代数式：整式
第2讲 代数式与整式课件
4.多项式: 由几个单项式相② 加 组成的代数式叫做多项式.
5.多项式的次数: 一个多项式中,⑤ 次数最高的项的次数 就是这个多项
式的次数.
【疑难典析】
6.整式:③ 单项式和多项式统称为整式. 字母x的次数是1而不是0;单项式xy
的次数是2;单项式的系数包括它前
面的符号,如-2xy的系数是-2.
C.4035x2018
D.4036x2018
课前考点过关
4. 已知 a,b,c 是△ABC 的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果是 ( B )
A.2a+2b-2c
B.0
5. 若 am=2,an=8,则 am-n=
C.2a+2b
1
4
D.2c
.
6. 如图中的四边形为矩形,根据图形写出一个正确的等式
(1)去括号法则:括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变号;括号前是“-”号,把
括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都改变符号. +(b+c)= b+c
(2)整式的加减可以归结为去括号和① 合并同类项.
-(b-c)= -b+c
课前考点过关
【疑难典析】
2.幂的运算
m
am+n
x,y 的值.
原式=(x²+2x+1)+(y²-6y+9)
=(x+1)2+(y-3)2+11.
∵(x+1)2≥0,(y-3)2≥0,
∴原代数式最小值为11,
此时
x=-1,y=3.
课堂互动探究
探究三 整式的创新应用(微专题)
代数式整式
代数式整式ppt xx年xx月xx日•代数式整式的定义和分类•代数式整式的运算•代数式整式的应用•代数式整式的化简和简化目•代数式整式的综合应用•代数式整式的拓展提升录01代数式整式的定义和分类代数式是一种数学表达式，它可以用字母、数字和运算符号进行组合。
代数式中可以包含加、减、乘、除等基本运算，也可以包含括号和幂运算等复杂运算。
代数式的定义整式是一种代数式，它只包含加、减、乘、除等基本运算，不包含幂运算。
整式中只允许使用整数或整数的加减乘除运算，不能使用小数、分数或根号等运算。
整式的定义代数式可以分为单项式和多项式两种类型，其中单项式只包含一个字母或数字，多项式则包含多个单项式。
整式也可以分为单项式和多项式两种类型，其中单项式的系数必须是整数，而多项式的系数则可以是整数或整数加减乘除运算的结果。
代数式和整式的分类02代数式整式的运算1 2 3代数式的加减法运算是在代数符号前面添加适当的数，并且根据加法和减法法则进行运算。
代数式的加减法可以合并同类项，即把相同的代数项合并起来，简化计算。
代数式的加减法可以化简复杂式子，即把式子中复杂的部分用简单的符号代替，从而简化计算。
03代数式的除法可以转化为乘法的倒数，即把除法转化为乘法的倒数进行计算。
01代数式的乘除法是通过在代数符号前面添加系数相乘或相除的数，并且根据乘法和除法的运算法则进行运算。
02代数式的乘法可以分配律展开，即把一个系数分别乘入代数式的每一项中。
代数式的乘方和幂运算01代数式的乘方是通过在代数符号前面添加系数自乘的数，并且根据乘方的运算法则进行运算。
02幂运算是指在一个数或代数符号前面添加指数，即表示该数或代数式的次数。
03代数式的乘方和幂运算可以结合使用，即一个数或代数式的幂可以与另一个数或代数式的乘方相乘。
03代数式整式的应用代数式是将实际问题抽象为数学模型的重要工具。
通过将实际问题的已知量和未知量之间的关系用数学符号表示出来，能够更好地理解和分析问题的本质。
代数式、整式
【代数式、整式】用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
注意：有等号和不等号连接的式子就不是代数式了。
整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。
单项式和多项式统称为整式。
（1）单项式的概念由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式（monomial ）。
单独一个数或一个字母也叫单项式，如Q ，-1，a 。
（2）单项式的系数1、单项式中的常数因数及性质符号叫做单项式的系数.2．如果一个单项式只含有字母因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为-1.（3）单项式的次数1、一个单项式中所有字母指数的和叫做这个单项式的次数。
例：4xy 的系数为4，次数为2。
x 的指数是1，y 的指数是1，指数相加得2.（1）多项式及有关概念几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式有几项就叫做几项式。
多项式中的符号，看作各项的性质符号.一元N 次多项式最多N+1项。
例：在多项式2x-3中，2x 和-3是他的项，其中-3是常项数；在多项式x²+2x+18中它的项分别是x²；，2x 和18，其中18是常数项。
