江苏省苏州市高一上学期数学期中试卷
江苏省苏州中学数学高一上期中经典习题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：11819]在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭2．(0分)[ID ：11818]已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1273．(0分)[ID ：11816]f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．24．(0分)[ID ：11798]在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5．(0分)[ID ：11752]已知函数()245f x x x +=++，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥6．(0分)[ID ：11792]函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．7．(0分)[ID ：11786]若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log bab aa b a b >>>B ．1log log a bb ab a b a >>>C ．1log log b ab aa ab b >>>D ．1log log a bb aa b a b >>>8．(0分)[ID ：11770]已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（）A ．3B ．2-C ．3-D ．29．(0分)[ID ：11735]设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>b B ．a>b>c C ．c>a>bD ．b>c>a10．(0分)[ID ：11734]已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．611．(0分)[ID ：11820]函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．(0分)[ID ：11817]函数2y 34x x =--+ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 13．(0分)[ID ：11812]已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭14．(0分)[ID ：11804]已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．215．(0分)[ID ：11760]设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞二、填空题16．(0分)[ID ：11922]设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a的取值范围是__________．17．(0分)[ID ：11908]设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是_____.18．(0分)[ID ：11894]已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n= . 19．(0分)[ID ：11892]若1∈{}2,a a, 则a 的值是__________20．(0分)[ID ：11885]设f(x)={1−√x,x ≥0x 2,x <0，则f(f(−2))=________21．(0分)[ID ：11878]如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________.22．(0分)[ID ：11860]已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 23．(0分)[ID ：11859]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-． 若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____．24．(0分)[ID ：11852]计算：log 3√27+lg25+lg4+7log 72−(827)−13=__________．25．(0分)[ID ：11846]已知312ab +=a b =__________. 三、解答题26．(0分)[ID ：11975]已知函数22()f x x x=+. （1）求(1)f ，(2)f 的值；（2）设1a b >>，试比较()f a 、()f b 的大小，并说明理由； （3）若不等式2(1)2(1)1f x x m x -≥-++-对一切[1,6]x ∈恒成立，求实数m 的最大值. 27．(0分)[ID ：11962]已知()42log ,[116]f x x x =+∈，，函数()()()22[]g x f x f x =+．（1）求函数()g x 的定义域；（2）求函数()g x 的最大值及此时x 的值．28．(0分)[ID ：11959]已知定义域为R 的函数()122x x bf x a++=+－ 是奇函数．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－2k )<0恒成立，求k 的取值范围． 29．(0分)[ID ：11952]设a 为实数，函数()()21f x x x a x R =+-+∈．（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值； （2）若2a =，求函数()f x 的最小值；（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间,a b ，如果存在()00x a x b <<，满足()0()()m b m a m x b a-=-，则称函数()m x 是区间,a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2yx 是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．30．(0分)[ID ：11937]为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12，16，24．根据实验数据，用y 表示第()*x x ∈N天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型；①2y ax bx c =++；②x y p q r =⋅+，其中a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72，请从这两个函数模型中选出更合适的一个，并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．B 3．C 4．B5．B6．B7．D8．A9．A10．C11．D12．C13．B14．D15．D二、填空题16．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为17．【解析】试题分析：由题意得函数的定义域为因为所以函数为偶函数当时为单调递增函数所以根据偶函数的性质可知：使得成立则解得考点：函数的图象与性质【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质解答中涉及到函数18．2【解析】【分析】把要求零点的函数变成两个基本初等函数根据所给的ab的值可以判断两个函数的交点的所在的位置同所给的区间进行比较得到n的值【详解】设函数y=logaxm=﹣x+b根据2＜a＜3＜b＜419．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填20．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-21．（-∞-）【解析】【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m的取值范围即可【详解】解：根据题意m应当满足条件即：解得：实数m的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判22．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误23．【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解则函数与直线有4个交点作出函数的图象由数形结合法分析即可得答案【详解】因为函数是定义在R上的偶函数且当时所以函数图象关于轴对称作出函数的图象：若方程有四个不同24．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填425．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.2．B解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．3．C解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.4．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.6．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 7．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 8．A解析：A 【解析】 由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-，即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q 的等比数列，故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.9．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.10．C解析：C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.11．D解析：D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为f(2)=8−e 2,0<8−e 2<1，所以排除A,B 选项；当x ∈[0,2]时，y ′=4x −e x 有一零点，设为x 0，当x ∈(0,x 0)时，f(x)为减函数，当x ∈(x 0,2)时，f(x)为增函数．故选D12．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C13．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.14．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．15．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.二、填空题16．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为解析：(1,0)(1,)【解析】 【分析】【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.17．【解析】试题分析：由题意得函数的定义域为因为所以函数为偶函数当时为单调递增函数所以根据偶函数的性质可知：使得成立则解得考点：函数的图象与性质【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质解答中涉及到函数解析：1(1)3， 【解析】试题分析：由题意得，函数21()ln(1)1f x x x =+-+的定义域为R ，因为()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，当0x >时，21()ln(1)1f x x x =+-+为单调递增函数，所以根据偶函数的性质可知：使得()(21)f x f x >-成立，则21x x >-，解得113x <<. 考点：函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质，解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性及其简单的应用，解答中根据函数的单调性与奇偶性，结合函数的图象，把不等式()(21)f x f x >-成立，转化为21x x >-，即可求解，其中得出函数的单调性是解答问题的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题.18．2【解析】【分析】把要求零点的函数变成两个基本初等函数根据所给的ab 的值可以判断两个函数的交点的所在的位置同所给的区间进行比较得到n 的值【详解】设函数y=logaxm=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4解析：2 【解析】 【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a ，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n 的值. 【详解】设函数y=log a x ，m=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4，对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1在同一坐标系中画出两个函数的图象， 判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1）时，n=2．故答案为2.考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．19．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填解析：-1 【解析】 因为{}21,a a∈，所以1a =或21a=，当1a =时，2a a =，不符合集合中元素的互异性，当21a =时，解得1a =或1a =-，1a =-时2a a ≠，符合题意．所以填1a =-．20．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f -2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出f(−2)的值并判定符号，从而可得f(f(−2))的值. 【详解】∵f (x )={1−√x,x ≥0x 2,x <0,−2<0，∴f (−2)=(−2)2=4>0，所以f(f(−2))=f (4)=1−√4=−1，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．21．（-∞-）【解析】【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判解析：（-∞，-12） 【解析】 【分析】 方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.22．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误 解析：42【解析】试题分析：设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=， 因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【考点】指数运算，对数运算． 【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5log log 2a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误 23．【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解则函数与直线有4个交点作出函数的图象由数形结合法分析即可得答案【详解】因为函数是定义在R 上的偶函数且当时所以函数图象关于轴对称作出函数的图象：若方程有四个不同解析：(1,0)-【解析】 【分析】若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案． 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以函数()f x 图象关于y 轴对称， 作出函数()f x 的图象：若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点， 由图象可知：10m -<<时，即有4个交点. 故m 的取值范围是(1,0)-， 故答案为：(1,0)- 【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.24．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：4【解析】原式=log 3332+lg(25×4)+2−[(23)3]−13=32+2+2−32=4,故填4.25．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3 【解析】 【分析】首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可. 【详解】1321223333a ba b a a b+-+====.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题26．（1）(1)3f=，(2)5f=；（2）()()f a f b>；详见解析（3）1-.【解析】【分析】（1）根据函数解析式,代入即可求值.（2）根据函数解析式,利用作差法即可比较()f a、()f b的大小.（3）将解析式代入,化简不等式,转化为关于二次函数的恒成立问题,即可求得实数m的最大值.【详解】（1）因为函数()22f x xx=+所以()221131f=+=()222252f=+=（2）()()f a f b>,理由如下:因为1a b>>则()()f a f b-2222a ba b=+--()()()2b aa b a bab-=-++()2a b a bab⎛⎫=-+-⎪⎝⎭因为1a b>>,则2a b+>，1ab>,所以22ab<,即2a bab+->,()0a b->所以()2a b a bab⎛⎫-+->⎪⎝⎭即()()f a f b>（3）因为函数()22f x x x=+则代入不等式可化为()()22212111x x m x x -+≥-++-- 化简可得243x x m -+≥,即()221x m --≥ 因为对于一切[]1,6x ∈恒成立所以()2min21x m ⎡⎤--≥⎣⎦ 当2x =时,二次函数取得最小值,即1m -≥ 所以实数m 的最大值为1- 【点睛】本题考查了函数的求值,单调性的证明及不等式恒成立问题的综合应用,属于基础题.27．（1）[1]4，；（2）4x =时，函数有最大值13． 【解析】 【分析】（1）由已知()f x 的定义域及复合函数的定义域的求解可知，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解不等式可求（2）由已知可求()()()22[]g x f x f x +＝，结合二次函数的性质可求函数g x （）的最值及相应的x ． 【详解】 解：（1）()42log [116]f x x x =+∈，，，()()()22[]g x f x f x +＝．由题意可得，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩， 解可得，14x ≤≤即函数()g x 的定义域[1]4，； （2）()42log ,[116]f x x x =+∈，，()()()()222224444[]2log 2log log 6log 6g x f x f x x x x x ∴=+=+++=++设4log t x =，则[01]t ∈，， 而()()226633g t t t t =++=+-在[0]1，单调递增， 当1t =，即4x =时，函数有最大值13． 