第7章 静电场和恒定电场
电磁场与波 静电场和恒定电场
当电荷分布在一个表面上时， 定义面 V (r ) 1 E RdV 电荷密度为单位面积上的电荷 3 q O V 4 0 lim R
S 0
例 有限长直线l上均匀分布着线密度为ρl的线电荷, 如下 图所示，求线外一点的电场强度。
l cos d dqdE z ' l dz 40 1 l E (cos cos ) z' r r ' ( a 1a z z ) 2 R a z 40 a ( z z ' )a z ] 1 1l [ l Ez (sin 1 sin 2 ) dz ' dE 3 40 4 R 无限长线电荷的场
y q 真空中的介电常数 （电容率） 1 40 R
q1
x
2、 电场强度 （Electric Field Intensity）
例：两个点电荷位于（1，0，0）和（0，1，0），带电量分 别为20nC和-20nC，求（0，0，1）点处的电场强度
分布电荷的电场强度
设电荷以体密度ρV(r′)分布在体积V内。在V内取一微小体 （ 积元 d1 V）线电荷 ′，其电荷量dq=ρV(r)dV′，将其视为点电荷，则它 线电荷密度（ Charge Line Density）： 在场点 P(r)处产生的电场为 当电荷分布在一细线（其横向尺寸与长度的比值很小） P(r) dq R dE 上时，定义线电荷密度为单位长度上的电荷 3 R
40 R （ 2）面电荷 V (r ) R dV r 3 40 R 面电荷密度（ Charge Areal Density）： r
dV
V
q l lim l 0 l
（3）体电荷
静电场和恒定电场
电 磁 学电磁学是研究有关电和磁现象的科学。
电磁学与生产技术的关系十分密切。
电能可以通过某些传感器很方便地转化为其他形式的能量；电能便于远距离传输，而且效率很高；电磁波的传播速度就是光速，用来远距离传递信息。
自从19世纪麦克斯韦建立电磁理论至今，人类在电磁理论和应用方面已经取得了突飞猛进的发展。
二百年前鲜为人知的电，如今早已走进千家万户，成为绝大多数人生活中不可缺少的一部分。
随着科学的发展，磁也越来越多地介入人类的生活，象征文明社会进步程度的磁卡、磁盘等正在被越来越多的人接受。
巴掌大的一个手机，可以使你在世界各地与远隔重洋的朋友随意交谈，信息时代，世界变小了。
如果说，电磁理论曾经为人类进入信息时代奠定了基础，那么，未来科学技术的发展仍然无法离开电与磁。
第7章 静电场和恒定电场§1静电场高斯定理一 电荷对电相互作用的观察在两千多年前就有了文字记载。
电(electricity)来源于希腊文elect ron ，原意是琥珀。
1747年，富兰克林(B ．Franklin)根据一系列实验研究的结果，提出了电荷的概念。
1 电荷的种类1897年，英国物理学家汤姆孙(J ．J ．Thomson)通过对阴极射线的研究，证明了阴极射线是一种粒子流。
这种粒子具有确定的荷质比，称之为电荷。
1911年，英国物理学家卢瑟福(E ．Rutherford)进行了α粒子轰击金箔的散射实验，发现了原子核，它带有正电并且集中了原子的绝大部分质量。
人们逐渐认识到，中性原子和带电的离子都是由原子核与电子依靠电相互作用而构成的。
宏观物体的电磁现象实质上都来源于微观粒子的状态和运动。
研究表明，原子核中有两种核子，一种是带正电的质子，一种是不带电的中子。
人类经过长期的生产实践，认识到自然界的物质中广泛存在的这种带电的物质是一种基本物质，称为电荷。
电荷有两种，一种是正电荷，一种是负电荷。
而且，同种电荷相斥；异种电荷相吸。
2 电荷的量子性质子和电子的电量分别为C 1910602.1-⨯±，以e ±表示。
第二章静电场恒定电场和恒定磁场
介质中的高斯定理表示为 式中电位移矢量为
在线性的各向同性的电介质中
例2.1在空气中放入一个带电量为Q、半径为a的球体，该球体的 相对介电常数为εr。求该球体内、外任意一点的电场强度。
解（1） 球内任意一点，设到球心距离为r,做高斯面为以r为半径的球面， 如图2.2所示。
由电场的对称性可知，E和D的方向为er,所以
大小、它们之间的距离和周围的电介质，即可以不用电容器。
