单位圆与正余弦函数的定义
精心整理
图1
1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数
1.4.2单位圆与周期性
主备人：刘红岩
一、教学目标
1、理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念
2、通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习数学的重二、 12121、12、k Z ∈
330（21
2在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原
点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则交点P 的纵坐标v 叫作角
α的正弦函数，记作v=sin α;点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数,记作u=cos
α. 通常，用x 表示自变量，用x 表示角的大小，用y 表
示函数值， 因此定义任意角的三角函数y=sinx 和y=cosx,定义域为R ，值
域为[-1，1]。
【设计意图】升华概念，加深对概念的理解。
3、三角函数值的符号
思考：以小组为单位讨论当角的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角的正弦函数值、余
【设计意图】使学生掌握根据定义，三角函数值的符号仅与点P的纵、横坐标的符号有关。sinα在一、二象限为正，三、四象限为负；cosα在一、四象限为正，二、三象限为负.轴线角的正余弦
练习1
，使学生加深对三角函数概念的理解。
的正
，利用三角函数的定义求其三角函数，需要确定三
到原点的距离r.
例2的正弦函数值、余弦函数值
练习2:的正弦函数值、余弦函数值
变式1
变式2
1．
(2)
弦值sin
2．当角
例3：
练习3：判断下面各式的符号：sin2·cos3
【思路探究】由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号；进一步确定各式符号．
【设计意图】使学生掌握一下规律：1．判断三角函数值的符号关键是看角α的终边所在的象限位置，若角α的终边位置难以判断应先利用α＝2kπ＋β(k∈Z)进行转化．
2．判断三角函数值的符号的步骤：
(1)先观察角α所在终边所在象限；(2)判断角α各个三角函数值的符号；(3)给出最后的结论．
高考链接：（2011江西，14）
,552sin -
=θ已知角的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P (4，y )是角终边上一点，且则y=.
【设计意图】通过高考真题，让学生了解本节课在高考中的考察方向，把握重点。
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业：课本16页练习：2、3、4、5.
09三角函数在单位圆的表示方法
09三角函数在单位圆的表示方法 1 在理解任意角三角函数定义的基础上，理解三角函数在单位圆上的表示方法，理解正弦线、余弦线，并能由图象讲出三角函数的值域和已知三角函数值作出对应的角。 三角函数(正弦、余弦)在单位圆的表示 已知三角函数值作出对应的角。 讲授与讨论相结合
三角函数在单位圆的表示方法 课本P14 图4-12 MP y y r y ====1sin α -1≤sin α≤1 -1≤cos α≤1 例 题 OM x x r x ====1cos α 例 题 P20 第2 题
一、三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”,三角函数的定义已经明确告诉角的终边上取点具有任意性，如果我们在角的终边上取适当的点，使比值中的分母为1，那末三角函数就可以用相应的一个坐标表示，这样讨论三角函数就比较方便。 二、单位圆的定义 在直角坐标系中，以原点为圆心，以1为半径的圆。 三、角α的正弦、余弦在单位上的表示 1．作图：（课本P14 图4-12 ） 此处略 …… …… ……… …… …… 设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆交于P 过P(x,y)作PM ⊥x 轴于M ， 简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示），“有向线段”（带有方向的线段），方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。 例：有向线段OM ，OP 长度分别为y x , 当OM=x 时 若0>x OM 看作与x 轴同向 OM 具有正值x 若0 为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数 人民教育出版社中学数学室章建跃 在人教版《普通高中实验教科书·数学4·必修（A版）》（简称“人教A版”）中，三角函数采用了如下定义（简称“单位圆定义法”）： “如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： （1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y； （2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x； （3）叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）． 可以看出，当α=(k∈Z)时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0， 所以无意义．除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数， 我们将它们统称为三角函数．” 