立体几何专题 第6节 空间角【学生版】
立体几何第六讲：空间中的角
第六讲：空间中的角（二）二面角 一，知识点 1，基本概念1）半平面：当两个平面相交时，我们往往只画起一部分，就像一本翻开的书，我们把其中一部分叫做半平面。
2）二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。
即分别在两个半平面内做交线的垂线，两条射线所成的角为二面角的平面角。
2，范围：],0[π特别：重合为0，共面为π，即相当于把一张纸折叠后的两种极限情况。
3，步骤：一找，二证，三计算4，用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。
二，典型例题与解读求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.1 定义法即在二面角的棱上找一点（特殊点），在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！用定义法时，要认真观察图形的特性。
例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
jA B CDP H2、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。
3、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例3 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。
考点06 空间几何体的有关计算问题(学生版)
考点06 空间几何体的有关计算问题立体几何是历年高考的必考题，其考查形式主要为空间几何体的有关计算（主要是体积计算），空间线面的位置关系以及空间角和距离的求解。
例如：2020年全国卷Ⅰ（文）[19],2020年全国卷Ⅱ（文）[20]，2021年全国甲卷（文）[19]，2021年全国乙卷（文）[18]，2021年新高考Ⅰ卷[20]，2022年全国甲卷（文）[19]，2022年全国乙卷（文）[18]等都对空间几何体的体积进行了考查。
〔1〕求空间几何体的表面积(1)求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.(2)求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的长度关系.(3)求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积.〔2〕求空间几何体的体积1.直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算.2.割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，把不规则的几何体补成规则的几何体，把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，再进行计算.3.等体积法：选择合适的底面求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换.例1．（2022·全国·高考乙卷（文）·18）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．例2．（2022·全国·高考甲卷（文）·18）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD 是边长为8（单位：cm ）的正方形，,,,EAB FBC GCD HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直．(1)证明：//EF 平面ABCD ；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．1．如图所示，在空间几何体ABCDE 中，△ABC 与△ECD 均为等边三角形，2AB DE ==，22BD =ABC 和平面CDE 均与平面BCD 垂直．(1)求证：平面ABC ⊥平面ECD ；(2)求空间几何体ABCDE 的体积.2．如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，24AB CD ==,0=60BAD ∠,侧棱1DD △底面ABCD 且1DD DC =．(1)指出棱1CC 与平面1ADB 的交点E 的位置（无需证明）；(2)求点B 到平面1ADB 的距离．3．已知平面α和平面β是空间中距离为2的两平行平面，球面M 与平面α、平面β的交线分别为圆A 、圆B ．(1)若平面γ与平面α、平面β的交线分别为1l ，2l ，证明：12l l ∥；(2)若球面M 的半径为2，求以圆A 为上底面，圆B 为下底面的几何体AB 的体积的最大值．4．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N(1)证明:直线//MN 平面BDH .(2)过点,,M N H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比.5．如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；(2)求四面体F ACE -的体积.6．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，点E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且3AC BC BF ==.(1)证明：平面11A B F ⊥平面1CC E ；(2)若160,2ABC AA AB ∠==，且三棱锥11E A B F -43，求AB .7．如图，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD DE ∠=⊥平面ABCD ，,2CF DE DE CF =∥，BE 与平面ABCD 所成的角为45.(1)求证：平面BEF ⊥平面BDE ；(2)求几何体ABCDEF 的体积8．如图，圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点．求：(1)该圆锥的表面积；(2)直线CD 与平面PAB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．9．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，112224AC AA AB AC BC =====，160BAA ∠=︒． (1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 上一点，且12CP PC =，求三棱锥111A PB C -体积．10．如图，已知圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，E 是弧AD 的中点．(1)求该圆柱的表面积和体积；(2)求异面直线BE 与AD 所成角的大小．11．已知圆锥的顶点为S ，底面圆心为O ，母线SA 的长为22(1)若圆锥的侧面积为2π，求圆锥的体积(2)A B 、是底面圆周上的两个点，90AOB ∠=︒， M 为线段AB 的中点，若圆锥的底面半径为2，求直线SM 与平面SOA 所成角的大小．12．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是正方形，E ，F ，G 分别是棱1BB ，11B C ，1CC 的中点.(1)证明：平面1//A EF 平面1AD G ；(2)若点1A 在底面ABCD 的投影是四边形ABCD 的中心，124A A AB ==，求三棱锥11A AD G -的体积.。
立体几何之空间角(经典)
