高一升高二暑期数学衔接学习与指导：线性规划

简单的线性规划

栏目一：知识要点 一、知识清单

1.二元一次不等式表示的区域

对于直线0=++C By Ax (A>0)，不等式0>++C By Ax 或0<++C By Ax 的解集表示平面内的区域. 2.线性规划

（1）一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. （2）线性规划的三个基本要素

①约束条件：指关于一组变量x 、y 的不等式组；

②目标函数(,)z f x y =：一般是z ax by =+（表示平行直线系或旋转直线系），或y b

z x a

-=-（表示斜率），或22()()z x a y b =-+-（表示距离的平方），多数情况下目标函数为第一种类型.

称为或由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以称其为线性约束条件.是欲达到最大值或最小值所涉及变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以叫做线性目标函数.

③可行域：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使目标函数达到最值的可行解叫最优解. 二、方法清单

1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法:（1）直线定界，特殊点定域

①直线定界：若不等式不含等号，则应把直线画成虚线;若不等式含有等号，把直线画成实线；

②特殊点定域：在直线0Ax By C ++=的某一侧取一个特殊点00(,)x y 作为测试点，代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧，特别地，当0C ≠时，常把原点作为测试点;当0C =时，常选点（1，0）或者（0，1）作为测试点. （2）一元二次不等式表示平面区域的 “同上异下”法则

如果规定：不等式方向为“>”或“≥”的不等式符号为“正”， 不等式方向为“<”或“≤”的不等式的符号为“负”，那么：

①当B 的符号与不等式符号相同（即0B >且0Ax By C ++>，或0B <且0Ax By C ++<）时，一元二次不等式表示直线0Ax By C ++=上方的区域（此即为“同上”）；

②当B 的符号与不等式符号相反（即0B >且0Ax By C ++<，或0B <且0Ax By C ++>）时，一元二次不等式表示直线0Ax By C ++=下方的区域（此即为“异下”）.

2.求线性规划最优解的一般算法步骤 第一步：根据约束条件准确作出可行域.

第二步：识别目标函数，确定目标函数的几何意义（平行直线系？旋转直线系？斜率？距离？等） 第三步：发现最优解位置 第四步：求出最优解

3.利用简单线性规划解决实际问题的方法：图解法， 算法步骤为：

（1）设元引参，设出所求未知数;（2）列出约束条件;（3）建立目标函数;(4）作出可行域;（5）运用图解法求出最优解. 三、教材挖掘

1.不等式y kx b >+表示的区域为直线上方,不等式y kx b <+表示的区域为直线下方

2.线性目标函数z ax by =+的最优解与b 的符号对应关系

当0b >直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大;在轴上截距最小时，z 值最小。 当0b <直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小;在轴上截距最小时，z 值最大。

（3）解线性规划问题的关键步骤在图上写成，所以作图应精确，求最优解时，若没有特殊要求，一般为边界交点，若实际问题要求的最优解是整数解，而利用图解法得到的解为非整数解，应作适当调整。 3.两点与直线的位置关系: 设点111222(,),(,)P x y P x y ，直线l ：0=++C By Ax （1）若点12,P P 在直线l 同侧，那么1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，反之亦然； （2）若点12,P P 在直线l 异侧，那么1122()()0Ax By C Ax By C ++++<，反之亦然.

4.注意特殊的二元一次不等式表示的区域: 如x a >表示直线x a =右侧的平面区域（不含边界）；类似地，x a <表示直线x a =左侧的平面区域（不含边界）

；y b >表示直线y b =上方的平面区域（不含边界）；y b <表示直线y b =左侧的平面区域（不含边界）.

栏目二：基础自测

1． 已知点（1，3）和（－4，－2）在直线20x y m ++=的两侧，则m 的取值范围是（ ） A. 5m <-或10m > B. 5m =或10m = C. 510m -<< D. 510m -≤≤

2.若变量x 、y 满足约束条件6

321x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨

⎪≥⎩

，则23z x y =+的最小值为（ ）

A ．17

B ．14

C ．5

D ．3

3.实数,x y 满足不等式组00220

y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩

，则1

1y k x -=+的取值范围是 . 4．已知点P 的坐标（y x ,）满足：430

3525x-10x y x y -+≤⎧⎪+≤⎨

⎪≥⎩

及(2,0)A ，则||cos OP AOP ⋅∠（O 为坐标原点）的最

大值是 .

栏目三：重难点突破

考点1 二元一次不等式表示的平面区域

例1．设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是

( )

(A) (B) (C) (D)

考点2 应用线性规划求最值

例2．设,x y 满足约束条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

，分别求下列目标函数的最大值和最小值：

（1）610z x y =+；（2）2z x y =-；（3）6

y z x

-=；（4）22(2)z x y =+-.

考点3 线性规划的实际应用

例3.某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

栏目四：过关检测

1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )

2．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )

A ．2

B ．1 C.12 D.1

4

3.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式⎪

⎩⎪

⎨⎧≤≤≤≤y

x x x 22

20 给定，若M （x ，y ）为D 上的动点，点A

的坐标为(2,1)，则z =OM ·OA 的最大值为（ ）

A ．3

B ．4

C ．32

D ．42

4.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为（ ）

（A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元

5.设,x y 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨

⎧≥≥≥+-≤--0,0020

63y x y x y x ， 若目标函数z

ax by =+（0,0a b >>）的值是最大值为12，则23

a

b

+的最小值为( ).

A.625

B.38

C. 3

11 D. 4

6．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋2y ≥0x －y ≤0

0≤y ≤k

，若z 的最大值为6，则z 的最小值为________．

7.已知14x y -<+<且23x y <-<，则23x y -的取值范围是 .

8.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 .

9．画出不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3

表示的平面区域，并回答下列问题：

(1)指出x 、y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？

10．某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？