1．部分教师的疑惑和意见 由于种种原因，实验区有的教师对上述定义不理解，认为该定义不如以往教材采用的 定义，即在角α的终边上任取一点P(x，y)，P到原点的距离为r，比值，，分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数（简称“终边定义法”）．其理由主要有以下几 点： 第一，“单位圆定义法”中，“交点是特殊的，缺乏一般性，不符合数学定义的要求”；“终边定义法”中，“所取得点是任意的，具有一般性，符合数学定义的要求”．有的老师说，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”． 第二，“单位圆定义法”不利于将锐角三角函数推广到任意角三角函数；“终边定义法”有利于这种推广．有的老师说，“用单位圆上点的坐标定义正弦、余弦函数带来了不少便利，其根本原因是它化简了三角函数的比值．而用单位圆上点的坐标定义正切函数，由于它未能化简三角函数的比值，所以它就没有什么特别的意义．” 第三，“单位圆定义法”不利于解题．有的老师说，在解“已知角α终边上一点的坐标是（3a,4a）,求角α的三角函数值”时，用“终边定义法”非常方便，而用“单位圆定义 法”很不方便． 为了解答老师们的疑问，我们首先从回顾三角函数的发展历史开始． 2．对三角函数发展历史的简单回顾 回顾三角学发展史，可以发现它的起源、发展与天文学密不可分，它是一种对天文观察结果进行推算的方法．1450年以前，三角学主要是球面三角，这是航海、立法推算以及天文观测等人类实践活动的需要，同时也是宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力所至，这种“量天的学问”确实太诱人了．后来，由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角． 三角学从天文学中独立出来的标志是德国数学家雷格蒙塔努斯（J. Regiomontanus，1436—1476）于1464年出版《论各种三角形》，这部著作首次对三角学做出了完整、独立的阐述．其中采用印度人的正弦，即圆弧的半弦，明确使用了正弦函数，讨论了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理．这部著作为三角学在平面与球面几何中的应用奠定了牢固基础．后来，哥白尼的学生雷提库斯（G. J. Rhaeticus，1514—1576）将传统的圆中的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系，把三角函数定义为直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来，并采用了六个函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）．法国数学家韦达（F. Vieta，1540—1603）总结了前人的三角学研究成果，将解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，还补充了自己发现的新公式，如正切公式、和差化积公式等，并将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题等，这是对三角学的进一步系统化．总之，16世纪， §1．2．1 任意角的三角函数 第一课时任意角的三角函数的定义三角函数的定义域和函数值【学习目标、细解考纲】 1、借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2、从任意角三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号。 【知识梳理、双基再现】 1、在直角坐标系中，叫做单位圆。 2、设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: ⑴叫做α的正弦,记作 ,即 . ⑵叫做α的余弦,记作 ,即 . ⑶叫做α的正切,记作 ,即 . 当α=时, α的终边在y轴上,这时点P的横坐标等于 ,所以无意义.除此之外,对于确定的角α,上面三个值都是 . 所以, 正弦、余弦、正切都是以为自变量,以 为函数值的函数,我们将它们统称为 .由于与之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为的函数. 3、根据任意角的三角函数定义，先将正弦余弦正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再 将这三种函数的值在各象限的符号填入括号。 =y sin α =y cos α =y tan α 【小试身手、轻松过关】 4、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ） A ．－ 55 B ．－ 5 C ．552 D ．2 5 5、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ） A ．sin α B ．cos αC ．tan α D ． tan 1 α 6、已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是 （ ） A ．25 B ．－2 5 C ．0 D ．与α的取值有关 7、α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α= 4 2 x ，则sin α的值为 （ ） A ． 410 B ．46 C ．42 D ．－4 10 【基础训练、锋芒初显】 8、函数x x y cos sin -+=的定义域是 （ ） A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈ B ．])12(,2 2[ππ π++ k k ，Z k ∈ 任意角的三角函数（第一课时）教学设计 一、学情分析 教学对象是高一的学生（按照1、4、5、2、3的顺序讲解），他们在初中学学习过锐角三角函数.因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅.学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？ 二、教学目标 1. 知识与技能目标 理解任意角的三角函数的单位圆定义法；了解终边定义法． 理解三角函数是以实数为自变量的函数. 2. 过程与方法目标 通过三角函数的几何表示，进一步加深对数形结合思想的理解. 3. 情感与态度价值观 激发学生探求新知欲望； 体会数学数学概念的严谨性和科学性. 三、教学重、难点 重点：任意角的三角函数的定义． 难点：①由初中锐角三角函数的定义过渡到任意角三角函数的定义； ②在直角坐标系中用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数； ③三角函数定义的应用. 四、教学设计思路 （一）创设情境，提出问题（三角函数的产生背景） 由匀速直线运动引出一次函数； 由自由落体和抛物运动引出二次函数； 客观世界中还存在着大量循环往复、周而复始的现象，比如，地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化等，其中圆周运动就是一种具有这种现象的最简单的周期性运动。它的变化规律该用什么函数模型来描述呢？——三角函数. （二）新课讲解 1.复习初中学过的锐角三角函数的定义 （1）初中学过的锐角三角函数的定义 （2）把角放在直角坐标系中研究引出坐标表示 提出问题：三角函数能否用终边上的点的坐标来表示？ ①在α的终边上任选一点P （a ,b ），||0OP r = => ②sin α、cos α、tan α的值与P 点的位置无关（相似） 为了研究的方便，取r =1（圆心在原点，r =1的圆称为单位圆）.则sin b α=、cos a α=、tan b a α=. 2.任意角 （1）理论基础 任意角αα????→唯一对应的终边的位置????→唯一对应终边与单位圆的交点坐标 即任意角α ????→唯一对应终边与单位圆的交点坐标 （2）沿用初中的三角函数的名称 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x ,y ），那么： ① 正弦sin y α=； ② 余弦cos x α=； ③ 正弦tan (0)y x x α=≠. 即：正弦、余弦、正切都是以角（实数）为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们称它们为三角函数.（单位圆定义法） ①正弦函数sin y x =，定义域为R ，值域[-1,1]； sin α=斜边对边，con α=斜边邻边 ，tan α=对边 邻边 （图1） sin α=斜边对边=MP OP =b r ，con α=斜边邻边=OM OP =a r ， tan α= 邻边对边=MP OM =b a 精心整理 图1 1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数 1.4.2单位圆与周期性 主备人：刘红岩 一、教学目标 1、理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念 2、通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习数学的重二、 12121、12、k Z ∈ 330（21 2在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原 点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则交点P 的纵坐标v 叫作角 α的正弦函数，记作v=sin α;点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数,记作u=cos α. 通常，用x 表示自变量，用x 表示角的大小，用y 表 示函数值， 因此定义任意角的三角函数y=sinx 和y=cosx,定义域为R ，值 域为[-1，1]。 【设计意图】升华概念，加深对概念的理解。 3、三角函数值的符号 思考：以小组为单位讨论当角的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角的正弦函数值、余 【设计意图】使学生掌握根据定义，三角函数值的符号仅与点P的纵、横坐标的符号有关。sinα在一、二象限为正，三、四象限为负；cosα在一、四象限为正，二、三象限为负.轴线角的正余弦 练习1 ，使学生加深对三角函数概念的理解。 的正 ，利用三角函数的定义求其三角函数，需要确定三 到原点的距离r. 例2的正弦函数值、余弦函数值 练习2:的正弦函数值、余弦函数值 变式1 变式2 1． (2) 弦值sin 2．当角 例3： 练习3：判断下面各式的符号：sin2·cos3 【思路探究】由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号；进一步确定各式符号． 【设计意图】使学生掌握一下规律：1．判断三角函数值的符号关键是看角α的终边所在的象限位置，若角α的终边位置难以判断应先利用α＝2kπ＋β(k∈Z)进行转化． 2．判断三角函数值的符号的步骤： (1)先观察角α所在终边所在象限；(2)判断角α各个三角函数值的符号；(3)给出最后的结论． 高考链接：（2011江西，14） 1.2.2单位圆与三角函数线 教学目标： 1．知识与技能: 使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 2．过程与方法: 借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力. 3．