【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数()g x 的定义域是容易出错点．28．（Ⅰ）2,1a b ==（Ⅱ）16k <- 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据()00f =解得1b =，根据()()11f f =--解得2a = （Ⅱ）判断函数为奇函数减函数，将不等式化简为223311()2236k t t t <-=--，求二次函数的最小值得到答案. 【详解】（Ⅰ）定义域为R 的函数()1-22x x bf x a++=+是奇函数则()100,12bf b a-+===+ ()-2114f a+=+，()12-111f a +-=+， 根据()()11f f =--，解得2a = ，经检验，满足函数为奇函数（Ⅱ）12111()22221x x xf x +-+==-+++ 易知21x +为增函数，故11()221x f x =-++为减函数 22()(220)2f t t f t k －－+<即2222222)()()2(f t t f t k f t k =-<+-－－即22222t t t k ->-+ 所以223311()2236k t t t <-=-- 恒成立，即2min 3111()2366k t ⎡⎤<--=-⎢⎥⎣⎦当13t =时，有最小值16- 故k 的取值范围是16k <- 【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为二次函数的最值问题是解题的关键.29．（1）；（2）；（3）()0,2【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=在R 上恒成立，即()2211x x a x x a -+--+=+-+，所以x a x a +=-得0ax =x R ∈0a ∴=（2）当2a =时，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<所以()f x 在[)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f （）＝，因为＜5，所以函数()f x 的最小值为．（3）因为函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数， 所以存在()01,1x ∈-，使()0(1)(1)1(1g g g x --=--）而(1)(1)1(1g g m --=--），存在()01,1x ∈-，使得()0g x m = 即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解； 由21x mx m -++=得210x mx m -+-=解得121,1x x m ==-所以111m -<-<即02m << 故m 的取值范围是()0,2考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．30．（1）函数模型：①22212y x x =-+；函数模型②：128x y +=+（2）函数模型②更合适；从第9天开始该微生物群落的单位数量超过1000 【解析】 【分析】（1）由题意利用待定系数法求函数的解析式；（2）将4x =，5x =代入（1）中的两个函数解析式中，结合数据判断两个模型中那个更合适。
江苏省苏州市2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷
江苏省苏州市2021-2022学年高一上学期期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．已知命题q：∀x∈R，x2+1＞0，则￢q为（）A．∀x∈R，x2+1≤0B．∃x∈R，x2+1＜0C．∃x∈R，x2+1≤0D．∃x∈R，x2+1＞02．已知集合A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|x≥﹣2}C．{2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}3．如果a＜b＜0，c＜d＜0，那么下面一定成立的是（）A．a+d＜b+c B．ac＜bd C．ac2＞bc2D．4．已知幂函数y＝（m2﹣3m+3）x2m﹣3在（0，+∞）上单调递减，则m的值为（）A．1B．2C．1或2D．35．命题“∀x∈R，”是真命题，则实数k的取值范围是（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，0]C．[0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪[0，+∞）6．设命题p：a＞1，命题，则命题p是命题q成立的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）•g（x）的图象可能是（）A．B．C．D．8．已知函数，g（x）＝x2﹣ax﹣a﹣1，设α∈{x|f（x）＝0}，β∈{x|g（x）＝0}，若存在α，β，使得|α﹣β|≤1，则实数a的取值范围是（）A．[0，2]B．（﹣∞，0]∪[2，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错或不选得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9．已知集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|kx＝1}，且B⊆A，则实数k的值可以为（）A．﹣1B．0C．1D．210．已知f（2x+1）＝4x2，则（）A．f（1）＝4B．f（﹣1）＝4C．f（x）＝x2D．f（x）＝（x﹣1）211．已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x（x+1），则下列说法正确的是（）A．函数f（x）有3个单调区间B．当x＞0时，f（x）＝x（x﹣1）C．函数f（x）有最小值D．不等式f（x）＜0的解集是（﹣1，1）12．已知a＞0，b＞0，c＞0，则下列结论正确的是（）A．B．的最小值为2C．若a+2b＝1，则的最小值是9D．若2a+b+c＝4，则a（a+b+c）+bc的最大值为4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．函数f（x）＝的定义域为．14．若关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（c，c+3），则实数a的值为．15．已知x，y都是正实数，且x+2y＝xy，则xy的最小值为．16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），且在（﹣∞，0]上是增函数，不等式f（ax+2）+f（1）≤2对于x∈[1，2]恒成立，则a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集为R，集合A＝{x|x2＜4}，B＝{x|（x﹣m﹣1）（x﹣m﹣7）＞0}．（1）若m＝﹣2，求集合A∪∁R B；（2）请在①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，②若x∈A，则x∉B，③A⊆∁R B，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并完成问题解答．若_____，求实数m的取值范围．18．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0），若﹣1和3是函数f（x）的两个零点，且f（x）最大值为4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）试确定一个区间D，使得f（x）在区间D内单调递减，且不等式f（x）≥﹣mx﹣m（m＞0）在区间D上恒成立．19．（12分）已知函数是奇函数．（1）求k的值；（2）求证：函数f（x）在[1，+∞）上单调递增；（3）若对任意的x1，x2∈[1，3]，都有，求实数a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+3，g（x）＝x﹣1，∀x∈R，用m（x）表示f（x），g（x）中的较小者，记为m（x）＝min{f（x），g（x）}．（1）写出函数m（x）的解析式，并画出它的图象；（2）当x∈[0，n]（n＞0）时，若函数m（x）的最大值为，求实数n的取值集合．21．（12分）某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足（k为正常数），该商品的日销售量Q（x）（单位：个）与时间x部分数据如表所示：x（天）51015202530 Q（x）（个）556065706560已知第10天该商品的日销售收入为72元．（1）求k的值；（2）给出以下二种函数模型：①Q（x）＝ax+b，②Q（x）＝a|x﹣20|+b，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，并求出该函数的解析式；（3）求该商品的日销售收入f（x）（1≤x≤30，x∈N*）（单位：元）的最小值．22．（12分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），有f（x1）＝f（x2）成立，则称函数f（x）是“v型函数”．已知函数f（x）＝x2﹣（a2+a+2）x+2，g（x）＝a|x+a|+a2，a∈R．（1）若f（x）在区间[0，2]上具有单调性，求实数a的取值范围；（2）设函数，是否存在实数a，使得h（x）是“v型函数”，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．江苏省苏州市2021-2022学年高一上学期期中数学试卷【参考答案】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．已知命题q：∀x∈R，x2+1＞0，则￢q为（）A．∀x∈R，x2+1≤0B．∃x∈R，x2+1＜0C．∃x∈R，x2+1≤0D．∃x∈R，x2+1＞0【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可【解答】解：∵命题q：∀x∈R，x2+1＞0，∴命题q的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”故选：C．【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．2．已知集合A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|x≥﹣2}C．{2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵全集为R，A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{x|x﹣1＞0}＝（1，+∞），∴A∩B＝{2}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．如果a＜b＜0，c＜d＜0，那么下面一定成立的是（）A．a+d＜b+c B．ac＜bd C．ac2＞bc2D．【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可．【解答】解：对于A：令a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣5，d＝﹣1，显然错误；对于B：∵a＜b＜0，c＜d＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，﹣c＞﹣d＞0，∴ac＞bd，故B错误；对于C：∵a＜b＜0，c2＞0，∴ac2＜bc2，故C错误；对于D：∵c＜d＜0，a＜0，∴＞，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，是基础题．4．已知幂函数y＝（m2﹣3m+3）x2m﹣3在（0，+∞）上单调递减，则m的值为（）A．1B．2C．1或2D．3【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值．【解答】解：∵幂函数y＝（m2﹣3m+3）x2m﹣3在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣3m+3＝1，且2m﹣3＜0，求得m＝1，故选：A．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．5．命题“∀x∈R，”是真命题，则实数k的取值范围是（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，0]C．[0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪[0，+∞）【分析】根据题意可得不等式在R上恒成立，分k＝0与k≠0两种情况讨论，求出k的取值范围即可．【解答】解：∀x∈R，是真命题⇔不等式在R上恒成立，①当k＝0时，不等式为﹣＜0恒成立，②当k≠0时，则，解得﹣3＜k＜0，综上，﹣3＜k≤0，即k的取值范围为（﹣3，0]．故选：B．【点评】本题考查不等式恒成立问题，分类讨论是关键，属于中档题．6．设命题p：a＞1，命题，则命题p是命题q成立的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】利用不等式的性质判断充分性，利用举反例判断必要性即可．【解答】解：①当a＞1时，＜1成立，∴充分性成立，②当a＝﹣1时，＜1成立，但a＞1不成立，∴必要性不成立，∴命题p是命题q成立的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质，充要条件的判定，属于基础题．7．已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）•g（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据图象上函数值的正负性，可以直接作出判断．【解答】解：由f（x）的图象可知当x＜0时，函数值先正后负，而此时g（x）的函数值一直为正值，故f（x）•g（x）的函数值应该是先正后负，当x＞0时，f（x）的函数值先负后正，而g（x）的函数值一直为负，故f（x）•g（x）的函数值应该是先负后正，故选：B．【点评】本题考查了函数图象的判断，学生的逻辑推理能力，属于基础题．8．已知函数，g（x）＝x2﹣ax﹣a﹣1，设α∈{x|f（x）＝0}，β∈{x|g（x）＝0}，若存在α，β，使得|α﹣β|≤1，则实数a的取值范围是（）A．[0，2]B．（﹣∞，0]∪[2，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞]【分析】先利用α∈{x|f（x）＝0}，求出α的值，由|α﹣β|≤1，可得0≤β≤2，结合题意可知，x2﹣ax﹣a ﹣1＝0在[0，2]上有解，利用参变量分离，转化为求解y＝x+1在[0，2]上的值域，即可得到答案．【解答】解：函数，令f（x）＝0，即，解得x＝1，又α∈{x|f（x）＝0}，则α＝1，因为存在α，β，使得|α﹣β|≤1，则|1﹣β|≤1，解得0≤β≤2，又g（x）＝x2﹣ax﹣a﹣1，β∈{x|g（x）＝0}，所以x2﹣ax﹣a﹣1＝0在[0，2]上有解，即在[0，2]上有解，因为x﹣1∈[﹣1，1]，所以a∈[﹣1，1]，则实数a的取值范围是[﹣1，1]．故选：C．【点评】本题考查了函数与方程的理解与应用，绝对值不等式的解法，方程有解的求解，函数值域的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错或不选得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9．已知集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|kx＝1}，且B⊆A，则实数k的值可以为（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】因为B是A的子集，所以分别令x＝1或﹣1，即可求出k的值．【解答】解：因为集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|kx＝1}，且B⊆A，则当x＝1时，k＝1，当x＝﹣1时，k＝﹣1，故k的值为1或﹣1，当B＝∅时，k＝0，故选：ABC．【点评】本题考查了集合的包含关系，涉及到分类思想，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．10．已知f（2x+1）＝4x2，则（）A．f（1）＝4B．f（﹣1）＝4C．f（x）＝x2D．f（x）＝（x﹣1）2【分析】根据题意，利用换元法求出函数的解析式，由此分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，设t＝2x+1，则x＝，则有f（t）＝4（）2＝（t﹣1）2，则f（x）＝（x﹣1）2，D正确，C错误；f（1）＝（1﹣1）2＝0，A错误，f（﹣1）＝（﹣1﹣1）2＝4，B正确，故选：BD．【点评】本题考查函数值的计算，涉及函数解析式的计算，属于基础题．11．已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x（x+1），则下列说法正确的是（）A．函数f（x）有3个单调区间B．当x＞0时，f（x）＝x（x﹣1）C．函数f（x）有最小值D．不等式f（x）＜0的解集是（﹣1，1）【分析】由偶函数的定义和x≤0的解析式，求得x＞0时的解析式，可判断B；求得f（x）的单调区间，可判断A；由二次函数的最值可判断C；讨论x的符号，解不等式，可判断D．【解答】解：函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x（x+1），当x＞0时，﹣x＜0，f（x）＝f（﹣x）＝﹣x（﹣x+1）＝x2﹣x，故B正确；当x＞0时，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；当x＜0时，f（x）在（﹣，0）递增，在（﹣∞，﹣）递减，故A错误；当x＞0时，f（x）在x＝处取得最小值﹣，由偶函数的图象关于y轴对称，可得f（x）的最小值为﹣，故C正确；f（x）＜0即为或，解得0＜x＜1或﹣1＜x＜0，故D错误．故选：BC．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性、最值，以及不等式的解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．12．已知a＞0，b＞0，c＞0，则下列结论正确的是（）A．B．的最小值为2C．若a+2b＝1，则的最小值是9D．若2a+b+c＝4，则a（a+b+c）+bc的最大值为4【分析】由a＞0可得＞0，直接利用基本不等式即可判断选项A；＝＝+，结合基本不等式即可判断选项B；由+2b＝1可得+＝（a+2b）（+）＝5++，从而利用基本不等式即可判断选项C；根据题意可得a+c＞0，a+b＞0，2a+b+c＝（a+b）+（a+c）＝4，从而a（a+b+c）+bc＝a（a+b）+c（a+b）＝（a+b）（a+c），进一步即可根据基本不等式判断选项D．【解答】解：对于选项A：由a＞0，得＞0，则+≥2＝2，当且仅当＝，即a ＝1时等号成立，所以+≥2，选项A正确；对于选项B：＝＝+≥2，当且仅当＝，即a2＝﹣1时等号成立，又a＞0，所以不能等于2，选项B错误；对于选项C：由+2b＝1，得+＝（a+2b）（+）＝5++≥5+2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，所以的最小值是9，选项C正确；对于选项D：根据题意可得a+c＞0，a+b＞0，又2a+b+c＝（a+b）+（a+c）＝4，所以a（a+b+c）+bc＝a（a+b）+c（a+b）＝（a+b）（a+c）≤（）2＝4，当且仅当a+b＝a+c，即b＝c时等号成立，所以a（a+b+c）+bc的最大值为4，选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．函数f（x）＝的定义域为{x|x≤4且x≠1}．【分析】根据分式有意义的条件，分母不能为0，偶次根式，被开方数大于等于0，可求出函数的f（x）的定义域．【解答】解：∵∴解得x≤4且x≠1即函数的定义域为{x|x≤4且x≠1}故答案为：{x|x≤4且x≠1}【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，解题的关键是注意分母不能为0，偶次根式被开方数大于等于0，属于基础题．