中小学1对1课外辅导专家武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象 冯芷茜 授课教师 徐江鸣 授课时间 2013-9-19 授课题目 立体几何中的空间角 课 型 复习课使用教具讲义、纸、笔教学目标 熟悉高考中立体几何题型的一般解法教学重点和难点重点：运用空间直角坐标系的方法解决立体几何问题 难点：二面角,线面角的空间想象能力 参考教材 人教版高中教材 高考考纲 历年高考真题教学流程及授课详案【知识讲解】空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。
异面直线所成角的范围：oo900≤<α；注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。
有的还可以通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。
（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o0；②线面垂直：线面所成的角为o90；③斜线与平面所成的角：范围oo900<<α；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。
（3）二面角：关键是找出二面角的平面角。
方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；注意：还可以用射影法：SS 'cos =θ；其中θ为二面角βα--l 的大小，S 为α内的一个封闭几何图形的面积；'S 为α内的一个封闭几何图形在β内射影图形的面积。
一般用于解选择、填空题。
时 间 分配及 备 注【题海拾贝】例1在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．EF平面P AD；（1）求证：//（2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时，EF平面PCD？直线例2已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a，F为CD的中点.（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；（Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值；（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.例3如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （Ⅰ）证明：AC//平面PMD ；（Ⅱ）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；（Ⅲ）求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小。
立体几何综合复习——空间角(完整版)
立体几何专题复习-----空间角的求法（一）异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上理解说明：（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
（2）异面直线所成的角的范围：]2,0(π（3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． （4）求异面直线所成的角的方法：法1：通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求(5).向量法： CDAB CD AB →→=.cos θ（二）直线和平面所成的角1．线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角2、记作：θ；3、范围：[0，2π]； 当一条直线垂直于平面时，所成的角θ＝2π，即直线与平面垂直；1.二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角lαβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 （3）二面角的平面角的特点：1）角的顶点在棱上 ；2）角的两边分别在两个面内 ；3）角的边都要垂直于二面角的棱。
2、作二面角的平面角的常用方法：①、点P 在棱上——作垂直于棱的直线（如图1） ；②、点P 在一个半平面——三垂线定理法；（如图2） ③、点P 在二面角内——垂面法。
第七章 第六节 空间角
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A1D2＋DE2－A1E2 10 ∴cosA1DE＝ ＝ ＝ 5 . 2·A1D·DE 10 . ∴直线 B1C 与 DE 所成角的余弦值是 5 (2)证明：取 B1C 的中点 F，B1D 的中点 G，连接 BF，EG， 证明： 证明 ， ， ， ， GF. ∵CD⊥平面 BCC1B1， ⊥ 且 BF⊂平面 BCC1B1，∴DC⊥BF. ⊂ ⊥
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4．(2011·长沙模拟 在正方体 ． 长沙模拟)在正方体 长沙模拟 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C与 － 与 对角面DD 对角面 1B1B所成角的大小是 所成角的大小是 A．15° ． ° C．45° ． ° B．30° ． ° D．60° ． ° ( )
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解析：如图所示，连接 交 于 解析：如图所示，连接AC交BD于 O点，易证AC⊥平面 1B1B，连 点 易证 ⊥平面DD ， 即为B 与对角 接B1O，则∠CB1O即为 1C与对角 ， 即为 2 面所成的角，设正方体边长为a， 面所成的角，设正方体边长为 ，则B1C＝ 2a，CO＝ 2 a， ＝ ， ＝ ， 1 ∴∠CB ＝ ∴sin∠CB1O＝2.∴∠ 1O＝30°. ∠ ＝ ∴∠
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1. (2011·陕西八校联考 如图，E、F分别 陕西八校联考)如图 陕西八校联考 如图， 、 分别 是三棱锥P－ 的棱AP、 的中点 的中点， 是三棱锥 －ABC的棱 、BC的中点， 的棱 PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线 ＝ ， ＝ ， ＝ ， AB与PC所成的角为 与 所成的角为 A．30° ． ° C．60° ． ° ( B．45° ． ° D．90° ． ° )
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又∵BF⊥B1C，CD∩B1C＝C，∴BF⊥平面 B1CD. ⊥ ， ∩ ＝ ， ⊥ 1 1 又∵GF 綊 CD，BE 綊 CD， ， ， 2 2 BE， 是平行四边形， ∴GF 綊 BE，∴四边形 BFGE 是平行四边形， ∴BF∥GE，∴GE⊥平面 B1CD. ∥ ， ⊥ ∵GE⊂平面 EB1D， ⊂ ， ∴平面 EB1D⊥面 B1CD. ⊥
空间角的计算课件
H A E1B 1 7
E1
B1
.G
A
B
1 5
可得直线AH与BE1所成角的余弦值
1 7
1
2
3
5
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
1
4
D1F1= D1C 1,
角的余弦值。
1
B1E1= 4
A1B1，求直线DF1与BE1所成
D1 F1
A1
H
C1
E1 B1
D
A
C
B
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
综合法：作——证——求。
G
解析：延长AH,BE1 交于点G, 所以∠AGGH= 1 7
在三角形HE1G中，由余弦定理得
A1
H
E1
B1
GE12 GH 2 HE12
cos =
2GE1 • GH
17 17 4 15
2 17 17 17
1
点, 且D1E1= 4 D1C1求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值.