、情感与态度三维目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境. 教学重点难点： 1．重点：三角函数线的作法及其简单应用. 2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来. 教学方法与教学手段： 1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学. 2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展. 3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验; 借助网络论坛交流各自的观点,展示自己的才能. 教学过程 一、复习引入： 复习三角函数的定义 二、讲解新课： 1. 观览车模型，并建立平面直角坐标系。 2.（边描述边画），以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆。当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆有一个交点P（x，y），过点P作PM⊥x轴交x轴于点M，则请学生观察， （1）sinα等于什么？ （2）随着α在第一象限内转动，MP是否也跟着变化？而它的长度值是否永远等于sinα？ （3）MP就是sinα的几何表示，也叫做正弦线。 （4）能找到余弦线吗？ （5）能找到正切线吗？ 3．当α是第二象限角时情形怎样？ 浅谈“单位圆”在三角函数中的使用 胡海光 （宝鸡文理学院数学系陕西宝鸡721013） 摘要：新课程用单位圆定义任意角的三角函数，提升了单位圆、三角函数线的地位，三角函数的知识结构和方法体系也发生了一些变化，利用单位圆本身直观、形象、准确、方便等特点，再结合相关的数学知识，可以使问题化难为易，化繁为简，思路清晰，方法明确。探究它在新课程三角函数公式推导和性质中的使用及解题中的使用，这样不但能使学生掌握用单位圆解题的方法,而且能激发学生的学习兴趣。 关键字：单位圆；诱导公式；三角函数；使用 1.引言 新课标指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自习等学习数学的方式，通过各种不同形式的自主学习、探索活动，不但能让学生体验数学发现和创造的历程，培养他们的数学思维能力和创新意识，而且可以大大减少课堂的教学时间。因此，我们在教学中应充分挖掘教材的问题背景，逐渐培养学生的自主学习、自主探索等学习习惯。基于这种目的，在新课改下，我们可以将三角函数章节学习统一在单位圆和三角函数线之下，利用数形结合让学生理解知识的来龙去脉、推导过程，最主要的是使学生学会用联系的观点看三角函数，研究三角函数的定义、公式、图象和性质，明白如何用单位圆和三角函数线研究问题，动态地分析问题和解决问题。 2.单位圆的认识 单位圆是新课标里刚引进的新概念，学生受老教材的影响对单位圆的认识很模糊，为了让学生能很好的利用单位圆解决三角函数问题，笔者认为首先要了解单位圆的概念、为什么用单位圆上点的坐标定义三角函数及用单位圆上点的坐标定义三角函数的意义。 2.1单位圆的定义 所谓单位圆，就是在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆。如下图所示： 2.2为什么用 单位圆上点的坐标定义三a 自我小测 1．若角α的正切线位于第一象限，则角α是( ) A ．第一象限的角 B ．第一、二象限的角 C ．第三象限的角 D ．第一、三象限的角 2．下列不等式中，成立的是( ) A ．sin 18π??- ???>sin 10π B ．cos 235π??- ??? 浅谈单位圆在三角函数中的应用 单位圆在学习三角函数中应用广泛，利用单位圆可以：定义任意角的三角函数；理解记忆三角函数值在各个象限的符号；巧记特殊角的三角函数值；帮助理解同角三角函数的基本关系；推导三角函数的诱导公式；而且利用单位圆可以解决有关三角函数问题，包括：求三角函数值；解三角函数不等式；求函数定义域；比较三角函数值的大小等等。 所谓单位圆，就是在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆。单位圆的应用主要体现在必修④三角函数中的应用，而三角函数在整个高中数学学习乃至高考中所占比重都很大，所以有必要充分利用单位圆来更好地学习掌握这部分知识。下面简单谈一下单位圆在三角函数教学中的应用。 1、利用单位圆定义任意角的三角函数： 如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则 α的正弦为： sin α=y ， α的余弦为： cos α=x ， α的正切为： tan α=x y (x ≠0) 用单位圆上点的坐标来定义三角函数，可以使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，也使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论其他问题奠定基础。 2、利用单位圆理解记忆三角函数值在各象限的符号： 根据单位圆中三角函数的定义可知，正弦的符号决定于纵坐标y 的符号，余弦的符号决定于横坐标x 的符号，正切是由纵坐标y 、横坐标x 的符号决定：同号为正，异号为负。因此，各三角函数值在每个象限的符号如下图2： 3、利用单位圆的对称性研究诱导公式 借助单位圆的几何直观效果，可以帮助学生学习和理解正弦、余弦函数的诱导公式。在直角坐标系的单位圆中，不难看出，角 的终边与角 的终边关于 轴对称，它们和单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反。 单位圆与三角函数线 1.2.1 单位圆与三角函数线 一、学习目标 (一)知识目标 1.单位圆的概念. 2.