比较二次根式大小的8种方法
比较二次根式大小的几种方法
比较二次根式大小的几种方法一、比较系数法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a>b，那么√a>√b；如果a<b，那么√a<√b。
例如，比较√5和√7的大小。
由于5<7，所以√5<√7二、平方法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a²>b²，那么√a>√b；如果a²<b²，那么√a<√b。
例如，比较√3和√8的大小。
由于3²=9，8²=64，所以√3<√8三、绝对值法：对于形如√a和√b的二次根式，如果，a，>，b，那么√a>√b；如果，a，<，b，那么√a<√b。
例如，比较√(-2)和√(-5)的大小。
由于，-2，=2，-5，=5，所以√(-5)<√(-2)。
四、化简法：对于形如√a的二次根式，如果a可以化简为形式p²×q（p和q为正整数），那么√a=√(p²×q)=p√q。
例如，化简√72、首先可以将72分解为2²×3²×2，然后利用根式的乘法法则和化简法则，得到√72=2×3√2=6√2五、近似法：如果无法直接通过上述方法比较二次根式的大小，可以使用近似法。
通过计算近似值，可以比较二次根式的大小。
例如，比较√3和√2的大小。
可以使用计算器或手算，得到√3≈1.732，√2≈1.414，所以√2<√3需要注意的是，以上方法比较的是二次根式的大小，而不是数值的大小。
当a和b的大小关系无法确定时，使用以上方法可以对二次根式的大小关系进行比较。
华师版九年级数学上册《二次根式》阶段核心方法专训比较含二次根式的式子的大小的八种方法
n＋3＋ 2
n＋1＞0，
1y＝
1 n＋2－
＝ n
n＋2＋ 2
n＞0，∵
n＋3＋
n＋1
＞ n＋2＋ n＞0，∴1x＞1y＞0，∴x＜y.
阶段核心方法专训
7 ． 用 “<” 将
x
，
1 x
，
x2
，
x连接起来为
______________________________(0<x<1)．
解：取特殊值 x＝14，则1x＝4，x2＝116， x ＝12，∴x2＜x＜ x＜1x.
3
8 5－a＞ a－6.
阶段核心方法专训
1．比较 6＋ 11与 14＋ 3的大小． 解：因为( 6＋ 11)2＝17＋2 66，( 14＋ 3)2 ＝17＋2 42，17＋2 66＞17＋2 42，所以( 6 ＋ 11)2>( 14＋ 3)2.又因为 6＋ 11>0， 14 ＋ 3>0，所以 6＋ 11＞ 14＋ 3.
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二次根式数学知识点
二次根式数学知识点二次根式数学知识点11.乘法规定：(a≥0，b≥0)二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
推广：(1)(a≥0，b≥0，c≥0)(2)(b≥0，d≥0)2.乘法逆用：(a≥0，b≥0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;3.除法规定：(a≥0，b>0)二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。
推广：，其中a≥0，b>0，。
方法归纳：两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得得结果相乘。
4.除法逆用：(a≥0，b>0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
二次根式数学知识点2二次根式的概念形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√（x2+1），√（x—1）（x≥1）等是二次根式，而√（—2），√（—x2—7）等都不是二次根式。
二次根式取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。
知识点三：二次根式√a（a≥0）的非负性√a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，√a（a≥0）是一个非负数，即√a≥0（a≥0）。
注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即√a≥0（a≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若√a+√b=0，则a=0，b=0；若√a+|b|=0，则a=0，b=0；若√a+b2=0，则a=0，b=0。
二次根式的化简与比较大小
二次根式的化简与比较大小二次根式是数学中常见的一种形式，它可以表示为根号下一个数的形式。
在数学中，我们经常需要对二次根式进行化简和比较大小的操作。
本文将探讨二次根式的化简和比较大小的方法。
一、二次根式的化简化简二次根式是将其写成最简形式的过程。
最简形式是指分子和分母互质，且分母不含根号的形式。
1. 化简含有相同根号的二次根式当二次根式中含有相同根号时，可以将它们合并为一个根号下的数。
例如，化简√3 + √3。
由于√3 + √3 = 2√3，所以√3 + √3可以化简为2√3。
2. 化简含有不同根号的二次根式当二次根式中含有不同根号时，可以尝试将其化简为一个根号下的数。
例如，化简√2 + √8。
首先，我们可以将√8写成√(2 × 4)，即√(2 × 2 × 2)。
然后，我们可以将√2 + √(2 × 2 × 2)化简为√2 + 2√2，即3√2。
二、二次根式的比较大小比较二次根式的大小时，可以使用以下方法：1. 平方比较法平方比较法是将二次根式的平方进行比较。
由于平方是非负数，所以比较二次根式的平方可以得到它们的大小关系。
例如，比较√5和√7的大小。
首先，我们可以计算它们的平方，即5和7。
由于5小于7，所以√5小于√7。
2. 通分比较法通分比较法是将二次根式的分母进行通分，然后比较分子的大小。
通分后，分母不再含有根号，可以直接比较分子的大小。
例如，比较√3/√2和√5/√2的大小。
首先，我们可以将分母通分为2，得到√3/2和√5/2。
由于√3小于√5，所以√3/2小于√5/2。
三、综合运用在实际问题中，我们常常需要综合运用化简和比较大小的方法来解决问题。
例如，我们需要比较√3 + √2和√5的大小。
首先，我们可以将√3 + √2化简为√6。
然后，我们可以比较√6和√5的大小。
由于6大于5，所以√6大于√5。
因此，√3 +√2大于√5。
又如，我们需要比较√3 - √2和√5的大小。
八年级数学下册第12章二次根式：比较二次根式值大小的八种方法习题pptx课件新版苏科版
(2)利用上面的规律，计算：
21＋1＋
1 3＋
＋ 2
1 4＋
3＋…＋
1 2 025＋
； 2 024
【解】原式＝ (
2＋12)－( 12－1)＋(
3＋
3－ 2)(
2 3－
＋ 2)
(
4＋
4－ 3)(
3 4－
3)＋…＋(
2 025＋
2 025－ 2 024)(
2 024 2 025－
2 024)
＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3)＋…＋( 2 025－ 2 024)
∴1x＞1y＞0.∴x＜y.