D1(0,0,4)
(0,4,4) C1
E1
(4,2,4) B1 (4,4,4)
(4,0,4)
A1
(0,4,0)
C
D
(4,0,0)
A
B
F
(4,4,0)
解：以
{DA,DC,DD}
正交基底，建立如图所示的
1 为
空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为
D1 A 2, CE 1 (t 2)2 t 2 4t 5
D1 A • CE=1
D1 A • CE
1
所以cos60 =
2020高考数学考点突破——立体几何6：空间角
2020高考数学考点突破之立体几何（6）第6讲 空间角【考点梳理】 1.异面直线所成的角设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则|a ·b |设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.3.求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB→，CD →〉.(2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角).【考点突破】考点一、利用空间向量求异面直线所成的角【例1】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，E 是PC的中点.已知AB＝2，AD＝22，P A＝2.求：(1)△PCD的面积.(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.[解析] (1)因为P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以P A⊥CD.又AD⊥CD，P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD，又PD⊂平面P AD，从而CD⊥PD.因为PD＝22＋（22）2＝23，CD＝2，所以△PCD的面积为12×2×23＝2 3.图1(2)法一如图1，取PB中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.在△AEF中，由于EF＝2，AF＝2，AE＝12PC＝2.所以AF2＋EF2＝AE2，∠AFE＝90°，则△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝π4.因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.图2法二 如图2，建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (2，22，0)， E (1，2，1)，AE →＝(1, 2，1)，BC →＝(0，22，0).设AE→与BC →的夹角为θ，则 cos θ＝AE →·BC →|AE →||BC →|＝42×22＝22，所以θ＝π4.由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4. 【类题通法】(1)利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量v 1，v 2；③代入公式|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|求解.(2)两异面直线所成角的范围是θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.【对点训练】将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC ︵长为2π3，A 1B 1︵长为π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧.(1)求三棱锥C －O 1A 1B 1的体积；(2)求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小.[解析] (1)连接A 1B 1，因为A 1B 1︵＝π3，∴∠O 1A 1B 1＝∠A 1O 1B 1＝π3，∴△O 1A 1B 1为正三角形， ∴S △O 1A 1B 1＝12·O 1A 1·O 1B 1·sin 60°＝34. ∴V C －O 1A 1B 1＝13·OO 1·S △O 1A 1B 1＝13×1×34＝312， ∴三棱锥C －O 1A 1B 1的体积为312.(2)以O 为坐标原点建系如图，则A (0，1，0)，A 1(0，1，1)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0.∴AA 1→＝(0，0，1)，B 1C →＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈AA 1→，B 1C →〉＝AA 1→·B 1C →|AA 1→||B 1C →|＝0×0＋0×（－1）＋1×（－1）1×02＋（－1）2＋（－1）2＝－22， ∴〈AA 1→，B 1C →〉＝3π4，∴异面直线B 1C 与AA 1所成的角为π4.考点二、利用空间向量求直线与平面所成的角【例2】如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点.(1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.[解析] (1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2. 又AD ∥BC ，故TN 綉AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)解 取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz .由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2.设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎨⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1).于是|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||AN →|＝8525.所以直线AN 与平面PMN 所成的角的正弦值为8525. 【类题通法】利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【对点训练】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝1，BB 1＝2，∠ABB 1＝60°.(1)证明：AB ⊥B 1C ；(2)若B 1C ＝2，求AC 1与平面BCB 1所成角的正弦值.[解析] (1)证明 连接AB 1，在△ABB 1中，AB ＝1，BB 1＝2，∠ABB 1＝60°，由余弦定理得，AB 21＝AB 2＋BB 21－2AB ·BB 1·cos ∠ABB 1＝3， ∴AB 1＝3，∴BB 21＝AB 2＋AB 21，∴AB 1⊥AB .