一元一次不等式(组)知识总结思维导图
一对一教育授课记录学员授课教师所授科目数学学员年级七年级讲次第讲上课时间2014年06月14日共2课时总课时14:00—16:00教学标题一元一次不等式（组）知识体系图：教学目标1.会解一元一次不等式及会用一元一次不等式解应用题。
2.理解一元一次不等式组的概念及其解集，掌握一元一次不等式组的解法。
教学重难点解不等式（组）和解方程不同，要注意符号变化；取解集时，一般借助于数轴，既直观，又不会漏解。
教学提纲及掌握情况主要容和方法（目标）考纲要求课堂掌握情况作业完成情况知识点一：一元一次不等式I II 1 2 3 4 5知识点二：一元一次不等式组I II 1 2 3 4 5方法：（详见第2-3页）I II 1 2 3 4 5课堂表现：签名确认：学员：班主任：教学主任：说明：1、考纲要求I、II ：I 是考试大纲，针对老教材的；II是新课程标准，针对新教材的；2、课堂掌握情况以分值来评判各知识点或解题方法的掌握熟练程度，1,2,3,4,5代表5种分值，1代表了解，2代表理解，3代表基本掌握，4代表熟练掌握，5代表综合运用；3、作业完成情况指学生本堂课针对此知识点进行训练的作业完成情况。
【知识要点】 一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
2.一元一次不等式的解集：使一元一次不等式成立的每一个未知数的值叫做一元一次不等式的解。
一元一次不等式的所有解组成的集合是一元一次不等式的解集。
注：其标准形式： ax+b ＜0或ax+b ≤0， ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)．二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a <(x a >或)x a x a ≥≤或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321≤---x x 解不等式：a a a a< >≤≥解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （ （不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!）移 项，得 23663-+≤-x x （移项，每一项要变号；但符号不改变） 合并同类项，得 73≤-x （计算要正确） 系数化为1， 得 37-≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了） 三、一元一次不等式组含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．四、一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <) ①⎩⎨⎧>>b x a x 的解集是b x >，如下图： ②⎩⎨⎧<<bx ax 的解集是a x <，如下图：同大取大 同小取小③⎩⎨⎧<>b xa x 的解集是b x a <<，如下图：④⎩⎨⎧><bx ax无解，如下图：大小交叉取中间 大小分离解为空六、解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 七、一元一次不等式的综合应用1.列不等式解决问题比列方程解决问题的应用更广泛、更实际。
有些问题用方程不能解决，而用不等式却能轻易解决。
列不等式解决问题的一般步骤：①弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示未知数； ②找出能够表示问题全部含义的一个不等关系。
知识点1：一元一次不等式的定义 1．下列属于一元一次不等式的是（ ）A ．10>8B ．2132x y +>+C ．12(1)12y y +>- D ．235x +> 2．已知36331m m x -->是关于x 的一元一次不等式，求m 的值是 ，x 的解集是 。
知识点2：一元一次不等式的整数解3．在不等式324x -<中，x 可取的最大整数值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．不等式2x －1≥3x －5的正整数解的个数为( )A ．5个B ．2个C ．3个D ．4个5．不等式2x －1<3的非负整数解是 知识点3：解一元一次不等式 6．不等式53>-x的解集是( ) A ．35-<x B ．35->xC ．15-<xD ．15>-x7．（1）解不等式： 4)3(23≥--x x（2）解不等式：22531-->+x x8．当x 取何值时，代数式35-x 的值不小于121-+x 的值。
知识点4：一元一次不等式（组）的综合应用9．小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个练习本4角，那么他最多能买笔记本多少本？10．某种商品进价150元，标价200元，但销量较小。
为了促销，商场决定打折销售，若为了保证利润率不低于20%，那么至多打几折？11．小强借到一本有82页的图书，要在10天读完，开始2天每天只读5页，那么以后几天里每天至少要读多少页？2012年中考真题：12.（20123分）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）。
A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%13.（2012荆州3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值围在数轴上表示正确的是（）。
A．B．C．D．14. 2012日照4分）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有（）。
