第二十一章 二次根式知识点总结及经典例题

第二十一章二次根式复习（1）
：
1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。

2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

如不是最简二次根式，因被开方
数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最
简二次根式，而，，5 ，都是最简二次根式。

3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

如, , 就是同类二次根式，因为=2 ，
=3 ，它们与的被开方数均为2。

4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说
这两个代数式互为有理化因式。

如与，a+ 与a- ，- 与+ ，互为有理化因式。

二次根式的性质：
1. (a≥0)是一个非负数, 即≥0;
2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；
3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=
4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a ≥0,b≥0）。

5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=
（a≥0,b>0）。

21.2 二次根式的乘除
1. 二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。

说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、
都是非负数；
（2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）；
（≥0，≥0，≥0，≥0）。

（3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥
0，≥0）。

也称“积的算术平方根”。

它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。

2. 二次根式的除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。

说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，
在分母中，因此＞0；
（2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）；
（3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。

也称“商的算术平方根”。

它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。

3. 最简二次根式
（1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母。

知识点一：二次根式的概念：
1.下列各式中，是二次根式的有 。

（填写序号） ①
7；②9 ③2a ④2x +2⑤—3⑥
()
2
—5⑦
2x ——2⑧22n +1⑨
2n+1392.下列各式中，是二次根式的有 。

（填写序号） ①
a a — 22n 2a — 2a ——1 2a +1 5知识点二:二次根式的被开方数中字母的取值范围
1.当字母取何值时，下列各式为二次根式？ 22a +b x —3 12x 2x —3
—
2b — 1
x +0.1
2.当x 取何值时，下列各式有意义？ x+3+6x — ⑵
2x —1
⑶x 2x —1— ⑸
2x +x ——2
知识点三.二次根式的基本性质：
1.计算下列各式。

⑴2
⑵ 2
⑶ 2
⑷
2
⎛ ⎝—
⑸
2
⑹
2
⑺
2
（m ≤0）
2.把下列各式在实数范围里因式分解：
⑴x 2—5 ⑵ 2
x — ⑶ x 4—4 ⑷ 2
x
2.化简下列各式：
⑵
⑸
3.方程4x —8，当y ＞0时，m 的取值范围（ ）
.0
m 1A .m 2B ≥ .m 2C .m 2D ≤
4.若整数m 且m
5
，则m 的值是
5.(2
1?
的整数解有（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
6.有意义，则a 的取值是
7.若3，则2xy 的值为（ ） A. —15 B. 15 C.152
—
D.
152
9.知识点三:二次根式的乘法
1.计算下列各式。

⑴ ⑵ ⑶
⑷ （—
(— ⑹
⑺x y ≥≥0，0）
2.计算下列各式。

⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸
⑹ ⑺
⑻ （—
知识点四.最简二次根式
1.积的算术平方根
⑴
⑵ ⑶ a b c ，，均大于0）
2.商的算术平方根
⑴
⑵
⑶
a 0）
3.下列各式中，那些是最简二次根式，那些不是？不是的请说明理由。

⑵ ⑹ (x+3—
4.计算下列各式：
（— ⑶ x x
x ÷—2—2
x 的是偶数，对代数式
(x+2。