又△ABC 为等腰直角三角形，且AB ＝AC ，∴AC ⊥AB ，∵AC ∩AB 1＝A ， ∴AB ⊥平面AB 1C .又B 1C ⊂平面AB 1C ，∴AB ⊥B 1C .(2)解 ∵AB 1＝3，AB ＝AC ＝1，B 1C ＝2，∴B 1C 2＝AB 21＋AC 2，∴AB 1⊥AC .如图，以A 为原点，以AB →，AC →，AB 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B 1(0，0，3)，B (1，0，0)，C (0，1，0)， ∴BB 1→＝(－1，0，3)， BC →＝(－1，1，0).设平面BCB 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧BB 1→·n ＝0，BC →·n ＝0，得⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－x ＋y ＝0，令z ＝1，得x ＝y ＝3，∴平面BCB 1的一个法向量为n ＝(3，3，1).∵AC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC →＋BB 1→＝(0，1，0)＋(－1，0，3)＝(－1，1，3)， ∴cos 〈AC 1→，n 〉＝AC 1→·n|AC 1→||n |＝35×7＝10535，∴AC 1与平面BCB 1所成角的正弦值为10535.考点三、利用空间向量求二面角【例3】如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ＝B 1A ＝AB ＝BC ，∠B 1BC ＝90°，D 为AC 的中点，AB ⊥B 1D .(1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)求直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值； (3)求二面角B －B 1D －C 的余弦值.[解析] (1)证明 取AB 中点为O ，连接OD ，OB 1， ∵B 1B ＝B 1A ，∴OB 1⊥AB . 又AB ⊥B 1D ，OB 1∩B 1D ＝B 1， ∴AB ⊥平面B 1OD ，∵OD ⊂平面B 1OD ，∴AB ⊥OD . ∵∠B 1BC ＝90°，即BC ⊥BB 1，又OD ∥BC ，∴OD ⊥BB 1，又AB ∩BB 1＝B ， ∴OD ⊥平面ABB 1A 1， 又OD ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面ABB 1A 1.(2)解 由(1)知，OB ，OD ，OB 1两两垂直.以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴的方向，|OB →|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知B 1(0，0，3)，D (0，1，0)，A (－1，0，0)，C (1，2，0)，C 1(0，2，3).则B 1D →＝(0，1，－3)，AC →＝(2，2，0)，CC 1→＝(－1，0，3).设平面ACC 1A 1的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·CC 1→＝0，得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－x ＋3z ＝0，取m ＝(3，－3，1). ∴cos 〈B 1D →，m 〉＝B 1D →·m |B 1D →||m |＝0×3＋1×（－3）＋（－3）×102＋12＋（－3）2×（3）2＋（－3）2＋12＝－217，∴直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为217.(3)解 由题设知B (1，0，0)，则BD →＝(－1，1，0)，B 1D →＝(0，1，－3)，DC →＝(1，1，0).设平面BB 1D 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧BD →·n 1＝0，B 1D →·n 1＝0，得⎩⎨⎧－x 1＋y 1＝0，y 1－3z 1＝0，可取n 1＝(3，3，1). 同理可得平面B 1DC 的一个法向量为n 2＝(－3，3，1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝3×（－3）＋3×3＋1×1（3）2＋（3）2＋12×（－3）2＋（3）2＋12＝17.∴二面角B －B 1D －C 的余弦值为17. 【类题通法】利用向量计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.【对点训练】如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面P AB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，P A ＝PB，O为AB的中点，OD⊥PC.(1)求证：OC⊥PD；(2)若PD与平面P AB所成的角为30°，求二面角D－PC－B的余弦值.[解析] (1)证明如图，连接OP.∵P A＝PB，O为AB的中点，∴OP⊥AB.∵侧面P AB⊥底面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，∴OP⊥OD，OP⊥OC.∵OD⊥PC，∴OD⊥平面OPC，∴OD⊥OC，又OP⊥OC，OP∩OD＝O，∴OC⊥平面OPD，∴OC⊥PD.(2)解法一在矩形ABCD中，由(1)得OD⊥OC，∴AB＝2AD，不妨设AD＝1，则AB ＝2.∵侧面P AB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，∴DA ⊥平面P AB ，CB ⊥平面P AB ，△DP A ≌△CPB ，∴∠DP A 为直线PD 与平面P AB 所成的角，∴∠DP A ＝30°，∠CPB ＝30°，P A ＝PB ＝3，∴DP ＝CP ＝2，∴△PDC 为等边三角形.设PC 的中点为M ，连接DM ，则DM ⊥PC .在Rt △CBP 中，过M 作NM ⊥PC ，交PB 于点N ，连接ND ，则∠DMN 为二面角D －PC －B 的一个平面角.由于∠CPB ＝30°，PM ＝1，故在Rt △PMN 中，MN ＝33，PN ＝233.∵cos ∠APB ＝3＋3－42×3×3＝13， ∴AN 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋3－2×233×3×13＝3， ∴ND 2＝3＋1＝4， ∴cos ∠DMN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋3－42×33×3＝－13， 即二面角D －PC －B 的余弦值为－13. 法二 取CD 的中点E ，以O 为原点，OE ，OB ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .在矩形ABCD 中，由(1)得OD ⊥OC ，∴AB ＝2AD ，不妨设AD ＝1，则AB ＝2.∵侧面P AB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，∴DA ⊥平面P AB ，CB ⊥平面P AB ，△DP A ≌△CPB ，∴∠DP A 为直线PD 与平面P AB 所成的角，∴∠DP A ＝30°，∠CPB ＝30°，P A ＝PB ＝3，∴B (0，1，0)，C (1，1，0)，D (1，－1，0)，P (0，0，2)，从而PC→＝(1，1，－2)，CD→＝(0，－2，0). 设平面PCD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧PC →·n 1＝0，CD →·n 1＝0，得⎩⎨⎧x 1＋y 1－2z 1＝0，－2y 1＝0，可取n 1＝(2，0，1). 同理，可取平面PCB 的一个法向量为n 2＝(0，－2，－1).于是cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－13， ∴二面角D －PC －B 的余弦值为－13.。