例2.10同心金属球与球壳系统如图2.12所示，内导体球半径为a，外导体 球壳的内外半径分别为b和c，导体球与导体球壳带有等量异号电荷，它
们之间充满相对介电常数为 r 的电介质，球外为空气。求该导体系统
的电容。
解:根据高斯定理不难求出空间各点的电场强度，设导体球和导体球壳的 带电量分别是q和-q，则导体和导体球壳之间的电场强度的大小为
电场能为
WeΒιβλιοθήκη 1 2dVv
（2） 对于多导体系统
We
1 2
dV
v
例2.12半径分别为a和b的同轴线，外加电压为U，内圆柱体电荷量为正，外圆柱 面单位长度上的电荷量与内圆柱体等值异号。如图2.16(a)所示，两电极间在θ1的 角度内填充介电常数为ε的电介质，其余部分为空气，求同轴线单位长度上储存 的电场能量。
示，求在l长度上的外电感。
图2.25例2.20用图
例2.21一个半径为a的无限长直导线，在导线均匀流过的电流为I，求这个导线
在单位长度上的内电感，如图2.26所示（设导体内部的磁导率近似为μ0）。 解:截面上的磁通并没有与全部电流I交链，而只是与一部分电流交链，交链的总 磁链为
图2.26
2. 互 有两感个回路l1和l2，如图2.27所示。
2恒定电场
─ 焦耳定律积分形式
导体有电流时，必有功率损耗，其功率密度为
p dP dV J E
W/m3 ─ 焦耳定律微分形式
9
2.2
电源电动势与局外场强
2.2.1 电源电动势与局外场强 提供非静电力将其它形式的
能量转为电能的装置称为电源。
恒定电流的形成
要产生恒定电场，形成恒定电流，需要连接 直流电源。直流电源能将电源内的原子或分子的 正、负电荷分开，使正电荷移向正极，负电荷移 向负极。显然，这种移动电荷的作用力不是电场 的库仑力，称之为局外力，用 f e 表示。
第二章
序 导电媒质中的电流
恒定电场
电源电动势与局外场强
恒定电场基本方程、分界面上的衔接条件 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟
电导和部分电导
1
2.0 序
静电场中，导体内没有电场，没有电荷的运 动，导体是等位体，导体表面是等位面。 维持导体中具有恒定电流的电场称为恒定电 场。它与静电场有相似之处。 本章要求: 理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦 耳定律理解场量之间的关系。 掌握恒定电场的基本方程和分界面上的衔接条 件。 掌握静电比拟法和电导的计算。
E1n J1n / 1 0
理想介质
导体中
导体与理想介质分界面
E1t E2t J1t / 1 J1 / 1 0
D2 n D1n 2 E 2 n 1 E1n 2 E 2 n
结论1 分界面导体侧的电流一定与导体表面平行。 结论2 导体与理想介质分界面上必有面电荷。
l
( E ) dS 0
S
得 E 0
恒定电场是无旋场。
14
3. 恒定电场（电源外）的基本方程
静电场和恒定电场
选矿器
阴极射线示波器原理
2.1 电场强度与电位函数
• 2.1.1 库仑定律（Coulom‘s Law）
是静电现象的基本实验定律，表明固定在真
空中相距为R的两点电荷q1与q2之间的作用力： 正比于它们的电荷量的乘积；反比于它们之间
距离的平方；作用力的方向沿两者间的连线；
两点电荷同性为斥力，异性为吸力. F12
R3
Rdl
1
4 0
l
l
(r
)
1 R
dl
例：有限长直线上均匀分布着线密度为ρl的线 电荷，求线外一点的电场强度。
• 采用柱坐标，在直线上选一线元 dz ' 其上的电荷 l dz ' • 由它在场点产生的电场强度为 dE
• 由于直线电荷具有轴对 称性，因此电场可分解为如下 两个分量：
z ' z cot dz ' csc2 d R csc R2 2 csc2
P
q
4 0 R 2
dR
q
4 0 R
➢电位与电场强度之间的关系
E q E 4 0 R
以下表达式的参考点选在无穷远处，若源延伸到∞，则重选，以表达式 简捷、有意义为原则
•2.线电荷的电位表达式为
1 l (r) dl
40 l R
•3.面电荷的电位表达式为
1 S (r) dS
40 S R
Q
E dl
