数列通项公式之累加法与累乘法讲课讲稿
数列通项公式之累加法与累乘法
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收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 1. 已知数列{}n a 满足1121
1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
2. 已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；
3. 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
4. 已知数列
{}n a 中，)(0)1()2(,211++∈=+-+=N n a n a n a n n ，求数列{}n a 的通项
公式.
高二数学必修5数列通项公式的求法归纳
数列通项公式的求法 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公 式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123 a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵255a S = ∴211)4(2 455d a d a +=??+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5 353)1(53=?-+=】 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 二、公式法 若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-2111n S S n S a n n n 求解。 例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。 解：由1121111=?-==a a S a 当2≥n 时，有 ,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?- ,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?-L ].)1(2[323])2(1[2)1(2)] 2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n n n n n n n Λ 经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3 212---+=n n n a 点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．
高中数学常见题型解法第36招 归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法
【知识要点】 一、数列的通项公式 如果数列{}n a 的第n 项n a 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即()n a f n =.不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式. 二、数列的通项的常见求法：通项五法 1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据n a 与项数n 的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明. 2、公式法：若在已知数列中存在：)0(,)(1 1≠==-++q q a a d a a n n n n 或 常数的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：)()(n f S a f S n n n ==或的关系， 可以利用项和公式11(1) (2)n n n S n a S S n -=?=?-≥?，求数列的通项. 3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：1()(2)n n a a f n n --=≥的关系，可用“累加法”求通项. 4、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在： 1 ()(2)n n a g n n a -=≥的关系，可用“累乘法”求通项. 5、构造法：(见下一讲) 【方法讲评】 方法一 归纳法 使用情景 已知数列的首项和递推公式 解题步骤 观察、归纳、猜想、证明. 【例1】在数列{n a }中，16a =，且1 11n n n a a n n ---=++*(,2)n N n ∈≥， （1）求234,,a a a 的值； （2）猜测数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.
【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法. 【反馈检测1】在单调递增数列{}n a 中，11a =，22a =，且21221,,n n n a a a -+成等差数列，22122 ,,n n n a a a ++成等比数列，1,2,3,n =L ． （1）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （3）设数列1{}n a 的前n 项和为n S ，证明：42 n n S n <+，n *∈N ． 方法二 公式法
高中数学数列通项公式的求法(方法总结)
（1）主题：求数列通项n a 的常用方法总结 一、 形如：特殊情况：当n+11,n n A B C A a a A =*+*+≠，常用累加法。 (n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z ； 的通项公式，进而求得n a 。 二、 形n a a * ；