14．若关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（c，c+3），则实数a的值为．【分析】利用一元二次方程的根与一元二次不等式解集之间的关系，结合根与系数的关系，列式求解即可．【解答】解：因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（c，c+3），则c和c+3为方程x2﹣2ax﹣8a2＝0的两个根，所以，解得a＝．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次不等式解法的理解与应用，一元二次方程的根与一元二次不等式解集之间关系的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．15．已知x，y都是正实数，且x+2y＝xy，则xy的最小值为8．【分析】由x＞0，y＞0，x+2y＝xy，得+＝1，从而得到xy＝x+2y＝（+）（x+2y）＝4++，再利用基本不等式进行求解．【解答】解：由x＞0，y＞0，x+2y＝xy，得+＝1，则xy＝x+2y＝（+）（x+2y）＝4++≥4+2＝8，当且仅当＝，即x＝2y，即x＝4，y＝2时等号成立，所以xy的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），且在（﹣∞，0]上是增函数，不等式f（ax+2）+f（1）≤2对于x∈[1，2]恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．【分析】由题意，先判断得到函数f（x）关于点（0，1）对称，从而可判断函数f（x）在R上为增函数，将不等式进行等价变形，得到f（ax+2）≤f（﹣1）对于x∈[1，2]恒成立，利用单调性去掉“f”，转化为ax+2≤﹣1对于x∈[1，2]恒成立，由参变量分离可得，对于x∈[1，2]恒成立，求解函数的最小值，即可得到答案．【解答】解：因为定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）＝2，所以函数f（x）关于点（0，1）对称，又函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，则f（x）在R上为增函数，因为f（﹣1）＝2﹣f（1），，所以不等式f（ax+2）+f（1）≤2对于x∈[1，2]恒成立，等价于f（ax+2）≤f（﹣1）对于x∈[1，2]恒成立，则ax+2≤﹣1对于x∈[1，2]恒成立，即对于x∈[1，2]恒成立，因为函数在x∈[1，2]上单调递增，所以，故a≤﹣3，所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．故答案为：（﹣∞，﹣3]．【点评】本题考查了函数恒成立问题，函数的对称性以及函数单调性的判断与应用，不等式恒成立的求解，解题的关键是利用单调性去掉“f”，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集为R，集合A＝{x|x2＜4}，B＝{x|（x﹣m﹣1）（x﹣m﹣7）＞0}．（1）若m＝﹣2，求集合A∪∁R B；（2）请在①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，②若x∈A，则x∉B，③A⊆∁R B，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并完成问题解答．若_____，求实数m的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，从而得到∁R B，由此能求出集合A∪∁R B；（2）选①“x∈A”是“x∈B”时，A⊊B，由集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x＜m+1或x＞m+7}，得到m+1≥2或m+7≤﹣2，由此能求出实数m的取值范围；选②若x∈A，则x∉B，A∩B＝∅，由集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|（x﹣m﹣1）（x﹣m﹣7）＞0}＝{x|x＜m+1或x＞m+7}，列出不等式组，由此能求出实数m的取值范围；选③A⊆∁R B，由集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，∁R B＝{x|m+1≤x≤m+7}，列出不等式组，能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）全集为R，集合A＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|（x﹣m﹣1）（x﹣m﹣7）＞0}．∴m＝﹣2时，B＝{x|（x+1）（x﹣5）＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞5}，∴∁R B＝{x|﹣1≤x≤5}，∴集合A∪∁R B＝{x|﹣1≤x≤5}；（2）选①“x∈A”是“x∈B”时，A⊊B，集合A＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|（x﹣m﹣1）（x﹣m﹣7）＞0}＝{x|x＜m+1或x＞m+7}，∴m+1≥2或m+7≤﹣2，解是m≥1或m≤﹣9，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣9]∪[1，+∞）；选②若x∈A，则x∉B，∴A∩B＝∅，∵集合A＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|（x﹣m﹣1）（x﹣m﹣7）＞0}＝{x|x＜m+1或x＞m+7}，∴，解得﹣5≤m≤﹣3，∴实数m的取值范围是[﹣5，﹣3]．选③A⊆∁R B，∵集合A＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|（x﹣m﹣1）（x﹣m﹣7）＞0}＝{x|x＜m+1或x＞m+7}，∴∁R B＝{x|m+1≤x≤m+7}，∴，解得﹣5＜m＜﹣3，∴实数m的取值范围是（﹣5，﹣3）．【点评】本题考查集合的运算，考查并集、补集、子集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0），若﹣1和3是函数f（x）的两个零点，且f（x）最大值为4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）试确定一个区间D，使得f（x）在区间D内单调递减，且不等式f（x）≥﹣mx﹣m（m＞0）在区间D上恒成立．【分析】（1）利用零点的定义以及二次函数的性质，列出方程组，求出a，b，c的值，即可得到答案；（2）利用二次函数的性质，求出f（x）的单调区间，将不等式转化为x2﹣（m+2）x﹣m﹣3≤0在区间D 上恒成立，求出不等式的解集，结合题意，即可得到答案．【解答】解：（1）二次函数f（x）＝ax2+bx+c且﹣1和3是函数f（x）的两个零点，且f（x）最大值为4，所以，解得a＝﹣1，b＝2，c＝3，所以f（x）＝﹣x2+2x+3；（2）函数f（x）＝﹣x2+2x+3的图象开口向下，对称轴为x＝1，则函数f（x）在（∞，1]上单调递增，在区间[1，+∞）上单调递减，由不等式f（x）≥﹣mx﹣m（m＞0）在区间D上恒成立，则﹣x2+2x+3≥﹣mx﹣m（m＞0）在区间D上恒成立，即x2﹣（m+2）x﹣m﹣3＝（x+1）[x﹣（m+3）]≤0在区间D上恒成立，由不等式（x+1）[x﹣（m+3）]≤0，可得﹣1≤x≤m+3，所以不等式的解集为[﹣1，m+3]，要使得f（x）在区间D内单调递减，且不等式f（x）≥﹣mx﹣m（m＞0）在区间D上恒成立，则x∈[1，m+3]，故可取区间D＝[1，3]．【点评】本题考查了二次函数图象与性质的应用，二次函数解析式的求解，函数零点的理解与应用，二次函数单调性的应用，不等式恒成立的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19．（12分）已知函数是奇函数．（1）求k的值；（2）求证：函数f（x）在[1，+∞）上单调递增；（3）若对任意的x1，x2∈[1，3]，都有，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用奇函数的定义，列出恒等式，求出k的值即可；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）利用函数f（x）的单调性，求出f（x）在[1，3]上的最大值和最小值，将不等式恒成立转化为，求解即可．【解答】（1）解：因为函数是奇函数，所以f（﹣x）+f（x）＝恒成立，即2k＝0，解得k＝0；（2）证明：由（1）可知，f（x）＝＝，设1≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝＝，因为1≤x1＜x2，所以，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在[1，+∞）上单调递增；（3）解：由（2）可知，函数f（x）在[1，3]上单调递增，所以f（x）的最大值为f（3）＝，f（x）的最小值为f（1）＝2，因为对任意的x1，x2∈[1，3]，都有，所以，则，解得或a≥2，故实数a的取值范围为．【点评】本题考查了函数性质的应用，奇函数性质以及定义的理解与应用，函数单调性的证明，函数单调性定义的理解与应用，不等式恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+3，g（x）＝x﹣1，∀x∈R，用m（x）表示f（x），g（x）中的较小者，记为m（x）＝min{f（x），g（x）}．（1）写出函数m（x）的解析式，并画出它的图象；（2）当x∈[0，n]（n＞0）时，若函数m（x）的最大值为，求实数n的取值集合．【分析】（1）根据定义写出函数m（x）的解析式，画出图象即可；（2）根据（1）中的图象图象，结合函数的单调性分类讨论即可．【解答】解：（1）m（x）＝min{f（x），g（x）}＝，图象如右图所示：（2）由（1）中图象可知：函数m（x）在x∈[0，1]上单调递增，在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，+∞）上单调递增，当0＜n≤1时，m（x）min＝g（n）＝n﹣1＝，∴n＝，当1＜n≤3时，m（x）min＝g（1）＝0＝，∴n＝，当3＜n≤4时，m（x）min＝fg（n）＝n2﹣4n+3＝，∴n＝，而3＜n≤4，所以n＝，当n＞4时，m（x）min＝g（n）＝n﹣1＝，∴n＝（舍去），故实数n的取值集合为：{}．【点评】本题考查了函数的图象及函数的最小值，正确画出图象是本题的难点．21．（12分）某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足（k为正常数），该商品的日销售量Q（x）（单位：个）与时间x部分数据如表所示：x（天）51015202530 Q（x）（个）556065706560已知第10天该商品的日销售收入为72元．（1）求k的值；（2）给出以下二种函数模型：①Q（x）＝ax+b，②Q（x）＝a|x﹣20|+b，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，并求出该函数的解析式；（3）求该商品的日销售收入f（x）（1≤x≤30，x∈N*）（单位：元）的最小值．【分析】（1）利用日销售收入等于日销售价格P（x）乘以日销量Q（x）列式计算，即可求解．（2）由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减不单调，选择模型②，再从表中任取两组值列计算，即可求解．（3）利用（2）的信息，求出函数f（x）的解析式，再分段求出最值，即可求解．【解答】解：（1）依题意可得，该商品的日销售收入f（x）＝P（x）•Q（x），因第10天该商品的日销售收入为72元，则f（10）＝P（10）•Q（10），即（1+）×60＝72，解得k＝2，故k的值为2．（2）由表中的数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，则选择模型Q（x）＝a|x﹣20|+b，从表中任取两组值，不妨令，解得，即Q（x）＝﹣|x﹣20|+70，显然表中其它各组值均满足这个函数，故函数的解析式Q（x）＝﹣|x﹣20|+70（1≤x≤30，x∈N*）．（3）由（1）知，P（x）＝，1≤x≤30，x∈N*，由（2）知，Q（x）＝﹣|x﹣20|+70＝，f（x）＝P（x）•Q（x）＝，当1≤x≤20，x∈N*，f（x）＝在[1，10]上单调递减，在[10，20]上单调递增，当x＝10时，f（x）取得最小值f（10）＝72（元），当20＜x≤30，x∈N*，f（x）＝在（20，30]上单调递减，当x＝30时，f（x）取得最小值f（30）＝64（元），显然72＞64，则当1≤x≤30，x∈N*，f（x）min＝f（30）＝64 （元），故商品的日销售收入的最小值为64元．【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握二次函数的单调性和基本不等式的公式，属于中档题．22．（12分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），有f（x1）＝f（x2）成立，则称函数f（x）是“v型函数”．已知函数f（x）＝x2﹣（a2+a+2）x+2，g（x）＝a|x+a|+a2，a∈R．（1）若f（x）在区间[0，2]上具有单调性，求实数a的取值范围；（2）设函数，是否存在实数a，使得h（x）是“v型函数”，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据二次函数的单调性可得对称轴在区间两侧，解不等式可得a的取值范围；（2）根据f（x）和g（x）的解析式，先确定两个函数的取值集合，设为A，B，然后结合“v型函数”的定义分情况讨论．【解答】解：（1）因为f（x）在区间[0，2]上具有单调性，所以或，解得a≤﹣2或a≥1，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）；（2）存在；因为函数f（x）的对称轴x＝＞0，所以函数f（x）的取值集合为A，则A＝（2，+∞），当x＞0时，g（x）的函数取值集合为B，假设存在实数a，使得h（x）是“v型函数”，由“v型函数”的定义知：①若x1＜0，则存在唯一x2＞0，使h（x1）＝h（x2），所以g（x）在（0，+∞）上单调且A⊆B，②若x1＞0，则存在唯一x2＜0，使h（x1）＝h（x2），所以g（x）在（0，+o）上单调且B⊆A，所以函数h（x）在y轴两侧的图象必须“等高”且单调，即A＝B且g（x）在（0，+∞）上单调，当a＝0时，g（x）＝0，不合题意；当a＜0时，g（x）在（0，﹣a）上单调递增，在（﹣a，+o）上单调递减，B＝（﹣∞，a2]，不合题意；当a＞0时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，B＝（2a2，+∞），所以2a2＝2，则a＝1（a＝﹣1舍去）；综上，存在a＝1，使得h（x）是“v型函数”．【点评】本题考查了二次函数的单调性，新定义函数的单调性问题，属于综合题．。
2023—2024学年江苏省苏州市高一上学期期中数学试卷
2023—2024学年江苏省苏州市高一上学期期中数学试卷一、单选题1. 已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．B．C．D．2. 函数的定义域为（）A．B．C．D．3. 命题“”的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．4. 19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数若函数，则下列实数中不属于．．．函数值域的是（）A．0B．C．D．5. 若是定义在上的偶函数，且，下列各式中一定成立的是（）A．B．C．D．6. 已知函数，则满足的的取值范围为（）A．B．C．D．7. 给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（）A．0B．C．D．28. 已知若，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题9. 设为正数，且，下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．10. 将某几何图形置于坐标系中，直线从左向右扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线左侧部分的面积为，若函数的大致图象如图所示，则该几何图形可以是（）A．B．C．D．11. 定义在上的函数满足：对任意的，则下列结论一定正确的有（）A．B．C．为上的增函数D．为奇函数12. 某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有（）A．B．，都有C．的值域为D．，都有三、填空题13. 若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是 _________ （只要写一个即可）14. 命题“”的否定为 _________ ．15. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，若集合，则A中元素的个数是 _________ ．16. 已知函数，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围 _________ ．四、解答题17. 设全集为，集合或，.(1)求；(2)已知，若，求实数的取值范围.18. 若正数满足．(1)当时，求的最小值；(2)当时，求的取值范围．19. 已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为．(1)求的解析式；(2)关于的不等式的解集中恰有两个整数，求实数的取值范围．20. 立德中学学生在社会实践活动中，通过对某商店一种换季商品销售情况的调查发现：该商品在过去的两个月内（以60天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足．该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：（个）1680给出以下两种函数模型：①，②．(1)请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；(2)求该商品的日销售收入的最小值．21. 定义：对于函数，如果存在实数，使得，那么称为和的生成函数．(1)给出函数，请判断是否为和的生成函数？并说明理由；(2)设，当时，和的生成函数为．若对于任意正实数且，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 22. 已知：(1)若，判断的奇偶性；(2)若在上的最小值是3，求正数的值．。
