MATLAB 数学实验 第三章微积分
Name s x
Size 1x4 1x1
Bytes Class 32 double array 126 sym object
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例3.7计算 f = 1/(5+4cos(x)) 关于x的导数
1/(5+4 cos(x))
syms x f=1/(5+4*cos(x)) ezplot(f) f1=diff(f,x,1) ezplot(f1) f1 = 4/(5+4*cos(x))^2*sin(x)
1 0.8 0.6 0.4 0.2
-6
-4
-2
0 2 x 4/(5+4 cos(x))2 sin(x)
4
6
1
0.5
0
-0.5
-1 -6 -4 -2 0 x 2 4 6
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例3.9 计算不定积分
e ax sin(bx )dx
syms x int(exp(a*x)*sin(b*x)) g=simplify(ans) g= exp(a*x)*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x))/(a^2+b^2) diff(g) f=simplify(ans) f = exp(a*x)*sin(b*x)
区间求定积分
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例3.6 验证求导数公式
sin
(k )
x sin (x k
2
)
(k=1，2，3，4 )
syms x s=[diff(sin(x),1)==sin(x+pi/2); diff(sin(x),2)==sin(x+pi); diff(sin(x),3)==sin(x+3*pi/2); diff(sin(x),4)==sin(x+2*pi)] s= 1 1 1 1 whos
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例3.12 计算二重积分
D
x sin y dxdy
2
D {( x, y ) | 0 x 1,0 y } syms x y
f=x^2*sin(y); int(int(f,x,0,1),y,0,pi) ezmesh(f,[0,1,0,pi])
ans = 2/3
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1 ax e sin(bx)dx a 2 b 2 e [a sin(bx) b cos(bx)]
ax
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数据转化为数值数据: double(A) numeric(A) 例3.11 计算曲线段 f(x)=exp(a x)sin(b x), 0 x 2
绕X轴旋转的旋转曲面体积 2 V [ f ( x )]2 dx 0 syms a b x f=exp(a*x)*sin(b*x); f1=subs(f,a,-0.2); f2=subs(f1,b,0.5); V=pi*int(f2*f2,x,0,2*pi) double(V) V =pi*(-125/116*exp(-4/5*pi)+125/116) ans = 3.1111
在符号计算中, 符号表达式是主要操作对象. 符号表达式——符号变量、运算符、函数、数字组成 在定义符号表达式之前,首先要创建符号变量. 符号变量创建方法 syms 符号变量1 符号变量2 ·· ·· ··
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例3.2 用符号表达式定义 f(x)= e-0.2xsin0.5x 并绘图. syms x ; f = exp(-0.2*x)*sin(0.5*x); ezplot(f,[0,8*pi])
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符号解：
y(x)= x / (1 + x 2)
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旋转曲面绘制方法 非负函数 y =f(x)在有限区间上的图形为上半平面 的一条曲线，曲线绕x轴旋转时，产生以x为对称 轴的旋转曲面，方程为
0.8 0.6
y z f ( x)
2 2
0.4 0.2
绘制网面需创建三维坐标 矩阵,对某一确定的x=t,旋 转曲面上对应于过点x=t 垂直于X轴的圆,该圆周上 所有点的X坐标不变，y和 z的坐标则满足圆的方程
符号计算与微积分
符号表达式及其应用
微分和积分符号计算
台劳展开式符号计算 旋转曲面绘制方法
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符号计算又称为计算机代数，以符号形式处理数学表 达式，关注准确的计算和公式推导。符号计算不仅用 于数学研究，还可以用于工程计算 。1993年 MathWorks公司购买Maple的使用权,开发了符号计算 工具箱——Symbolic Math Toolbox.
