第三章 信号采样与Z变换理论基础
3.3 离散系统的差分方程
3.3.2 差分方程
差分方程由未知序列 y(k)，及移位序列y(k+1)、 y(k+2)、… 或 y(k-1)、y(k-2)、…，以及激励u(k)及其 移位序列u(k+1)、u(k+2)、…或 u(k-1)、u(k-2)、…构 成。
Z变换和Z反变换，熟练掌握几种典型信号的Z变换和 通过部分分式分解进行反变换, 了解用Z变换法解差分 方程的主要步骤和方法。
正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系 统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法, 掌握典型闭环采样系统输出的Z变换表达式。
熟练掌握Z域稳定性的判别方法。 掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法
时间常数，因此可以认为是瞬间完成。
3.1 采样过程与采样定理
3.1.1信号的采样
若时间间隔用任意数T表示，离散信号用x(kT)或x(k)表示 。其中k表示离散时间，T称为采样时间或采样周期。
3.1.1信号的采样
采样过程类似于一个脉冲调制过程。设理想的单位 脉冲序列 的数学表达式为：
采样开关对模拟信号 e(t) 进行采样后，其输出信号
例1： 解：
……
已知：y(-1)=0, x(n)= ……
故
3.3.3 差分方程的求解
方法1．迭代法
例2: 解：
已知：
…… 无法给出闭式解集
3.2.5 零阶保持器的频率特性
零阶保持器的幅、相频率特性分别为 ：
3.2.5 零阶保持器的频率特性
零阶保持器的幅、相频率特性分别为 ：
3.2.6 一阶保持器与零阶保持器比较
1一阶保持器幅频特性的幅值较大，高频分 量也大。
2一阶保持器相角滞后比零阶保持器大。 3一阶保持器的结构更复杂。
一阶保持器实际很少使用！！
3.1.1信号的采样
采样过程：以一定的时间间隔对连续信号进行采样，使 连续信号转换成时间上离散的脉冲序列的过程。 实现采样过程的装置：多种多样，但不管具体是如何实 现的，其基本功能都可以用一个开关来表示，称为采样 器或采样开关。 理想采样开关：按一定的周期进行闭合采样。设采样周
期为T，每次采样时的闭合时间为。由于采样开关闭合 时间极短，一般远小于采样周期T和被控制对象的最大
概述
R(nT )
r(t) -
控制规律 u* (t)
u (t)
被控
y(t)
D/A
D(z)
对象
b* (t) A/D
b(t)
反馈装置
r(t) T + -
计算机控制系统简化方框图
e* (t)
D(z)
u* (t)
u(t) G (s)
G(s)
y (t )
h
T
b(t )
F(s)
பைடு நூலகம்
等效的采样控制系统简化方框图
3.1 采样过程与采样定理
零阶保持器的功能
3.2.3 零阶保持器的单位脉冲响应
零阶保持器是采样系统的基本元件，为了满足系统分析 、设计的需要，必须了解零阶保持器的传递函数和频率特 性。对零阶保持器输入单位脉冲时，其输出为一个高度为1 ，宽度为T的矩形波，这就是零阶保持器的单位脉冲响应 。
两个单位阶跃函数的叠加
3.2.4 零阶保持器的传递函数
3.3 离散系统的差分方程 连续系统、离散系统的数学处理方法对比
3.3 离散系统的差分方程
1 差分的定义
假设在下图所示的采样系统中，模拟—数字转换 器在离散时间对误差信号 进行采样，并将瞬时值
记为 或 ，则 的一阶前项差分定 义为：
3.3 离散系统的差分方程
3.31 差分的定义
二阶前向差分定义为：
可以表示为
从控制系统的实际意义出发，通常取
时，
故上式可改写为：
3.1 采样过程与采样定理
3.1.2 采样定理
3.1.3 采样周期的选择
工程上常以在满足系统性能要求的前提下，尽可能选择较大 的采样周期（即较小的采样频率），以降低成本为基本准则。采 样周期的选择，在很大程度上还取决于实际控制系统的现场情况 。
由线性函数的叠加性，零阶保持器的脉冲响应函数：
对上式取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数为：