2022-2023学年江苏省苏州市高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年江苏省苏州市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}{}{}2,1,0,1,2,3,1,0,1,1,2U A B =--=-=，则()UA B ⋃=（ ）A ．{}2,3-B ．{}2,2,3-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3--【答案】A【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：{1,0,1,2}A B =-，则(){2,3}UA B ⋃=-.故选：A.2．命题“存在一个素数，它的平方是偶数”的否定是（ ） A ．任意一个素数，它的平方是偶数 B ．任意一个素数，它的平方不是偶数 C ．存在一个素数，它的平方是素数 D ．存在一个素数，它的平方不是偶数【答案】B【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求求解.【详解】“存在一个素数，它的平方是偶数”的否定是“任意一个素数，它的平方不是偶数”. 故选：B3．若集合A 的子集个数有4个，则集合A 中的元素个数是（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】A【分析】直接根据集合元素个数和子集个数关系列式计算即可. 【详解】设集合A 中的元素个数是n ， 则24n =， 解得2n = 故选：A.4．已知()f x 是定义在R 上的增函数，则（ ） A ．函数()()f x f x +-为奇函数，且在R 上单调递增 B ．函数()()f x f x +-为偶函数，且在R 上单调递减 C ．函数()()f x f x --为奇函数，且在R 上单调递增 D ．函数()()f x f x --为偶函数，且在R 上单调递减 【答案】C【分析】结合已知条件，利用函数奇偶性定义和其对称性可判断AB ；利用奇偶性的定义以及复合函数单调性可判断CD. 【详解】不妨令()()()F x f x f x ，则()()()()F x f x f x F x -=-+=，且()F x 的定义域为R ，故()()()F x f x f x 为偶函数，则()F x 的图像关于y 轴对称，则()F x 不可能在R 上单调，故AB错误；令()()()H x f x f x =--，则()()()()H x f x f x H x -=--=-，且()H x 的定义域为R ， 故()H x 是奇函数，因为()f x 是定义在R 上的增函数，所以由复合函数单调性可知，()f x -在R 上是减函数， 故()()()H x f x f x =--在R 上是增函数，故C 正确，D 错误. 故选：C.5．已知幂函数2())(253m f m m x x =-+为偶函数，则关于函数()()()1f xg x f x =+的下列四个结论中正确的是（ ）A ．()g x 的图象关于原点对称B ．()g x 的值域为[]01，C ．()g x 在()0+∞，上单调递减 D ． 1()+1g x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据()f x 为幂函数且为偶函数可得2m =，进而得22()1x g x x =+，根据奇偶性的判断可判断A ，根据单调性确定值域可判断B ，C,代入计算211=1g x x ，⎛⎫ ⎪+⎝⎭进而可判断D.【详解】因为2())(253m f m m x x =-+是幂函数,所以2253=1m m -+,解得2m =或12m =, 又()f x 是偶函数,所以2m =,故()2=f x x ,故22()()=()11f x xg x f x x =++; 对于A;()()g x g x -=,故()g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故A 错误，对于B ；2221()==111x g x x x -++，由于211x +≥，所以21011x <≤+，故[)()01g x ，∈，故值域为[)01，，故B 错误, 对于C;21()=11g x x -+,由于21y x =+在()0+∞，单调递增，故1211y x =+在()0+∞，单调递减，故()g x 在()0+∞，递增，故C 错误，对于D ；222111==111x g x x x ，⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭从而22211()+=111x g x g x x x ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，故D 正确， 故选：D6．若函数()||f x x a b =-+在区间[11]-，上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【分析】易证得函数()f x 关于x a =对称，分1a ≥，1a ≤-，10a -<<和01a ≤<四种情况讨论，求出函数得最大值和最小值，即可得出结论.【详解】解：因为(2)f x a x a b +=++，()f x x a b x a b -=--+=++， 所以()()2f x a f x +=-， 所以函数()f x 关于x a =对称，,(),x a b x af x x a b x a b x a-+≥⎧=-+=⎨-++<⎩，当1a ≥时，()()11,11M f a b m f a b =-=++==+-， 则2M m -=，与a 无关，与b 无关，当1a ≤-时，()()11,11M f a b m f a b ==-++=-=-+-， 则2M m -=，与a 无关，与b 无关，当10a -<<时，()()11,M f a b m f a b ==-+==， 则1M m a -=-，与a 有关，与b 无关，当01a ≤<时，()()11,M f a b m f a b =-=++==， 则1M m a -=+，与a 有关，与b 无关， 综上所述M m -与a 有关，但与b 无关. 故选：B.7．已知函数()y f x =的图象关于点()P a b ，成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.利用该结论，则函数32()23f x x x =-图象的对称中心是（ ）A ．(11)-，B ．(11)-，C ．11()22-，D ．11()22-，【答案】C【分析】根据()y f x a b =+-为奇函数，由奇函数满足的关系式即可列方程求解.【详解】设()f x 的图象关于点()P a b ，，令()=()g x f x a b +-，则()()()32233222()3=2636623()g b a b x a x a a x a x x a x a -+-+-+-=+--+， 322326362=263x a x a a x a a b gx由()g x 为奇函数，故=0g xgx ，即()()()()322323223226366232636623=0x a x a a x a a b x a x a a x a a b ⎡⎤+-+-+--+-+---+--⎣⎦，化简得()()232263223=0a x a a b -+--，故630a 且3223=0a a b --，解得11,22a b ==-，故()f x 对称中心为11()22-，， 故选：C8．若将有限集合A 的元素个数记为()card A ，对于集合2{(3)30,Z}M x x a x a x =-++<∈，{}2540,Z N x x x x =-+≤∈，下列说法正确的是（ ）A ．若1a =，则()+()=4card M N card MNB ．若()1card M N =，则4a ≥或2a ≤C ．若()4card MN =，则05a ≤≤D ．存在实数a ，使得()()()card M N card M card N =+【答案】C【分析】首先解一元二次不等式求出集合N ，再对a 分类讨论求出集合M ，最后根据所给对于及集合的运算一一分析即可.【详解】解：由2540x x -+≤，即()()410x x --≤，解得14x ≤≤，所以{}{}{}2540,Z 14,Z 1,2,3,4N x x x x N x x x =-+≤∈==≤≤∈=，对于A ：当1a =时2430x x -+<，即()()310x x --<，解得13x <<，所以{}2{(3)30,Z}{13,Z}2M x x a x a x M x x x =-++<∈==<<∈=，所以{}1,2,3,4MN =，{}2M N =，所以()()5card MN card MN +=，故A 错误；由2(3)30x a x a -++<，即()()30x x a --<，当3a >时解得3x a <<，当3a =时解得x ∈∅，当3a <时解得3a x <<，即当3a >时{}Z |3,M x x x a =<<∈，当3a =时M =∅，当3a <时{}Z |3,M x x a x =<<∈， 对于B ：若()1card MN =，若3a <则{}Z |3,M x x a x =<<∈，则{}2M =，此时12a ≤<，若3a >则{}Z |3,M x x x a =<<∈，则{}4M =，此时4a >，综上可得4a >或12a ≤<，故B 错误；对于C ：若()4card MN =，当3a =时显然满足，当3a >时则35a a >⎧⎨≤⎩，解得35a <≤， 当3a <时则30a a <⎧⎨≥⎩，解得03a ≤<，综上可得05a ≤≤，故C 正确； 对于D ：因为()4card N =，()()4card MN card N ≤=，若()()()card MN card M card N =+，则()4card MN =，此时()0card M =，即M =∅，则M N ⋂=∅，与()4card M N =矛盾，故D 错误；故选：C二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．AB ⋂≠∅是A B ⊆的必要不充分条件B ．x 或y 为有理数是xy 为有理数的既不充分又不必要条件C ．A B A ⋃=是B A ⊆的充分不必要条件D ．222a b c ab bc ca ++=++的充要条件是a b c == 【答案】BD【分析】由已知，选项A ，可举例当A =∅时，判断是否满足必要性；选项B ，选项C ，选项D ，可根据条件和结论分别验证充分性和必要性.【详解】选项A ，必要性：A B ⊆，当A =∅时，此时A B ⋂=∅，该选项错误；选项B ，x ，y 中有一个数为有理数时，xy 不一定为有理数（如：1=，所以x 或y 为有理数不一定能推导出xy 为有理数；xy 为有理数时，x ，y 2=），所以，此时xy 为有理数不一定能推导出x 或y 为有理数，所以该选项正确；选项C ，充分性：A B A B A ⋃=⇒⊆，必要性：B A A B A ⊆⇒⋃=，应为充要条件，所以该选项错误；选项D ，必要性：222a b c ab bc ca ++=++，所以()()()222222222a c b c a c ab bc ca +=++++++，即()()()2220a c b c a b -+-+-=，所以a b c ==；充分性：a b c ==，则22223c a a ab b c bc a =+=+++，该选项正确. 故选：BD.10．函数()f x 满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数a b ，恒有()()0f a f b a b-<-；②对于定义域内的任意两个不相等的实数12x x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭成立，则称其为G 函数.下列函数为G 函数的是（ ） A ．()1f x x =-+ B ．()10f x x x=>，C ．()f x x =-D ．()2432f x x x x =-+-<，【答案】BC【分析】利用G 函数的定义结合图象逐一判断即可.【详解】依题意，对于定义域内任意不相等的实数,a b 恒有()()0f a f b a b-<-，即 ()f x 是减函数；对于定义域内的任意两个实数12,x x 都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭成立， ()f x 是下凹函数. A 选项中，()1f x x =-+是减函数，且()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，故不满足条件，不是G 函数；B 选项中，()10f x x x=>，是减函数，如图可知，图象下凹，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，是 G 函数；C 选项中，()f x x =-()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，是 G 函数；D 选项中，()2432f x x x x =-+-<，是增函数，如图所示，所以不是 G 函数. 故选：BC.11．函数21,20,()2()1,0a x f x x x a x -⎧-<<⎪=+⎨⎪--≥⎩是定义在(2)-+∞，上的函数，则（ ） A ．若1a =-，则函数()y f x =的值域为[0)+∞，B ．若1a =-，则函数()y f x =的值域为(1)[0)-∞-+∞，， C ．若函数()y f x =单调递增，则a 的取值范围是(0]-∞，D ．若函数()y f x =单调递增，则a 的取值范围是1(]2-∞-，【答案】BD【分析】AB 选项利用分段函数的值域求解判断；CD 选项利用分段函数的单调性求解判断.【详解】解：若1a =-，则函数22,20()2(1)1,0x f x x x x ⎧--<<⎪=+⎨⎪+-≥⎩，当20x -<<时，022x <+<，212x >+，则212x -<-+， 当0x ≥时，()()00f x f ≥=，所以()(),1[0,)f x ∈-∞-⋃+∞，故A 错误B 正确；若函数()y f x =单调递增，则2100112a a a a ⎧⎪-<⎪≤⎨⎪-⎪-≥⎩，解得12a ≤-，所以a 的取值范围是1(]2-∞-，，故C 错误D 正确. 故选：BD12．下列说法正确的是（ ）A ．函数2u t =，()t ∈-∞+∞，与函数2x y =，()y ∈-∞+∞，是同一个函数 B ．直线x a =与函数()y f x =的图象至多有一个公共点C ．满足“值域相同，对应关系相同，但定义域不同”的函数组不存在D ．满足“定义域相同，值域相同，但对应关系不同”的函数有无数个 【答案】ABD【分析】根据函数的定义，以及函数的三个要素：定义域，值域和对应关系，结合选项即可逐一求解.【详解】对于A;函数的对应关系，定义域相同，故为同一个函数，A 正确，对于B;根据函数的定义，对于定义域内任意的自变量x ,都有唯一确定的y 与之对应，故直线x a =与函数()y f x =的图象至多有一个公共点，B 正确，对于C ；如22=0110f x x ,x,,g x x ,x,，两函数的值域均为[]01，，对应关系相同，但定义域不同，故C 错误，对于D ；例如对任意的一次函数,0y kx b k =+≠，定义域值域均为R ,但对应关系不同，故D 正确， 故选：ABD三、填空题13．若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____． 【答案】()25，【分析】直接利用不等式的性质计算即可. 【详解】23a <<，426a ∴<<①， 又12b <<，21b ∴-<-<-②， ①+②可得225a b <-<即2a b -的取值范围是()25， 故答案为：()25，14．若函数2240()0x x x f x x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩，，为奇函数，则(1)f a -=____．【答案】3【分析】结合已知条件，首先利用奇函数性质和赋值法求出参数a ，进而可得到答案. 【详解】因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)f f -=-，即22(1)4(1)4a a --=--+⇒=， 故2(1)(3)3433f a f -==-+⨯=. 故答案为：3.15．已知正数x y ，满足21x y +=，若不等式20x mxy y -+≥恒成立，则实数m 的最大值是____． 【答案】4【分析】参变分离得1x m y x≤+，再利用基本不等式求1x y x+的最小值即可. 【详解】0,0x y >> 由20x mxy y -+≥恒成立得1x m y x≤+恒成立，即求1x y x+的最小值 又()1111111112222222xy x yyxy x y x y x y xx y ⎛⎫-+=+=+-=+-=++ +⎪⎝⎭24≥= 当且仅当21x yy x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即13x y ==时等号成立，1x y x∴+的最小值为4， 4m ∴≤即实数m 的最大值是4 故答案为：4.16．若函数()f x 的定义域为R ，对任意的12x x ≠，都有1212()()2f x f x x x ->-，且(3)8f =，则不等式(21)4f x x -<的解集是____．【答案】()2∞-，##{}|2x x < 【分析】由已知，根据1212()()2f x f x x x ->-经过变形得到1122()2()2f x x f x x ->-，可令()()2g x f x x =-，即可判断函数()g x 的单调性，将要求的不等式转化为(21)(3)g x g -<，然后利用单调性直接求解即可. 【详解】由已知，函数()f x 的定义域为R ，且1212()()2f x f x x x ->-，可设12x x >，则()12121122()()2()2()2f x f x x x f x x f x x ->-⇒->-，令()()2g x f x x =-，所以12()()g x g x >，又因为12x x >，所以函数()g x 在R 上单调递增， 不等式(21)4f x x -<可变为(21)2(21)2f x x ---<， 又因为(3)8f =，所以(3)23862f -⨯=-=，所以(21)2(21)(3)23f x x f ---<-⨯，即(21)(3)g x g -<， 又因为函数()g x 在R 上单调递增，所以213x -<，解得：2x <.故答案为：()2-∞，.四、解答题17．已知函数()f x A ，集合{}124(1)B x a x a a =-<≤+>-.(1)若0a =，求A B ⋂，A B ⋃；(2)若命题“x A ∀∈，x B ∈”是真命题，求实数a 的取值范围．【答案】(1)(]13，=A B ，(]04A B =， (2)1a ≥【分析】(1)根据函数解析式，求出集合A ,然后利用集合的运算即可求解； (2)将条件进行等价转化，也即A B ⊆，列出条件成立的不等式组，解之即可. 【详解】（1）要使函数()f x则有300x x -≥⎧⎨>⎩，解得03x <≤，故(]03A =，. 若0a =，则(]14B =，， (]13A B ∴=，，(]04A B =，. （2）由（1）知：(]03A =，， 若命题“x A x B ∀∈∈，”是真命题，则A B ⊆. 110243a a a >-⎧⎪∴-≤⎨⎪+≥⎩，1a ∴≥ 故实数a 的取值范围是1a ≥.18．已知函数2()(1)2f x ax a x a =+-+-.(1)若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为[]1m ，，求实数a m ，的值； (2)若关于x 的不等式()1f x <的解集为∅，求实数a 的取值范围.【答案】(1)13a m =-=-，(2)115a ≤≤【分析】（1）由韦达定理即可求得实数a m ，的值； （2）分0a =和0a ≠两种情况讨论即可.【详解】（1）因为不等式2(1)20ax a x a +-+-≥的解集为[1]m ，， 所以a<0，且方程2(1)20ax a x a +-+-=的两不等根为m 和1,（1m <） 由韦达定理得:1211a am m a a--+=-⨯=，， 解得：13a m =-=-，. （2）当0a =时，不等式为21x -+<，解得1x >， 不等式的解集为{}|1x x >，不满足题意；当0a ≠时，由()1f x <，可得2(1)10ax a x a +-+-<的解集为∅，所以有0Δ0a >⎧⎨≤⎩，即20(1)4(1)0a a a a >⎧⎨---≤⎩ ，解得115a ≤≤. 所以实数a 的取值范围是115a ≤≤.19．阅读：序数属性是自然数的基本属性之一，它反映了记数的顺序性，回答了“第几个”的问题.在教材中有如下顺序公理：①如果a b b c >>，，那么a c >；②如果0a b c >>，，那么ac bc >. (1)请运用上述公理①②证明：“如果00a b c d >>>>，，那么ac bd >.” (2)求证：(1)() 2.yx y x x y x y+++≥ 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）利用不等式基本性质得到0ac bc >>，0bc bd >>，从而得到ac bd >； （2）法一：利用基本不等式得到，x y y x+的取值范围为(2][2)-∞-+∞，，，从而2x y y x +≥且11x yy x++≥，利用（1）中的结论即可得到答案； 法二：令x m y=，得到函数1()F m m m =+为对勾函数，从而得到函数的单调性和值域，令x y t y x =+，得到t 的取值范围为(2][2)-∞-+∞，，，此时()(1)g t t t =+，利用其单调性求出值域，得到答案； 法三：令x m y =，则2211()(1)2x y x y m m y x y x m m +++=++++，令1t m m=+，得到t 的取值范围为(2][2)-∞-+∞，，，换元后得到222112m m t t m m++++=+，再用作差法和因式分解得到2224(2)(2)(1)t t t t t t +-=++-+，分2t ≥和2t ≤-，均有2(2)(2)(1)0t t t t ++-+≥，证明出224t t +≥，证明出结论.【详解】（1）0a b >>，且0c >，0ac bc ∴>>同理0bc bd >>，ac bd ∴>；（2）法一：当x y ，同号时，00x yy x >>，，2x y y x ∴+≥=. 