/2
0
1 e 2 cos2 t dt
ans= 1/2*pi-1/8*e2*pi-3/128*e2^2*pi
/2
0
1 2 3 4 1 e cos t dt (1 e e ) 2 4 64
2 2
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定积分近似计算实验 syms e2 t f=sqrt(1-e2*cos(t)^2); S1=inline('1/2*pi-1/8*E2*pi-3/128*E2^2*pi'); E2=0.2;P=[];Q=[]; for k=1:5 E2=E2+.1; P=[P,S1(E2)]; f1=subs(f,e2,E2); S=int(f1,0,pi/2); Q=[Q,double(S)]; end [Q;P] 符号计算 1.4454 1.3994 1.3506 1.2984 1.2417 近似计算 1.4464 1.4019 1.3560 1.3087 1.2598
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思考题与练习题
1. 用syms x 定义了符号变量,表达式 Y=exp(-0.2*x)*sin(0.5*x)与一般表达式有何不同 2.定积分符号计算与数值计算有何不同？ 3.旋转曲面的面积计算公式如何构造？ 4.写出曲线 y=f(x)绕y轴旋转的旋转曲面方程 5.下面两个曲面是由同一个平面曲线旋转产生的,这个 平面曲线的方程是什么?
练习:分别用simple和simplify对符号表达式 cos(x)^2-sin(x)^2 进行化简，观察结果
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微积分符号计算
diff(f) — 对缺省变量求导数 diff(f,v) — 对指定变量 v 求导数 diff(f,v,n) —对指定变量 v 求n阶导数 int(f) — 对f表达式的缺省变量求积分 int(f,v) — 对f表达式的v变量求积分 int(f,v,a,b) — 对f表达式的v变量在[a, b]
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注记：旋转曲面的绘图方法如下 theta=linspace(0,2*pi,20); r=exp(-.2*theta).*sin(0.5*theta); cylinder(r) [X,Y,Z]=cylinder(r); figure,mesh(Z,X,Y) colormap([0 0 1])
0
0
1
2
3
ห้องสมุดไป่ตู้
4
5
6
7
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曲线
f ( x ) e 0.2 x sin( .5 x ) 绕X轴旋转图形绘制 0
f=inline('exp(-0.2*x).*sin(0.5*x)'); t=(0:20)*pi/10; 2 2 y z f ( x) theta=t;r=f(t); x=t'*ones(size(t)); xt y f (t ) cos y=r'*cos(theta); z f (t ) sin z=r'*sin(theta); mesh(x,y,z) colormap([0 0 0]) axis off view(-17,54)
S2 k 2 1 22 n2
k 1 n
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taylor(f,n,x) —n-1次麦克劳林多项式展开
taylor(f,n,x,a) —a点的n-1次泰勒多项式展开.
例3.21求椭圆积分近似表达式
syms t e2 x f=sqrt(1-e2*x) F=taylor(f,3,x) g=subs(F,x,cos(t)^2) int(g,0,pi/2)
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1 2 y2 例3.26 解微分方程 y 2 x 1
y ( 0) 0
命令格式：dsolve(‘eq1’,···,’con1’,···,’x’) y的一阶导数—— Dy, y的二阶导数—— D2y
y = dsolve('Dy=1/(1+x^2)-2*y^2','y(0) = 0','x') y= 2*x/(2*x^2+2)
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化简符号表达式方法——simplify
例3.4 用符号计算验证三角恒等式
sinx1 cos x2 cos x1 sinx2 sin(x1 x2 )
syms x1 x2; y1= sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2); y2=simple(y1) expand(y2) y2 = sin(x1-x2) ans = sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2)
Whos Name Size Bytes Class f 1x1 168 sym object x 1x1 126 sym object
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符号表达式中变量替换方法
S1=subs(S, ‘old’, ‘new’)
用‘new’置换符号表达式S中的’old’ 例3. 3输入不同的参数a,b绘制函数的图形 f(x)=exp(-a x)sin(b x) syms a b x f=exp(-a*x)*sin(b*x); f1=subs(f,a,0.8); f2=subs(f1,b,0.5); ezplot(f2,[0,2*pi])
1.5
第3讲 MATLAB在微积分中的应用
2）求数值解的方法 1. 欧拉方法 若步长h较小，则可用差商近似代替导数，即 y ( x + h) − y ( x ) y '( x) ≈ h 于是便得公式 yi +1 ≈ yi + hf ( xi , yi ) , i = 0,1, L , n − 1. y0 = y ( x0 ) 此法称为欧拉方法。
例7 用MATLAB软件求微分方程 du = 1+ u2 dt 的通解； 例8 用MATLAB软件求微分方程 d 2 y dy 2 + 4 + 29 y = 0 dx dx y(0) = 0, y ' (0) = 15 的特解。
例9 用MATLAB软件求微分方程组 dx dt = 2 x − 3 y + 3z dy = 4 x − 5 y + 3z dt dz dt = 4 x − 4 y + 2 z 的通解.