G (s ) = L[ g (t )] = L[u (t )] - L[u (t - T )] = 1 - 1 e -Ts = 1 - e -Ts
h
h
ss
s
3.2.5 零阶保持器的频率特性
将
代入上式，可以得到零阶保持器的频率特性为：
3.3 离散系统的差分方程 3.3.2 差分方程
常系数线性差分方程的一般形式
3.3 离散系统的差分方程 3.3.3 差分方程的求解
1.迭代法 2.时域经典法：齐次解+特解 3.零输入响应+零状态响应
利用卷积求系统的零状态响应
4. z变换法反变换y(n)
3.3.3 差分方程的求解
方法1．迭代法
解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系，概念清楚比较简便
3.2 信号复现与零阶保持器 3.2.1 信号复现
信号复现 是指将采样信号恢复为连续信号的 过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。
可将
时， 展成如下泰勒级数：
取各阶导数的近似值
由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采 样时刻的瞬时值。若展开式的右边只取前n+1项， 便得到n阶保持器的数学表达式。
3.2 信号的恢复与零阶保持器 3.2.2 零阶保持器
零阶保持器的数学表达式为：
信号的采样与保持过程
3.2.2 零阶保持器
零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值
一直保持到下一个采样时刻
，从而把采样信号
变成了阶梯信号 。
由于是恒值外推，处在采样区间内的值始终为常数， 其导数为零，故称作零阶保持器。
3.3 离散系统的差分方程 3.3.2 差分方程
差分方程的阶数：定义为未知序列自变量序号中最高 值和最低值之差。
前向差分方程：差分方程中的未知序列是递增方式，即
由
组成的差分方程
后向差分方程：差分方程中的未知序列是递减方式，即
由
组成的差分方程
用两种形式的差分方程描述的系统没有本质的区别， 根据具体情况来确定采用哪一种。
第三章 信号采样与Z变 换理论基础
2020年4月23日星期四
本章内容
3.1 采样过程与采样定理 3.2 信号的恢复与零阶保持器 3.3 离散系统的差分方程 3.4 z变换与z反变换 3.5 脉冲传递函数 3.6 Z平面分析
基本要求
正确理解采样过程，采样定理，信号复现和零阶保持 器的作用, 了解采样系统与连续系统的区别与联系。
信号与系统 z变换
信号与系统 z变换信号与系统是电子信息学科中的一门重要课程，其中的z变换是信号与系统分析的一种重要工具。
本文将介绍信号与系统中的z变换原理及应用。
一、z变换原理z变换是一种离散域的数学变换，它将离散时间序列转换为复平面上的函数。
在信号与系统中，我们常常需要对信号进行分析和处理，而z变换提供了一种方便且有效的方式。
它将离散时间序列变换为z域函数，从而可以对信号进行频域分析。
z变换的定义是：X(z) = ∑[x(n)·z^(-n)]，其中x(n)为离散时间序列，z为复变量。
通过z变换，我们可以将离散时间序列的差分方程转化为代数方程，从而简化信号与系统的分析和计算。
此外，z变换还具有线性性质和时移性质，使得我们可以方便地进行信号的加权叠加和时间偏移操作。
二、z变换的应用1. 系统的频域分析：z变换将离散时间序列转换为z域函数，可以方便地进行频域分析。
通过计算系统的传递函数在z域中的值，我们可以得到系统的频率响应，从而了解系统对不同频率信号的响应特性。
2. 系统的稳定性判断：通过z变换，可以将系统的差分方程转化为代数方程。
我们可以通过分析代数方程的根的位置，判断系统的稳定性。
如果差分方程的根都在单位圆内，说明系统是稳定的。
3. 离散时间系统的滤波设计：z变换为我们提供了一种方便的方法来设计离散时间系统的滤波器。
通过在z域中对滤波器的传递函数进行分析和调整，我们可以设计出满足特定需求的滤波器。
4. 信号的采样与重构：在数字信号处理中，我们常常需要对连续时间信号进行采样和重构。
通过z变换，我们可以将连续时间信号转换为离散时间信号，并在z域中进行处理。
然后再通过z逆变换将离散时间信号重构为连续时间信号。