当x y ，异号时，00x yy x->->，，()()2x y y x ∴-+-=≥，2x yy x∴+-≤.· 综上可知，x yy x+的取值范围为(2][2)-∞-+∞，，， 1x yy x∴++的取值范围为(1][3)-∞-+∞，， 2x y y x ∴+≥且11x yy x++≥，· 由（1）中的结论可知：()(1)1212xy x y x y x yy x y x y x y x+++=+⋅++⨯=≥. 法二：令x m y=，则关于m 的函数1()F m m m =+在区间(1)-∞-，和(1)+∞，上单调递增， 在(10)-，和(01)，上单调递减， 所以1()F m m m=+的值域为(2][2)-∞-+∞，，. 令xyt y x =+，则t 的取值范围为(2][2)-∞-+∞，，， 令函数()(1)g t t t =+，则()g t 在(2]-∞-，上单调递减，在[2)+∞，上单调递增. 所以函数()g t 的值域为[2)+∞，， 所以()[2,)g t ∈+∞，故()(1)()2xy x y g t y x y x+++=≥.· 法三：令x m y=，则221111()(1)()(1)2x y x y m m m m y x y x m m m m +++=+++=++++，令1t m m=+，则t 的取值范围为(2][2)-∞-+∞，，，又222211()22m m t m m+=+-=-， 所以222112m m t t m m++++=+. 因为222224(2)(2)(2)(2)(1)t t t t t t t t t t +-=+++-=++-+当2t ≥时，2(2)(2)(1)0t t t t ++-+≥；当2t ≤-时，2(2)(2)(1)0t t t t ++-+≥. 所以224t t +≥，又20t t +≥，所以22t t +≥，原命题即证.20．某地区上年度电价为0.8元/（kW·h ），年用电量为a kW·h ，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h ）至0.75元/（kW·h ）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h ）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k ）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h ）.记本年度电价下调后电力部门的收益为y （单位：元），实际电价为x （单位：元/（kW·h ））.（收益=实际电量⨯（实际电价-成本价））(1)当0.2k a =时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ (2)当0.4k a =时，求收益y 的最小值. 【答案】(1)0.6元/（kW·h ） (2)0.9a【分析】（1）先表示出下调电价后新增用电量0.4k x -，则电力部门的收益()(0.3)0.4ky a x x =+-- 当0.2k a =时，代入表达式中列出不等式，解出结果即可得实际电价最低定价. （2）当0.4k a =时，代入收益()(0.3)0.4ky a x x =+--中，利用基本不等式求出收益得最小值即可 【详解】（1）由题意知，下调电价后新增用电量为0.4kx -. 故电力部门的收益()(0.3)0.4ky a x x =+--，0.550.75x ≤≤. （1）当0.2k a =时，0.20.2()(0.3)(1)(0.3)0.40.4a y a x a x x x =+-=+---. 由题意知0.2(1)(0.3)(0.80.3)(120%0.4a x a x +--⨯+-≥）且0.550.75x ≤≤. 化简得2 1.10.30x x -+≥. 解得.0.5x ≤ 或0.6x ≥ 又0.550.75x ≤≤0.60.75x ∴≤≤.·所以实际电价最低定为：0.6元/（kW·h ）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20% （2）当0.4k a =时，0.40.4()(0.3)(1)(0.3)0.40.4a y a x a x x x =+-=+---. 令0.4t x =-，0.550.75x ≤≤，0.150.35t ∴≤≤.·0a >，0.40.04(1)(0.1)(0.5)0.5)0.9y a t a t a a t t∴=++=++=≥ 当且仅当0.2t =时取等号. 故收益y 的最小值0.9a .21．已知函数2()2f x x ax =-，()1g x x =-.(1)当1a =时，R x ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中的较大者，记为()max{()()}M x f x g x =，，求()M x 的最小值；(2)若不等式1122|()()||()()|f x g x f x g x -<-对任意1x ，[]212x ∈，（12x x <）恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(2)13(,][,)22-∞+∞【分析】(1)利用分段函数表示()M x ，并利用作差法求出分段函数中对应的自变量范围，最后利用单调性即可求解；(2)构造函数()()()F x f x g x =-，由单调性定义可知|()|y F x =在[1,2]上单调递增，然后分类讨论()F x 的参数和判别式即可求解.【详解】（1）当1a =时，2()2f x x x =-，则2()()31f x g x x x -=-+， 由2()()310f x g x x x x -=-+≥⇒≤或x ≥()()f xg x ≥；2()()310f x g x x x -=-+<⇒<()()f xg x <，从而22,()()1,x x x M x x x ∞∞⎧-∈-⋃+⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩，结合一元二次函数和一次函数性质可知，()M x 在(上单调递减，在)+∞单调递增，从而min ()M x M =故()M x（2）令2()()()(21)1F x f x g x x a x =-=-++，由1122|()()||()()|f x g x f x g x -<-对任意1x ，[]212x ∈，（12x x <）恒成立， 即12|()||()|F x F x <对任意1x ，[]212x ∈，（12x x <）恒成立， 故|()|y F x =在[1,2]上单调递增，由二次函数性质可知，()F x 的图像开口向上，①若2[(21)]40a ∆=-+-≤时，即3122a -≤≤时，()0F x ≥在R 上恒成立，则若要|()|()y F x F x ==在[1,2]上单调递增， 只需2112a x +=≤即可，则3122a -≤≤； ②若2[(21)]40a ∆=-+->时，即32a <-或12a >时，令()0F x =，解得3x x ==4x x ==，且34x x <，则由二次函数性质可知，|()|y F x =在3(,)x -∞和421(,)2a x +上单调递减，在321(,)2a x +和4(,)x +∞上单调递增，若要|()|y F x =在[1,2]上单调递增，则312122x a ⎧=≤⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩或41x =≤ 解得32a ≥或32a <-， 综上所述，实数a 的取值范围为13(,][,)22-∞+∞.22．已知二次函数()y f x =的图象经过点(03)-，，且(1)(1)f x f x +=-，方程()40f x +=有两个相等的实根.(1)求()y f x =的解析式； (2)设()4()(0)f x g x x x+=>， ①判断函数()g x 的单调性，并证明；②已知m R ∈，求函数()2212y x g x m x =+-+-的最小值()h m . 【答案】(1)2()23f x x x =--(2)①在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增；②()h m m =【分析】（1）通过待定系数的方式，以及条件中二次函数图象经过点(03)-，，(1)(1)f x f x +=-，方程()40f x +=有两个相等的实根，列出对应的方程组，从而得到()y f x =的解析式； （2）①通过单调性的定义证明函数()g x 的单调；②因为条件中的221x x +和()g x 中的1x x +具有关系222121x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，所以可以换元1t x x =+，并求出t 的范围，并将函数化简为2()2t t t m ϕ=---，从而求出函数的最小值()h m . 【详解】（1）（法一）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则(0)3f c ==-， 由(1)(1)f x f x +=-得22(1)(1)(1)(1)a x b x c a x b x c ++++=-+-+， 化简得(2)0a b x +=恒成立，则20a b +=，即2b a =-因为方程()40f x +=有两个相等实根，即2210ax ax -+=有两个相等实根，所以244=0a a ∆=-， 可得1a =，2b =-. 2()23f x x x ∴=--.（法二）由(1)(1)f x f x +=-可得对称轴为1x =，又()f x 过点()0,3-， 因此设2()(1)f x a x l =-+(0)a ≠，(0)3f a l =+=-，所以2()(1)3f x a x a =---因为方程()40f x +=有两个相等实根，即2210ax ax -+=有两个相等实根，所以244=0a a ∆=-，可得1a =2()23f x x x ∴=--.（2）2211()2(0)x x g x x x x x-+==+-> ①()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增.证明：任取120x x >>，则12121211()()(2)(2)g x g x x x x x -=+--+-121211()()x x x x =-+-121212(1)()x x x x x x --= ·当121x x >>时，121x x >，120x x ->，则12()()0g x g x ->，()g x 在()1,+∞单调递增； 当1210x x >>>时，121x x <，120x x ->，则12()()0g x g x -<，()g x 在()0,1单调递减. 因此()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增.②令1t x x =+，则22212x t x+=-. 因为0x >，所以12x x+≥，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以2t ≥.设2()2t t t m ϕ=---，2t ≥1）当2m ≤时，2()2t t t m ϕ=-+-，()t ϕ在[)2,+∞上单调递增，()(2)h m m ϕ∴==2）当2m>时，()222,2,2t t m t mt t t m t m ϕ⎧-+-≥=⎨+--≤<⎩，当t m ≥时，()t ϕ在[)m +∞，上单调递增；当2t m ≤<时，()t ϕ在[)2,m 上单调递增 所以()t ϕ在[2)+∞，上单调递增， ()(2)h m m ϕ∴==综上，()h m m =.。
2023-2024学年江苏省苏州市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U ＝R ，集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＞1}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{2，3}D ．{0，1，2}2．函数f(x)=x−11+x的定义域为（ ）A ．（1，+∞）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞24．19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数D （x ）={1，x 是有理数，0，x 是无理数．若函数f （x ）＝D （x ）﹣x 2，则下列实数中不属于函数f （x ）值域的是（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣35．若f （x ）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f （5）＞f （2），下列各式中一定成立的是（ ） A ．f （﹣2）＜f （5） B ．f （0）＜f （6） C ．f （4）＜f （5）D ．f （0）＜f （4）6．已知函数f （x ）＝x 4+x 2﹣2，x ∈R ，则满足f （2x ）＜f （x +2）的x 的取值范围为（ ） A ．（0，2）B ．(−23，2)C ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D ．(−∞，−23)∪(2，+∞)7．给定函数f （x ）＝x 2﹣2，g （x ）=−12x +1，用M （x ）表示函数f （x ），g （x ）中的较大者，即M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则M （x ）的最小值为（ ） A ．0B ．7−√178C ．14D ．28．已知f （x ）={x 2+4x +3，x ≤0，|3−2x |，x ＞0，若x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4），则1x 1+1x 2+1x 3+1x 4的取值范围是（ ）A．(−∞，53)B．（﹣∞，2）C．(−∞，133)D．(53，133)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设a，b为正数，且a＞b，下列不等式中一定成立的是（）A．ba4＞ab4B．ba ＜b+1a+1C．a+1a＞b+1b D．b−a b＜a−b a10．将某几何图形置于坐标系xOy中，直线l：x＝t从左向右扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线l左侧部分的面积为S，若函数S＝f（t）的大致图象如图所示，则该几何图形可以是（）A．B．C．D．11．定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y），则下列结论一定正确的有（）A．f（0）＝0B．f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y）C．f（x）为R上的增函数D．f（x）为奇函数12．某数学兴趣小组对函数f(x)=1−x|x|+1进行研究，得出如下结论，其中正确的有（）A．f（﹣2023）+f（2023）＝2B．∃x1≠x2，都有f（x1）＝f（x2）C．f（x）的值域为（0，2）D．∀x1，x2∈（0，+∞），都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若幂函数f（x）＝xα（α∈R）是奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，则α的值可以是．（只要写一个即可）14．命题“∃x ＞1，x 2＜1”的否定为 ．15．函数f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，若集合A ＝{y |y =[2x 2−3x 2+1]，x ∈R }，则A 中元素的个数是 ． 16．已知函数f （x ）＝﹣x +2，g （x ）=x 2+5x+10x+3+m ，若对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈（﹣2，3），使得f （x 1）＝g （x 2），则实数m 的取值范围 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集为U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜﹣3或x ＞5}，B ＝{x |﹣2＜x ＜10}． （1）求（∁U A ）∩B ；（2）已知C ＝{x |a ＜x ＜a +1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围． 18．（12分）若正数a ，b 满足ab ＝4a +b +t ，t ∈R ． （1）当t ＝0时，求a +4b 的最小值； （2）当t ＝5时，求ab 的取值范围．19．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的图象与直线y ＝﹣4有且仅有一个公共点，且不等式f （x ）＜0的解集为[﹣1，3]． （1）求f （x ）的解析式；（2）关于x 的不等式f （x ）＜（m ﹣1）x ﹣3﹣m 的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 20．（12分）立德中学学生在社会实践活动中，通过对某商店一种换季商品销售情况的调查发现：该商品在过去的两个月内（以60天计）的日销售价格P （x ）（元）与时间x （天）的函数关系近似满足P （x ）＝1+2x．该商品的日销售量 Q （x ）（个）与时间x （天）部分数据如下表所示：给出以下两种函数模型：①Q （x ）＝a （x ﹣25）2+b ，②Q （x ）＝a |x ﹣30|+b ．（1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量Q （x ）与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；（2）求该商品的日销售收入f （x ）（1≤x ≤60，x ∈N *）的最小值．21．（12分）定义：对于函数f 1（x ），f 2（x ），h （x ），如果存在实数a ，b ，使得af 1（x ）+bf 2（x ）＝h （x ），那么称h （x ）为f 1（x ）和f 2（x ）的生成函数．（1）给出函数f 1（x ）=−14x 2−12x +154，f 2（x ）＝x 2﹣4x ﹣5，h （x ）＝x 2﹣10x +5，请判断h （x ）是否为f（x）和f2（x）的生成函数？并说明理由；（2）设f1（x）＝x（x＞0），f2（x）=1x（x＞0），当a＝2，b＝8时，f1（x）和f2（x）的生成函数为h （x）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2＝2，是否存在实数m，使得h（x1）h（x2）＞m恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知f（x）＝x（|x﹣4a|+2），a∈R．（1）若f（1）＝3，判断f（x）的奇偶性；（2）若f（x）在[1，3]上的最小值是3，求正数a的值．2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U ＝R ，集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＞1}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{2，3}D ．{0，1，2}解：由Venn 图可知，阴影部分所表示的集合为A ∩（∁U B ）＝{0，1，2，3}∩{x |x ≤1}＝{0，1}． 故选：B ． 2．函数f(x)=2x√x−1√1+x的定义域为（ ）A ．（1，+∞）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）解：要使原函数有意义，则{x −1＞01+x ＞0，解得x ＞1．∴函数f(x)=2x√x−1√1+x的定义域为（1，+∞）．故选：A ．3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞2解：由|x |＞2解得：x ＜﹣2或x ＞2，找“|x |＞2”的一个充分不必要条件，即找集合{x |x ＜﹣2或x ＞2}的真子集， ∵{x |x ＞2}⫋{x |x ＜﹣2或x ＞2}，∴“|x |＞2”的一个充分不必要条件是{x |x ＞2}． 故选：D ．4．19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数D （x ）={1，x 是有理数，0，x 是无理数．