点考点精要一、欧几里得空间的基本概念1、设V 是实数域 R 上的线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作(α,β) ，它具有以下性质：（1） (α,β) = (β,α) ; （2） (k α,β) = k (α,β) ; （3） (α+ β,γ) = (α,γ) + (β,γ) ；（4） (α,α) ≥ 0, 当且仅当α= 0 时， (α,α) = 0 。
这里α,β,γ是V 中任意向量， k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。
2、向量的长度 α= 。
3、柯西 - 布涅柯夫斯基不等式对于欧氏空间V 中的任意向量α,β，有 (α,β) ≤ αβ。
当且仅当α,β线性相关时，等号成立。
4、非零向量α, β的夹角< α,β> 规定为 < α,β>= arccos (α,β),0 ≤< α,β>≤ π。
αβ5、如果(α,β) = 0, 称α与β正交，记为α⊥ β。
6、度量矩阵 设V 是 n 维欧氏空间，ε1 ,ε2 , ,εn 是⎨ V 的一组基，令 a ij= (εi ,εj )(i ,j = 1,2,.., n ) 矩阵 A= (a ij )n ⨯n 称为基ε1 ,ε2 , ,εn 的度量矩阵,⎛ (ε1 ,ε1 ) (ε1 ,ε2 ) (ε ,ε)(ε ,ε ) (ε1 ,εn ) ⎫ (ε ,ε ) ⎪A = 2 1222n⎪ ⎪ (ε ,ε) (ε ,ε )(ε ,ε ) ⎪⎝ n 1n2 n n ⎭1） 度量矩阵为正定矩阵； 2） 不同基的度量矩阵是合同的。
7、标准正交基1） ε1 ,ε2 , ,εn 是欧氏空间 V 的一组基，如果(ε,ε ) = ⎧1 (i = j )ij ⎩0 (i ≠ j ) ，那么称ε1 ,ε2 , ,εn 是V的一组标准正交基。
2） 标准正交基的度量阵是单位阵。
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第九章 欧氏空间一. 内容概述1.欧氏空间的定义设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) ),(),(αββα=;2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+; 4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间. 常见的欧氏空间举例:例1 在线性空间nR 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1) 则内积(1)适合定义中的条件，这样nR 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式. 例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成不同的欧几里得空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积⎰=b a dx x g x f x g x f )()())(),((. (2)对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间.例4 设R m n ⨯为一切m n ⨯矩阵所成的线性空间.内积定义为()()3,B A B A t r '=则称R mn ⨯为R 上的欧氏空间,2.欧氏空间的内积的主要性质:1）定义中条件1）表明内积是对称的. ),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+' 定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.对于例1的空间nR ，(5)式就是 .22221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 对于例2的空间),(b a C ，(5)式就是()()212212)()()()(⎰⎰⎰≤b a ba ba dx x g dx x f dx x g x f 定义3 如果向量βα,的内积为零，即0),(=βα那么βα,称为正交或互相垂直，记为βα⊥. 设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基n εεε,,,21 ，对于V 中任意两个向量n n x x x εεεα+++= 2211, n n y y y εεεβ+++= 2211, 由内积的性质得∑∑===++++++=n i nj ji j i n n n n y x y y y x x x 1122112211),(,),(εεεεεεεεβα 设),,2,1,(),(n j i a j i ij==εε (8)显然 .ji ij a a =于是∑∑===n i nj j i ij y x a 11),(βα (9)利用矩阵，),(βα还可以写成AY X '=),(βα, (10)其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n y y y Y x x x X 2121, 分别是βα,的坐标，而矩阵nn ij a A )(=称为基n εεε,,,21 的度量矩阵.3. 标准正交基定义4 欧氏空间V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n 个.定义6 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组.定理：正交向量组是线性无关的.定义 n 组实数矩阵A 称为正交矩阵，如果E A A ='（即A A '=-1）例2 考虑定义在闭区间]2,0[π上一切连续函数所作成的欧氏空间]2,0[πC .函数组 .,sin ,cos ,,sin ,cos ,1 nx nx x x 构成]2,0[πC 的一个正交组.例3 欧氏空间nR 的基 ））（0,,0,1,0,,0( i i =ε（其中n i,,2,1 =） 是n R 的一个标准正交基.定理：正交矩阵的乘积是正交矩阵, 正交矩阵的逆是正交矩阵.掌握施密特正交化的方法实对称矩阵的标准形（对角化问题）.引理1：设A 是实对称矩阵,则A 的特征值皆为实数.引理2： 设A 是实对称矩阵,则R n 中属于A 的不同特征值的特征向量必正交.引理3：实对称矩阵的k 重特征值一定有k 个线性无关的特征向量。