q qt 0 t
P
当电荷不延伸到无穷远处时，一般把电位参考点Q选在 无限远处，这将给电位的计算带来很大的方便。 此时，任意P点的电位为
P E dl
点电荷产生的电位
dl aRdlR a dl adl
aRdR a Rd a R sin d
静电场与恒定电场的区别与联系
静电场与恒定电场的区别与联系静电场与恒定电场都是物理学中的基本概念，它们在电学领域中起着非常重要的作用。
虽然它们的名称相似，但它们有着不同的定义和特点。
下面就来详细介绍一下静电场与恒定电场的区别与联系。
静电场是指在空间中一组静止的电荷所形成的场。
静电场的存在是由于电荷之间的相互作用，它可以对其它电荷产生吸引或排斥的作用力。
静电场的强度随着距离的增加而减弱，它的方向与电荷的正负性有关。
静电场的强度可以通过库仑定律来计算，即 F=k*q1*q2/r^2，其中F 为静电作用力，k为库仑常数，q1和q2为电荷大小，r为电荷之间的距离。
恒定电场是指在空间中存在一个不随时间变化的电场。
恒定电场的存在是由于电荷在电场中受到作用力，从而形成了电场。
恒定电场的强度在空间中是均匀的，方向也是固定不变的。
恒定电场的强度可以通过电场强度来描述，即E=F/q，其中E为电场强度，F为电荷受力大小，q为电荷大小。
静电场与恒定电场的联系在于它们都是电学中的基本概念，都是由电荷所形成的电场。
静电场和恒定电场都可以用数学模型来描述其强度和方向，并且它们都可以对其它电荷产生作用力。
静电场和恒定电场都是用来研究电荷之间的相互作用及其对电荷的运动产生的影响。
静电场与恒定电场的区别在于静电场是由静止的电荷所形成的场，而恒定电场是由电荷在电场中运动所形成的场。
另外，静电场的强度随距离的增加而减弱，而恒定电场的强度在空间中是均匀的。
最后，静电场可以存在于空间中的任何位置，而恒定电场只能存在于电荷周围的有限空间中。
综上所述，静电场与恒定电场虽然相似，但它们有着不同的定义、特点和应用。
在电学研究中，对于这两个概念的理解和掌握都是非常关键的。
静电场和恒定电场的异同
静电场和恒定电场的异同
静电场和恒定电场是电场的两种特殊情况，它们之间有一些异同之处。
一、相同点：
1. 都是电场：静电场和恒定电场都是指电荷周围的电场，都是由电荷所产生的电场。
2. 都是稳定的：静电场和恒定电场都是稳定的，即它们的电场强度和分布不会随时间变化。
3. 都符合库仑定律：静电场和恒定电场都符合库仑定律，即电荷之间的相互作用力与它们之间的距离的平方成反比。
二、不同点：
1. 定义不同：静电场是指电荷周围的电场，其中的电荷是静止的；而恒定电场是指电荷周围的电场，其中的电荷在运动，但是速度不变。
2. 电场强度的变化：静电场中，电荷周围的电场强度是由静止电荷所产生的，因此电场强度不会随时间变化；而恒定电场中，电荷在运动，因此电场强度会随
时间变化。
3. 电荷的运动：静电场中，电荷是静止的，不会发生运动；而恒定电场中，电荷在运动，但是速度不变。
4. 电场的形状：静电场中，电荷周围的电场呈球对称分布；而恒定电场中，电荷周围的电场呈线对称分布。
5. 应用不同：静电场主要应用于静电学中，如电荷的积累、电荷的移动等；而恒定电场主要应用于电路中，如电流的流动、电势差等。
综上所述，静电场和恒定电场在定义、电场强度的变化、电荷的运动、电场的形状、应用等方面存在一些异同之处。
了解它们的异同，可以更好地理解电场的性质和应用。
第七章 静电场和恒定磁场的性质
第七章 静电场和恒定磁场的性质基本要求：1、 理解电场的规律：高斯定理和环路定理，理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。
2、 掌握静电场的电势的概念与电势叠加原理，掌握电势与电场强度的积分关系，能计算一些简单问题中的电势。
3、 理解电动势的概念。
4、 理解毕奥-----萨伐尔定律，能计算一些简单问题中的磁感应强度。
5、 理解稳恒磁场的规律：磁场中的高斯定理和安培环路定理，理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。