2. 改进的欧拉方法 对方程y ' = f ( x, y )两边从xi到xi +1积分，再利用梯形公式，得 y ( xi +1 ) − y ( xi ) = ∫
xi +1 xi
f ( x, y ( x )) dx
xi +1 − xi ≈ [ f ( xi , y ( xi )) + f ( xi +1 , y ( xi +1 ))] 2 h 于是有公式： yi +1 ≈ yi + [ f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , yi +1 )], y0 = y ( x0 ) 2 上式中右边yi +1的值可用欧拉方法计算，即有 yi +1 = yi + hf ( xi , yi ) i = 0,1, L , n − 1. h yi +1 = yi + 2 [ f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , yi +1 )] 此法称为改进的欧拉方法。
Matlab微积分问题计算机求解实验
>> q2=quad('quad1',0,1)
【例】求exp(-x2)在[0,1]上的积分。
数值积分
3、编写被积函数表达式，函数名为f=@(x).exp(-x.^2);
>> q2=quad(f,0,1)
数值积分
(2)梯形法（被积函数由一个表格定义）
trapz函数采用梯形法求取数值积分，适用于由表格形式定义的函数关系的求定积分问题，求值速度快， 但精度差。
syms x; f=abs(x)/x;%给出待展开的函数 xx=[-pi:pi/200:pi]; xx=xx(xx~=0); xx=sort([xx,-eps,eps]);
Fourier级数的Matlab程序
yy=subs(f,x,xx);%计算f(x)的值 for i=1:20
[A,B,F]=fseries(f,x,n); y=subs(F,x,xx); subplot(4,5,n); plot(xx,yy);%画出f(x)的图像 hold on plot(xx,y);%画出Fourier级数的图像 end
K ex2dx 0
计算积分
21
( x1)2
练习：
e 2 dx,
0 2
e2t 2 x 2 1
dx
cost (2 x 2 3 x 1)2
符号求和
symsum(u,n,n0,nn): symsum(f,a,b): 关于默认变量求和
例：计算级数
S 1 及其前100项的部2 分和 n n 1
>> syms n; f=1/n^2;
>> S=symsum(f,n,1,inf)
>> S100=symsum(f,n,1,100)
MATLAB第三章
第三章微积分问题的计算机求解一、实验内容：题目1．试求出如下极限。
①limx→∞(3x +9x )1/ x，②lim x→∞[(x+2)x+2(x+3)x+3 ]/(x+5)2x+5【分析】：该题为单变量函数的极限。
极限问题可以用limit()函数直接求出。
要注意该函数的调用格式为:L=limit(fun,x,x0)(求极限)，L=limit(fun,x,x0,’left’或’right’)(求极限)。
还需注意一开始要对函数的字符进行申明。
【解答】：（1）输入如下语句：>> syms x;f=(3^x+9^x)^(1/x);L=limit(f,x,inf)语句运行后显示如下：L =9（2）输入如下语句：>>syms x;f=(x+2)^(x+2)*(x+3)^(x+3)/(x+5)^(2*x+5);>> L=limit(f,x,inf)语句运行后显示如下：L =exp(-5)题目2.试求下面的双重极限。
①lim x→−1y→2 (x2y+xy3)/(x+y) 3，②limx→0 y→0 xy /√(xy+1)−1，③limx→0y→0 [1−cos(x2+y2)]/(x2+y2)e x2+y2。
【分析】：该题为多变量函数的极限问题。
他可以用嵌套使用limit()函数来解决。