A．29人 B.30人 C.31人 D.32人15.（20124分）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2012—2013赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是( )A.2x(32x)+-≤48 D.2x≥48--≥48 C.2x(32x)+-≥48 B.2x(32x)16.（2012、、大兴安岭、鸡西3分）为庆祝“六·一”国际儿童节，龙沙区某小学组织师生共360人参加公园游园活动，有A、B两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为45人、30人，要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有()A．3种B．4种C．5种D．6种17.（2012龙东地区3分）某校团委与社区联合举办“保护地球，人人有责”活动，选派20名学生分三组到120个店铺发传单，若第一、二、三小组每人分别负责8、6、5个店铺，且每组至少有两人，则学生分组方案有( )。
A. 6种B. 5种C. 4种D. 3种二、填空题18. （2012凉山4分）某商品的售价是528元，商家出售一件这样的商品可获利润是进价的10%～20%，设进价为x元，则x的取值围是。
19.（20124分）如图，a，b，c三种物体的质量的大小关系是．20.（20122分）某饮料瓶上这样的字样：Eatable Date 18 months．如果用x(单位：月)表示Eatable Date(保质期)，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为．三、解答题21. （20128分）某公园出售的一次性使用门票，每10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A．B两类：A类年票每100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B类年票每50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票．某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A类年票最合算？知识点5：一元一次不等式与一次函数22．如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是．(第11题图) (第12题图)23．直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为 ．24．某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工。
若进行粗加工，每吨加工费用为600元，需13天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需12天，每吨售价4500元。
现将这50吨原料全部加工完。
(1）设其中粗加工x 吨，获利y 元，求y 与x 的函数关系式（不要求写自变量的围）； (2）如果必须在20天完成，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？知识点6：一元一次不等式组的解集的数轴表示25．如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是( )A ．31≥-<x x 或B ．31>-≤x x 或C ．31<≤-xD ．31≤<-x26．把不等式组110x x +⎧⎨-⎩≤>0,的解集表示在数轴上，正确的为图中的（ ）-10123A ．B ．C ．D ． 知识点7：解一元一次不等式组27．解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≥-->+0521372x x x28．解不等式组205121123x x x ->⎧⎪+-⎨+⎪⎩，≥，并把解集在数轴上表示出来．知识点8：一元一次不等式组的整数解29．不等式组31413(3)024x x +<⎧⎪⎨+-<⎪⎩的最大整数解是（ ） A ．0 B ．-1 C ．-2 D ．130．同时满足210x -<和31x <的整数x = ． 知识点9：综合应用31．如果不等式 ⎩⎨⎧><m x x 8无解，那么m 的取值围是( )A ．m >8B ．m ≥8C ．m <8D ．m ≤832．已知方程12-=k x 的解是正数，则k 的取值围是： ； 33．在方程组221x y my x -=⎧⎨-=⎩中，x 、y 满足0x y +>，则m 的取值围在数轴上表示为（ ）ABCD5-4- 3-34．已知关于x 的不等式2x 3m ->-的解的解如图所示，则m 的值等于（ ）A ．2B ．1C ． -1D ．035．若4a <，则关于x 的不等式(4)4a x a ->-的解集是（ ）A ．1x >-B ．1x <-C ．1x >D ．1x <36.已知3633>1m m x --是关于x 的一元一次不等式，求m 的值。
北师大版九年级数学下册 第8讲 一元一次不等式(组) 知识点梳理
一、知识清单梳理
知识点一：不等式及其基本性质
关键点拨及对应举例
1.不等式的相关概念
（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.
（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.
（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.
例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.
例：若 是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.
4.解法
（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.
失分点警示
系数化为1时方向.
（2）解集在数轴上表示:
x≥a x＞a x≤a x＜a
知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法
5.定义
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．
2.不等式的基本性质
性质1：若a＞b,则a±c>b±c；
性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc， > ；
性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc， < .