若函数f （x ）＝D （x ）﹣x 2，则下列实数中不属于函数f （x ）值域的是（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣3解：由题意得f（x）={1−x2，x是有理数−x2，x是无理数，A：由于f（1）＝0，A正确；B：由f（x）＝﹣1，当x是有理数时，1﹣x2＝﹣1，则x=±√2，不合题意；当x是无理数时，﹣x2＝﹣1，则x＝±1，不合题意；C：因为f（√2）＝﹣2，故﹣2为函数的一个函数值；D：由f（√3）＝﹣3，故﹣3为函数的一个函数值．故选：B．5．若f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（5）＞f（2），下列各式中一定成立的是（）A．f（﹣2）＜f（5）B．f（0）＜f（6）C．f（4）＜f（5）D．f（0）＜f（4）解：因为f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，所以f（﹣5）＝f（5），f（﹣2）＝f（2），因为f（5）＞f（2），所以f（5）＞f（﹣2），故A正确，因为无法判断函数的单调性，故其余选项不能判断．故选：A．6．已知函数f（x）＝x4+x2﹣2，x∈R，则满足f（2x）＜f（x+2）的x的取值范围为（）A．（0，2）B．(−23，2)C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．(−∞，−23)∪(2，+∞)解：因为f（﹣x）＝x4+x2﹣2，所以f（﹣x）＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＞0时，y＝x4，y＝x2单调递增，所以函数f（x）＝x4+x2﹣2在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，因为f（2x）＜f（x+2），所以|2x|＜|x+2|，所以（2x）2＜（x+2）2，整理得3x2﹣4x﹣4＜0，解得−23＜x＜2，所以x的取值范围为（−23，2）．故选：B．7．给定函数f （x ）＝x 2﹣2，g （x ）=−12x +1，用M （x ）表示函数f （x ），g （x ）中的较大者，即M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则M （x ）的最小值为（ ） A ．0B ．7−√178C ．14D ．2解：令x 2﹣2=−12x +1，解得x ＝﹣2或x =32， 作出函数M （x ）的图象如图所示：由图象可知，当x =32时，M （x ）取得最小值为M （32）=14．故选：C ．8．已知f （x ）={x 2+4x +3，x ≤0，|3−2x |，x ＞0，若x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4），则1x 1+1x 2+1x 3+1x 4的取值范围是（ ）A ．(−∞，53) B ．（﹣∞，2）C ．(−∞，133)D ．(53，133)解：画出f （x ）={x 2+4x +3，x ≤0|3−2x |，x ＞0的图象，如图所示：设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝a，则a∈（0，3），令x2+4x+3＝3，解得x＝﹣4或0，因为y＝x2+4x+3的对称轴为x＝﹣2，由对称性可得x1+x2＝﹣4，且x1∈（﹣4，﹣3），x2∈（﹣1，0），其中1x1+1x2=x1+x2x1x2=−4x1x2=−4(−4−x2)x2=4(x2+2)2−4，因为x2∈（﹣1，0），所以（x2+2）2﹣4∈（﹣3，0），故1x1+1x2=4(x2+2)2−4∈（﹣∞，−43），又2x3−3＝3−2x4，故1x3+1x4=3，所以1x1+1x2+1x3+1x4∈（﹣∞，53）．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设a，b为正数，且a＞b，下列不等式中一定成立的是（）A．ba4＞ab4B．ba ＜b+1a+1C．a+1a＞b+1b D．b−a b＜a−b a解：对于A，因为a，b为正数，且a＞b，则ba4﹣ab4＝ab（a3﹣b3）＞0，故A正确；对于B，b（a+1）﹣a（b+1）＝b﹣a＜0，则B正确；对于C，（a+1a）﹣（b+1b）＝（a﹣b）−a−bab=（a﹣b）（1−1ab），由于1−1ab的符号不确定，故C错误；对于D，（b−ab）﹣（a−ba）＝（b﹣a）−a2−b2ab=（b﹣a）（1+a+bab），由于b﹣a＜0，ab＞0，a+b＞0，则（b﹣a）（1+a+bab）＜0，则D正确．故选：ABD．10．将某几何图形置于坐标系xOy中，直线l：x＝t从左向右扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线l左侧部分的面积为S，若函数S＝f（t）的大致图象如图所示，则该几何图形可以是（）A．B．C．D．解：由已知图像可知面积S的增速经历三种变化，首先面积S增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S增速越来越小，A选项：由圆的性质可知，面积S的增速先越来越大，后越来越小，A选项不符合；B选项：面积S增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S增速越来越小，B选项符合；C选项：面积S增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S增速越来越小，C选项符合；D选项：面积S增速越来越小，之后面积S匀速增加，最后面积S增速越来越大，D选项不符合．故选：BC．11．定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y），则下列结论一定正确的有（）A．f（0）＝0B．f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y）C．f（x）为R上的增函数D．f（x）为奇函数解：令x＝y＝0，可得f（0）＝2f（0），即f（0）＝0，故A正确；令y＝﹣x，可得f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），且定义域为R，则f（x）为奇函数，故D正确；由f（x）为奇函数，可得f（x﹣y）＝f（x）+f（﹣y）＝f（x）﹣f（y），故B正确；设f（x）＝﹣x，满足对任意的x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），但f（x）＝﹣x为递减函数，故C错误．故选：ABD．12．某数学兴趣小组对函数f(x)=1−x进行研究，得出如下结论，其中正确的有（）|x|+1A．f（﹣2023）+f（2023）＝2B．∃x1≠x2，都有f（x1）＝f（x2）C．f（x）的值域为（0，2）D ．∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1+x 22)≤f(x 1)+f(x 2)2 解：根据题意，可得f(x)=1−x|x|+1的定义域为R ， 对于A ，因为f(−x)=1−−x |−x|+1=1+x |x|+1，所以f （﹣x ）+f （x ）＝2，对任意x ∈R 成立，故f （﹣2023）+f （2023）＝2成立，A 正确；对于B ，化简得f(x)={1x+1，x ≥02+1x−1，x ＜0，可知f （x ）在（﹣∞，0）上与在[0，+∞）上都是减函数，所以f （x ）在R 上为减函数，不存在x 1≠x 2，使f （x 1）＝f （x 2）成立，故B 错误；对于C ，由f(x)={1x+1，x ≥02+1x−1，x ＜0，可知当x ∈（﹣∞，0）时，−1＜1x−1＜0，f （x ）=2+1x−1∈（1，2），当x ∈[0，+∞）时，f （x ）=1x+1∈（0，1]，所以f （x ）在R 上的值域为（0，2），C 正确； 对于D ，当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=1x+1，其图像是由反比例函数y =1x 向左平移1个单位而得， 图象是单调递减的曲线且以x 轴为渐近线，可知f （x ）是凹函数， 可知∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1+x 22)≤f(x 1)+f(x 2)2成立，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若幂函数f （x ）＝x α（α∈R ）是奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，则α的值可以是 ．（只要写一个即可） 解：当α＝﹣1时，则f （x ）=1x为奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，符合题意． 故答案为：﹣1（答案不唯一）．14．命题“∃x ＞1，x 2＜1”的否定为 ． 解：“∃x ＞1，x 2＜1”的否定为：∀x ＞1，x 2≥1． 故答案为：x ＞1，x 2≥1．15．函数f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，若集合A ＝{y |y =[2x 2−3x 2+1]，x ∈R }，则A 中元素的个数是 ． 解：∵2x 2−3x 2+1=2(x 2+1)−5x 2+1=2−5x 2+1，x 2+1≥1，0＜5x 2+1≤5，∴−3≤2−5x 2+1＜2， ∴−3≤2x 2−3x 2+1＜2， ∴A ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，A 中元素的个数为5． 故答案为：5．16．已知函数f （x ）＝﹣x +2，g （x ）=x 2+5x+10x+3+m ，若对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈（﹣2，3），使得f （x 1）＝g （x 2），则实数m 的取值范围 ．解：∵f （x ）＝﹣x +2为减函数，∴当x ∈[1，2]时，其值域A ＝[0，1]； ∵x ∈（﹣2，3），∴x +3∈（1，6）， 令t ＝x +3，则t ∈（1，6），g （x ）=x 2+5x+10x+3+m ，可化为y =(t−3)2+5(t−3)+10t +m ＝t +4t+m ﹣1（1＜t ＜6）， 由对勾函数的性质可知，h （t ）＝t +4t+m ﹣1在区间（1，2]上单调递减，在区间[2，6）上单调递增， ∴h （t ）min ＝h （2）＝3+m ，又h （1）＝4+m ，h （6）=173+m ，h （6）＞h （1）， ∴h （t ）∈[3+m ，173+m ），∴当x ∈（﹣2，3）时，g （x ）的值域为B ＝[3+m ，173+m ）；∵对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈（﹣2，3），使得f （x 1）＝g （x 2）， ∴A ⊆B ， ∴{3+m ≤0173+m ＞1，解得−143＜m ≤﹣3．故答案为：（−143，﹣3]． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集为U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜﹣3或x ＞5}，B ＝{x |﹣2＜x ＜10}． （1）求（∁U A ）∩B ；（2）已知C ＝{x |a ＜x ＜a +1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为集合A ＝{x |x ＜﹣3或x ＞5}，B ＝{x |﹣2＜x ＜10}， 所以∁U A ＝{x |﹣3≤x ≤5}，（∁U A ）∩B ＝（﹣2，5]；（2）因为C ⊆B ，所以{a +1≤10a ≥−2，解得﹣2≤a ≤9，即a 的取值范围[﹣2，9]．18．（12分）若正数a ，b 满足ab ＝4a +b +t ，t ∈R ． （1）当t ＝0时，求a +4b 的最小值；（2）当t ＝5时，求ab 的取值范围． 解：（1）当t ＝0时，4a +b ＝ab ， 所以4b +1a=1，所以a +4b ＝（a +4b ）（1a +4b ）＝17+4ba +4ab ≥17+2√4b a ⋅4ab =25，当且仅当4a b=4b a且ab ＝4a +b ，即a ＝b ＝5时取等号；（2）当t ＝5时，ab ＝4a +b +5≥2√4ab +5，当且仅当b ＝4a ，即a =52，b ＝10时取等号， 解得ab ≥25，故ab 的取值范围为[25，+∞）．19．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的图象与直线y ＝﹣4有且仅有一个公共点，且不等式f （x ）＜0的解集为[﹣1，3]． （1）求f （x ）的解析式；（2）关于x 的不等式f （x ）＜（m ﹣1）x ﹣3﹣m 的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 解：（1）根据题意，可得f （x ）＜0的根为﹣1和3，且ax 2+bx +c +4＝0有两个相等的实数根， 故{−1+3=−ba −1×3=c a ，且b 2﹣4a （c +4）＝0，解得a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣3，f （x ）＝x 2﹣2x ﹣3；（2）f （x ）＜（m ﹣1）x ﹣3﹣m ，即x 2﹣2x ﹣3＜（m ﹣1）x ﹣3﹣m ，整理得x 2﹣（m +1）x +m ＜0， 若m ＝1，不等式化为（x ﹣1）2＜0，解集为空集，不符合题意； 若m ≠1，不等式化为（x ﹣m ）（x ﹣1）＜0，当m ＜1时，解集为（m ，1），若恰有两个整数在区间（m ，1），则﹣2≤m ＜﹣1； 当m ＞1时，解集为（1，m ），若恰有两个整数在区间（1，m ），则3＜m ≤4． 综上所述，实数m 的取值范围是[﹣2，﹣1）∪（3，4]．20．（12分）立德中学学生在社会实践活动中，通过对某商店一种换季商品销售情况的调查发现：该商品在过去的两个月内（以60天计）的日销售价格P （x ）（元）与时间x （天）的函数关系近似满足P （x ）＝1+2x．该商品的日销售量 Q （x ）（个）与时间x （天）部分数据如下表所示：给出以下两种函数模型：①Q （x ）＝a （x ﹣25）2+b ，②Q （x ）＝a |x ﹣30|+b ．（1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量Q （x ）与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；（2）求该商品的日销售收入f （x ）（1≤x ≤60，x ∈N *）的最小值．解：（1）模型①：Q （x ）＝a （x ﹣25）2+b ，x ＝25时，Q （25）＝b ＝1670， x ＝20时，Q （20）＝25a +1670＝1680，解得a ＝0.4； 所以Q （x ）＝0.4（x ﹣25）2+1670；计算Q （45）＝0.4×202+1670＝1830＞1690， Q （60）＝0.4×352+1670＝2160＞1720；模型②：Q （x ）＝a |x ﹣30|+b ，表示在x ＝30两侧“等距”的函数值相等， 由{Q(25)=5a +b =1670Q(20)=10a +b =1680，解得a ＝2，b ＝1660， 所以Q （x ）＝2|x ﹣30|+1660，所以Q （45）＝15×2+1660＝1690，Q （60）＝30×2+1660＝1720； 所以利用模型②最合适，此时Q （x ）＝2|x ﹣30|+1660；（2）由（1）知，该商品的日销售收入f （x ）＝P （x ）•Q （x ）＝（1+2x）（2|x ﹣30|+1660）={3440x −2x +1716，1≤x ≤302x +3200x+1604，30＜x ≤60， 当1≤x ≤30时，f （x ）是单调递减函数，最小值为f （30）=344030−60+1716≈1771， 当30＜x ≤60时，f （x ）＝2x +3200x +1604≥2√2x ⋅3200x +1604＝1764，当且仅当2x =3200x，即x ＝40时“＝”成立，综上，f （x ）的最小值是1764．21．（12分）定义：对于函数f 1（x ），f 2（x ），h （x ），如果存在实数a ，b ，使得af 1（x ）+bf 2（x ）＝h （x ），那么称h （x ）为f 1（x ）和f 2（x ）的生成函数． （1）给出函数f 1（x ）=−14x 2−12x +154，f 2（x ）＝x 2﹣4x ﹣5，h （x ）＝x 2﹣10x +5，请判断h （x ）是否为f （x ）和f 2（x ）的生成函数？并说明理由；（2）设f 1（x ）＝x （x ＞0），f 2（x ）=1x （x ＞0），当a ＝2，b ＝8时，f 1（x ）和f 2（x ）的生成函数为h （x ）．若对于任意正实数x 1，x 2且x 1+x 2＝2，是否存在实数m ，使得h （x 1）h （x 2）＞m 恒成立？若存在，求出m 的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）h （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的生成函数，理由如下：若h （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的生成函数，则存在实数a ，b 使得h （x ）＝af 1（x ）+bf 2（x ）成立， 所以x 2−10x +5=a(−14x 2−12x +154)+b(x 2−4x −5)，即{ −14a +b =1−12a −4b =−10154a −5b =5，解得a ＝4，b ＝2， 所以h （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的生成函数．（2）f 1（x ）＝x （x ＞0），f 2(x)=1x (x ＞0)，当a ＝2，b ＝8时的生成函数ℎ(x)=2x +8x， 假设存在实数m ，使得对任意正实数x 1，x 2，满足x 1+x 2＝2，h （x 1）h （x 2）≥m 恒成立， 所以ℎ=ℎ(x 1)ℎ(x 2)=4x 1x 2+64x 1x 2+16(x 1x 2+x2x 1)=4x 1x 2+64x 1x 2+16[(x 1+x 2)2x 1x 2−2]=4x 1x 2+128x 1x 2−32，令t =x 1x 2，t =x 1x 2≤(x 1+x 22)2=1， 因为ℎ=4t +128I−32在（0，1]单调递减， 所以h 的最小值为100，所以m 的最大值为100． 22．（12分）已知f （x ）＝x （|x ﹣4a |+2），a ∈R ． （1）若f （1）＝3，判断f （x ）的奇偶性；（2）若f （x ）在[1，3]上的最小值是3，求正数a 的值． 解：（1）根据题意，f （x ）＝x （|x ﹣4a |+2），其定义域为R ， 若f （1）＝3，即|1﹣4a |+2＝3，解得a ＝0或a =12， 当a ＝0时，f （x ）＝x |x |+2x ，因为f （﹣x ）＝﹣x |﹣x |﹣2x ＝﹣x |x |﹣2x ＝﹣f （x ），所以f （x ）是奇函数， 当a =12时，f （x ）＝x |x ﹣2|+2x ，所以 f （﹣1）＝﹣5，f （1）≠f （﹣1），f （1）≠﹣f （﹣1）， 所以f （x ）既不是奇函数，也不是偶函数； （2）由题意得f （x ）={x 2−(4a −2)x ，x ≥4a −x 2+(4a +2)x ，x ＜4a，对于f （x ）＝x 2﹣（4a ﹣2）x ，其对称轴为x ＝2a ﹣1，开口向上， 对于f （x ）＝﹣x 2﹣（4a +2）x ，其对称轴为x ＝2a +1，开口向下， 又由f （x ）在[1，3]上的最小值是3，则有f （1）＝|1﹣4a |+2≥3， 解可得a ≤0或a ≥12，又由a为正数，则a≥1 2，当a=12时，f（x）＝x|x﹣2|+2x，易得f（x）在[1，3]上递增，且f（1）＝3，符合题意；当a＞12时，有4a＞2a+1＞2a﹣1，f（x）在（﹣∞，2a+1]单调递增，在[2a+1，4a]单调递减，在[4a，+∞）单调递增．有1＜2a+1且f（4a）＝8a＞4＞3，则f（x）在[1，3]上的最小值只能在x＝1处取到，但f（1）＝4a+2＞3，与之矛盾；故a＞12不符合题意，综合可得：a=1 2．。
2024-2025学年江苏省苏州市常熟市高一第一学期期中考试数学试题 (含答案)