6、 理解安培定律和洛伦兹力公式，理解磁矩的概念，能计算简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中或在无限长载流导体产生的非均匀磁场中所受的力和力矩，能分析点电荷在均匀电磁场（包括纯电场，纯磁场）中的受力和运动。
基本概念和主要内容a)、静电场高斯定理和环路定理i.电通量 →→∙=Φ⎰s d E s eii. 高斯定理ε∑⎰=⋅→→q s d E s电量是相对论的不变量 iii. 几种典型带电体的场强无限长带电直线的电场 rE 02πελ=无限大带电平面的的电场 02εσ=E 两无限大带等量异号电荷的平面间的电场 0εσ=E （4）静电场的场强环路定理0=⋅→→⎰ld E l静电场是保守场，运动电荷的电场为非保守场。
（5）电势→→⋅==⎰l d E q W U pp p 零电势能点零电势能点电势差→→⋅=⎰l d E U b aab（6）点电荷的电势公式 rq U 04πε=（7）电势的叠加原理 ∑=i iUU点电荷系的电势 ∑=iiirq U 04πε电荷连续分布的带电体的电势 rdq U 04πε⎰=（8）电场力做功)(b a b aab U U q l d E qA -=⋅=→→⎰（9）电场强度与电势的微分关系gradU U E -=-∇=→电场线与等势面处处垂直，电场线指向电势降低的方向。
b) 恒定电流的电场 i. 电动势 把单位正电荷经电源内部从负极搬运到正极，非静电力做的功。
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静电场和恒定电场一、选择题7.1、半径为R 的均匀带电球面，电量为Q ，球内一点P 距球心为)(R r r <，则P 点的电场强度大小和电势分别为 [ ]A、0；rQ04πεB、204rQ πε；r Q04πε C 、0；R Q 04πε D 、R Q04πε；07.2、如图所示，一带电直线段长为L ，线电荷密度为λ，则直线段延长线上距原点为()r r L >处的电场强度的大小为 [ ]()()()()222200;4444LLA iB i LLr r λλπεπε---()()()()00;44L L C i D i r r L r r L λλπεπε---7.3、如图所示，一带电直线段长为L ，线电荷密度为λ，则直线段延长线上距原点为()r r L >处的电势的大小为 [ ]()()()()0ln ;ln44ln;ln44r L r L A B r r r r C D r Lr Lλλπεπελλπεπε+--++7.4、如图所示，在等边三角形的三个顶点上放置三个正的点电荷q 、2q 和3q 。
三角形的边长为a ，若将正点电荷Q 从无限远处移至三角形的几何中心点o 处，外力做功为 [ ]()()()()0000;4444A B a a C D aaπεπεπεπε7.5、在带电量为Q -的点电荷A 的静电场中，将另一个带电量为q 的点电荷B 从a 点移到b 点，a b 、亮点距离点电荷A 的距离分别为1r 和2r ，如图所示，那么在点电荷q 移动过程中电场力做的功为 [ ]()()()()0120120120211111;441111;44Q qQ A B r r r r qQ qQ C D r r r r πεπεπεπε⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7.6、如图所示，闭合曲面s 内有一点电荷q ，P 为s 面上一点，在s 面外A 点有一点电荷q '，若将q '移至B 点，则：[ ]()A 穿过s 面的电通量改变，P 点的电场强度不变。
()B 穿过s 面的电通量不变，P 点的电场强度改变。
()C 穿过s 面的电通量和P 点的电场强度都不变。
()D 穿过s 面的电通量和P 点的电场强度都改变。
7.7、半径为R 的导体球原来不带电，在离球心为a 的地方放一电量为q 的点电荷()a R >，如图所示，则该导体球的电势为[ ]()()()()()()200200..44..44qR q A B aa q qaC D a R a R πεπεπεπε--7.8、一平行板电容器充电后断开电源，将负极板接地，在两极板之间有一正电荷起电量很小，固定在P 点，如图所示，如以E 表示两极板之间的电场强度的大小，u ∆表示电容器两极板之间的电势差，W 表示正电荷在P 点的电势能。