牢记不等式性质3，注意变号.
如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.
知识点二：一元一次不等式
3.定义
用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.
（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．
（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
如：已知不等式（a-1）x＜1-a的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.
知识必备02 方程与不等式(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备02方程与不等式（公式、定理、结论图表）考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项.5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间；(2)工程问题：工作量=工效×工时；(3)比率问题：部分=全体×比率；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；(5)商品价格问题：售价=定价·折·，利润=售价-成本，；(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2)，V长方体=abh ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.考点二、一元二次方程1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.5.一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.典例1：已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．【答案】（1）证明：∵不论取何值时，∴，即∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根..（2）将代入方程，得再将代入，原方程化为，解得．考点三、分式方程1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.典例2：近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程.【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得，整理，得．解这个方程，得x1＝4.8，x2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a ≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．典例3：如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象、，设，，则方程组的解是( )A． B． C． D．【思路点拨】图象、的交点的坐标就是方程组的解.【答案】B；【解析】由图可知图象、的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组的解为【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀（同大取大）（同小取小）（大小取中间）无解（空集） （大大、小小找不到）（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a， 则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞O a＞b；②a-b=O a=b；③a-b＜O a＜b．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.典例4：解不等式组并将解集在数轴上表示出来．【思路点拨】此题考查一元一次不等式组的解法，解出不等式组中的每个不等式，根据不等式组解的四种情况，看看属于哪种情况．【答案与解析】解不等式①得：．解不等式②得：x≥-1．所以不等式组的解集为-1≤x＜．其解在数轴上表示为如图所示：【总结升华】注意解不等式组的解题步骤.典例5：为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；造型甲乙A90盆30盆B40盆100盆综合上述信息，解答下列问题：(1)符合题意的搭配方案有哪儿种?(2)若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?【思路点拨】本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．【答案与解析】解：(1)设搭配x个A种造型，则需要搭配(50-x)个B种造型，由题意，得解得30≤x≤32．所以x的正整数解为30，31，32．所以符合题意的方案有3种，分别为：A种造型30个，B种造型20个；A种造型31个，B种造型19个；A种造型32个，B种造型18个．(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.所以第三种方案成本最低．【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．。
初中数学知识点思维导图北师大版
数据的表示
1、频数及频率
2、频数〔率〕分布直方图、分布表、折现图
3、统计表
4、条形统计图
统计图的选择
1、扇形统计图、条形统计图、折现统计图
2、统计图的选择
七年级 下册
第一章
整式的乘法
同底数幂的乘法
同底数幂的乘法
幂的乘方及积的乘方
幂的乘方及积的乘方
同底数幂的除法
1、同底数幂的除法
2、零指数幂
利用频率估计概率
等可能事件的概率
1、概率的意义、公式
2、几何概率
3、列表法及树状图法
八年级 上册
第一章
勾股定理
探索勾股定理
勾股定理及证明
勾股定理逆定理
1、勾股定理逆定理
2、勾股数
勾股定理的应用
1、勾股定理的应用
2、平面展开--最短路劲问题
第二章
实数
无理数
无理数
平方根
1、平方根
2、算术平方根
3、非负数的性质
三角形
认识三角形
1、三角形的角平分线、中线与垂线
2、面积、重心、三边关系
3、内角与定理
4、外角性质
5、直角三角形的性质
图形的全等
1、全等图形
探索三角形全等的条件
1、三角形的稳定性
2、全等三角形的判定
3、全等三角形的判定及性质
尺规作图
尺规作三角形
全等三角形的应用
利用三角形全等测距离
第五章
生活中的轴对称
4、多边形及多边形的对角线
5、圆的认识〔圆心角、弧、弦的关系〕
6、扇形面积的计算
第五章
二元一次方程组
认识二元一次方程组
不等式基础知识点+思维导图练习
8、不等式 1 1的解集为
.
