第一章1映射与函数课件
合集下载
高数高等数学1.1映射与函数
1 2 1 O 1 1 2 x
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点， 称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时 无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点， 称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时 无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1
高等数学上册1.1 映射与函数
第一节 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
第一节映射与函数ppt课件
子集: 设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合 B的元素，则称A是B的子集，记作 A B (读作A 包含于B)或B A (读作 B 包含 A ).
相等: 如果集合A与集合B互为子集，即 A B 且B A ,
就称集合A与B相等，记作A=B.
例如，设A={1,2}，B={2,1}，C={x|x2-3x+2=0}
A\B={ x | x A且 x B}.
有时，我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中 进行，所研究的其他集合 A 都是 I 的子集.此时，我们 称集合I为全集或基本集，I\A为A的余集或补集，记
作 Ac .例如，在实数集 R 中，集合A={ x |0< x 1}的余
集就是
Ac={x| x 0或 x >1｝.
有 ( f g)(x) f [g(x)]
f (sin x) 1 sin 2 x
| cos x |
三、函数
1、函数的概念
定义：设数集D R，则称映射 f : D R为定义在D 上的函数，通常简记为
y f (x), x D 其中 x称为自变量，y 称为因变量，D称为定义域， 记作 D f，即 D f D.
f g:X Z ( f g)(x) f [g(x)], x X
构成复合映射的条件是：g的值域必须包含在f 的
定义域内，即 Rg D f .否则，不能构成复合映射.
例4 设有映射 g: R[–1,1]，对每个xR，g( x)=sin x , 映射 f :[–1,1] [0,1]，对每个u[–1,1]， f (u) 1 u2 . 则映射g 和f构成的复合映射 f g :R [0,1]，对每个x R
3、区间和邻域 区间是用得较多的一类数集，设 a 和 b 都是实数，
相等: 如果集合A与集合B互为子集，即 A B 且B A ,
就称集合A与B相等，记作A=B.
例如，设A={1,2}，B={2,1}，C={x|x2-3x+2=0}
A\B={ x | x A且 x B}.
有时，我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中 进行，所研究的其他集合 A 都是 I 的子集.此时，我们 称集合I为全集或基本集，I\A为A的余集或补集，记
作 Ac .例如，在实数集 R 中，集合A={ x |0< x 1}的余
集就是
Ac={x| x 0或 x >1｝.
有 ( f g)(x) f [g(x)]
f (sin x) 1 sin 2 x
| cos x |
三、函数
1、函数的概念
定义：设数集D R，则称映射 f : D R为定义在D 上的函数，通常简记为
y f (x), x D 其中 x称为自变量，y 称为因变量，D称为定义域， 记作 D f，即 D f D.
f g:X Z ( f g)(x) f [g(x)], x X
构成复合映射的条件是：g的值域必须包含在f 的
定义域内，即 Rg D f .否则，不能构成复合映射.
例4 设有映射 g: R[–1,1]，对每个xR，g( x)=sin x , 映射 f :[–1,1] [0,1]，对每个u[–1,1]， f (u) 1 u2 . 则映射g 和f构成的复合映射 f g :R [0,1]，对每个x R
3、区间和邻域 区间是用得较多的一类数集，设 a 和 b 都是实数，
第1课时映射与函数.ppt
一般改写为y=f-1(x) (x∈C)
反函数的性质
(1)只有一一映射函数才有反函数；通常偶函数没有反函数
(2) 反函数的定义域是原函数的值域；反函数的值域是原 函数的定义域；
(3)原函数的图象与其反函数的图象关于直线y=x对称.
(4)原函数与其反函数在各自的定义域上具有相同的单调性.
(5) 设函数y=f(x)的定义域、值域分别为A、C.其反函数为 y=f-1(x) 则有 f-1 [f(x)]=x (x∈A)
2.函数(p22)
(1)传统定义：如果在某个变化过程中有两个变 量x,y，并且对于x在某个范围内的每一个确定 的值，按照某个对应法则f,y都有惟一确定的值 和它对应，那么y就是x的函数， 记作y=f(x) (2)近代定义：函数是由一个非空数集到另一个 非空数集的映射.