有向线段的概念. 3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值. (二)能力目标 1.理解并掌握单位圆、有向线段的概念. 2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线 表示出来. (三)德育目标 通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思 想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间. 二、教学重点、难点 重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值 难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值三、教学方法 （一）讲授法 讲清楚单位圆的概念，有向线段的概念，本节内容中的有向 线段与坐标轴是平行的，使学生弄清楚线段的正负与坐标轴 正反方向之间的对应，以及线段的数量与三角函数值之间的 对应.对于理解正弦线、余弦线、正切线是突破难点的关键 所在. （二）教具准备 幻灯片1张： 多媒体课件：课本P19图1-13，在平面直角坐标系中，作出单位圆，角α的终边，标出单位圆与角α的终边的交点P(x，ｙ），过P向x轴作垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线与角α的终边或终边的反向延长线交于点T(利用 现代教育技术手段的优势，边讲述边作图，使学生看得清楚，听得明白). 四、教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图课题导入 前面我们研究了三角函数在各象限内的符号，学习了将任意 角的三角函数化成0°到360°角的三角函数的一组公式， 前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都 是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我 们继续学习"三角"内容时，是经常、反复运用的，请同学们 单位圆在高一数学中的应用 佛山市南海区大沥镇高级中学 高振球 摘要：单位圆在学习高一数学、尤其在三角函数中应用广泛，利用单位圆可以：定义任意角的三角函数；理解记忆 三角函数值在各个象限的符号；巧记特殊角的三角函数值；帮助理解同角三角函数的基本关系；推导三角函数的诱导公式；而且利用单位圆可以解决有关三角函数问题，包括：求三角函数值；解三角函数不等式；求函数定义域；比较三角函数值的大小等等。 关键词：单位圆、三角函数、应用 所谓单位圆，就是在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆。 单位圆在高一数学中的应用主要体现在必修④三角函数中的应用，而三角函数在整个高中数学学习乃至高考中所占比重都很大，所以有必要充分利用单位圆来更好地学习掌握这部分知识。 一、单位圆在教材教学中的应用 1、利用单位圆定义任意角的三角函数： 如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则 α的正弦为： sin α=y ， α的余弦为： cos α=x ， α的正切为： tan α=x y (x ≠0) 用单位圆上点的坐标来定义三角函数，可以使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，也使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论其他问题奠定基础。 2、利用单位圆理解记忆三角函数值在各象限的符号： 根据单位圆中三角函数的定义可知，正弦的符号决定于纵坐标y 的符号，余弦的符号决定于横坐标x 的符号，正切是由纵坐标y 、横坐标x 的符号决定：同号为正，异号为负。因此，各三角函数值在每个象限的符号如下图2： 3、利用单位圆巧记特殊角的三角函数值： 由三角函数定义：sin α=y ，cos α=x ，tan α=x y (x ≠0)， 结合单位圆（如图3），便容易理解记忆以下特殊角的三角函数值： ° 270° -1 4、利用单位圆易于理解同角三角函数的基本关系： 在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形，如图4， 由Rt △OMP 中，MP 2+OM 2=1， 得出同角三角函数的基本关系之一：sin α2+cos α2=1； 由Rt △OMP ∽Rt △OA T ，OA AT OM MP =， 得出同角三角函数的基本关系之二：αααtan cos sin =（α≠k π+2 π，k ∈Z ）。 5、利用单位圆推导三角函数的诱导公式： 课题：7.3.2单位圆和三角函数线. 教学目标： 1.理解三角函数的几何意义，掌握用单位圆中的有向线段表达三角函数值的方法，能由已知角正确作出它的三角函数线. 2.能够根据角的终边与单位圆交点的坐标：()求特殊角的三角函数值及确定各三角函数值在各象限的符号，并牢记它们，能熟练应用. 3.通过三角函数线的教学培养学生数形结合的思想和能力. 教学重点：三角函数线及各象限的角的三角函数值符号. 教学难点：三角函数线的概念和性质. 教学方法：启发点拨，讲练结合. 教学用具：三角板、圆规、投影片. 教学过程： 一、复习引入 1.复习提问 (1)已知角终边上一点，点到原点的距离为r，试说出角的余弦、正弦和正切值.又问：另外的3种函数——正割、余割和余切与它们有何关系？怎样定义的？ (2)以上定义的各种比值与点在角终边上的位置有没有关系？为什么？其中余弦和正 弦这两种比值分别等于什么？(,分别是角的终边 上单位向量在轴、轴上的正射影的数量.) (3)如果在(1)中取=1，那么点就是单位圆(以坐标原点为圆心，半径为1的圆)上的一 点，此时可以写成怎样的表达式？ 