5. 离散时间系统的时域分析：z变换不仅可以进行频域分析，还可以进行时域分析。
通过z变换，我们可以将离散时间系统的差分方程转换为代数方程，并通过对代数方程的分析，得到系统的时域特性。
z变换是信号与系统分析中非常重要的工具。
附：采样定理及z变换
z→1
四、Z 反变换
从函数F(z)求出原函数f*(t)的过程
记作 Z -1[ F (z) ] = f * (t)
由于F(z)只含有连续函数f(t)在采样时 刻的信息，因而通过z反变换只能求得连 续函数在采样时刻的数值。求反变换一 般有两种方法。
1．长除法
按Z-1的升幂级数展开，即
例1
求F(z)反变换f*(t) 。F (z)=
计算机
保持器
c(t) 对象
检测元件
二、采样过程与采样定理
1．采样函数的数学表示
通过采样开关，将连续信号转变成离散信号。
实为理想脉冲序列δT(t) 对e(t)幅值的调制过程。
采样过程如图所示：
e(t)
δT(t)
e*(t)
…
…
0
t
-T 0 T 2T 3T 4T 5T t
0 T 2T 3T 4T 5T t
1 s
(1 –
1
1 +
Ts
)
=
T Ts + 1
零阶保持器用RC网络来近似实现
传递函数为：
R2
Gh
(s)=
Kp Ts + 1
e*(t) R1
Δ
C -∞
gh(t)
Kp =
R2 R1
T = R2C
+ +
欧拉公式
e jx cos x j sin x
e jx cos x j sin x
e jx e jx sin x
F (z) f (kT )zk f (0) f (1)z1 f (2)z2 k0
f (kT )zk 中， f (kT ) 决定幅值， zk决定时间。
第三章 Z变换
0 | z | Rx 2 0 | z | Rx 2
j Im[ z ]
左边序列 ROC示意图
Re[ z ]
Rx 2
3．2．5 双边序列的ROC
如果序列在整个区间都有定义，则称之为双边序列或无始无 终序列。
X(z)
如果
n
x (n )z n x (n )z n
n 0
n
1 z | z | 1 1 1 z z 1
1
|z| > 1
序列的单边ZT可以用双边ZT表示
Z[x(n)] Z B [x(n)u(n)]
而且，一个序列是因果序列的充要条件是
x ( n ) = x (n ) u ( n )
一个序列是反因果序列的充要条件是
x ( n ) = x (n ) u (— n — 1 )
（3）n1≥0， n2>0 时，收敛域为 0 < | z | ≤ ∞ ( |z|=0
除外)
3．2．2 有限长序列的ROC
X(z)
n n1
x (n )z n
n2
（1） n1<0，n2>0 时，收敛域为 0 < | z | <∞( |z|=0, ∞ 除外) （2）n1<0， n2 ≤ 0 时， 收敛域为 0 ≤ | z | < ∞ ( |z|=∞ 除外) （3）n1≥0， n2>0 时，收敛域为 0 < | z | ≤ ∞ ( |z|=0 除外)
a n , (n 0) x 1 (n ) 0, (n 0)
的ZT为：
X1 ( z)
n
x ( n) z
1
n
a z
第三章 Z变换
a
ax b
的和，使各分式具有 (x A)k或 (x2 Ax B)k
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分
式的“部分分式”。
通常，X(z)可 表成有理分式形式：
M
X
(z)
B(z) A( z )
如收敛域为|z|>Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展
成Z的负幂级数。
若 收敛域|Z|<Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成
Z的正幂级数。
例:
试用长除法求 X (z)
z2
,1 z 4
(4 z)(z 1) 4
的z反变换。
4
解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列)
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[ z]
Re[ z]
z
(2).有限长序列
x (n)
.
x(n), x(n) 0,
n1 n n2 其他n
.