2024-2025学年江苏省常熟市高一第一学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p:“∃x∈R，x+2≤0”，则命题p的否定为( )A. ∃x∈R，x+2>0B. ∀x∈R，x+2>0C. ∃x∉R，x+2>0D. ∀x∈R，x+2≤02.已知x>0，则x−1+4x的最小值为( )A. 4B. 5C. 3D. 23.已知函数y=f(x)的定义域为[−2,1]，则函数y=f(2x+1)的定义域为( )A. RB. [−2,1]C. [−3,3]D. [−32,0]4.若函数f(x)=(m2−2m−2)x2−m是幂函数，且y=f(x)在(0,+∞)上单调递减，则实数m的值为( )A. 3B. −1C. 1+3D. 1−35.常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称。
双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出;若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高x(x∈N∗)元，则被卖出的“叫花鸡”会减少5x只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为( )A. 48元B. 49元C. 51元D. 50元6.已知f(x)是奇函数，对于任意x1，x2∈(−∞,0)(x1≠x2)，均有(x2−x1)(f(x2)−f(x1))>0成立，且f(2)=0，则不等式xf(x−2)<0的解集为( )A. (−2,0)∪(2,4)B. (−∞,−2)∪(2,4)C. (2,4)D. (−2,0)∪(0,2)7.通过研究发现：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数，则函数f(x)=x3−3x2图象的对称中心为( ) 参考公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3A. (0,0)B. (1,2)C. (1,−2)D. (2,−4)8.已知正实数a，b满足a+b=4，则代数式1b +b+1a的最小值为( )A. 5+12B. 5+14C. 54D. 25+2二、多选题：本题共3小题，共18分。
江苏省苏州市2021-2021学年第一学期期中试卷高一数学(word版,含答案)
第一学期期中试卷高一数学2020.11一､单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合12, 4|2|}|Ax x B x x ,则A ∩B= A. {x|-1<x<2}B. {x|-4<x<2}C. {x|-4<x<3}D. {x|x<3} 2.函数0()(3)2f x x x 的定义域是A. [2,+∞)B. (2,+∞)C. (2,3)∪(3,+∞)D. [3,+∞)3.已知A 为奇数集,B 为偶数集,命题p:∀x ∈A,2x ∈B,则A. ¬p:∀x ∈A,2x ∉BB. ¬p:∀x ∉A,2x ∉BC. ¬p:∃x ∉A,2x ∉BD. ¬p:∃x ∈A,2x ∉B 4. 已知函数37()(2),2x f x x x x A. f(x)有最小值-1 B. f(x)有最大值-1 C. f(x)有最小值3 D. f(x)有最大值35.“x ≥2”的一个必要不充分条件是A.x>2 2.2B x C.2x-4≥0 2.9D x 6.对于∀x ∈[-2,2],不等式2mx x 恒成立,则实数m 的取值范围是 9.4A m B. m ≤-2 .0C m D. m ≤47.函数2(0)1axy a x 的图象大致为8.定义,,min(,),,a a b a b b a b 例如: min(-1,-2)=-2, min(2,2)=2, 若2(),f x x 2()46,g x x x 则F(x)= min(f(x), g(x))的最大值为A.1B.8C.9D.10二､多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.每小题给出的四个选项中,都有多个选项是正确的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知全集U={1,2,3,4,5,6} ,集合M={3,4,5}, N={1,2,5}, 则集合{1,2}可以表示为A. M ∩N .()U B M N .()U C N M .(())U D M N N10.已知a>0,b>0,则下列说法正确的有 11.A a b aB.若a+b ≥2,则ab ≥1C.若a+b ≤2,则ab ≤13322.D a b a b ab 11.已知函数f(x)的图象由如图所示的两条线段组成,则A. f(f(1))=3B. f(2)> f(0)C.()12|1|,[0,4]f x x x xD.∃a>0,不等式f(x)≤a 的解集为1[,2]212. 已知2,1,()2,1x x f x k k x x ,(常数k ≠0),则A.当k>0时,f(x)在R , 上单调递减B.当12k 时,f(x)没有最小值 C.当k=-1时, f(x)的值域为(0,+∞)D.当k=-3时,11,x 21,x 有12()()0f x f x三､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上13.已知幂函数2()(22)m f x m m x 在(0, +∞)上是单调递减函数,则实数m 的值为___.14. 已知函数|2|,0,()2(1),0,x xf x f x x 则f(2)的值为___. 15.已知函数f(x)的定义域为R ,f(2)=3, 且函数y=f(x)+x 为偶函数,则f(-2) 的值为___,函数()1f x y x 是______函数(从“奇”､“偶”､“非奇非偶”､“既奇又偶”中选填一个). (本小题第一空2分,第二空3分)16.已知函数2()(,)f x x ax b a b R ,关于x 的不等式f(x)≤c 的解集为A,其中A=[m,n], f(x)在集合 A 上的值域为B,若A=B,则n-m=____.四､解答题:本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)已知集合1{|0}5x Ax x ,集合2{|1}.B x a x a(1)求R A ;(2)若A ∩B=∅,求实数a 的取值范围.18. (本小题满分12分)已知21abc ,a+b+c=0,c>0. (1)求证:2a b ab (2)求c 的最小值,并求此时a 与b 的值.19. (本小题满分12分)已知函数224,0,(),0x x x f x x ax x 为奇函数.(1)求f(2)和实数a 的值;(2)求方程f(x)=f(2)的解.20. ( 本小题满分12分) 已知函数9()(0)f x x x x(1)当x ∈[1,5]时, 讨论并证明f(x)的单调性,并求f(x)的取值范围;(2)求不等式2(3)(3)0f x f x 的解集.21. (本小题满分12分)某市出租汽车的收费标准如下:在3km 以内(含3 km)的路程统一按起步价7元收费,超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费.而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分:一是固定费用,约为2.3元;二是燃油费,约为1.6元/km;三是折旧费,它与路程的平方近似成正比,且当路程为20 km 时,折旧费为0.1元.现设一次载客的路程为xkm.(1)试将出租汽车一次载客的收费F 与成本C 分别表示为x 的函数;(2)若一次载客的路程不少于2km,则当x 取何值时,该市出租汽车- 次载客每千米的收益y 取得最大值?(每千米收益计算公式为)F C yx22. ( 本小题满分12分)已知函数2()2.f x x ax b (1) 若y=f(x)值域为[0,+∞),且f(1+x)=f(1-x)恒成立,求f(x)的解析式;(2)若y= f(f(x))的值域为[0, +∞),①当a=-2时,求b 的值;②求b 关于a 的函数关系g(a).。
2022-2023学年江苏省苏州中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省苏州中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A ＝{x |3x ≥1}，B ＝{x |x 2﹣3x ﹣4＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |x ＜﹣1} B ．{x |0＜x ≤4}C ．{x |x ＞4}D ．{x |﹣1＜x ≤0或x ＞4}2．已知命题p ：∃x ∈R ，3ax 2+2ax +1≤0是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0]∪（3，+∞） B ．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C ．（0，3）D ．[0，3）3．已知函数y ＝f （x ）的定义域是[﹣8，1]，则函数g （x ）=f(2x+1)x+2的定义域是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，3] B ．[﹣8，﹣2）∪（﹣2，1] C ．[−92，﹣2）∪（﹣2，0]D ．[−92，﹣2]4．已知函数f （x ）＝a x ﹣4+1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 的坐标满足关于x ，y 的方程mx +ny ＝4（m ＞0，n ＞0），则1m+2n的最小值为（ ）A ．9B ．24C ．4D ．65．已知关于x 的不等式mx−1x+3＞0的解集为（m ，n ），则m +n 的值为（ ）A ．﹣5B ．−103C ．﹣4D ．﹣5或−1036．若不等式：x 2﹣αx +1≥0对一切x ∈(0，12)都成立，则a 的最大值为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．527．已知函数f （x ）={1−|x|，(x ≤1)x 2−4x +3，(x ＞1)，若f （f （m ））≥0，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，2]B ．[﹣2，2]∪[4，+∞）C ．[﹣2，2+√2]D ．[﹣2，2+√2]∪[4，+∞）8．已知函数f （x ）＝2x +a ，g （x ）＝x 2﹣6x +1．若存在x 1∈[﹣1，1]，x 2∈[﹣1，1]，使得g （x 2）＝f （x 1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣6，10]B ．（﹣6，10）C ．（﹣∞，﹣6]∪[10，+∞）D ．（﹣∞，﹣6）∪（10，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a2＞c b 2D ．若﹣1≤x ＜y ≤5，则﹣6≤x ﹣y ＜010．关于函数f （x ）=√−x 2+2x +3的结论，下列说法正确的有（ ） A ．f （x ）的单调增区间是[﹣1，1] B ．f （x ）的单调减区间是[1，+∞]C ．f （x ）的最大值为2D ．f （x ）没有最小值11．若4x ﹣4y ＜5﹣x ﹣5﹣y ，则下列关系正确的是（ ）A ．x ＜yB ．y ﹣3＞x ﹣3C ．√x ＜√yD ．（13）y ＜3﹣x12．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x ，则（ ） A ．关于x 的方程f(x)=12在区间[0，5]上的所有实数根的和为254B ．关于x 的方程f(x)=12在区间[0，5]上的所有实数根的和为174C ．若函数g （x ）＝ax 与y ＝f （x ）的图象恰有5个不同的交点，则a =25或−23＜a ＜−27D ．若函数g （x ）＝ax 与y ＝f （x ）的图象恰有5个不同的交点，则a =−25或27＜a ＜23三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．化简(14)−12(√4ab−1)3(0.1)−1⋅(a 3b −3)12（a ＞0，b ＞0）＝．14．已知f （x ）＝ax 5+bx 3+cx ﹣9，且f （﹣3）＝12，那么f （3）＝ ． 15．已知x ＞0，y ＞0，若2x +y +xy ＝6，则2x +y 的最小值为 ．16．已知函数f(x)=2x−12x +1，g （x ）＝9x ﹣t ⋅3x ，若存在实数a ，b 同时满足f （a ）+f （b ）＝0和g （a ）+g（b ）＝0，则实数t 的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ={x|14≤2x ≤32}，B ＝{x |x 2﹣4x +4﹣m 2≤0，m ∈R }． （1）若m ＝3，求A ∪B ；（2）若存在正实数m ，使得“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的_____，求正实数m 的取值范围．从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．18．（12分）定义在R 上的函数f （x ）满足：f （m +n ）＝f （m ）+f （n ）﹣2对任意m ，n ∈R 恒成立，当x ＞0时，f （x ）＞2．（1）证明：f （x ）在R 上是增函数：（2）已知f （1）＝5，解关于x 的不等式f （x ﹣1）≤8． 19．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+x |x ﹣2a |，其中a 为实数． （1）当a ＝﹣1时，求函数f （x ）的最小值；（2）若f （x ）在[﹣1，1]上单调递增，求实数a 的取值范围．20．（12分）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用t （t ≥0）万元满足x ＝4−k2t+1（k 为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．（1）将该厂家2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； （2）该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？21．（12分）已知定义在R 上的函数f （x ）=−4x+b 4x+1+a是奇函数．（1）求a ，b 的值：（2）当x ∈（12，1）时，不等式4x +mf （x ）﹣3＞0恒成立，求实数m 的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）=√1+x +√1−x ． （1）求函数f （x ）的值域；（2）设F （x ）=a2[f 2(x)−2]+f(x)（a ＜0），求F （x ）的最大值g （a ）；（3）对于（2）中的g （a ），若﹣m 2+2nm +√2≤g （a ）在n ∈[﹣1，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．2022-2023学年江苏省苏州中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A＝{x|3x≥1}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|0＜x≤4}C．{x|x＞4}D．{x|﹣1＜x≤0或x＞4}解：A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，∴A∩B＝{x|x＞4}．故选：C．2．已知命题p：∃x∈R，3ax2+2ax+1≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]∪（3，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（0，3）D．[0，3）解：因为命题p：∃x∈R，3ax2+2ax+1≤0是假命题，则其否定：∀x∈R，3ax2+2ax+1＞0为真命题，当a＝0时，不等式化为：1＞0恒成立，当a≠0时，只需{a＞0Δ=4a2−12a＜0，解得0＜a＜3，综上，实数a的范围为[0，3），故选：D．3．已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣8，1]，则函数g（x）=f(2x+1)x+2的定义域是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，3]B．[﹣8，﹣2）∪（﹣2，1]C．[−92，﹣2）∪（﹣2，0]D．[−92，﹣2]解：由题意得：﹣8≤2x+1≤1，解得：−92≤x≤0，由x+2≠0，解得：x≠﹣2，故函数的定义域是[−92，﹣2）∪（﹣2，0]，故选：C．4．已知函数f（x）＝a x﹣4+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程mx+ny＝4（m ＞0，n ＞0），则1m+2n的最小值为（ ）A ．9B ．24C ．4D ．6解：由函数f （x ）＝a x ﹣4+1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A 知， x ﹣4＝0，故x ＝4，f （3）＝2， 故A （4，2）；∵点A 的坐标满足关于x ，y 的方程mx +ny ＝4， ∴4m +2n ＝4， 故1m+2n=14（1m+2n）（4m +2n ）=14（8m n+2n m+8）≥14×（2√8m n ⋅2n m+8）＝4， 当且仅当8m n=2n m，即m =12，n ＝1时，等号成立；故1m+2n的最小值为4，故选：C ．5．已知关于x 的不等式mx−1x+3＞0的解集为（m ，n ），则m +n 的值为（ ）A ．﹣5B ．−103C ．﹣4D ．﹣5或−103解：∵不等式mx−1x+3＞0的解集为（m ，n ），∴（mx ﹣1）（x +3）＞0的解集为（m ，n ），∴方程（mx ﹣1）（x +3）＝0的两根为m ，n ，且m ＜0，m ＜n ，∴{1m =m n =−3或{1m =n m =−3，∴{m =−1n =−3（舍去）或{m =−3n =−13， ∴m +n =−103， 故选：B ．6．若不等式：x 2﹣αx +1≥0对一切x ∈(0，12)都成立，则a 的最大值为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．52解：因为不等式x 2﹣ax +1≥0对一切x ∈(0，12)恒成立，所以对一切x ∈(0，12)，ax ≤x 2+1，即a ≤x 2+1x 恒成立，令g(x)=x 2+1x =x +1x (x ∈(0，12))，由对勾函数性质可知g(x)=x +1x 在(0，12)内为减函数，所以g(x)＞g(12)=52， 故a ≤52，所以a 的最大值是52．故选：D ． 7．已知函数f （x ）={1−|x|，(x ≤1)x 2−4x +3，(x ＞1)，若f （f （m ））≥0，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，2]B ．[﹣2，2]∪[4，+∞）C ．[﹣2，2+√2]D ．[﹣2，2+√2]∪[4，+∞）解：令f （m ）＝t ⇒f （t ）≥0⇒{1−|t|≥0t ≤1⇒﹣1≤t ≤1；{t 2−4t +3≥0t ＞1⇒t ≥3 下面求解﹣1≤f （m ）≤1和f （m ）≥3， {−1≤1−|m|≤1m ≤1⇒﹣2≤m ≤1， {−1≤m 2−4m +3≤1m ＞1⇒1＜m ≤2+√2， {1−|m|≥3m ≤1⇒m 无解， {m 2−4m +3≥3m ＞1⇒m ≥4， 综上实数m 的取值范围是[﹣2，2+√2]∪[4，+∞）． 故选：D ．8．已知函数f （x ）＝2x +a ，g （x ）＝x 2﹣6x +1．若存在x 1∈[﹣1，1]，x 2∈[﹣1，1]，使得g （x 2）＝f （x 1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣6，10]B ．（﹣6，10）C ．（﹣∞，﹣6]∪[10，+∞）D ．（﹣∞，﹣6）∪（10，+∞）解：∵f （x ）＝2x +a ，x ∈[﹣1，1]是单调递增函数，∴f （x ）的值域A ＝[a ﹣2，a +2]，g （x ）＝x 2﹣6x +1的对称轴是x ＝3，在x ∈[﹣1，1]上，函数单调递减，∴g （x ）的值域B ＝[﹣4，8]， 因为存在x 1∈[﹣1，1]，x 2∈[﹣1，1]，使得g （x 2）＝f （x 1）， 所以A ∩B ≠∅，若A ∩B ＝∅，则a ﹣2＞8或a +2＜﹣4， 解得a ＞10或a ＜﹣6，所以当﹣6≤a ≤10时，A ∩B ≠∅， 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a2＞c b 2D ．