2.引入 7.3.2单位圆与三角函数线 从刚才的提问我们可以知道：角终边与单位圆交点的横、纵坐标分别等于的余弦和正弦，即有 ()，亦即=()，由于||=1，所以cos 和sin 分别是角终边上单位向量在轴、轴上的正射影的数量.于是作出在轴和轴 上的正射影，我们便可得到的几何表示.(出示预先准备好的小黑板，请同学 作出在轴、轴上的正射影和，对于向量的方向应注意强调，并予以纠正.) 二、新课 1.三角函数线 由于的数量(或坐标)可用来表示，所以有，同理. 于是定义为的余弦线，为的正弦线.请同学思考正切线如何作呢？ 启发：因为=,如果能在角的终边上取一点，使得它的横坐标为1，那么点的纵坐标不就表示了的值吗？而要使点的横坐标为1，那么点的纵坐标就必在过单位圆与轴正向的交点(1，0)的单位圆的切线上.教师边讲边作出，当的终边在第二、三象限时，提示学生让的终边的反向延长线与过的单位圆的切线相交找到点.怎 7.2.2 单位圆与三角函数线 (教师独具内容) 课程标准：1.理解三角函数的正弦线、余弦线、正切线的定义.2.能作出角的三角函数线，并利用三角函数线观察三角函数的相关信息． 教学重点：利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结合． 教学难点：三角函数线的运用. 【知识导学】 知识点一 单位圆 (1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足□ 01x 2 ＋y 2 ＝1的点组成的集合称为单位圆． (2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的□ 02横坐标和□03纵坐标． 知识点二 三角函数线 如图，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，点P 在y 轴上的正射影为N ，过A (1,0)作单位圆的切线交α的终边OP 或其反向延长线于点T ，则 (1)把向量OM →，ON →，AT →分别叫做α的□01余弦线、□02正弦线、□03正切线，正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线． (2)其中|cos α|＝□ 04|OM →|，|sin α|＝□05|ON →|，|tan α|＝□06|AT →|，其大小分别等于该坐标系下相应线段的长度，其正负是这样规定的：从起点到终点的方向与坐标轴的正方向相同时为正，相反时为负，即OM →的方向与x 轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝|OM →|，OM →的方向与x 轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－|OM →|；ON → 的方向与y 轴的正方向相同时，表示sin α是正数，且sin α＝|ON →|，ON → 的方向与y 轴的正方向相反时，表示sin α是负数；且sin α＝－|ON →|；AT → 的方向与y 轴的正方向相同时，表示tan α是正数，且tan α＝|AT →|，AT →的方向与y 轴的正方向相反时，表示tan α是负数，且tan α＝－|AT →|. 【新知拓展】 1．单位圆中的“单位” 半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm ，不是1 m ，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1的单位的长度． 2．对三角函数线的几点说明 (1)三角函数线是三角函数的图形表示． (2)在三角函数线中，点M ，N ，P ，A ，T 都是确定的，一般不可随意调换． P ——角的终边与单位圆的交点， M ——点P 在x 轴上的正射影， N ——点P 在y 轴上的正射影， A ——单位圆与x 轴正半轴的交点，坐标(1,0)， T ——过A 的垂线与角的终边(或其延长线)的交点． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值．( ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做 (1) 如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM →，正切线A ′T ′→ B ．正弦线MP →，正切线A ′T ′→ C ．正弦线MP →，正切线AT → D ．正弦线PM →，正切线AT → 1.2.2 单位圆与三角函数线 5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：①单位圆上任意一点到原点的距离都是1；②单位圆与x 轴的交点为（1，0）；③过点（1，0）的单位圆的切线方程为ｘ=1；④与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=1.以上结论正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：单位圆与x 轴的交点为（1，0）和（-1，0）；与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=±1，所以②④错误.显然①③正确. 答案：B 2.对角α的正弦线叙述错误的是（ ） A.正弦线的起点为坐标原点 B.正弦线为有向线段 C.正弦线的长度为不大于1的正数 D.当角α的终边不在坐标轴上时，正弦线所在直线平行于ｙ轴 解析：正弦线的长度有可能为0,所以C 答案错误. 答案：C 3.如图1-1-2，PM ⊥x 轴，AT ⊥x 轴，则α的正弦线、余弦线、正切线分别是____________、____________、____________，其中OM=___________，MP=____________，AT=____________. 