第三章 信号采样与Z变换理论基础

n阶前向差分定义为 n阶后向差分定义为
3.3 离散系统的差分方程
3.3.2 差分方程
差分方程由未知序列 y(k)，及移位序列y(k+1)、 y(k+2)、… 或 y(k-1)、y(k-2)、…，以及激励u(k)及其 移位序列u(k+1)、u(k+2)、…或 u(k-1)、u(k-2)、…构 成。
Z变换和Z反变换，熟练掌握几种典型信号的Z变换和 通过部分分式分解进行反变换, 了解用Z变换法解差分 方程的主要步骤和方法。
正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系 统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法, 掌握典型闭环采样系统输出的Z变换表达式。
熟练掌握Z域稳定性的判别方法。 掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法
时间常数，因此可以认为是瞬间完成。
3.1 采样过程与采样定理
3.1.1信号的采样
若时间间隔用任意数T表示，离散信号用x(kT)或x(k)表示 。其中k表示离散时间，T称为采样时间或采样周期。
3.1.1信号的采样
采样过程类似于一个脉冲调制过程。设理想的单位 脉冲序列 的数学表达式为：
采样开关对模拟信号 e(t) 进行采样后，其输出信号
例1： 解：
……
已知：y(-1)=0, x(n)= ……
故
3.3.3 差分方程的求解
方法1．迭代法
例2: 解：
已知：
…… 无法给出闭式解集
3.2.5 零阶保持器的频率特性
零阶保持器的幅、相频率特性分别为 ：
3.2.5 零阶保持器的频率特性
零阶保持器的幅、相频率特性分别为 ：
3.2.6 一阶保持器与零阶保持器比较
1一阶保持器幅频特性的幅值较大，高频分 量也大。
2一阶保持器相角滞后比零阶保持器大。 3一阶保持器的结构更复杂。
一阶保持器实际很少使用！！
3.1.1信号的采样
采样过程：以一定的时间间隔对连续信号进行采样，使 连续信号转换成时间上离散的脉冲序列的过程。 实现采样过程的装置：多种多样，但不管具体是如何实 现的，其基本功能都可以用一个开关来表示，称为采样 器或采样开关。 理想采样开关：按一定的周期进行闭合采样。设采样周
期为T，每次采样时的闭合时间为。由于采样开关闭合 时间极短，一般远小于采样周期T和被控制对象的最大
概述
R(nT )
r(t) -
控制规律 u* (t)
u (t)
被控
y(t)
D/A
D(z)
对象
b* (t) A/D
b(t)
反馈装置
r(t) T + -
计算机控制系统简化方框图
e* (t)
D(z)
u* (t)
u(t) G (s)
G(s)
y (t )
h
T
b(t )
F(s)
பைடு நூலகம்
等效的采样控制系统简化方框图
3.1 采样过程与采样定理
零阶保持器的功能
3.2.3 零阶保持器的单位脉冲响应
零阶保持器是采样系统的基本元件，为了满足系统分析 、设计的需要，必须了解零阶保持器的传递函数和频率特 性。对零阶保持器输入单位脉冲时，其输出为一个高度为1 ，宽度为T的矩形波，这就是零阶保持器的单位脉冲响应 。
两个单位阶跃函数的叠加
3.2.4 零阶保持器的传递函数
3.3 离散系统的差分方程 连续系统、离散系统的数学处理方法对比
3.3 离散系统的差分方程
1 差分的定义
假设在下图所示的采样系统中，模拟—数字转换 器在离散时间对误差信号 进行采样，并将瞬时值
记为 或 ，则 的一阶前项差分定 义为：
3.3 离散系统的差分方程
3.31 差分的定义
二阶前向差分定义为：
可以表示为
从控制系统的实际意义出发，通常取
时，
故上式可改写为：
3.1 采样过程与采样定理
3.1.2 采样定理
3.1.3 采样周期的选择
工程上常以在满足系统性能要求的前提下，尽可能选择较大 的采样周期（即较小的采样频率），以降低成本为基本准则。采 样周期的选择，在很大程度上还取决于实际控制系统的现场情况 。
由线性函数的叠加性，零阶保持器的脉冲响应函数：
对上式取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数为：
G (s ) = L[ g (t )] = L[u (t )] - L[u (t - T )] = 1 - 1 e -Ts = 1 - e -Ts
h
h
ss
s
3.2.5 零阶保持器的频率特性
将
代入上式，可以得到零阶保持器的频率特性为：
3.3 离散系统的差分方程 3.3.2 差分方程
常系数线性差分方程的一般形式
3.3 离散系统的差分方程 3.3.3 差分方程的求解
1.迭代法 2.时域经典法：齐次解+特解 3.零输入响应+零状态响应
利用卷积求系统的零状态响应
4. z变换法反变换y(n)
3.3.3 差分方程的求解
方法1．迭代法
解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系，概念清楚比较简便
3.2 信号复现与零阶保持器 3.2.1 信号复现
信号复现 是指将采样信号恢复为连续信号的 过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。
可将
时， 展成如下泰勒级数：
取各阶导数的近似值
由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采 样时刻的瞬时值。若展开式的右边只取前n+1项， 便得到n阶保持器的数学表达式。
3.2 信号的恢复与零阶保持器 3.2.2 零阶保持器
零阶保持器的数学表达式为：
信号的采样与保持过程
3.2.2 零阶保持器
零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值
一直保持到下一个采样时刻
，从而把采样信号
变成了阶梯信号 。
由于是恒值外推，处在采样区间内的值始终为常数， 其导数为零，故称作零阶保持器。
3.3 离散系统的差分方程 3.3.2 差分方程
差分方程的阶数：定义为未知序列自变量序号中最高 值和最低值之差。
前向差分方程：差分方程中的未知序列是递增方式，即
由
组成的差分方程
后向差分方程：差分方程中的未知序列是递减方式，即
由
组成的差分方程
用两种形式的差分方程描述的系统没有本质的区别， 根据具体情况来确定采用哪一种。
第三章 信号采样与Z变 换理论基础
2020年4月23日星期四
本章内容
3.1 采样过程与采样定理 3.2 信号的恢复与零阶保持器 3.3 离散系统的差分方程 3.4 z变换与z反变换 3.5 脉冲传递函数 3.6 Z平面分析
基本要求
正确理解采样过程，采样定理，信号复现和零阶保持 器的作用, 了解采样系统与连续系统的区别与联系。