若保持负极板不动，将正极板移至到图中虚线所示的位置。
则[ ]()A u ∆变小，E 不变，W 不变。
()B u∆变大，E 不变，W 不变。
-bq 'BA∙-+P()C u∆不变，E 变大，W 变大。
()D u ∆不变，E 变小，W 变小。
二、填空题7.9、点电荷q 位于边长为a 的正立方体的中心，通过此正立方体的每一面的电通量为 ；若电荷移至此正立方体的一个顶点上，通过与该顶点相邻的每一面的电通量为 ；通过与该顶点不相邻的每一面的电通量为 ；7.10、实验表明，地球表面上方电场不为零，晴天大气电场的平均场强约为120/V m ，方向向下，这意味着地球表面上的平均电荷面密度为 2/C m （库仑/平方米）。
7.11、一无限长的均匀带电薄壁圆筒，截面半径为a ，面电荷密度为σ，垂直于管轴方向从中心轴向外的径矢的大小为()r r a <处的场强大小1E = ；垂直于管轴方向从中心轴向外的径矢的大小为()r r a >处的场强大小2E = 。
7.12、真空中两个点电荷分别带电荷2Q 和Q ，相距为l ，那么第三个点电荷应放在 处所受合力为零。
7.13、两个很长的共轴圆柱面，半径分别为2123.010,0.1R m R m -=⨯=，内、外圆柱面均匀带有正、负等量异号电荷，两者的电势差为450V 。
则圆柱面单位长度上带有的电荷分别为： 。
两个圆柱面之间的电场强度大小为： 。
7.14、两个同心球面半径分别为()1212R R R R <和,各自带有电荷分别为12Q Q 和。
则到球心距离1r R <区域内的场强大小1E = ；两个球面之间（12R r R <<）区域内的场强大小2E = ；到球心距离2r R >区域内的场强大小3E =；7.15、两个同心球面半径分别为()1212R R R R <和,各自带有电荷分别为12Q Q 和。
则到球心距离1r R <区域内的电势1U = ；两个球面之间（12R r R <<）区域内的电势2U = ；到球心距离2r R >区域内的电势3U =。
7.16、两个同心球面半径分别为()1212R R R R <和,各自带有电荷分别为12Q Q 和。
那么两球面的电势差为：1,2V = 。
7.17、如图所示，一个接地的导体球，半径为R ，原来不带电。
今将一点电荷q 放在球外距球心为r 的地方，则球上的感生电荷总量为Q = 。
7.18、均匀带电球体其介电系数为ε，带电量为q ，半径为R ，球外为真空。
则球体内部且到球心距离为()r r R <点处场强大小为E = ；电势V = 。
球体外部且到球心距离为()r r R >点处场强大小为E =；电势V = 。
7.19、真空中有一均匀带电球面，球的半径为R ，带电量为()0Q Q >。
今在球面上挖去一块很小的面积元ds （连同其上的电荷），其余电荷仍均匀分布，则挖去后球心处电场强度大小为0E =,电场强度0E的方向 。
7.20、一根不导电的细塑料杆，被弯成近乎完整的圆，圆的半径为0.5m ，杆的两端有2210m -⨯的缝隙，93.1210C -⨯的负电荷均匀分布在杆上，则圆心处的电场强度的大小为E= ；圆心处的电势为V = 。
三、计算题7.21、一均匀带电直线段，长为L ,电荷线密度为λ。
求直线的延长线上距L 中点为r （2L r >）处的场强。
7.22、 一长为L 的均匀带电细棒，其电荷的线密度为λ，一点电荷0q 置于棒的延长线上距棒端为a 的p 点，求点电荷0q 所受的库仑力。
7.23、一均匀带电直线段，长为L ,电荷线密度为λ。
求直线的延长线上距L 中点为r （2L r >）处的电势。
7.24、用细绝缘线弯成的半圆形环，半径为R ，其上均匀带正电荷Q ,求圆心o 点处的电场强度。
7.25、 计算均匀带电细圆环在其轴线上一点的场强。
圆环的电量为q ，半径为a ，待求点距圆环中心为x 。
7.26、 一均匀带电薄圆盘，半径为R ，面点荷密度为σ，求圆盘轴线上距盘心为x 一点的场强。