n1
0
.
n2
n
n2
X (z) x(n)zn ,若 x(n)zn ，n1 n n2; nn1
n
n1
第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ;
第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,
其收敛域为 0 z Rx ; Rx为最大收敛半径 . 故收敛域为0 z Rx
j Im[ z]
Re[ z]
z Rx
(5)双边序列
x（n）
采样信号的Z变换
(8)卷积和定理
(F-28)
k
∑ E[T f1(i) f2 (k − i)] = F1(ε )F2 (ε ) i=0
当 T → 0 时，有ε变换的卷积和定理趋于拉氏变换的卷积定理。
(F-29)
三、ε反变换
已知变换域函数 F (ε ) ，可以通过ε反变换求得离散时间序列 f (k ) 。与 z 反变换类
为各分量项ε反变换 fi (k) 一步延迟 fi (k −1) 的代数和。反变换的结果为 f (k −1) 。
[例 F-1] 用部分分式法计算下式的ε反变换
F (ε ) = 5(Tε +1) ε (ε + 5)
(F-31)
解 因为 F (ε ) 的分子上含有因子 (Tε +1) ，所以将 F (ε ) 展开部分分式为 (Tε +1)
所示。
f *(t) f(kT)
fk*(t) f(kT)⋅T
t 0 T 2T … kT …
t 0 T 2T … kT …
(a) 脉冲离散信号
(b) 面积离散信号
对式(F-7)作 z 变换得到
图F－1 连续信号的离散近似
∞
∑ Z[ fε∗ (t)] = [ f (kT ) ⋅T ]⋅ z−k k =0
∞
(F-1)
∞
∑ F ∗ (s) = L[ f ∗ (t)] = f (kT ) ⋅ e−kTs
(F-2)
k =0
用幂函数算子 z 取代超越函数算子 eTs ，就得到了连续时间信号 f (t) 的 z 变换
∞
∞
∑ ∑ F(z) = k =0
f (kT ) ⋅ e−kTs z = eTs = k=0
数字信号处理第三章5抽样z变换—频域抽样理论
即可由频域采样X ( k )不失真地恢复原信号 x ( n ) ，否则产生时域混叠现象。
2012-10-11
数字信号处理
用频域采样 X ( k ) 表示 X ( z )的内插公式
M 点 有 限 长 序 列 x ( n )， 频 域 N 点 等 间 隔 抽 样 ， 且 N M
M 1
X (z)
1 N
N 1
X (k )
1 WN 1W
Nk k N
z z
N 1
1 z N
N N 1
k 0
1W
k 0
X (k )
k N
z
1
数字信号处理
内 插 公 式 ： X (z)
1 z N
N N 1
1W
k 0
X (k )
k N
N 1
z
1
内 插 函 数 ： k (z)
x(n)为无限长序列—混叠失真
x(n)为有限长序列，长度为M
1） N M ， 不 失 真 2） N M ， 混 叠 失 真
2012-10-11 数字信号处理
频率采样定理
若序列长度为M，则只有当频域采样点数:
N M
时，才有
x N ( n ) R N ( n ) ID F S [ X ( k )] R N ( n ) x ( n )
x(n ) z
n
n0
N 1
x(n ) z
nk N
n
n0
1 n0 N 1 N
N 1
N 1
X ( k )W
N 1
k 0
n z
抽样Z变换频率取样
X (z) x(n)z n n
取z=ejω代入, 得到单位圆上Z变换为
X (e j )
x(n)e jn
n
ω是单位圆上各点的数字角频率
NCEPUBD
2.2 推 导
再抽样-- N等分 抽样间隔ω=2kπ/N, 即ω值为0,2π/N,4π/N,…。
考虑x(n)是N点有限长序列，n只需0~N-1即可。
•当N>M或=M时，可利用其z变换在单位圆 上的N个均分点上的抽样值精确地表示。
NCEPUBD
例子
已知：矩形序列及其频谱（DTFT）
对其进行频域抽样。
NCEPUBD
按N=5点， 频域抽样，
时域延拓恰好 无混叠现象
（原信号为红色， 延拓取主值区间后 的恢复信号为兰 色。）
按N=4频域抽样：
产生混叠现象
NCEPUBD
2 Z变换与DFT关系
2.1 引 入 2.2 推 导 2.3 结 论
NCEPUBD
2.1 引 入
DFT看作是DTFT在频域抽样后的变换对 DTFT是单位圆上的Z变换 所以对DTFT进行频域抽样时, 自然可以看
作是对单位圆上的Z变换进行抽样
NCEPUBD
2.2 推 导
ZT的定义式 (正变换) :
5 频域内插公式
5.1 内插公式 5.2 内插函数 5.3 傅立叶变换的内插公式 5.4 傅立叶变换的内插函数
NCEPUBD
5.1 内插公式
N 1
X (z) X (k)(z) k 0
(z) 称为内插函数
NCEPUBD
5.2 内插函数
(z)
1 N
1 zN 1WNk z1
NCEPUBD
5.3 傅立叶变换的内插公式
第三章--Z变换(数字信号处理)
综合以上二步可得 x(n) anu(n)
例 3.7已知 换x(n)。
第三章 序列的Z变换
X (z)
1 a2 (1 az)(1 az1) ,
a
1，
求其反变
解： 该例题没有给定收敛域， 为求出唯一旳原序 列x(n)， 必须先拟定收敛域。 分析X(z)， 得到其极点 分布如图3.5所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1， 这么 收敛域有三种选法， 它们是