x
3
一、解一次方程（组）
（1） 2x 1 (x 8) 4 5 (2 3x)
2
3
2x 3y 3
（2）
3x
2
y
6
4a 3b c 1 （3） 7a 11b 4c 17
a b c 2
二、解一元一次不等式（组）
（ 1 ） 3(x 4) 6x 5(2 3x)
五、解分式不等式（写出解答过程）
（1） 3x 1 0 x3
（2） 2 1 x 1
（3*） 1 1 x x2
六、解绝对值不等式（写出解答过程）
（1） | 3x ห้องสมุดไป่ตู้2 | 1
（2）| 2x 3 | 2
（3） | x 1 | | 2x 3 | 4
4
.
7、一元二次不等式的解法
b2 4ac
0
ax2 bx c 0(a 0) 的根
x1 x2 （设 x1 x2 ）
ax2 bx c 0(a 0) 的解集
0 x1 x2
0
没有实数根
ax2 bx c 0(a 0) 的解集
ax2 bx c 0(a 0) 的解集
ax2 bx c 0(a 0) 的解集
思维导图——不等式
2
1、均值定理： 变形： 均值定理有关口诀：①
②
知识点默写——不等式
2、若 a, b R, 则 a2 b2
（当且仅当
等号成立）.
3、绝对值的含义：
|
a
|
；几何含义：在数轴上，表示 a 到
.
*4、当 a 0 时，不等式 | x | a 的解集为
；不等式| x | a 的解集为
七年级数学下册思维导图(超全)
七年级数学下册思维导图(超全)第一章：实数1. 实数的概念2. 实数的分类有理数整数正整数、负整数、零分数正分数、负分数无理数3. 实数的运算加法减法乘法除法乘方开方第二章：代数式1. 代数式的概念2. 代数式的分类单项式多项式3. 代数式的运算减法乘法除法乘方第三章：方程与不等式1. 方程的概念2. 一元一次方程求解方法3. 不等式的概念4. 一元一次不等式求解方法第四章：函数1. 函数的概念2. 函数的表示方法解析式法图象法3. 一次函数定义图象性质4. 二次函数定义图象第五章：几何图形1. 点、线、面2. 线段3. 角锐角、直角、钝角、平角、周角4. 三角形定义分类性质5. 四边形定义分类性质6. 圆定义性质第六章：概率与统计1. 概率的概念2. 概率的计算方法3. 统计的概念4. 数据的收集与整理5. 数据的表示方法表格法6. 数据的分析方法七年级数学下册思维导图(超全)第一章：实数1. 实数的概念实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合。
2. 实数的分类有理数整数正整数、负整数、零分数正分数、负分数无理数不能表示为两个整数比例的数，如根号2、π等。
3. 实数的运算加法将两个实数相加得到一个新的实数。
减法将一个实数减去另一个实数得到一个新的实数。
乘法将两个实数相乘得到一个新的实数。
除法将一个实数除以另一个非零实数得到一个新的实数。
乘方将一个实数乘以自身多次得到一个新的实数。
开方求一个实数的平方根或立方根等。
第二章：代数式1. 代数式的概念代数式是由数、字母和运算符号组成的表达式。
2. 代数式的分类单项式只有一个项的代数式。
多项式由多个项组成的代数式。
3. 代数式的运算加法将两个代数式相加得到一个新的代数式。
减法将一个代数式减去另一个代数式得到一个新的代数式。
乘法将两个代数式相乘得到一个新的代数式。
除法将一个代数式除以另一个非零代数式得到一个新的代数式。
乘方将一个代数式乘以自身多次得到一个新的代数式。
初中数学《一元一次不等式和一元一次不等式组》单元教学设计以及思维导图
一元一次不等式和一元一次不等式组
主题单元学习目标
知识与技能：
1、经历将一些实际问题抽象成不等式的过程，体会不等式也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型进一步发展符号感。
2、能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义。
3、掌握不等式的基本性质。