7 [2023·苏州中学月考]观察下列一组等式，然后解答问题： ( 2＋1)( 2－1)＝1， ( 3＋ 2)( 3－ 2)＝1， ( 4＋ 3)( 4－ 3)＝1， ( 5＋ 4)( 5－ 4)＝1，….
(1)观察以上规律，请写出第n个等式： ___(__n_＋__1_＋____n_)(__n__＋__1_－___n_)_＝__1___(n为正整数)；
14＋
13>0，∴
1 15＋
14<
1 14＋
， 13
∴ 15－ 14＜ 14－ 13.
6 已知 x＝ n＋3－ n＋1，y＝ n＋2－ n，比较 x，y 的 大小：_____x_＜__y____．
【点拨】
1x＝
1 n＋3－
n＋1＝
n＋3＋ 2
n＋1，1y＝
1 n＋2－
＝ n
n＋2＋ 2
n .
∵ n＋3＋ n＋1＞ n＋2＋ n＞0，
与 2 99的大小．
【解】 100＋ 98－2 99＝( 100－ 99)－( 99－ 98)
初中数学比较二次根式大小的八种方法
初中数学比较二次根式大小的八种方法本文介绍了八种比较含二次根式大小的方法，包括平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等。
其中，作商法是比较二次根式大小的常用方法之一，特别适用于由分母和分子两部分组成的二次根式。
此外，还有分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行比较。
例如，对于比较6＋11与14＋3的大小，可以使用平方法，计算它们的平方，然后比较大小。
对于比较a＋1/a＋2与a＋2/a＋3的大小，可以使用作商法，计算它们的商，然后比较与1的大小关系。
对于比较15－14与14－13的大小，可以使用分子有理化法，将它们的分子有理化后再比较大小。
对于比较11/(2－3)与3/(3－2)的大小，可以使用分母有理化法，将它们的分母有理化后再比较大小。
对于比较19－12/33与1/3的大小，可以使用作差法，将它们相减后再比较大小。
对于比较已知x＝n＋3－n＋1，y＝n＋2－n的大小，可以使用倒数法，将它们的倒数比较大小。
对于比较x，x^2，x(0<x<1)的大小，可以使用特殊值法，找到一个特殊值，代入比较。
对于比较5－a与a－6的大小，可以使用定义法，将它们的定义式代入比较。
总之，比较含二次根式大小需要根据具体情况选择合适的方法，灵活运用各种方法可以得到简洁的解法。
文章格式错误严重，需要重新整理。
同时，文章中存在明显的错误和不完整的段落，需要删除。
以下是对原文的修改和改写：题目11：已知 n + 3 + n + 1.n + 2 + n，求证 x < y。
解：将式子化简得 n。
-2，因此 x。
-2.又因为 x + y。
0，所以 y。
-x。
综合两式得 x < y。
题目：已知 5 - a ≥ 1/2，求证 a - 6 < 0.解：将不等式两边同时减去 1/2，得 9/2 - a ≥ 0.因为 9/2.4，所以a ≤ 4.又因为 a - 6 < a - 5 ≤ -4 + 5 = 1，所以 a - 6 < 0.题目3：该段落不完整，删除。
比较二次根式大小的方法
。
＜
．
．
√ ＋√１＜ ＋√Ｉ ． ５ ３ √７ １
３ ３
“ 国际护士 节＂ 是在 每年 的哪 一天？５月 １ （ ２日）
…
Ｉ 掰 学
思考题：你能看 出待 比较 的两个式子的关系特征吗？ 自己编
几道类似的题试试看 ！
四、运用求差法进行 比较
比较依据 ：若 ａ ｂ Ｏ — ＞ ，则 ａ ｂ ＞；
解：． √ ＝√ ２ ‘３ ２ ３ ＝√ｌ，√ ＝ ２ ３ １， ／８√ｌ， 。 × ８ ２ ３ √ 一√ ２ 而、 ＞ ２ × ／ １
・ ． ．
３
＞ ２
．
二 、运 用根 式 的定 义 进 行 比较 比较 依 据 ： 二次 根 式 的定 义 ．
例 ２ 比 ／ 一 与 一 的大小． 较， ａ ３ ２
解 ： 由题 意 得 ２ ａ ， ．口 ． ．ａ ３ ０ ． ａ ＜ ． － ≥０ ’ ≤２ 。 一 ＜ ． 。 一３ ０ ． ． ．