（2）多项式的次数多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.（3）多项式的排列1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
随堂练习1、下列整式：―52x 2，21（a+b ）c ，3xy ，0，332 a ，―5a 2+a 中，是单项式的有 ，是多项式的有 .2． 多项式―35a 3b ―7ab ―6ab 4+1是 次 项式，它最高项的系数是 . 3． 温度由10℃上升了t ℃后是 ℃.4． 商场中某牌子的电视机有A ，B ，C 三种型号，售价分别为3000元，3500元，4000元，三月份商场出售的这三种型号的电视机数量分别是：A 型的a 台，B 型的b 台，C 型的c 台， 则该商场三月份这三种电视的销售额是 元.5． 在y 3+1，m 3+1，―x 2y ，cab ―1，―8z ，0中，整式的个数是（ ） A. 6 B.3 C.4 D.56． 下列说法正确的是（ ）A.8―z2是多项式 B. ―x 2yz 是三次单项式，系数为0 C. x 2―3xy 2+2 x 2y 3―1是五次多项式 D. x b 5-是单项式 7． 下列结论中，正确的是（ ）A 、单项式52ab 2的系数是2，次数是2 B 、单项式a 既没有系数，也没有指数 C 、单项式—ab 2c 的系数是—1，次数是4 D 、没有加减运算的代数式是单项式8． 单项式―x 2yz 2的系数、次数分别是（ ）A ．0，2 B.0，4 C. ―1，5 D. 1，49． 下列说法正确的是（ ）A. 没有加、减运算的式子叫单项式B. 35πab 的系数是35，次数是3 C. 单项式―1的次数是0 D. 2a 2b ―2ab+3是二次三项式10．如果一个多项式的次数是5，那么这个多项式的任何一项的次数（ ）A ．都小于5 B. 都等于5 C.都不小于5 D.都不大于511．某市出租车收费标准是：起步价7元，当路程超过4km 时，每km 收费1.5元，如果某出租车行驶P （P >4），司机应收费（单位：元）( )A. 7+1.5PB. 7―1.5PC.7+（P ―4）×1.5D. 7―（P ―4）×1.512．如果单项式3a 2b43-m 的次数与单项式31x 3y 2z 2的次数相同，试求m 的值。
《代数式》整式及其加减
整式的运算，通过整式的计算可以得出实际问题的解决方案。
03也经常需要用到整式。例如，计算两
地之间的行程时间，或者根据速度和时间求解距离，都需要运用整式进
行运算。
THANKS
感谢观看
整式的化简
去括号法
通过去括号的方式将整式 化简，使其更为简洁易算 。
合并同类项法
将同类项合并，达到整式 化简的效果，简化计算过 程。
分式分解法
将复杂的分式整式通过分 解分式的方法化简为更简 单的形式。
整式的求值方法
直接代入法
将给定的变量值直接代入整式中 ，进行计算求出整式的值。
公式法
应用已知的代数公式，简化整式的 求值过程。
同类项的合并
01
02
03
定义
同类项是指字母部分完全 相同，并且相同字母的次 数也相同的项。
合并方法
直接将同类项的系数进行 相加或相减，字母及其次 数保持不变。
示例
$3x^2y$ 与 $-2x^2y$ 是同类项，合并后为 $x^2y$。
整式加减法的应用举例
多项式加减法
多项式中的每一项都可以视为一个整式，因此可以直接应 用整式的加减法法则进行运算。例如：$(3x^2 + 2xy y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 2x^2 + 4xy - 2y^2$。
分类
整式可分为单项式和多项式两大类。单项式是由数 或字母的积组成的整式，而多项式则是由若干个单 项式的和组成的整式。
整式的次数与项数
次数
整式的次数是指该整式中最高次项的次数，即该整式中所有字母的指数之和的 最大值。例如，多项式 3x^2y + 2xy + y 的次数为 3。
整式及代数式知识点梳理
第三章 整式的加减1、代数式用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。
等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
※代数式的书写格式：①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt ； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a ；③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如a ⨯312应写作a 37； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作44-a ；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如)(22b a -平方米。
2、整式：单项式和多项式统称为整式。
①单项式：都是数字和字母乘积的形式的代数式叫做单项式。