三、 形 ()x f x =） 情形1：1n n A B a a +=*+型。设λ是不动点方程的根，得数列 {}n a λ-是 以公比为A 的等比数列。 情形2：1*n n n A B C D a a a +*+=+型。 设1λ和2λ 是不动点方程 *A x B x C x D *+=+的两个根； （1）当12λλ≠时，数列n 12n a a λλ??-?? ??-????是以12 A C A C λλ -*-*为公比的等比数列； （2）当12 =λλλ =时，数列1n a λ???? ??-???? 是以2*C A D +为公差的等差数列。 【推导过程：递推式为a n+1= d ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列 a n+1－λ= d ca b aa n n ++－λ= d ca c a d b a c a n n +--+ -) )((λλλ，令λ＝－λ λc a d b --，可得λ＝d c b a ++λλ ……（1）。（1）是a n+1=d ca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。 ○ 1当方程（1）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝ d ca a c a n n +--))((11λλ，a n+1－λ２＝d ca a c a n n +--) )((22λλ ∴ 2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --?21λλ--n n a a ，令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝ 2 1 λλc a c a --?b n ○ 2当方程（1）出现重根同为λ时， 由a n+1－λ＝ d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λ c a c -＋))((λλλ--+n a c a c d （ “分离常数”）。设c n =λ-n a 1 得c n ＋１＝ λ λc a c d -+?c n ＋ λ c a c -】
第36招归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第36讲： 数列通项的求注一(归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法) 【知识要点】 一、数列的通项公式 如果数列〈an ?的第n 项a n 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列 的通项公式.即a . = f (n).不是每一个数列都有通项公式 .不是每一个数列只有一个通项公式 二、数列的通项的常见求法：通项五法 1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据 的通项公式，最后再证明. 2、公式法：若在已知数列中存在： a n 1 -a n = d(常数)或a n 1二q,(q = 0)的关系，可采用求等差数列、 a n 等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在： S n 二f (a n )或S n 二f(n)的关系, $ (n =1) 可以利用项和公式 a= ，求数列的通项. n IS n —S n 』(n >2) 3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在： a n - a n 』二f (n) (n _ 2)的关系，可用“累加法”求通项 5、构造法：(见下一讲) * 【例 1】在数列｛a n ｝中，ai =6，且 a n - a n4 心5 1 (n ，N , n - 2)， n (1)求 a 2 ,a 3, a 4的值; (2)猜测数列｛ a n ｝的通项公式，并用数学归纳法证明 【解析】 ⑴ ^-12^=20^ = 30 a n 与项数n 的关系，猜想数列 4 、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在: a n =g( n)( n 一2)的关系, 可用“累乘法”求通项 a n J
数列通项公式的求法(类型总结)
构造法在数列中的应用——数列通项公式的求法 一、形如)(1 n f a a n n +=+(其中f （n ）不是常数函数)型数列（累加法） 一般地，对于形如)(1 n f a a n n +=+(其中f （n ）不是常数函数)类的通项公式，且 )()2()1(n f f f +++ 的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。 即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥； 〖例1〗.（2015江苏理数11）.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列 }1 { n a 的前10项和为 。 二、形如 n 1 n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）型数列（累乘法） 一般地对于形如“已知a 1，且 n 1 n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：1 2 112 1 n n n n n a a a a a a a a ---= ??? ?(2)n ≥； 〖例2〗．在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n·n a ，求n a 的表达式。 〖练1〗.在数列{an}中，a1=1，（n+2）?an+1=（n+1）?an ，则an= 〖练2〗.数列{}n a 中，2 11=a ，前n 项的和n n a n S 2=，求1+n a .
三、形如1n n a pa q +=+型数列 构造的思路有两种： （1）是待定系数法构造，设1()n n a m p a m ++=+，展开整理1n n a pa pm m +=+-，比 较系数有 pm m b -=，所以1b m p =-，所以1 n b a p +-是等比数列，公比为p ，首项为 11 b a p + -。（2）是用作差法直接构造，1n n a pa q +=+，1n n a pa q -=+，两式相减有11()n n n n a a p a a +--=-，所以1n n a a +-是公比为p 的等比数列。 〖例3〗、已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式. 〖例4〗、在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求{}n a 的通项公式。 四、形如 C Bn Aa a n n ++=+1型数列， 一 般地，对于型如C Bn Aa a n n ++=+1型数列可化为 ])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n 的形式来求通项。 〖例5〗、设数列{}n a 中，111,321n n a a a n +==++，求{}n a 的通项公式。
