2018年“达利教育卓越奖”初中学科竞赛七年级数学试题

2018年“达利教育卓越奖”初中学科竞赛

七年级数学试题

（试卷总分100分；考试时间120分钟）

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

1．观察按一定规律排列的一列数：1121231234

, 2334445555

⋯，，，，，，，，，若第n

个数是11

26，则n的值为（▲）

A．301 B．310 C．311 D．312 2．当甲是乙现在的年龄时，乙30岁；当乙是甲现在的年龄时，甲45岁，那么（▲）A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁

C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁

3．关于x的不等式组

23(3)1

32

4

x x

x

x a

<-+

⎧

⎪

⎨+

>+

⎪⎩

有四个整数解，则a的取值范围是（▲）

A．

115

42

a

-<≤- B．

115

42

a

-≤<-

C．

115

42

a

-≤≤- D．

115

42

a

-<<-

4．如图，△ABC 中，︒=∠90BAC ，AC AB =，︒=∠x MAB （0＜x ＜90），B 点关于

AM 的对称点为D 点，

CD 交AM 于点E ，︒=∠y BEC ，则y 与x 的数量关系是（ ▲ ） A ．︒=90y B ．︒+=302x y C ．x y 3= D ．︒-=304x y

5．甲、乙两人沿同一路线骑车(匀速)从A 地到B 地，甲需要30分钟，乙需要40分钟，若乙比甲早出发6分钟，当甲追上乙以后，乙再经过t 分钟到达B 地，则t 的值为（ ▲ ） A ．25 B ．20 C ．16 D ．10

6．如图，两条线段把△ABC 分为三个三角形和一个四边形，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是（ ▲ ） A ．18 B ．17

C ．11

D ．10.5

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7．若

1

3

210

345n

=

+

+，则n 表示的数是 . 8．将一幅三角板按如图所示叠放，︒=∠90C ，︒=∠30A ，︒=∠45D ，将△DCE 绕直角顶点C 顺时针旋转一个锐角θ时，边DE 分别交AB 、AC 于点P 、Q ，当△Q AP 为等腰三角形. 则锐角θ的度数是 .

A

B

M

C

A

D

C

B

E

A

D

C

B

E

P

Q

θ

9．某公司计划安排720人租车出游，要求每辆车都坐满. 每辆50座车的租金为800元，每

辆40座车的租金为680元. 则该公司这次租车费用最少要 元.

10．如图，凹四边形ABCD ，AE 平分

∠则B ∠、D ∠、E ∠

11．如果关于x 的不等式()n m x n m 52--+＞0的解集为x ＜

11

7

，那么关于x 的不等式 mx ＞n (0≠m )的解集为 .

12．如图，在△OAB 中，OB OA =，点C 、D 分别在OA 、OB 边上，CE 平分ACD ∠，

114CEB ∠=︒，则=∠ODC 度

三、解答题（本大题共5小题，共52分）

13．（10分）已知△ABC 的两边上的高分别为5和20，若第三边上的高也是整数，求第三

边上的高是多少？

O

A

B

C

D

E

14.（10分）已知三个非负数a b c 、、满足325a b c ++=和231a b c +-=，若

37m a b c =+-，求m 的最大值与最小值之和是多少？

15．（10分）若1abc =，解关于x 的方程： 2018111=++++++++ca

c x

bc b x ab a x .

.

16．（10分）解方程：[]1

4133

x x +=-，其中[a ]表示不超过a 的最大整数.

17．（12分）引理：在一个三角形中，大角对大边. 如图1，△ABC 中，若B ∠＞C ∠，则

AC ＞AB .

应用：如图2，点O 是边长为1的等边△ABC 内的任意一点，OC OB OA m ++=，

求证：3

22

m <<.

图1

A

C B

B

图2

2018年“达利教育卓越奖”初中学科竞赛

七年级数学试题

一、选择题（每小题4分，共24分）

二、填空题（每小题4分，共24分）

7．4； 8．15︒或60︒； 9．11640； 10．2B D E ∠-∠=∠； 11．5

8

x <； 12．48︒.

三、解答题（本大题共5小题，共52分） 13．（10分）解：

111

520222222,,520a b ch S s s s a b c h a b c a b

⨯=⨯==∴===-<<+设

2222252052011111

5205203152020s s s s s h h h ∴-<<+∴-<<+<<

20

43

h h h ∴

>>∴为整数=5或6

.....................3 .....................5 .....................6 (7)

(8)

(9)

(10)

14．（10分）

325213a b c

a b c +=-⎧⎨

+=+⎩

解： 解得：73

711a c b c

=-⎧⎨

=-⎩

..a b c 为非负数

73071100c c c -≥⎧⎪

∴-≥⎨⎪≥⎩

37

711

c ∴≤≤ 37m a b c =+-

()()373711732m c c c c ∴=-+--=-

71=

1111

35=77

c m c m ∴--

当时，最大为当时，最小为

156211777

⎛⎫∴-

+-=- ⎪⎝⎭

(2)

(4)

(5)

(6)

(7)

(9)

(8)

(10)

15．（10分） 解：

111 2018

11111120181(1)(1)1201811

1 2018111 x a ab b bc c ac a ab x a ab b bc a c ac ab a ab x a ab a ab abc ab abc ac ab abc a ab x a ab a ab ab a ⎛⎫

++= ⎪++++++⎝⎭

⎡⎤⋅⋅++=⎢⎥++++++⎣⎦⎡⎤++=⎢⎥++++++⋅⎣⎦

=⎡

⎤∴++=⎢⎥++++++⎣⎦

1 20181 2018a ab x a ab

x ++⋅=++= 16．（10分）解：

.....................1 .....................6 ..................7 .....................8 .....................9 (10)

()()()()1134+131334133

1314133

131,432133111

134,3918

233,3915

332,3912431,392131,9331185999

x x x x x x x x x x x x x x -≤<-+∴-≤<-∴-≤+<-

⎡⎫

------⎪⎢⎣⎭

∴-=-=-

-=-=-

-=-=-

-=-=-⎡⎫

-∉--⎪

⎢⎣⎭∴=---在中整数有，，，得得得得或或

17．（12分）

//.9090MN BC AB AC M N AMN AOM AON AOM AOM AMN AM AO ∴∆∴∠∠︒∠≥︒

∴∠>∠∴>过O 作交、于、也为等边三角形与中必有一个角大于或等于设①

(4)

.....................5 .....................6 .....................7 .....................8 .....................9 .....................10 .....................1 .....................4 (5)

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AB MN CN m

MN AN

AB AN CN m

AB AC m

m +>+>∴+++>∴∴∴②

③

①②③得

+++++++=+++2

()2323

32

322

OA OB AB

OA OC BC

OB OC BC

OA OB OC m m m +>+>+>∴++>∴>>∴<<

B C .....................9 .....................10 .....................11 (12)