4、理解不等式组的解及解集的含义，会解简单的一元一次不等式并能在数轴上表示一元一次不等式的解集，会解一元一次不等式组并会在数轴上确定其解集，初步体会数形结合的思想。
其他：纸、笔
学习活动设计
活动一、
如下图，正方形的边长和圆的直径都是acm。
1、如果要使正方形的周长不大于25cm,那么 a 应满足怎样的关系式？
2、如果要使圆的周长不小于100cm，那么a 应满足怎样的关系式？
3、当 a= 8 时，正方形和圆的周长哪个大？a = 12 呢？
4、你能得到什么猜想？改变a的取值再试一试。
观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？
由4a 4a4a≤25, πa ≥100 ,3x+5＞240得，这些关系式都是用不等号连接的式子.由此
一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式
活动二、。
初中数学《一元一次不等式与一元一次不等式组》单元教学设计以及思维导图
主题单元学习目标 知识与技能： 了解一元一次不等式（组）及其相关概念， 熟悉一元一次不等式（组）一般步骤和解法 学会观察和归纳，探索不等式的性质 过程与方法： 了解不等式及其解集概念 熟悉解一元一次不等式的一般步骤 掌握一元一次不等式解法，并在数轴上表示出解集，体会解法中蕴含 的化归思想 情感态度与价值观： 通过具体情境的创设，使学生在生活中发现数学问题，感受数学在生 活中的重要应用，激发学生对数学学习的热情。 对应课标
评 价 要 1.能否正确的解一元一次不等式组和写出步骤
点
3.能否利用一元一次不等式组解决生活中的实际问题
和联系？
所需教学环境和教学资源
白板 ppt
学习活动设计
一元一次不等式组（第 1 课时） 活动 1：一元一次不等式组的概念和解法 活动过程： 1.创设情境，复习引入 1）什么是一元一次不等式？不等式的解集？怎么解一元一次不等 式？ 学生抢答 2）教师用准备好的木条做实验引出有关概念一元一次不等式组 2.什么是一元一次不等式组的解集？ 3.什么是解不等式组？ 活动 2：解一元一次不等式组的一般步骤 1.通过解简单的不等式组总结出求公共部分的规律:大大取大，小小取 小，大小小大取中间，大大小小无解. 2.解不等式组 2x+3＜5
3.怎么利用数轴表示一元一次不等式的解集？
主 题 单 元 4.什么是一元一次不等式组？ 问题设计 5.怎样求一元一次不等式组的解集？
6.利用一元一次不等式（组）解决实际问题时应注意什 么？
专题划分
7 解一元一次不等式组的解集与一元一次不等式解集的
区别和联系是什么？
专题一：一元一次不等式 （ 4 课时）
题。
1.什么是一元一次不等式？ 2.一元一次不等式的性质是什么？ 专题问 3.解一元一次不等式的一般步骤是什么？在系数化 1 时应 题设计 注意什么问题？
初一数学章节思维导图(全)
沪科版初中数学-全章思维导图
5
沪科版初中数学-全章思维导图
• 第 7 章 一元一次不等式与不等式组 • 第 8 章 整式乘法与因式分解
6
• 第 9 章 分式
沪科版初中数学-全章思维导图
• 第 10 章 相交线、平行线和平移
7
初一上·第一学期 • 第 1 章 有理数
沪科版初中数学-全章思维导图
1
沪科版初中数学-全章思维导图
• 第 2 章 整式加减
沪科版初中数学-全章思维导图
• 第 3 章 一次方程与方程组
3
沪科版初中数学-全章思维导图
• 第 4 章 直线与角
• 第 5 章 数据的收集与整理
4
七年级下-第二学期 • 第 6 章 实数
八年级上册数学第14章思维导图
八年级上册数学第14章思维导图引言本文档是八年级上册数学第14章的思维导图，通过思维导图的形式，对该章节的知识点进行整理和归纳，帮助学生更好地理解和掌握这一章的内容。
思维导图概述思维导图是一种以图形化的方式表达和展示知识结构的工具。
它通过主题、分支、关键词等元素的组织和连接，使复杂的知识体系变得简洁、逻辑清晰。