3.函数的三要素 函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的 对应法则三部分组成的特殊映射.
(2) 证明单调性。任取x1、x2 ∈ (0,+∞)设x1<x2, 则x2/x1>1 、恒有f(x2)- f(x1)= f(x2/x1)<0，所以 f(x) 在(0,+∞)为单调减函数，故其必有反函数
(3)用公式。f[f-1(x1) f-1(x2)]= f[f-1(x1)]+ f[f-1(x2)] =x1+x2 =f[f-1(x1+x2)],根据单调性可得f-1(x1+x2)= f-1(x1) f-1(x2)
（90高考）如果直线y=ax+2的图象与直线y=3x-b的图象关
于直线y=x对称，那么___A_______
( A)a 1 b 6 (B)a 1 b 6
3
3
(C)a 3 b 2 (D)a 3 b 6
反函数的性质
(1)只有一一映射函数才有反函数；通常偶函数没有反函数
(2) 反函数的定义域是原函数的值域；反函数的值域是原 函数的定义域；
(3)原函数的图象与其反函数的图象关于直线y=x对称.
(4)原函数与其反函数在各自的定义域上具有相同的单调性.
(5) 设函数y=f(x)的定义域、值域分别为A、C.其反函数为 y=f-1(x) 则有 f-1 [f(x)]=x (x∈A)
2.函数(p22)
(1)传统定义：如果在某个变化过程中有两个变 量x,y，并且对于x在某个范围内的每一个确定 的值，按照某个对应法则f,y都有惟一确定的值 和它对应，那么y就是x的函数， 记作y=f(x) (2)近代定义：函数是由一个非空数集到另一个 非空数集的映射.
3.函数的三要素 函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的 对应法则三部分组成的特殊映射.
(2) 证明单调性。任取x1、x2 ∈ (0,+∞)设x1<x2, 则x2/x1>1 、恒有f(x2)- f(x1)= f(x2/x1)<0，所以 f(x) 在(0,+∞)为单调减函数，故其必有反函数
(3)用公式。f[f-1(x1) f-1(x2)]= f[f-1(x1)]+ f[f-1(x2)] =x1+x2 =f[f-1(x1+x2)],根据单调性可得f-1(x1+x2)= f-1(x1) f-1(x2)
（90高考）如果直线y=ax+2的图象与直线y=3x-b的图象关
于直线y=x对称，那么___A_______
( A)a 1 b 6 (B)a 1 b 6
3
3
(C)a 3 b 2 (D)a 3 b 6
1-1 映射与函数
例： f ( x ) x 2 在[0, )上单调增加
在 ( , 0]上单调减少 在 ( , )上不是单调的
函数的几种特性
3．函数的奇偶性
设函数f (x) 的定义域D关于原点对称
如果对于任一 x D, f ( x ) f ( x )恒成立
那么称函数f (x)为偶函数
四则运算
函 数
构造 复合映射
构造
基本初等函数
基本初等函数与初等函数
基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次
的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数
否则称为非初等函数
概念
概念 初等函数
逆映射
集 合 区 邻 间 域
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素
则称f为X到Y的单射 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X f
它们的像
逆映射 若f 是从X到Y的单射，可定义一个从 对每个 规定
到X的新映射g
这x满足
这个映射g称为f的逆映射，记作 注 (1) 只有单射才存在逆映射 (2) 逆映射
1 y f ( x ), x f ( D) y f ( x ), x D 的反函数记成 一般地，
注 (1) f 在D上单调增加（减少），f 1 必定存在
1 且 f 在f (D)上也单调增加（减少）
(2) 函数y=f (x)与其反函数 y f 1 ( x ) 的图形 关于直线y=x对称
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
《高等数学》第一节：映射与函数
[1,1] [ 0, ]
[
, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x
2
2
0
2
x
| arctanx |
定义域 (,)
2
2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数 狄利克雷函数、 取整函数、 分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos
,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数 双曲函数 反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
一元函数 微分学与积分学 函数 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数 微分学与积分学 下册 无穷级数
高 等 数 学
应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！
[
, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x
2
2
0
2
x
| arctanx |
定义域 (,)
2
2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数 狄利克雷函数、 取整函数、 分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos
,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数 双曲函数 反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
一元函数 微分学与积分学 函数 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数 微分学与积分学 下册 无穷级数
高 等 数 学
应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章 第1节 函数
第一节 映射与函数
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
第一节 映射与函数课件
函数 f 的值域，记作 Rf = f (D) = { y| y = f (x) , x D }．
第一节 映射与函数
两点说明
(1) 函数两要素：定义域、对应法则 例如：函数 f (x) = x2 ，自然定义域为 (- , + )，
若它表示正方形的面积 则其定义域为(0 , + )．
表达式有意义的全体实数的集合，称之为自然定义域．
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
定义域
Df
π 2
,
π 2
,
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ． y
1
π 2
f (x) = sin x
O
πx
2
-1
第一节 映射与函数
2、常见映射类型
（1）若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射.