若﹣1≤x ＜y ≤5，则﹣6≤x ﹣y ＜0解：对于A ，若a ＞b ＞0，c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错误， 对于B ，若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ，ab ＞b 2， ∴a 2＞ab ＞b 2，故B 正确，对于C ，若a ＞b ＞0，则a 2＞b 2＞0，∴1a2＜1b 2，又∵c ＜0，∴c a 2＞c b 2，故C 正确，对于D ，若﹣1≤x ＜y ≤5，则x ﹣y ＜0，且﹣5≤﹣y ＜1， ∴﹣6≤x ﹣y ＜0，故D 正确， 故选：BCD ．10．关于函数f （x ）=√−x 2+2x +3的结论，下列说法正确的有（ ） A ．f （x ）的单调增区间是[﹣1，1] B ．f （x ）的单调减区间是[1，+∞]C ．f （x ）的最大值为2D ．f （x ）没有最小值解：由﹣x 2+2x +3≥0，解得：﹣1≤x ≤3， 故函数的定义域是[﹣1，3]， 由y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， 得对称轴是x ＝1，故函数f （x ）在[﹣1，1]递增，在[1，3]递减，故A 正确，B 错误；故f （x ）的最大值是f （1）＝2，最小值是f （﹣1）＝f （3）＝0，故C 正确，D 错误； 故选：AC ．11．若4x ﹣4y ＜5﹣x ﹣5﹣y ，则下列关系正确的是（ ）A ．x ＜yB ．y ﹣3＞x ﹣3C ．√x ＜√yD ．（13）y ＜3﹣x解：由4x ﹣4y ＜5﹣x ﹣5﹣y ，得4x ﹣5﹣x ＜4y ﹣5﹣y ，令f （x ）＝4x ﹣5﹣x ，则f （x ）在R 上单调递增，由f （x ）＜f （y ），得x ＜y ． 故选：AD ．12．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x ，则（ ） A ．关于x 的方程f(x)=12在区间[0，5]上的所有实数根的和为254B ．关于x 的方程f(x)=12在区间[0，5]上的所有实数根的和为174C ．若函数g （x ）＝ax 与y ＝f （x ）的图象恰有5个不同的交点，则a =25或−23＜a ＜−27D ．若函数g （x ）＝ax 与y ＝f （x ）的图象恰有5个不同的交点，则a =−25或27＜a ＜23解：函数为定义在R 上的奇函数，所以f （0）＝0， 定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ），所以f （2+x ）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （4+x ）＝f （x ），即函数的周期T ＝4， 又f （2﹣x ）＝f （x ），所以函数关于x ＝1对称，当x ∈[0，1]时，f(x)=2x =12，解得x =14，作函数的大致图象，如图，由图可知方程f(x)=12在区间[0，5]上的所有实数根的和为14+2×3=254，故A 正确，B 错误；若函数g （x ）＝ax 与y ＝f （x ）的图象恰有5个不同的交点，当a ＞0时，由图象可知，直线g （x ）＝ax 过点（5，2）时，即a =25时，满足题意， 当a ＜0时，找出两个临界情况，当直线y ＝ax 过（3，﹣2）时，a =−23，有3个交点， 当直线y ＝ax 过（7，﹣2）时，a =−27有6个交点，由图象知，当−23＜a ＜−27时，直线y ＝ax 与y ＝f （x ）的图象有5个交点．综上，当a =25或−23＜a ＜−27时，函数g （x ）＝ax 与y ＝f （x ）的图象恰有5个不同的交点，故C 正确D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．化简(14)−12(√4ab −1)3(0.1)−1⋅(a 3b−3)12（a ＞0，b ＞0）＝85．解：原式=2⋅(4ab −1)3210⋅a 32⋅b −32=8a 32⋅b −325a 32⋅b −32=85．故答案为：85．14．已知f （x ）＝ax 5+bx 3+cx ﹣9，且f （﹣3）＝12，那么f （3）＝ 30 ． 解：∵f （﹣3）＝12，∴f （﹣3）＝a （﹣3）5+b （﹣3）3+c （﹣3）﹣9 又f （3）＝a •35+b •33+3c ﹣9，∴f （﹣3）+f （3）＝﹣18，由于f （﹣3）＝12，则f （3）＝﹣30． 故答案为：﹣30．15．已知x ＞0，y ＞0，若2x +y +xy ＝6，则2x +y 的最小值为 4 ． 解：因为x ＞0，y ＞0，2x +y +xy ＝6， 所以2x +y ＝6﹣xy ＝6−12×2x ⋅y ≥6−12×(2x+y 2)2，当且仅当2x ＝y 时取等号， 解得2x +y ≥4或2x +y ≤﹣12（舍）， 则2x +y 的最小值为4． 故答案为：4．16．已知函数f(x)=2x−12x +1，g （x ）＝9x ﹣t ⋅3x ，若存在实数a ，b 同时满足f （a ）+f （b ）＝0和g （a ）+g（b ）＝0，则实数t 的取值范围为 [1，+∞） ．解：因为f （x ）的定义域是R ，且f （﹣x ）=2−x−12−x +1=1−2x1+2x =−f （x ），所以f （x ）为R 上的奇函数， 又f （a ）+f （b ）＝0， 所以b ＝﹣a ，所以g （a ）+g （﹣a ）＝0， 所以9a ﹣t ⋅3a +9﹣a ﹣t ⋅3﹣a ＝0有解，即（3a +3﹣a ）2﹣t •（3a +3﹣a ）﹣2＝0有解，即t =(3a +3−a )2−23a +3−a=3a +3﹣a −23a +3−a ，令m ＝3a +3﹣a （m ≥2），则t ＝m −2m在[2，+∞）有解，令h （m ）＝m −2m（m ≥2），则h ′（m ）＝1+2m 2＞0， 所以h （m ）在[2，+∞）上单调递增， h （m ）≥h （2）＝1， 所以t ≥1，所以实数t 的取值范围为[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ={x|14≤2x ≤32}，B ＝{x |x 2﹣4x +4﹣m 2≤0，m ∈R }． （1）若m ＝3，求A ∪B ；（2）若存在正实数m ，使得“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的_____，求正实数m 的取值范围．从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．解：（1）当m ＝3时，集合B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5≤0}＝{x |﹣1≤x ≤5}， 集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，则A ∪B ＝{x |﹣1≤x ≤5}； （2）集合B ＝{x |2﹣m ≤x ≤2+m }，选①：若“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的充分不必要条件，则A ⫋B ，所以{2+m ＜52−m ＞−1m ＞0，解得0＜m ＜3，所以实数m 的取值范围为（0，3）；选②：若“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的必要不充分条件，则B ⫋A ，所以{2+m ＞52−m ＜−1m ＞0，解得m ＞3，所以实数m 的取值范围为（3，+∞）．18．（12分）定义在R 上的函数f （x ）满足：f （m +n ）＝f （m ）+f （n ）﹣2对任意m ，n ∈R 恒成立，当x ＞0时，f （x ）＞2．（1）证明：f （x ）在R 上是增函数：（2）已知f （1）＝5，解关于x 的不等式f （x ﹣1）≤8．解：（1）证明：因为f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣2，所以f（m+n）﹣f（m）＝f（n）﹣2，任取x1，x2∈R，且有x1＜x2，则x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＞2，f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣2＞0，所以f（x2）＞f（x1），所以f（x）在R上单调递增；（2）因为f（1）＝5，所以f（2）＝f（1+1）＝f（1）+f（1）﹣2＝8，又因为f（x）在R上为单调递增函数，所以f（x﹣1）≤8⇔f（x﹣1）≤f（2）⇔x﹣1≤2，解得x≤3，所以不等式f（x﹣1）≤8的解集为（﹣∞，3]．19．（12分）已知函数f（x）＝x2+x|x﹣2a|，其中a为实数．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）在[﹣1，1]上单调递增，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝﹣1时，y=2x2+2x=2(x+12)2−12，x≥﹣2，此时当x=−12时函数取得最小值−12；当x＜﹣2时，函数y＝﹣2x的值域是（4，+∞），所以函数的最小值是−1 2；（2）当a＝0时，，不满足函数在[﹣1，1]单调递增；当a＞0时，y＝2x2﹣2ax在[2a，+∞）单调递增，y＝2ax也是单调递增函数，且在x＝2a处连续，所以函数在R上单调递增，符合题意；当a＜0时，函数在(−∞，a2)，在[a2，+∞)单调递增，若f（x）在[﹣1，1]上单调递增，所以a2≤−1，得a≤﹣2，综上可知，a的取值范围是{a|a≤﹣2或a＞0}．20．（12分）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x＝4−k2t+1（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．（1）将该厂家2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数；（2）该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？解：（1）由题意有1＝4−k 1，得k ＝3，故x ＝4−32t+1．∴y ＝1.5×6+12x x ×x ﹣（6+12x ）﹣t ＝3+6x ﹣t ＝3+6（4−32t+1）﹣t ＝27−182t+1−t （t ≥0）． （2）由（1）知y ＝27−182t+1−t ＝27.5﹣[9t+12+(t +12)]∵9t+12+(t +12)≥2√9t+12⋅(t +12)=6， 当且仅当9t+12=t +12，即t ＝2.5时，等号成立， ∴y ＝27.5﹣[9t+12+(t +12)]≤27.5﹣6＝21.5．当t ＝2.5时，y 有最大值21.5．∴2013年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大．21．（12分）已知定义在R 上的函数f （x ）=−4x+b 4x+1+a 是奇函数． （1）求a ，b 的值：（2）当x ∈（12，1）时，不等式4x +mf （x ）﹣3＞0恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）∵定义在R 上的函数f （x ）=−4x +b 4x+1+a是奇函数， ∴f （0）=b−14+a =0，∴b ＝1，f （x ）=1−4x 4x+1+a ． 再根据f （﹣1）＝﹣f （1），可得1−141+a =−1−416+a ，∴a ＝4，f （x ）=1−4x 4(4x +1)． （2）不等式4x +mf （x ）﹣3＞0恒成立，即 m •1−4x 4(4x +1)＞3﹣4x 恒成立． ∵x ∈（12，1），∴1−4x 4(4x +1)＜0，∴m ＜(3−4x )⋅4(4x +1)1−4x ． 令1﹣4x ＝t ，则t ∈（﹣3，﹣1），且(3−4x )⋅4(4x +1)1−4x =(t+2)×4×(2−t)t =4(4−t 2)t =4×（4t −t ）． ∴m ＜4×（4t −t ） 恒成立． 令h （t ）＝4×（4t −t ），则函数h （t ）＝4×（4t −t ）在区间（﹣3，﹣1）上是减函数， ∵h （﹣1）＝﹣12，∴m ≤﹣2．22．（12分）已知函数f （x ）=√1+x +√1−x ．（1）求函数f （x ）的值域；（2）设F （x ）=a 2[f 2(x)−2]+f(x)（a ＜0），求F （x ）的最大值g （a ）；（3）对于（2）中的g （a ），若﹣m 2+2nm +√2≤g （a ）在n ∈[﹣1，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）由1+x ≥0且1﹣x ≥0，得﹣1≤x ≤1，所以f （x ）的定义域为[﹣1，1]．又因为f 2(x)=2+2√1−x 2，∵√1−x 2∈[0，1]，∴f 2（x ）∈[2，4]，且f （x ）＞0，得f(x)∈[√2，2]，即函数f （x ）的值域为[√2，2]．（2）F(x)=a 2[f 2(x)−2]+f(x)=a√1−x 2+√1+x +√1−x ， 令t =f(x)=√1+x +√1−x ，则√1−x 2=12t 2−1，t ∈[√2，2]，所以a√1−x 2+√1+x +√1−x =a(12t 2−1)+t =12at 2+t −a ， 令φ(t)=12at 2+t −a ，t ∈[√2，2]，则g （a ）为函数φ(t)=12at 2+t −a ，t ∈[√2，2]的最大值． 易得函数y =12at 2+t −a 的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线t =−1a ． ①若t =−1a ∈(0，√2]，即a ≤−√22，则g(a)=φ(√2)=√2； ②若t =−1a ∈(√2，2)，即−√22＜a ＜−12，则g(a)=φ(−1a )=−a −12a ； ③若t =−1a ∈[2，+∞)，即−12≤a ＜0，则g （a ）＝φ（2）＝a +2．综上可得g （a ）={ √2，a ≤−√22−a −12a ，−√22＜a ＜−12a +2，−12≤a ＜0． （3）由（2）易得g(a)min =√2，要使−m 2+2nm +√2≤g(a)在n ∈[﹣1，1]上恒成立，即使−m 2+2nm +√2≤g(a)min =√2在n ∈[﹣1，1]恒成立，所以m2﹣2nm≥0在n∈[﹣1，1]上恒成立．令h（n）＝m2﹣2nm，n∈[﹣1，1]，若m＝0，则h（n）＝0≥0对任意n∈[﹣1，1]恒成立；若m≠0，则有{m＞0ℎ(1)=m2−2m≥0或{m＜0ℎ(−1)=m2+2m≥0，解得m≥2或m≤﹣2．综上，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）∪{0}．。
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江苏省苏州市高一上学期数学期中试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2018·河北模拟) 已知全集，集合
为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2019高三上·衡水月考) 已知奇函数满足，当时，，则（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2019高一上·西安月考) 设a=50.8 ， b=0.67 ， c=log0.74，则a，b，c的大小关系是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）已知f（x）=loga（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（）
A . （0，1）
B . （0，+∞）
C . （1，2）
D . [2，+∞）
5. （2分） (2016高一下·六安期中) 如图，点P在半径为1的半圆上运动，AB是直径，当P沿半圆弧从A 到B运动时，点P经过的路程x与△APB的面积y的函数y=f（x）的图象是下图中的（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）设集合A={–1，1，2}，集合B={x|x∈A且2–x∉A}，则B=（）
A . {–1}
B . {2}
C . {–1，2}
D . {1，2}
7. （2分） (2019高一上·新疆月考) 对于函数定义域内任意，有如下结论：
① ；
② ；
③ ；
④ .
上述结论正确的是（）
A . ②③④
B . ①②③
C . ②③
D . ①③④
8. （2分）定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（1+x）=f（1﹣x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3 ，则f（2013）的值是（）
A . ﹣1
B . 0
C . 1
D . 2
9. （2分） (2019高一上·邗江期中) 函数的图象大致是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数，函数y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称。
若对任意的x,y，不等式f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立。
则当x>3时，x2+y2的取值范围是（）
A . (3,7)
B . （9，25）
C . （13，49）
D . （9，49）
11. （2分）已知函数，则f（3）=（）
A . 5
B . 4
C . 3
D . 2
12. （2分） (2018高二上·安庆期中) 直线与圆有公共点，则的最大值为（）
A .
B .
C .
D . 2
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2019高二下·吉林期末) 函数在区间上的值域是 ,则的最小值是________.
14. （1分） (2019高一上·上海月考) “ ”是“”的________条件.
15. （1分）(2016·安徽) 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）．
①若ab＞c2 ，则C＜
②若a+b＞2c，则C＜
③若a3+b3=c3 ，则C＜
④若（a+b）c≤2ab，则C＞
⑤若（a2+b2）c2≤2a2b2 ，则C＞．
16. （1分）(2019高一上·衢州期末) 已知， ,若，
，则 ________.
三、解答题 (共6题；共70分)
17. （10分） (2017高一上·六安期末) 计算
（1）
（2）．
18. （10分） (2019高一上·华安月考) 已知集合，或．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
19. （10分） (2019高一上·上海月考) 已知集合，， .
（1）求，；
（2）若，求实数a的取值范围.
20. （15分）某工厂去年的某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计
销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（k＞0，k为常数，且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为万元．
（Ⅰ）求k的值，并求出的表达式；
（Ⅱ）若今年是第1年，问第几年年利润最高?最高利润为多少万元?
21. （15分）(2019·鞍山模拟) 已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，使成立，求实数的取值范围．
22. （10分） (2016高一上·海安期中) 小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量t（条）是售价x（元）（x∈Z+）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．
（1）试写出围巾销售每日的毛利润y（元）关于售价x（元）（x∈Z+）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；
（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润﹣总管理、仓储等费用）？
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
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