方法 累加法与累乘法
方法1：累加法与累乘法 A组 1.☆[累加法] 设数列{a n}中，a?＝2，a n+1＝a n＋n＋2，则通项a n＝． 2.◇设数列{a n}中，a?＝3，a n＝a n-1＋2n，则通项a n＝． 3.◇(2010辽宁卷T16) 已知数列{a n}满足a?＝33，a n+1－a n＝2n，则a n n的最小值为． 4.◇(2011四川卷T8) 数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n＝a n+1－a n (n∈N*)．若b?＝－2，b10＝12，则 a8＝．
5. ◇(2015江苏卷T11)[累加法＆裂项相消法] 设数列{a n }满足a ?＝1，且a n +1－a n ＝n ＋1 (n ∈N *)，则数列{1 a n } 前10项的和为 ． 6. ◇数列{a n }满足a ?＝1，且对任意的m , n ∈N *，都有a m +n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1 a ?＋1 a ?＋1 a ?＋…＋1 a 2012＝ ． 7. ◇已知数列{a n }中，a ?＝p ，a ?＝q ，且a n +2－2a n +1＋a n ＝d ，求数列{a n }的通项公式． 8. ☆[累乘法] 已知数列{a n }中，a ?＝2，满足a n +1＝n ＋2 n a n ，求数列{a n }的通项公式．
9.◇已知数列{a n}中，a?＝5，满足a n＝(1＋1 n)a n-1，求数列{a n}的通项公式． 10.◇已知数列{a n}中，a?＝1 3 ，满足a n+1＝(1 3 ＋2 3n)a n，求数列{a n}的通项公式． 11.◇在数列{a n}与{b n}中，a?＝1，b?＝4，数列{a n}的前n项和S n满足nS n+1－(n＋3)S n＝0，2a n+1为b n与b n+1的 等比中项，n∈N*． ⑴求a?, b?的值； ⑵求数列{a n}与{b n}的通项公式．
数列通项公式的求法集锦
数列通项公式的求法集锦 非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法 形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例1. 在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。 解：∵111n a ==时， 213243121 23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=?? -=? ? -=??? -=-??时, 这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222 n n n a -+= (n N * ∈). 例2．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N * ∈),求n a 。 解：n=1时, 1a =1212323431 122 22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=?? -=? ? -=????-=? 时, 以上n-1个等式累加得 2 1 122 (2) n n a a --=+++=12(12)12 n ---=22n -，故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满 足该式 ∴21n n a =- (n N * ∈)。 二、累乘法 形如 1 ()n n a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例3．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。
数列通项公式前n项和求法总结全
一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列 {}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及 前n 项和. 2.公式法 求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。 特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系 例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12-=n s n 变式练习：
1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2+n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和21 2n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列： 求通项公式 类型2 特征：递推公式为 n n a n f a )(1=+ 对策：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法求解。 例4. 已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，求n a 。 变式练习：
数列之累加法与累乘法老师专用
n a ． 2 n (n ＋3) 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a n ＝ (n ≥2) ． 2 ＝ 2 ＝ 2 n 2＋3n －4 n 2＋3n n (n ＋3) ∴ a n ＝a ?＋ ， n 2＋3n －4 2 ×(n －1)＝ 2 (n ＋1)＋ 3 ＝ 解析：由已知得 a n +1－a n ＝n ＋2，于是有 a n －a ? ＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋(a n -2－a n -3)＋……＋(a ? －a ?) n n n ∴ a n ＝a ?＋(n ＋2)(n －1)＝3＋(n ＋2)(n －1)＝n 2＋n ＋1 (n ≥2)． 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a ＝n 2＋n ＋1． ×(n －1)＝(n ＋2)(n －1)． 2 2n ＋4 ＝ 解析：由已知得 a n －a n -1＝2n ，于是有 a n －a ? ＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋(a n -2－a n -3)＋……＋(a ? －a ?) n n n 数列之累加法与累乘法 老师专用 1. ☆[累加法] 设数列{a n }中，a ?