映射 g 为 f 的逆映射，记作 f -1 , 其定义域 D f 1 R f ,
值域 R f 1 X .
Rf
只有单射才存在逆映射
第一节 映射与函数
(2)定义 设有两个映射 g : X Y 1 , f : Y 2 Z ,
其中 Y1 Y2 , 则由映射 g 和 f 可以定义一个从 X 到 Z 的对应法则，它将每个 x X 映成 f [g(x)] Z . 这个法 则确定了一个从 X 到 Z 的映射，称之为映射 g 和 f 构成
X
Rg Df
Z
第一节 映射与函数
例4.
第一节 映射与函数
二、函数
第一节 映射与函数
两点说明
(1) 函数两要素：定义域、对应法则 例如：函数 f (x) = x2 ，自然定义域为 (- , + )，
若它表示正方形的面积 则其定义域为(0 , + )．
表达式有意义的全体实数的集合，称之为自然定义域．
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
定义域
Df
π 2
,
π 2
,
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ． y
1
π 2
f (x) = sin x
O
πx
2
-1
第一节 映射与函数
2、常见映射类型
（1）若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射.
映射 g 为 f 的逆映射，记作 f -1 , 其定义域 D f 1 R f ,
值域 R f 1 X .
Rf
只有单射才存在逆映射
第一节 映射与函数
(2)定义 设有两个映射 g : X Y 1 , f : Y 2 Z ,
其中 Y1 Y2 , 则由映射 g 和 f 可以定义一个从 X 到 Z 的对应法则，它将每个 x X 映成 f [g(x)] Z . 这个法 则确定了一个从 X 到 Z 的映射，称之为映射 g 和 f 构成
X
Rg Df
Z
第一节 映射与函数
例4.
第一节 映射与函数
二、函数
高等数学第一章函数与极限第一节映射与函数.ppt
f ( x ) g f ( x ) e
e1 e0 e 1
| x |1 e | x |1 | x | 1 1 | x |1 1 | x |1 e | x |1
18
复合次序不同 ,结果不相同 .
高 等 数 学 PPT 课件
第 一 章
教材 : 同济 高等数学 第五版
欢迎您加入本课堂，希望 您刻苦学习，努力争取最优异 的成绩。
2
第一章
第一节
函数与极限
映射与函数
3
一 . 邻域 : U ( a ,) x x a
x a x a
( 取整函数) 3 ) .y int( x ) ( x 1 ,x ] 上的整数
x 1 int( x ) x
6, 例 . int( 5 . 6 )
( 6 . 6 , 5 . 6 ]
int( 3 . 8 ) 3 ,
int( 0 . 4 ) 0 ,
int( 5 ) 5 ,
2 2 2 2 2 ch x 1 . ch 2 x ch x sh x 1 2 sh x x x y y x x y y e e e e e e e e sh x ch y ch x sh y 2 2 2 2 x yx y x y x yx y x yx y x y e e e e e e e e 4 4 x y x y 2 e 2 e sh ( x y ) 14 4
9
以上五类函数称为基本 初等函数 . (P 17 )
要熟练掌握基本初等函 数的图形 ,有界性 ,单调性 , 奇偶性 , 周期性 , 定义域 , 值域等 .
高数课件-映射与函数
义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df， 即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映 射
与
主讲人： 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复 合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ， 对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1