单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；数字因数叫做这个单项式的系数。
注意：1.单独的一个数或一个字母也是单项式；2.单独一个非零数的次数是0；3.当单项式的系数为1或-1时，这个“1”应省略不写，如-ab 的系数是-1，a 3b 的系数是1。
②多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中，每个单项式叫做多项式的项；次数最高的项的次数叫做多项式的次数。
3、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
注意：①同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。
②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； ③几个常数项也是同类项。
4、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
4.代数式和整式的初步知识
初三数学总复习4.代数式和整式的初步知识一：前提诊测，明确目标 （一）：【知识目标】（一）：【知识梳理】1. 代数式的分类:2. 代数式的有关概念(1)代数式: 用 (加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式。
单独的一个数或者一个字母也是代数式．（2）有理式： 和 统称有理式。
（3）无理式：3.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
求代数式的值可以直接代入、计算。
如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。
1.整式有关概念（1）单项式：只含有 的积的代数式叫做单项式。
单项式中____________叫做这个单项式的系数；单项式中____________叫做这个单项式的次数；（2）多项式：几个 的和，叫做多项式。
____________ 叫做常数项。
多项式中____________的次数，就是这个多项式的次数。
多项式中____________的个数，就是这个多项式的项数。
2.同类项、合并同类项（1）同类项：________________________________ 叫做同类项； （2）合并同类项：________________________________ 叫做合并同类项； （3）合并同类项法则： 。
（4）去括号法则：括号前是“＋”号，________________________________ 括号前是“－”号，________________________________ （5）添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都 ；括号前是“－”号，括到括号里的各项的符号都 。
3.整式的运算（1）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。
（2）整式的乘除法： ①幂的运算：0;;();()11,(0,)m n m n m n m n m n mn n n np p a a a a a a a a ab a b a a a p a+--⋅=÷=====≠为整数代数式 有理式 无理式②整式的乘法法则：单项式乘以单项式：。
第1部分 第1章 第2节 代数式与整式
8．乘法公式 (1)完全平方公式：(a±b)2＝⑫ a2±2ab＋b2 ． (2)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑬ a2－b2 ．
因式分解(10 年 7 考) 把一个多项式化为⑭ n个最简整式的积 的形式叫做把这个多项式因 式分解． 1．因式分解的方法 (1)提公因式法 a．公因式的确定：Ⅰ.系数：取各项系数的最大公约数；Ⅱ.字母：取 各项相同的字母；Ⅲ.指数：取各项相同字母的最低次数． b．公式：ma＋mb＋mc＝⑮ m(a＋b＋c)．
代数式及其求值[2019.18，2014.7，2013.20(1)] 1．代数式的概念 用加、减、乘、除、乘方、开方等运算符号把数或表示数的字母连接 而成的式子，叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 2．列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示 出来．
3．代数式的求值 (1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计 算求值． (2)整体代入法：a.观察已知条件和所求代数式的关系；b.将所求代数 式变形后与已知代数式成倍分关系，一般会用到提公因式法、平方差公式 法、完全平方公式法；c.把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值．
提取公因式时不能忽略数字因式；因式分解的结果一定是积的形式； 因式分解一定要分解到底.