图1-1-2 图1-1-3 解析：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出. 答案：MP OM AT cosα sinα tanα 4.如图1-1-3，分别作出角β的正弦线、余弦线、正切线,并比较角β的正弦值、余弦值、正切值的大小. 解：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出下图. 正弦线、余弦线、正切线分别是''P M 、'OM 、'AT ，并且sinβ＞cosβ＞tanβ. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若- 43π＜α＜2 π -，从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是（ ） 1 浅谈单位圆在三角函数教学中的作用 临猗中学 姚霞 单位圆是半径等于单位长的圆，而三角函数是以自变量为实数的函数；它们似乎没什么关系，在直角坐标系的媒介作用下，这两者的关系可谓“密不可分”。 与旧教材相比，课标教材中单位圆贯穿于三角函数教学始终，本文对此作一个探讨。 1．借单位圆定义任意角的三角函数。 如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(y x P 。 那么y 叫做α的正弦，记作αsin ，即y =αsin ；x 叫做α的余弦，记作αcos ，即 x =αcos ； x y 叫做α的正切，记作αtan ，即)0(tan ≠=x x y α。这样正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数；比大纲版的“距离比值”定义要简单直观，而且应用定义解决问题也非常简捷。如课本 第12页例1，求3 5π 的正弦、余弦和正切值。 解法过程：在直角坐标系中，作35π=∠AOB ，易知AOB ∠的终边与单位圆的交点坐标)23,21(-B ，所以2 135cos ,2335sin =-=ππ，335tan -=π，这样的解法学生易掌握好计算，只需找角的终边与单位圆的交点，用定义即可解决问题。 2．借单位圆来证明同角三角函数关系，让推导过程直观具体。 图1 图2 图3 2 如图3，以正弦线MP ，余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形，且OP=1，由勾股定理有：OM 2+MP 2=1，因此122=+y x ，即1sin cos 22=+αα；当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立。 再者，单位圆让学生求解知角一函数值，求其余两函数值不易出错。如课本19页 例6，已知5 3sin -=α，求αcos 、αtan 的值。 先利用正弦线找出α角的两条终边OP 、OQ ，然后再分第三、第四象限讨论，不易漏解，也不会出现5 4cos ±=α的错误写法。 3．借单位圆推导诱导公式。 大纲版从求三角函数值引入，把180°α±、α-、360°α-、90°α-的三角函数与α的三角函数关系作为诱导公式，并且把关于90°α-的诱导公式作为和（差）角公 式的推论给出。而课标版先考虑 απ+、 απ-、 α-、 απ-2 的终边与α终边的对称关系，再据三角函数定义导出所有诱导公式，既能很好地反映诱导公式的本质，又使它们成为一个有机的整体。另外，去掉360°α-的诱导公式（因为它与α-的诱导公式等价），增加了 απ+2 的诱导公式。 4．借单位圆讨论三角函数的性质。 ①借助三角函数线可知：在[)??90,0 内，正弦、余弦、正切的单调性。如：αsin 由0增大到1；αcos 由1减小到0；αtan 由0增大到+∞； ②随角α的变化，三角函数线的变化，知正余弦函数值域为[-1,1]，正切的值域为),(+∞-∞ ③同理可知正弦、余弦的奇偶性。 角α与α-角对应的正弦线关于x 轴对称，余弦线重合，因此正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数。 5．借单位圆中函数线解方程与不等式。 如：已知2 1sin =α,求α。 在一个周期[]π2,0内有6 π或65π，推广到整个定义域内，则有ππk 26+或 Z k k ∈+,26 5ππ。 图5 图4 浅谈“单位圆”在三角函数中的应用 新课程用单位圆定义任意角的三角函数，提升了单位圆、三角函数线的地位，三角函数的知识结构和方法体系也发生了一些变化，利用单位圆本身直观、形象、准确、方便等特点，再结合相关的数学知识，可以使问题化难为易，化繁为简，思路清晰，方法明确。探究它在新课程三角函数公式推导和性质中的应用及解题中的应用，这样不但能使学生掌握用单位圆解题的方法,而且能激发学生的学习兴趣。 1.引言 新课标指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自习等学习数学的方式，通过各种不同形式的自主学习、探索活动，不但能让学生体验数学发现和创造的历程，培养他们的数学思维能力和创新意识，而且可以大大减少课堂的教学时间。因此，我们在教学中应充分挖掘教材的问题背景，逐渐培养学生的自主学习、自主探索等学习习惯。基于这种目的，在新课改下，我们可以将三角函数章节学习统一在单位圆与三角函数线之下，利用数形结合让学生理解知识的来龙去脉、推导过程，最主要的是使学生学会用联系的观点看三角函数，研究三角函数的定义、公式、图象与性质，明白如何用单位圆与三角函数线研究问题，动态地分析问题和解决问题。 2.单位圆的认识 单位圆是新课标里刚引进的新概念，学生受老教材的影响对单位圆的认识很模糊，为了让学生能很好的利用单位圆解决三角函数问题，笔者认为首先要了解单位圆的概念、为什么用单位圆上点的坐标定义三角函数及用单位圆上点的坐标定义三角函数的意义。 2.1单位圆的定义 所谓单位圆，就是在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆。如下图所示： 2.2为什么用单位圆上点的坐标定义三角函数 用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点: （1）利用单位圆定义了三角函数，而且圆具有很好的对称性。 （2）简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性 （3）有利于构建任意角的三角函数的知识结构。“单位圆定义法”以单位圆为载体，自变量α的三角函数值与x ，y 的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等． 2.3 用单位圆上点的坐标定义三角函数的意义 用单位圆上点的坐标定义三角函数，除了考虑到使学生在三角函数学习之初就能感受到单位圆的重要性，为后续借助单位圆的直观讨论三角函数的图象与性质奠定坚实的基础外，主要还是为了这样的定义能够更好地反映三角函数的本质。 3. 用单位圆认识三角函数线 三角函数线的定义： 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延 长线交与点T . a 09-10三角函数在单位圆的表示方法 2 三四1、2 在理解任意角三角函数定义的基础上，理解三角函数在单位圆上的表示方法，理解正弦线、余弦线与正切线，并能由图象讲座三角函数的值域和已知三角函数值，作出对应的角。 三角函数在单位圆的表示 正切线 正切在单位圆上的表示 讲授与讨论相结合 三角函数在单位圆的表示方法 课本P14 图4-12 MP y y r y ====1sin α -1≤sin α≤1 -1≤cos α≤1 例 题 OM x x r x ====1cos α 例 题 P20 第2 题 一、三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”,三角函数的定义已经明确告诉角的终边上取点具有任意性，如果我们在角的终边上取适当的点，使比值中的分母为1，那末三角函数就可以用相应的一个坐标表示，这样讨论三角函数就比较方便。 二、单位圆的定义 在直角坐标系中，以原点为圆心，以1为半径的圆。 三、角α的正弦、余弦在单位上的表示 1．作图：（课本P14 图4-12 ） 此处略 …… …… ……… …… …… 设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆交于P 过P(x,y)作PM ⊥x 轴于M ， 简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示），“有向线段”（带有方向的线段），方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。 例：有向线段OM ，OP 长度分别为y x , 当OM=x 时 若0>x OM 看作与x 轴同向 OM 具有正值x 若0 第三章三角函数 第一节三角函数及概念 复习要求： 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。 知识点： 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转 到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的 始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。 2.角的分类 为了区别起见，我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （1）第一象限角的集合： |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? （2）第二象限的集合： |22, 2 k k k Z π απαππ ?? +<<+∈ ?? ??。 （3）第三象限角的集合： 3 |22, 2 k k k Z π αππαπ ?? +<<+∈ ?? ??。 （4）第四象限角的集合： 3 |222, 2 k k k Z π απαππ ??+<<+∈ ??? ? 4.轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角 区间角是指介于两个角之间的所有角，如5| ,6 666π πππααα???? =≤≤ =????? ???。 7，角度制与弧度制 角度制：规定周角的1 360为1度的角，记作0 1，它不会因圆的大小改变而改变， 与r 无关 弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量 （1）角的度量制有：角度制，弧度制 （2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o 。 3602π=o ，180rad π=o ， 10.01745()180rad rad π= ≈o ，1801()57.30rad π=≈o o （3 9.弧度数计算公式 在半径为r 的圆中，弧长l 所对的圆心角的弧度数为||α= l r 。为什么用单位圆上点坐标定义任意角三角函数
三角函数单位圆的定义
任意参考资料角的三角函数(单位圆定义法)
单位圆与正余弦函数的定义
单位圆与三角函数线教案
浅谈“单位圆”在三角函数中的应用(1)
人教版数学高一B版必修4自我小测单位圆与三角函数线
浅谈单位圆在三角函数中的应用
单位圆与三角函数线
单位圆在高一数学中的应用
课题：单位圆和三角函数线(教案)
2020春新教材高中数学-7.2任意角的三角函数7.2.2单位圆与三角函数线教案新人教B版第三册
人教版数学高一B版必修4优化练习单位圆与三角函数线
浅谈单位圆在三角函数教学中的作用
谈“单位圆”在三角函数中的应用教师版
10三角函数在单位圆的表示方法
三角函数基本概念和表示