立体几何复习专题(空间角)
专题: 空间角一、基础梳理1. 两条异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围：(0, ]2。
（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。
两条异面直线a,b 垂直，记作 a b 。
（3）求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。
平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。
1：三棱柱OAB O1A1B1 ，平面OBB1O1 ⊥平面OAB ，O1OB 60 , AOB 90 ，且OB OO1 2, O1 B 1OA 3，求异面直线A1B 与A O1 所成角的余弦。
A1O B A2．直线和平面所成的角（简称“线面角”）（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。
一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0 角。
直线和平面所成角范围：0，。
2（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
P a （3）公式：已知平面的斜线 a 与内一直线 b 相交成θ角，且a 与相交成 1 角，a 在上的射影 c 与b 相交成 2 角，则有cos cos cos1 。
2由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。
A 1 cO2B b1考点二：直线和平面所成的角C例2. 如图，在三棱柱ABC A B C 中，四边形A ABB 是菱形，四边形BCC B 是矩形，C B AB , 0C B 2, AB 4, ABB 60 ， A B求AC 与平面BCC B 所成角的正切。
CA B3：（1）在0120 的二面角P a Q 的两个面P 与Q 内分别有两点A、B ，已知点A和点B 到棱的距离分别为2cm,4 cm ，且线段AB 10cm。
立体几何---空间角 学生
立体几何-------空间角1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝14BC，则GB与EF所成的角为2．在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是________．3．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的平个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为4．已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．5．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面P AC所成的角是________．6．如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB＝BC＝BD＝4，E、F分别为棱BC、AD的中点．(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值；(2)求E到平面ACD的距离；(3)求EF与平面ACD所成角的正弦值．7．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，P A⊥平面ABCD，P A＝3，AD＝2，AB＝23，BC＝6.(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)求二面角P－BD－A的大小．8．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC1⊥BD .(1)证明：DC 1⊥BC . (2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．9、如图，四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ,AC AB ⊥,AB PA =,点E 是PD 上的点，且DE EP λ= (0<λ≤1)．（1） 求证：PB ⊥AC ；（2） 求λ的值，使PB ∥平面ACE ；（3）当1λ=时，求二面角E AC B --的大小．10、如图，在四棱锥AEFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．(1)求证：AO⊥BE；(2)求平面AEF与平面ABE的夹角的余弦值；(3)若BE⊥平面AOC，求a的值．。
立体几何第六课用空间向量求距离和角度
立体几何第六课 §用空间向量求距离和角度一、知识点向量的常用方法 ①点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为②.异面直线间的距离 ：d =(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).③.直线AB 与平面所成角：sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).④.求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.二、例题1．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱1CC 上的点，且12CN C N ＝。
（Ⅰ）求二面角1B AM N --的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点1B 到平面AMN 的距离。