n n1
设x(n)为有界序列， 因为是有限项求和， 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 假如n1<0， 则收敛域不涉及∞点； 如n2>0， 则 收敛域不涉及z=0点； 假如是因果序列， 收敛域涉及
z=∞点。 详细有限长序列旳收敛域表达如下：
第三章 序列的Z变换
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F (z), a] Re s[F (z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
)
za
(1 a2 )zn a(z a)(z a1) (z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最终将x(n)表达成
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜ ∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小旳收敛半径。 将两收敛域相与， 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 假如x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)旳Z变换旳收敛域包括∞点，则x(n) 是因果序列
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
信号的拉普拉斯变换和z变换
⎰∞∞--=t e t f s F st b d )()(⎰∞--=0def d e )()(t t f s F st)(d e )(j 21)(j j deft s s F t f st επσσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞+∞-第三章信号的拉普拉斯变换和z 变换一、拉普拉斯变换的定义1.双边拉普拉斯变换只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。
※象函数相同，但收敛域不同。
双边拉氏变换必须标出收敛域。
2.单边拉氏变换3.常见函数的拉普拉斯变换及其⎰∞+∞-=j j d e )(j21)(σσπs s F t f st b Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。
从0-开始收敛域二、拉普拉斯变换性质线性性质尺度变换证明：[]⎰∞--=de)()(tatfatf L st，则令atτ=时移特性与尺度变换相结合复频移（s域平移）特性时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)证明：()()()())(deedessFfttsft ftt f ststst+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='--∞-∞---∞-⎰⎰推广：()()[])0()0()()0(d)(d22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡fsfsFsffsF sttfL∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1)(1)0()(d)(d nrrrnnnfssFsttfL若f1(t)←→F1(s)Re[s]>σ1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>σ2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(σ1,σ2)若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0，且有实数a>0，则f(at)←→)(1asFa若f(t)<----->F(s),Re[s]>σ0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)ε(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>σ0若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,且有复常数s a=σa+jΩa,则f(t)e s a t←→F(s-s a),Re[s]>σ0+σas-→2：?)(sin ←→t t t ε=三、拉普拉斯逆变换三种方法：（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合∴......,,321为不同的实数根，n p p p p nn p s K p s K p s K s F -++-+-= 2211)(ip s i i s F p s K =-=)()()(e ]1[1t p s L t p i i ε=--若象函数F(s)是s 的有理分式，可写为1110111.......)(a s a s a s b s b s b s b s F n n n m m m m ++++++++=----若m ≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。