7.27、 一均匀带电薄圆盘，半径为R ，面点荷密度为σ，求圆盘轴线上距盘心为x 一点的电势。
7.28、一根不导电的细塑料杆，被弯成近乎完整的圆，圆的半径为0.5m ，杆的两端有2210m-⨯的缝隙，3.12910-⨯c 的正电荷均匀地分布在杆上，求圆心处电场的大小和方向。
7.29、 求均匀带电球面内、外电场强度，球面半径为R ,所带电量为Q （Q >0）7.30、 图示为半径分别是12R R 和的两个同心球面，其上均匀地分布着电荷12Q Q 和,求（1）Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的场强分布；（2）若21Q Q =-,情况又如何？画出上述情况下的E -r图线。
7.31、 如图所示，一球形带电体，电荷的体密度为ρ，其内有一偏心的球形空腔，试证明空腔内有均匀电场（提示：可将空腔球形带电体，等效为一个带正电荷的与球体等大的实球体同一带负电的与空腔等大的实球体相叠加）。
7.32、 一厚度为d 的无限大平板，平板体内均匀带电，体电荷密度为ρ。
求板内外的场强分布，画出E -x 图线。
7.33、两个无限大均匀带电平面，电荷密度分别为+σ和-σ，求此系统的电场分布。
7.34 、一边长为a 的正三角形，其三个顶点上各放以q ，-q 和2q 的点电荷，求此三角形重心上的电势。
将一电量为+Q 的点电荷由无限远处移至重心上，外力要做多少功？ 7.35 如图所示，三块互相平行的均匀带电大平面，电荷的面密度分别为4252421231.210/, 2.010/, 1.110/c m c m c m σσσ---=⨯=⨯=⨯。
a 点与平面B 相距5.0cm ，bⅢ点与平面B 相距7.0cm 。
求（1）a 、b 两点的电势差；（2）如果把一电量80 1.010q -=-⨯的点电荷从a 点到b 点，外力克服电场力做多少功？7.36、 一个导体球半径为1R ，其外同心地罩以内外半径分别为23R R 、的厚导体壳。
此系统带电后内球电势为U ，外球所带电量为Q 。
求此系统各处的电势和电场分布。
7.37 、一平行板电容器，极板面积为S ,两极板间距离为(d d <<中间充满相对介电常数为r ε的各向同性的均匀电介质，设两极板上带电量分别为Q Q 和-，求（1）电容器内外场强大小的分布()E r ； （2）两板间的电势差大小U ； （3）电容器的电容C 。
（4）电容器贮存的能量W7.38、一球形电容器，内外球壳半径分别为12R R 和，两球壳间充满了相对介电系数为r ε的各向同性均匀电介质，设两球所带电量分别为Q Q 和-，求： （1）电容器内外场强大小的分布()E r ； （2）两板间的电势差大小U ； （3）电容器的电容C 。
（4）电容器贮存的能量W7.39 、一圆柱形电容器，内圆柱的半径为1R ,外圆柱的半径为2R ，长为L （21()L R R >>-）,两圆柱之间充满着相对介电系数为r ε的各向同性的均匀电介质，设内外圆柱单位长度上带电量分别为λλ-和，求：（1）电容器内外场强大小的分布()E r ； （2）两板间的电势差大小U ； （3）电容器的电容C 。
（4）电容器贮存的能量W7.40、 如图所示，计算均匀带电金属薄球壳的静电能，已知薄球壳的半径为R ，带电量为Q ，球外为真空。
aσ1A CB σ２σ３b第七章 静电场和恒定电场试题参考答案一、选择题7.1、 7.2、D 7.3、B 7.4、C 7.5、C 7.6、B 7.7、B 7.8、A 二、填空题 7.9、0;0;624qq εε7.10、721.0610/C m -⨯ 7.11、1200;a E E rσε==7.12、两个点电荷之间距离Q为)1l 处 7.13、8122.110, 3.7410/C m E rV λ--=±⨯⋅=⨯ 7.14、11212322000;;44Q Q Q E E E rrπεπε+===7.15、 7.16、11,2012114Q V R R πε⎛⎫=- ⎪⎝⎭7.17、R qr -7.18、()2332003;.;4844q R r qr q q RRrrπεπεπεπε-7.19、24016Q ds Rπε；0E的方向从0点指向面积元ds7.20、 三、计算题。