2．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ．底面ABCD 为矩形，,AD AB =，SA SD a ==．（Ⅰ）求证：CD SA ⊥；（Ⅱ）求二面角C SA D --的大小. 3.如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∠B 1A 1C 1=90°，D 、E 分别为CC 1和A 1B 1的中点，且A 1A=AC=2AB=2． (I)求证：C 1E∥平面A 1BD ； (Ⅱ)求点C 1到平面A 1BD 的距离．4.如图，在四棱锥ABCD P －中，底面ABCD 是菱形，060BAD ＝∠，2AB ＝，1PA ＝,⊥PA 平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点. (Ⅰ) 求证：BE ∥平面PDF ；（Ⅱ）求证：平面PDF ⊥平面PAB ；（Ⅲ）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的大小.5.已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，12BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将BAE ∆沿着AE翻折成1B AE ∆，使面1B AE ⊥面AECD ，F 为1B D 的中点. （Ⅰ）求四棱1B AECD -的体积；（Ⅱ）证明：1B E ∥面ACF ；（Ⅲ）求面1ADB 与面1ECB 所成二面角的余弦值.6.如图，在四棱锥S —ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD是矩形，且SD AD ==，E 是SA 的中点。
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第六节 空间角
考点一 异面直线所成的角 [典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A.22 B.3
2
C.52
D.7
2
(2)(2019·成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形
的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面
直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )
A.1
2 B ．－1
2
C.3
2 D ．－3
2
[题组训练]
1．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝2BB 1，则AB 1与BC 1所成角的大小为( )
A ．30°
B ．60°
C ．75°
D ．90°
2.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，
(1)求AC 与A 1D 所成角的大小；
(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．
考点二 直线与平面所成的角
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )
A ．8
B ．6 2
C ．8 2
D ．8 3 (2)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94
，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为________．
[题组训练]
1．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝1，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为( )
A.104
B.64
C.105
D.65
2．(2019·青海模拟)如图，正四棱锥P -ABCD 的体积为2，底面积为6，E 为侧棱PC 的中
点，则直线BE 与平面P AC 所成的角为( )
A ．60°
B ．30°
C ．45°
D ．90°
考点三 二面角
[典例] (1)已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角的平面角为________．
(2)已知△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝2，M 为AB 的中点，现将△ACM 沿CM 折起，得到三
棱锥P -CBM ，如图所示．则当二面角P -CM -B 的大小为60°时，AB PB
＝________.
[题组训练] 1．已知二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( ) A ．150°
B ．45°
C ．120°
D ．60°
2.如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一
点，且AB ＝2，P A ＝BC ＝3，则二面角A -BC -P 的大小为________．
[课时跟踪检测]
1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，C 1D 1的中点，则A 1B 1与平面A 1EF 所成角的正切值为( )
A ．2
B. 2 C ．1 D. 3
2．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435
，那么二面角A -BD -P 的大小为( ) A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
3.如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，且异面
直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN 的长度为( )
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
4．已知AB ∥平面α，AC ⊥平面α于点C ，BD 是平面α的斜线，D 是斜足，若AC ＝9，BD ＝63，则BD 与平面α所成的角的大小为________．
5．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78
，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．
6．已知边长为2的正方形ABCD 的四个顶点在球O 的球面上，球O 的体积V 球＝
1605π3
，则OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为________．
7.(2018·天津高考)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB 的中点，AB＝2，AD＝23，∠BAD＝90°.
(1)求证：AD⊥BC；(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
8．(2019·湖北八校联考)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，点E，F分别在线段AB，AC上，且EF∥BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P-EF-B的大小为60°.
(1)求证：EF⊥PB；
(2)当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时，求四棱锥P-EBCF的侧面积．。