＝2，a n +1＝a n ＋n ＋2，则通项 a n ＝ ． 2. ◇设数列{a n }中，a ?＝3，a n ＝a n -1＋2n ，则通项 a n ＝ ． 3. ◇(2010 辽宁卷T16) 已知数列{a n }满足 a ?＝33，a n +1－a n ＝2n ，则a n 的最小值为 ． 4. ◇(2011 四川卷T8) 数列{a n }的首项为 3，{b n }为等差数列且 b n ＝a n +1－a n (n ∈N *)．若 b ?＝－2，b 10＝12，则a 8＝ ． 5. ◇(2015 江苏卷T11)[累加法＆裂项相消法] 设数列{a n }满足 a ?＝1，且 a n +1－a n ＝n ＋1 (n ∈N *)，则数列{ 1 } n 为 2 ． n 21 所以a n 的最小21 53 5 33 n ＝ 6 ＋ ＝ 2 ＜ ， 当 n ＝6 时，a 53 4 33 n ＝ 5 ＋ ＝ ； 5 和 6．*/ 当 n ＝5 时，a x ≥2 33，当且仅当 x ＝ 33时取得最小值．最接近 33的两个整数是 x ＋ /*若 x ＞0，x ∈R ，由基本不等式可得 33 ＋n －1， n n 33 ∴ a n ＝a ?＋n (n －1)＝33＋n (n －1)，则 a n 解析：a ?－a ?＝2，a ?－a ?＝4，a 4－a ?＝6，…，a n －a n -1＝2(n －1)， 以上各式左右两边分别相加，得 a n －a ?＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n (n － 1)， b 10－b ? 解析：设{b n }的公差为 d ，则 d ＝ 10－3 ＝2，∴ bn ＝b ?＋(n －3)d ＝2(n －4)，即 a n +1－a n ＝2(n －4)． 则 a ?－a ?＝－6，a ?－a ?＝－4，a 4－a ?＝－2，…，a n －a n -1＝2(n － 5)， 累加得到 a n －a ?＝(－6)＋(－4)＋(－2)＋…＋2(n －5)＝(n － 8)(n －1)， 故 a n ＝3＋(n －8)(n －1)，a 8＝3．
求数列通项公式的十种方法
1． 观察法（求出a1、a2、a3，然后找规律） 即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳法加以证明即可。 例1.设11=a ，)(222 1*+∈++-= N n b a a a n n n ，若1=b ，求32,a a 及数列}{n a 的通项公式． 解：由题意可知：11111+-==a ， 112212212 12+-==++-=a a a ， 113121222223+-=+=++-=a a a . 因此猜想11+-=n a n . 下面用数学归纳法证明上式． （1）当n ＝1时，结论显然成立． （2）假设当n ＝k 时结论成立，即11+-=k a k . (3)则11)1(11)1(11)1(12222 1+-+=++-=++-=++-=+k k a a a a k k k k ， 即当n ＝k ＋1时结论也成立． 由（1）、（2）可知，对于一切正整数n ，都有)(11* ∈+-=N n n a n ．（最后一句总结很重要） 2．定义法（已知数列为等差或者等比） 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。 例2.已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=，求{}n a 的通项公式。 解：设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=，所以2d =. 又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n = .
3．公式法 若已知数列的前n 项和与的关系，求数列的通项可用公式 求解。（一定要讨论n=1，n≥2） 例3.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23 3.n n S =+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式。 解：（Ⅰ）由 233n n S =+ 可得：当1=n 时， 111(33)32 a S == +=， 当2≥n 时，11111(33)(33)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥ 而 11133a -=≠， 所以 13,1,3, 1.n n n a n -=?=?>? 4．累加法 当递推公式为)(1n f a a n n +=+时，通常解法是把原递推公式转化为。 例4.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列{a n }的前10项和为 解：由题意得： 112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- 12)1(+++-+= n n 2 )1(+=n n 5．累乘法 当递推公式为)(1n f a a n n =+时，通常解法是把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 n s n a {}n a n a 1()n n a a f n +-=
数列通项公式的求解方法归纳
数列通项公式的解法 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具体的数列进行适当的变形，一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。做题时要不断总结经验，多加琢磨。 总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中. 1.直接法 2.公式法 3.归纳猜想法 4.累加（乘）法 5.取倒（对）数法 6.迭代法 7.待定系数法 8.特征根法 9.不动点法10.换元法11.双数列12.周期型13.分解因式法14.循环法15.开方法 ◆一、直接法 根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） ,17 164,1093 ,5 42,211 （3） ,52,21,32, 1 （4） ,5 4 ,43, 32,21-- ◆二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.