本文档的思维导图以主题为节点，分支为关联的知识点，结构分层明确，帮助读者更好地理解和记忆。
第14章思维导图主题1：代数基础• 1.1 代数运算符– 1.1.1 加法和减法– 1.1.2 乘法和除法• 1.2 代数式– 1.2.1 代数式的定义– 1.2.2 代数式的计算• 1.3 代数方程– 1.3.1 代数方程的定义– 1.3.2 解代数方程的方法主题2：一元一次方程• 2.1 一元一次方程的概念– 2.1.1 一元一次方程的定义– 2.1.2 一元一次方程的例子• 2.2 一元一次方程的解法– 2.2.1 一元一次方程的解法步骤– 2.2.2 一元一次方程的解法示例• 3.1 一元一次不等式的概念– 3.1.1 一元一次不等式的定义– 3.1.2 一元一次不等式的例子• 3.2 一元一次不等式的解法– 3.2.1 一元一次不等式的解法步骤– 3.2.2 一元一次不等式的解法示例主题4：利用一元一次方程和不等式解实际问题• 4.1 实际问题的转化– 4.1.1 实际问题的描述– 4.1.2 实际问题的转化为方程或不等式• 4.2 解实际问题的步骤和方法– 4.2.1 解实际问题的步骤– 4.2.2 解实际问题的方法示例• 5.1 一元一次方程组的概念– 5.1.1 一元一次方程组的定义– 5.1.2 一元一次方程组的例子• 5.2 一元一次方程组的解法– 5.2.1 一元一次方程组的解法步骤– 5.2.2 一元一次方程组的解法示例主题6：平方根与算术平方根• 6.1 平方根的概念– 6.1.1 平方根的定义– 6.1.2 平方根的例子• 6.2 平方根的性质– 6.2.1 平方根的基本性质– 6.2.2 平方根的运算法则• 6.3 算术平方根的计算– 6.3.1 算术平方根的定义– 6.3.2 算术平方根的计算方法总结本文档通过思维导图的形式概括了八年级上册数学第14章的重要知识点。
小学六年级数学知识思维导图(无水印)
不等式（6上）
一元一次不等式：含有一个未知数(即一元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式
利用不等式的性质，采取与解一元一次方程类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的 解集
解一元一次不等式的步骤：1.有分数先去分母（利用分数的基本性质，在不等式两边同 时乘分母的倍数）。2.有括号就去括号。3.利用不等式的性质，把带有未知数的项放到不 等式的一边，不带未知数的项放到不等式的另一边。4.如果需要的话，合并同类项。5.系数 化为1求得未知数的值。
比例（6下）
解比例：已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中 的未知项，叫做解比例。 解比例都是运用比例的基本性质来解的，因为两个外项的积 等于两内项的积，所以我们可以把两个外项和内项互相乘起来，然后来解这个方程。如 x:3=9:27 解：27x=3×9 27x=27 x=1
比的化简方法
基本性质法：是利用比的基本性质来化简
转换分数法：先把比转换成分数，然后把这个分数转化为最简分数，最后把这个最简分 数转化为比
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变
比的后项不能为0
比的基本性质
比的后项乘以比值等于比的前项，比的前项除以后项等于比值 最简整数比指比的前后皆是整数且为互质数
如果用字母表示比、除法、分数三者之间的关系，可以表示为a:b=a÷b=
比（6上）
比与除法、分数比较
除法算式“被除数÷除数”用比的形式写作“被除数：除数”
比的前项相当于被除数、分子，比的后项相当于除数、分母，比值相当于商、分数值， 比号相当于除号、分数线。比值相当于商和分数值。因为除数和分母不能为“0”，所 以比的后项不能为“0”。
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。求不等式组的解集 的过程叫做解不等式组