高二数学重点例题汇总

卓越暑期辅导中心数学阶段测试题（高一升高二）

姓名： 成绩： 一、选择题。（3分/个）

1． 已知实数,x y 满足221x y +=，则代数式()()11xy xy -+有 ( ) （A ）最小值12

和最大值1 （B ）最小值34

和最大值1

（C ）最小值

12

和最大值

34

（D ）最小值1

2．已知,0a b >以下命题中, 正确的命题个数是 ( )

①

2

2b a b

a a

b +≤+， ②

，

2

2

2

2b

a b a +≤

+ ③ b

a b

a

a

b

+≥+

2

2

个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个

3.已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A ．64

B ．81

C ．128

D ．243

4.已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30

B ．45

C ．90

D ．186

5.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ）

A. 2

B. 4

C.

152

D. 172

6.在数列{}n a 中，12a =， 11

ln(1)n n a a n

+=++，则n a = ( )

A ．2ln n +

B ．2(1)ln n n +-

C ．2ln n n +

D ．1ln n n ++ 7．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都

有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 8．已知函数()()2

212

f x x a x =

+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是

（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3

9．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中

正确的是（ ）

A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］

B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )

C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］

D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )

10.函数sin ()sin 2sin

2

x f x x x =+是 ( )

A ．以4π为周期的偶函数

B ．以2π为周期的奇函数

C ．以2π为周期的偶函数

D ．以4π为周期的奇函数 二、填空（4分/个）

11.已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = ____________ 12.函数y =x －2

x

-1＋2的值域为__ ___．

13.设02x π⎛⎫

∈ ⎪

⎝⎭

，，则函数2

2sin 1sin 2x y x

+=

的最小值为 ．

14.已知,0x y >，且211x

y

+=，那么x y +有最小值____________.

15.设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = ___________。 三、计算题。（50分）

16.（8分）求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值

17.(10分)设A B C △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，

sin 4b A =．

（Ⅰ）求边长a ；

（Ⅱ）若A B C △的面积10S =，求A B C △的周长l ．

18.(10分)设,,,0a b x y >，且1a b +=，求证：()()ax by ay bx xy ++≥，并指出等号成立条件.

19.(10分)已知等差数列0,1}{1>=d a a n 公差的首项，且第二项、第五项、第十 四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设,,),()

3(121*

t b b b S N n a n b n n n n 是否存在最大的整数

+++=∈+=

使

得对任意的t

t S n n 求出若存在总成立均有,?36

>

；若不存在，请说明理由.

20．（12分）已知函数f (x )=

x

a

x x ++22

，x ∈［1，＋∞］

1时，求函数f(x)的最小值；

（1）当a=

2

（2）若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

高一升高二答案卷

一、选择：1—5：BDACC 6—10：ACABA 二、填空：

11. 15 12. (－∞，3) 13. 3 14.322+ 15. ()112

n n ++

三、计算题：

16. 解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①

将①式右边反序得： 1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S ……② 又

因

为

1

cos sin ),90cos(sin 2

2=+-=x x x x ，①+②得 ：

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 22

2

2222

++⋅⋅⋅++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5

17. 解：（1）由cos 3a B =与sin 4b A =两式相除，有：

3cos cos cos cot 4sin sin sin a B a B b B B

b A

A

b

B

b

==

=

=

又通过cos 3a B =知：cos 0B >， 则3cos 5

B =

，4sin 5

B =

，

则5a =． （2）由1sin 2

S ac B

=

，得到5c =． 由2

2

2

cos 2a c b

B ac

+-=

，

解得：25b =， 最后1025l =+． 18.证明：∵1a b +=

()()()()()()2

2

2

2

2

2

2

2ax by ay bx a b

xy ab x y

a b

xy abxy a b xy xy

++=+++≥++=+= 或

()()

()()2

1ax by ay bx a b ax by a b xy

x

y ++⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭

当且仅当x y =时等号成立

19.由题意得2111)4()13)((d a d a d a +=++，

整理得.221d d a =

.2),0(,11===d d a 舍解得

).(12*

N ∈-=∴n n a n

（2）),111(21)

1(21)

3(1+-=

+=

+=

n n n n a n b n n )]

1

11(

)3

121(

)211[(2

121+-

++-+-

=

+++=∴n n b b b S n n

.)

1(2)1

11(2

1+=

+-

=

n n n

假设存在整数36

t S t n >满足总成立。

又0)

1)(2(21

)

1(2)

2(211>++=

+-

++=

-+n n n n

n n S S n n ，

}{n S 数列∴是单调递增的。 .9,4

136

,4

11<<=

∴t t S S n 即故

的最小值为

又,*N ∈t t 适合条件的∴的最大值为8。

20. (1)当a =21

时，f (x )=x ＋

x

21＋2，x ∈1，＋∞)

设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋

1

12

2121x x x -

-=(x 2－x 1)＋

2

1212x x x x -=(x 2－

x 1)(1－2

121x x )

∵x 2＞x 1≥1， ∴x 2－x 1＞0，1－2

121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1)

可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为

f (1)=2

7

．

(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=x

a

x x ++22

＞0恒成立⇔x 2

＋2x ＋a ＞0恒成

立

设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是

增函数，

当x=1时，y min=3＋a，于是当且仅当y min=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．

计算题：

求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.