定理：对于任意一个n 级实对称矩阵，A 都存在正交矩阵T ，使Λ='=-AT T ATT 1成对角形。
定理：任意一个实二次型 ji ij n i nj j i ij a a x x a =∑∑==,11都可以经过正交的线性替换变成平方和2222211n n y y y λλλ+++ ,其中平方项的系数n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征多项式全部的根熟练掌握求正交矩阵T 的方法：正交矩阵T 的求法可以按以下步骤进行：1. 求出A 的特征值.设r λλ,,1 是A 的全部不同的特征值.2. 对于每个i λ，解齐次方程组0)(21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n i x x x A E λ 求出一个基础解系，这就是A 的特征子空间i V λ的一组基.由这组基出发，按施密特正交化的方法求出i V λ的一组标准正交基i ik i ηη,,1 .3. 因为r λλ,,1 两两不同，所以向量组r rk r k ηηηη,,,,,,11111 还是两两正交的，它们的个数就等于n ，因此它们就构成n R 的一组标准正交基，并且也都是A 的特征向量.这样，正交矩阵T 也就求出了.二．例题选讲例1． 设A=(ij a )是一个n 级正定矩阵，而),,(),,,(2121n n y y y x x x ==βα在n R 中定义内积为:'),(βαβαA =（1） 证明在这个定义之下，n R 成一欧氏空间。
（2） 求单位向量)1,0,0(),0,,1,0(),00,1(21 ===n εεε， 的度量矩阵。
（3） 具体写出这个空间中的柯西—布涅柯夫斯基不等式。
解：（1）只要按定义逐条验证就行。
).,()(),(''''''αβαβαββαβαβα=====A A A A ).,()()(),(''βαβαβαβαk A k A k k ===),(),()(),('''''γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+A A A j i ij y x a A ∑∑=='),(αααα由于A 是正定矩阵，j i ij y x a ∑∑∴是正定二次型，从而0),(≥αα。
且仅当0=α时，0),(=αα。
由此可见，n R 在这一 定义下成一欧氏空间。
（2）设单位向量的度量矩阵为)(ij b B=， 那么，==),(j i ij b εεij n s n t t s st a y x a =∑∑==11，此即B=A 。
（3）略。
例2． 求齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-+=-+-+0032532154321x x x x x x x x x 的解空间的一组标准正交基。
解： 首先可求得基础解系为)1,4,1,0,0()1,4,0,1,0()1,5,0,0,1(321=--=--=ααα的交化得)2,1,15,6,7(151)152,151,1,156,157()92,91,0,1,97()1,5,0,0,1(321==---=--=βββ 单位化得)2,1,15,6,7(1531)2,1,0,9,7(1531)1,5,0,0,1(331321=---=--=ηηη 321,,ηηη即为所求的标准正交基。
例3． 设V 是一n 维欧氏空间，0≠α是V 的一固定向量，则1）{}Vx x x V ∈==,0),(|1α是V 的一个子空间。
2）11-=n DimV 。
证 1）10V ∈ 1V ∴非空R k k V ∈∀∈∀21121,,,ββ0),(),(),(22112211=+=+αβαβαββk k k k 12211v k k ∈+∴ββ1V ∴是V 的子空间 。
2）将α扩充为V 的一组正交基n ααα,,,2则 132,,,V n ∈ααα132),,,(V L n ⊆ααα反之n n k k k V αααββ ++=∈∀221,，0),,,(),(0=∴==k k αααβ ),,(),,,,(2132n n L V L αααααβ =∈∴.1l i m 1-=∴n V例: 设 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111101111011110A 求一正交矩阵T,使AT T AT T 1-='成对角形.解: (1)先求出A 的特征多项式与特征根: 3)1)(3(||+-=-λλλA E 特征根11-=λ （三重根），32=λ（2）求出特征值11-=λ对应的特征向量，把11-=λ代入方程组0)(4321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x A E λ求得基础解系为)1,0,0,1(),0,1,0,1(),0,0,1,1(321-=-=-=ααα,32=λ对应的特征向量为)1,1,1,1(4=α。
（3）正交化，单位化得)0,0,1,1(11-==αβ)0,1,21,21()0,0,1,1(21)0,1,0,1()()(1111222--=---=-=ββββααβ，，)1,31,31,31()()()()(222231111333---=--=ββββαββββααβ，，，，。
)123,121,121,121(1)0,62,61,61(1),0,0,1,1(211333222111---==--==-==ββηββηββη)1,1,1,1(4=α 单位化得)21,21,21,21()1,1,1,1(214==η ∴ 求得正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211230021121620211216121211216121T则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=='-31111AT T AT T 例试证反对称实矩阵的特征值是零或纯虚数. 证: 设A 是任一反对称矩阵,即,,A A A A =-=' 令 λ是A 的任一特征值,ξ为 A 的属于λ的特征向量,λξξ=∴A 0≠ξ 0≠'∴ξξ .于是由.)()()()(ξξλξλξξξξξξξλξξξξλ'-='-='-='-'='='='A A A 即得 λλ-=即 λ为零或纯虚数.例：证明:若A 为奇数阶的正交矩阵，且1-≠A ，则1为A 的一个特征值.证:设A 为下证01=-⋅A E ，事实上, A E A E A E A AA A A E n --='--='--=-'=-)()1(0=-∴A E 即以1为它的一个特征值.。