又ｘ２ ，． ， 一 ＞， 一 ． ／一 ≥０ 。／ 口 ／ ３ ．２ ａ
三、运用平方法进行 比较
比较 依 据 ： 当 ａ Ｏ ＞ ＞ ，ｂ Ｏ时 ，若 ＞ ６，则 ａ ｂ ＞．
七 、运用 分母有 理化进 行 比较 对 于分母 中含二 次根式 的式 子的大 小 比较 问题 ，常用此法 ． 嵫
＝
与
，
的
．
４ ＋３ ￣ｖ
ห้องสมุดไป่ตู้
＝
，
Ｚ ３＋ ＜ ５＋
，
．
５ ＋１ ， ｓ一 １ １一
八 、运 用不等 式的传 递性进 行 比较 比较依据 ：若 ａ ｂ ＞ ，则 ａ ｃ ＞ ，ｂ ｃ ＞．
二次根式大小比较＂八法＂
５
与 ，
、
比较 被 开 方 数 法
解 ： ＋ 了） （ ＝１ ２ ８＋
（ ＋ Ｔ） ：１ ８＋２
Ｒ ‘ 一
例 １ 比较 ５ 与 ６ √
解：５ ＝ ・ ． ・
６ ３＝ ４－
× ＝ｖ 丽 ， ６ ／ ｉ
，
＞０
一 ＝
七 、 算 法 估
例 ７ 比较 与 ．
＝
（ 一５ ） ６ ：
而 ６ －５ ＞ ，・ ＋ １ 。・ ・ １ Ｓ ６ ｑ ｓ＋ ６
解 ：． ＜１８ 故 ． ． ．，
￣２ ２ ＞ ．９＿ｌ８ ．９一 ２２ ＿
三 、 商 法 作
．
总之 ， 只要 同学们善于观察 、 归纳 、 总结 ， 肯用 心 ， 一
定 能 突破 难 点 ． 好 数 学 ． 学 ．
叉ｑ ／ － ￣９ ＋
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＞厕
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０４了 ０４ ． ，５＜ ． ， ／
八 、 缩 法 放
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例３ 比较 ７ ４－４ ＋ ． —３ － ￣ １
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解． 一）（ １ ７ ： ７ ÷ ）Ｓ ． ＋ ： ． （
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比较二次根式大小的8种方法
比较大小是学习数学过程中经常会遇到的，通常用到的方法就是作差法，但是有时要对两个数进行大小的比较，仅仅用作差法是不行的，那怎么办呢？
别担心，本节整理的8种比较大小的方法，如果你能全掌握，那就可以对比较大小的题目“通吃”了，这8种方法不仅适用于二次根式大小的比较，对于其他数的大小比较也适用。
当然，本节是结合二次根式比较大小的题型来讲述这8种方法，既学会了二次根式大小的比较，又掌握了8种比较大小的方法，可谓收获良多。
接下来就让带大家一起来学习比较二次根式大小的8种方法：
平方法、作商法、分子有理化、分母有理化、作差法、倒数法、特殊值法、定义法
方法一：平方法
……根号内的数相加为同一个数时。
平方法是对要比较大小的两个数先平方，根据平方后数据的大小来确定原数的大小。
方法二：作商法
……向1靠拢，化同类项。
作商法是把要比较大小的两个数相除，根据除得的商来判断原来数值的大小，除得的商分大于1，等于1，或小于1。
方法三：分子有理化法
……根号内的数差为同一个数时，将分子化1，比分母。
分子有理化法是专门针对二次根式比较大小来说的，通过对分子有理化来判断出大小，再确定原数值的大小。
方法四：分母有理化法
……根号内的数相似，化同为目标。
分母有理化是通过对二次根式乘以有理化因式后，将原来的二次根式化简成最简二次根式再比较大小。
方法五：作差法（最常用）
作差法就是将比较大小的两个数相减，根据所得的差来看两数的大小，也是平时比较大小最常用的方法。
方法六：倒数法
倒数法就是先求出原数倒数的大小，再根据倒数的大小来确定原来数值的大小。
方法七：特殊值法
特殊值法就是通过对比较大小的代数式子赋特殊值的方法来确定大小的方法。
方法八：定义法
以上就是比较二次根式大小的8种方法，其中第5种最常用！这8种方法你掌握了几种呢？。