数列通项公式 累乘和累加法 学案
名校学案，高二数学,必修五，数列，拔高训练,优质学案,专题汇编（附详解） 1 专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法 学习目标 1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法； 2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法； 3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。 ________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。 例：已知数},{n a 其中,, 111n a a a n n +==+ ① 求它的通项n a 。 变题1：把①式改为;11+=+n n a a 变题2：把①式改为;21 n n n a a +=+ 小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？ 变题3：把①式改为;11n n a n n a += + 变题4：把①式改为;21 n n a a =+ 小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？ 挑战高考题： 1.(2015.浙江.17）已知数列{}n a 满足n n n a a a 2,211==+，)*∈N n （。 （1）求n a 2.（2008.江西.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211n a a a n n ++==+，则=n a （ ）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++ 你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？ 通过本节课的学习你收获了什么？
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细） 总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法 二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑
例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13) 2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +，得 111 21 3333n n n n n a a +++=++， 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故 11223211 2232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1 333333 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++
谈谈累加法和累乘法的另一种形式
谈谈累加法和累乘法的另一种形式 课本上推导等差数列的通项公式和等比数列的通项公式分别用了累加法和累乘法，在各类考试中也经常出现使用累加和累乘的方法来求通项公式的问题，它们的重要性毋庸置疑．笔者在此给出累加法和累乘法的另一种形式，它使用起来更加简洁明了． 递推关系1()n n a a f n +-=可用累加法求其通项公式： 1 1 1 111 1 ()()n n n k k k k a a a a f k a --+=== -+=+∑∑，2n ≥， 若()(1)()f n g n g n =+-，则1()n n a a f n +-=可以写成1(1)()n n a a g n g n +-=+-，即 1(1)()n n a g n a g n +-+=-，这说明()n a g n -为常数，即1()(1)n a g n a g -=-，由此可求 得2n ≥时的n a ； 递推关系 1 ()n n a f n a +=可用累乘法来求其通项公式： 1 1 1 1111 ()n n n n k k n a a a a f n a --+====∏∏，2n ≥， 若(1)()()g n f n g n += ，则1()n n a f n a +=可以写成1(1) () n n a g n a g n ++=，即 1(1)()n n a a g n g n +=+，这说明 ()n a g n 为常数，即1()(1) n a a g n g =，由此可求得2n ≥时的n a ． 例1：等差数列1n n a a d +-=，将d 改写(1)n d nd +-，则由上可知1n a nd a d -=-，故 2n ≥时1(1)n a a n d =+-，经检验1a 符合上式，故1(1)n a a n d =+-． 例2：等比数列1 n n a q a +=，将q 改写为1n n q q +，则由上可知1n n a a q q =，故2n ≥时11n n a a q -=，经检验1a 符合上式，故11n n a a q -=． 例3：数列{}n a 满足 11 n n a n a n ++= 且11a =，则n a =_____________. 解： 1111n n n n a a a n a n n n +++=?=+，所以111n a a n ==，所以2n ≥时n a n =，经检验1a 符合上 式，故n a n =．
累加法与累乘法
求数列通项公式之累加法 （1）累加法：如果递推公式形式为：()1n n a a f n +-=或)(1n f a a n n +=+，则可利用累加法求通项公式 注意：①等号右边为关于n 的表达式，且能够进行求和 ②1,n n a a +的系数相同，且为作差的形式 ③、具体操作流程之一：若1()n n a a f n +-=， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1：数列{}n a 满足：11a =，且121n n n a a +-=+，求n a 解：121n n n a a +-=+ 累加可得：()2 112221n n a a n --=++ ++- 【关键提示】：是否能利用累加法，首先要看能否将数列的递推公式整理成 ) (1n f a a n n =-+或 例2：已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解： 【变式训练】： 变式1、已知数列{}n a 的首项为1，且n a a n n 21+=+写出数列{}n a 的通项公式. 变式2、在数列{}n a 中，01=a 且 121-+=+n a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。 变式3、已知数列{}n a 满足1=a 变式4、在数列{}n a 中，1=a 变式5、已知数列{}n a 满足1321+?+=+n n n a a ，31=a ，求数列{}n a 的通项公式。