整体代入法在求代数式的值的问题 中的应用 有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上
进行整体分析，运用整体思想方法，往往能出奇制胜，简捷解题．
整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体 形式、整体结构及整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．整体 思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整 体配凑及整体构造等．
代数式整式的加法和减法
05
整式的加减混合运算
整式的加减混合运算法则
合并同类项
在整式加减混合运算中， 常常需要将同类项进行合 并，以简化运算过程。
括号内的优先运算
在有括号的情况下，括号 内的运算应优先进行，遵 循先小括号后大括号的顺 序。
代数式是数学中基本且重要的概念之一，是数学表达和计算 的基础。
代数式的表示方法
通常使用字母表示未知数，数字和数学符号组成表达式。 例如，x + 3, 4x^2 - 7y, (x+2)^3 等都是代数式。
代数式的分类
整式
只包含加、减、乘、除和乘方运算的代数式 。
多项式
由多个单项式组成的代数式。
分式
代数式整式的加法和减法
2023-11-09
contents
目录
• 代数式的基本概念 • 整式的基本概念 • 整式的加法 • 整式的减法 • 整式的加减混合运算 • 整式的加减法在实际问题中的应用
01
代数式的基本概念
什么是代数式
代数式是由数学符号（加、减、乘、除、乘方等）和数字组 成的数学表达式。
合并同类项：把所有同类项合并起来 。
整式加法的例子
• 同类项：$2x^{2}$ 与 $6x^{2}$，$3x$ 与 $-2x$， $5$ 与 $7$。 • 结果：$(8x^{2} + x + 12)$。
$(2x^{2} + 3x + 5) + (6x^{2} - 2x + 7)$
• 系数相加：$2 + 6 = 8$，$3 - 2 = 1$，$5 + 7 = 12$。
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代数式：整式
A组
一、选择题
1．下列式子中，正确的是（）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（）
A．是根式也是整式B．实数a的相反数是－a是负数
C．实数a的倒数是D．带根号的数是无理数
3．下列各式中去括号正确的是（）
A．B．
C．D．
4．下列运算中，结果正确的是（）
①②③④
A．①②B．②④C．②③D．②③④
5．已知下列运算：①；②；③；④，其中错误的运算个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．下列用科学记数法表示的各数中，正确的是（）
A．B．
C．D．
7．将二次三项式进行配方，正确的结果是（）
A．B．C．D．
8．下列各题中，所列代数式错误的是（）
A．表示“比a与b的积的2倍小5的数”的代数式是；
B．表示“a与b的平方差的倒数“的代数式是；
C．表示“被5除商是a，余数是2”的代数式是5a＋2；
D．表示“数a的一半与数b的3倍的差”的代数式是.
9．下列各式中与相等的是（）
A．x B．－x C．D．－
10．若实数x满足，则的值为（）
A．3 B．2 D．3或－2 D．－3或2
11．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（）A．B．C．D．
12．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简结果为（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．多项式的次数是.
14．多项式的二次项系数是.
15．若，则a与b互为，若则x与y互为.
16．化简，.
17．计算：
18．化简：
19．已知，则实数的相反数为 .
20．化简：21．计算：
22．计算：23．计算：.
24．如果某商品降价x%后的售价为a元，那么该商品的原价为元（用代数式表示）. 25．每支钢笔原价a元，降低20%后的价格是元.
三、解答题
26．先化简，再求值：
，其中.
27．先化简，再求值：，其中.
28．先化简，再求值：，其中.
B组
1．先化简，再计算：，其中.
2．先化简，再求值：，其中. 3．给出下列算式：
1＋3＝4，①1＋3＋5＝9，②1＋3＋5＋7＝16，③1＋3＋5＋7＋9＝25. ④……⑤
观察上面一系列等式，你能发现什么规律？用代数式来表述这个规律.
因式分解A组
一、选择题
1．多项式分解因式的结果是（）
A．B．C．D．
2．把分解因式的结果为（）
A．B．C．D．
3．下列因式分解正确的是（）
A．B．
C．D．
4．把分解因式的结果是（）
A．B．C．D．
5．把分解因式的结果为（）
A．B．
C．D．
6．若方程的两根是，则二次三项式可分解为（）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．分解因式8．分解因式
9．分解因式10．分解因式.
11．分解因式12．在实数范围分解因式
13．分解因式
三、解答题
14．分解因式：15．分解因式：
16．分解因式：17．分解因式：.
