离散数学练习题(含答案2)(1)

离散数学试题
第一部分选择题
一、单项选择题
1．下列是两个命题变元p，q的小项是（C ）
A．p∧┐p∧q B．┐p∨q
C．┐p∧q D．┐p∨p∨q
2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐q
C．p∧q D．p∧┐q
3．下列语句中是命题的只有（ A ）
A．1+1=10 B．x+y=10
C．sinx+siny<0 D．x mod 3=2
4．下列等值式不正确的是（ D ）
A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐A
B．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)
C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)
D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∀x)A(x)→(∀y)B(y)
5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))
B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)
C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)
D．Q(x,z)
6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）
A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}
C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}
7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（A ）
A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈B
C．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B
8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（A ）
A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)
B．(X-Y)-Z=(X-Z)-Y
C．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)
D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)
9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）
A．a*b=min(a,b)
B．a*b=a+b
C．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)
1 / 7
2 / 7
D ．a*b=a(mod b)
10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系
11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系 12．设R 为实数集，函数f ：R →R ，f(x)=2x ，则f 是（ ） A ．满射函数 B ．单射函数 C ．双射函数 D ．非单射非满射
CDACCDAADADB
第二部分 非选择题
二、填空题
1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c)
；(x ∃)S(x)等价于
命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。

2．设R 为A 上的关系，则R 的自反闭包r(R)= _R ∪A I _ ，对称闭包s(R)= _R ∪R ~。

3．某集合A 上的二元关系R 具有对称性，反对称性，自反性和传递性，此关系R 是 A I _ ，其关系矩阵是 只有主对角线上元素为1 。

三、计算题 1．（4分）如果论域是集合{a,b,c}，试消去给定公式中的量词：)0y x )(x )(y (=+∀∃。

2．用等值演算求下面公式的主析取范式。

)()(P Q Q P ∨⌝→→⌝
3 /
7
3．用等值演算法求公式)()(Q P Q P ⌝→↔→⌝的主合取范式。

4．（6分）在偏序集<Z,≤>中，其中Z={1,2,3,4,6,8,12,14}，≤是Z 中的整除关系，求集合
D={2,3,4,6}的极大元，极小元，最大元，最小元，最小上界和最大下界。

4 /
7
5．设集合A={1,2,3,4,5},A 上的划分为π＝{{1,2,3},{4,5}},试求：
1) 写出划分π诱导的等价关系R ；
2) 写出关系矩阵R M ； 3) 画出关系图。

6. 设A ＝{a ，b ，c ，d }，R 是A 上的二元关系，且R ＝{<a ，b >，<b ，a >，<b ，c >，<c ，d >}，求r (R )、s (R )和t (R )。

解 r (R )＝R ∪I A ＝{<a ，b >，<b ，a >，<b ，c >，<c ，d >，<a ，a >，<b ，b >，<c ，c >，<d ，d >}
s (R )＝R ∪R -1
＝{<a ，b >，<b ，a >，<b ，c >，<c ，d >，<c ，b >，<d ，c >}
5 / 7
R 2
＝{<a ，a >，<a ，c >，<b ，b >，<b ，d >} R 3
＝{<a ，b >，<a ，d >，<b ，a >，<b ，c >} R 4
＝{<a ，a >，<a ，c >，<b ，b >，<b ，d >}＝R 2
t (R )＝i i R ∞
=1Y ＝{<a ，b >，<b ，a >，<b ，c >，<c ，d >，<a ，a >，<a ，c >，<b ，b >，<b ，d >，<a ，
d >}
7．已知集合A 和B 且|A|=n ，|B|=m ，求A 到B 的二元关系数是多少？A 到B 的函数数是多少？
解：因为|P(A ×B)|=2|A ×B|=2|A||B|=2mn ，所以A 到B 的二元关系有2mn 个。

因为|BA|=|B||A|=mn ，所以A 到B 的函数mn 个。

四、证明题
1．设R 和S 是二元关系，证明1
11)(---=S R S R Y Y
2．设A={a,b,c},R={(a,a),(a,b),(b,c)},验证rs(R)=sr(R)。

3．设R 是A 上的二元关系，试证：R 是传递的当且仅当
R R ⊆2
，其中2R 表示R R •。

6 /
7
4．证明下列结论：
（1）R Q P R Q P →∧⇒→∨
（2）D A D C B C A B A ⇒∨∧⌝→∧→),(),()( 解：（1）1 P ∧Q P 附加前提 2 P T ，1，I 2 3 P ∨Q
T ，2，I 1
4 P ∨Q →R P
5 R
T ，3，4，I 3
6 P ∧Q →R
CP （2）1 ⌝D
P 假设前提 2 D ∨A P
3 A
T ，1，2，I 5
4 (A →B)∧(A →C) P
5 A →B T ，4，I 2
6 B
T ，3，5，I 3 7 A →C T ，4，I 2 8 C
T ，3，7，I 3 9 B ∧C
T ，6，8 ，合取式 10 ⌝（B ∧C ）
P
11
（B ∧C ）∧⌝（B ∧C ） T ，9，10，合取式，矛盾
5. 已知R 和S 是非空集合A 上的等价关系，试证：1）R ∩S 是A 上的等价关系；2）对a ∈A ，
[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

解：x∈A，因为R和S是自反关系，所以<x,x>∈R、<x,x>∈S，因而<x,x>∈R∩S，故R∩S是自反的。

x、y∈A，若<x,y>∈R∩S，则<x,y>∈R、<x,y>∈S，因为R和S是对称关系，所以因<y,x>∈R、<y,x>∈S，因而<y,x>∈R∩S，故R∩S是对称的。

x、y、z∈A，若<x,y>∈R∩S且<y,z>∈R∩S，则<x,y>∈R、<x,y>∈S且<y,z>∈R、<y,z>∈S，因为R和S是传递的，所以因<x,z>∈R、<x,z>∈S，因而<x,z>∈R∩S，故R∩S 是传递的。

总之R∩S是等价关系。

2）因为x∈[a]R∩S⇔<x,a>∈R∩S⇔
<x,a>∈R∧<x,a>∈S⇔ x∈[a]R∧x∈[a]S⇔ x∈[a]R∩[a]S
所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

五、应用题
1．所有的主持人都很有风度。

李明是个学生并且是个节目主持人。

因此有些学生很有风度。

请用谓词逻辑中的推理理论证明上述推理。

（论述域：所有人的集合）
7 / 7。