累 乘 法 1、数列}{n a 中，12a =, 1(1)n n na n a +=+ , 求}{n a 通项公式 解：因为1(1)n n na n a +=+ 所以n n a a n n 1 1+= + 则11 -= -n n a a n n (1) . （2） . . . . 1212= a a (n-1) 将上式中的（1）*（2）*………*（n-1）化简得 , 1 n a a n =（n 》2） 所以 n a n 2= （n 》2） 当n=1时满足上式，所以n a n 2= 总结：满足 n 1a a n 与+的比值为常数或者变量的时候都可以采用累乘法 变式1：数列}{n a 中，12a =,32=a ，n n a n na )1(1-=+ , 求}{n a 通项公式 解： 变式2：数列}{n a 中，12a =, n n a n na )2(1+=+ , 求}{n a 通项公式 解： 变式3：已知数列{}n a 中，3 1 1=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。
求数列通项公式方法经典总结归纳
求数列通项公式方法 （1）．公式法（定义法） 根据等差数列、等比数列的定义求通项 1..数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式； 2.设数列}{n a 满足01=a 且111 111=---+n n a a ，求}{n a 的通项公式 3.已知数列{}n a 满足112,12 n n n a a a a += =+，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列}{n a 满足2122142++=?==n n n a a a a a 且，（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式； 5.已知数列}{n a 满足，21=a 且1152(5)n n n n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式； 6.已知数列}{n a 满足，21=a 且115223(522)n n n n a a +++?+=+?+（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式； 7.数列已知数列{}n a 满足111 ,41(1).2 n n a a a n -==+>则数列{}n a 的通项公式= （2）累加法 累加法适用于：1()n n a a f n +=+ 若1()n n a a f n +-=，则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=L L 两边分别相加得111 ()n n k a a f n +=-=∑ 例：1.已知数列{}n a 满足1 41, 2 12 11-+ ==+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列之累加法与累乘法老师专用
n ． 2 n (n ＋ 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a ＝ (n ≥2)2 ＝ 2 ＝ 2 n 2＋3n －4 n 2＋3n n (n ＋∴ a ＝a ?＋ ， n 2＋3n －4 2 ×(n －1)2 (n ＋1)＋＝ 解析：由已知得 a －a ＝n ＋2，于是有 a －a ? ＝(a －a )＋(a －a )＋(a －a )＋……＋(a ?－a ?) ∴ a ＝a ?＋(n ＋2)(n －1)＝3＋(n ＋2)(n －1)＝n 2＋n ＋1 (n ≥2)． ×(n －1)＝(n ＋2)(n － 2 2n ＋4 ＝ 解析：由已知得 a －a ＝2n ，于是有 a －a ? ＝(a －a )＋(a －a )＋(a －a )＋……＋(a ?－a ?) 数列之累加法与累乘法 老师专用 1. ☆[累加法] 设数列{a }中，a ?＝2，a ＝a ＋n ＋2，则通项 a ＝ ． 2. ◇设数列{a }中，a ?＝3，a ＝a ＋2n ，则通项 a ＝ ． 3. ◇(2010 辽宁卷T16) 已知数列{a }满足 a ?＝33，a －a ＝2n ，则a 的最小值为 ． 4. ◇(2011 四川卷T8) 数列{a }的首项为 3，{b }为等差数列且 b ＝a －a (n ∈N *)．若 b ?＝－2，b ＝12，则a ＝ ． 为 n 21 所以a 的最小值 21 53 5 33 n ＝ 6 ＋ ＝ 2 ＜ 当 n ＝6 时，a 53 4 33 n ＝ 5 ＋ ＝ 5 和 6．*/ 当 n ＝5 时，a x ≥2 33，当且仅当 x ＝ 33时取得最小值．最接近 33的两个整数是 x /*若 x ＞0，x ∈R ，由基本不等式可得 33 ＋n －1， n n 33 ∴ a ＝a ?＋n (n －1)＝33＋n (n －1)，则 a ＝ 解析：a ?－a ?＝2，a ?－a ?＝4，a －a ?＝6，…，a －a ＝2(n －1)， 以上各式左右两边分别相加，得 a －a ?＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n (n －
数列通项公式的十种求法
数列通项公式的十种求法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222 a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为113222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)12 (1)(1)1 n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。 例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。