B组
一、选择题
1．分解因式的结果为（）
A．B．C．D．
2．把二次三项式分解因式结果是（）
A．B．C．D．
3．下列各式分解因式中正确的是（）
A．B．
C．D．
4．已知关于x的方程的两个根为.则二次三项式可分解为（）
A．B．C．D．
5．下列分解因式中正确的是（）
A．B．
C．D．
二、将下列各式分解因式
6．（1）；（2）若将原题加上“在实数范围内分解”的条件呢？
7．.8．.
分式A组
一、选择题
1．若分式的值为0，则x的值是（）A．2或－2 B．－2 C．2 D．4
2．下列等式中正确的是（）
A．B．C．D．
3．使分式自左至右变形成立的条件是（）
A．B．C．D．且
4．若将分式（a、b均为正数）中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（）A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的C．不变D．缩小为原来的.
5．分式的最简公分母是（）
A．B．C．D．
6．计算的结果是（）
A．B．－C．－D．.
7．计算的结果是（）
A．B．C．D．.
8．计算正确的结果为（）
A．B．C．D．
二、填空题
9．当时，分式的值为0. 10．计算：. 11．计算：.12．当时，代数式的值是.
13．如果，那么.14．若，则. 15．若，则16．若a、b都是正数，且，则17．分式与的最简公分母是.
三、解答题
18．计算：.19．计算：.20．计算：. 21．当时，求代数式的值.
22．先化简，再求值：，其中.
23．先化简，再求值：，其中.
B组
1．化简.
2．计算：.
3．化简并求值：，其中
二次根式A组
一、选择题
2．的算术平方根是（）A．B．3 C．D．6
4．化简得（）A．1 B．C．D．.
5．当时，化简的结果是（）A．B．C．D．
7．如果，那么a的取值范围是（）A．任意实数B．C．D．
8．下列根式中属最简二次根式的是（）A．B．C．D．
9．在二次根式中，与最简二次根式是同类二次根式的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
10．下列计算正确的是（）A．B．C．D．. 11．化简的结果是（）A．0 B．C．D．
12．化简的结果是（）A．B．C．D．
二、填空题
13．分数（填是或不是）.
14．比较大小：（填“＞”号或“＜”号＝）.
15．在数轴上表示a、b两数的点的位置如图所示，则化简
16．计算：17．计算：
18．计算：19．已知，则的值
20．已知，那么
21．的倒数与的相反数的和列式为，计算结果为 .
22．计算：
三、解答题
23．计算：.24．计算：.
25．计算：.26．计算：
27．先化简，再求值：，其中.
28．先化简，再求值：，其中.
B组
1．计算：.
2．先化简，再求值：，其中.
3．当时，求
的值.
4．化简：
整式参考答案A组
一、1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D 7．B 8．B 9．D 10．A 11．A 12．A 提示：11．由同类项概念列方程组
解得得二单项式为，
. ∴二单项式的积，选A.
二、13．4 14．－9 15．相反数，倒数16．17．18．19．2 20．4ab21．22．23．24．25．
三、26．27．28．
B组
1．，－9 2．3．前n个正奇数的和等于，即
（n为自然数）.
因式分解参考答案A组
一、1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．D
二、7．8．9．10．
11．12．13．
三、14．原式15．原式
16．原式
17．原式
B组
一、1．C 2．B 3．C 4．A 5．B
二、6．（1）原式（2）若在实数范围内分解，则
原式.
7．原式. 8．原式.分式参考答案A组
一、1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．B 7．B 8．B
二、9．1．10．.11．12．13．14．2．15．16．
17．
提示：12．原式先变形再代入，更简单.
15．由已知解得，再整体代入所求式.
16．由已知，得.∴，得.
三、18．19．20．21．22．23．，
3.
二次根式参考答案A组
一、1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 7．B 8．B 9．C 10．A 11．B 12．A
二、13．不是. 14．＜. 15．3a. 16．0．17．10．18．. 19．.
20．. 21．. 22．
三、23．. 24．. 25．10．26．0．27．. 28．. B组
1．.
2．原式
当时，原式.
3．原式
当时，原式＝2.
4．原式。