在MATLAB上可以用L=limit(limit(f,x,x0),y,y0)或者L=limit(f,y,y0),x,x0)来解决。
其思想是所有的先关于X求导，再所有的关于y求导。
【解答】：(1)输入如下语句：>> syms x y>> f=(x^2*y+x*y^3)/(x+y)^3;>> L=limit(limit(f,x,-1),y,2)语句运行后显示如下：L =-6(2)输入如下语句：>> syms x yf=(x*y)/(sqrt(x*y+1)-1);L=limit(limit(f,x,0),y,0)按ENTER键，语句运行后显示如下：L =2(3)输入如下语句：>> syms x yf=(1-cos(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2)*exp(x^2+y^2));L=limit(limit(f,x,0),y,0)按ENTER键，语句运行后显示如下：L =题目3.求出下面函数的导数。
微积分(多元微积分)实验matlab作图
errorbar
ezplot
误差棒图
符号函数二维曲线
ribbon
scatter
带状图
点图（与plot相似， 但只有数据点）
feather
fill quiver
沿x轴分布的复数向量 图
平面多边形填色 箭图
stem
stairs zoom
火柴杆图
阶梯图 图形缩放
实例
• • • • • • 条形图：4-18，4-19 误差图：4-20 直方图：4-21 茎状图：4-23 扇形图：2-24 等
表4-2 标记清单描述
符号 + o(小写字母o) 标记类型 加号符号 圆符号
*
. x(小写字母x)
星号
点号 叉符号
'square' or s
'diamond' or d ^ v > < 'pentagram' or p
方形符号
菱形符号 上三角符号 下三角符号 右三角符号 左三角符号 五角星符号
'hexagram' or h
– 在x-y 平面上指定一个长方形区域，采用与坐标轴 平行的直线将其分格； – 计算矩形网格点上的函数值，即z 轴的值，得到三 维空间的数据点； – 将这些数据点分别用于处于x-z 或者平行面内的曲 线和处于y-z 或者其平行面内的曲面连接起来，即 形成网格图。
• 见例4-29,4-30等
mesh函数介绍
x t sin t y t cos t ,0 t 6 z t
x t cos t y t sin t ,0 t 6 z t
【求解】创建myplot301.m文件
MATLAB-中的极限、微分与积分
ans
x 2 y sin( y)
diff ((x y y 2 sin(x) cos( y)) ，x ，3)
ans
cos(x)
diff (diff (x y y 2 sin(x) cos( y) ，y) ，x)
ans
1
F y
x 2 y sin y
3F x3
cos x 2F yx
经济数学
MATLAB 中的极限、微分与积分
1.1 利用MATLAB求极限
MATLAB中可以利用limit函数求极限.MATLAB在微积分中的常用命令及函数的功如表8-3所示. 表8-3
MATLAB 中的极限、微分与积分
例1
解
syms x
limit(sin(x) x ，x ，0)
ans 1
（这里ans用作计算结果的默认变量名）
2 000
MATLAB 中的极限、微分与积分
例11
解
syms x
int (x (1 sqrt(1 x)) ，x ，0 ，3)
ans
5
3
3
x
5
0 x
dx . 1 x 3
MATLAB 中的极限、微分与积分
例12
解
syms x
int(1 (1 x) 2 ，x ，1，inf )
ans
1
2
^ P
Q1
%求弹性函数
Q2
P log(4)
(说明弹性函数为 P ln4)
P 20 ；
Q2 P log(4)
Q2
27.7259
所以当价格为20美元时，若价格上涨1% ，则需求量下降27.73% .
MATLAB 中的极限、微分与积分
MatLab在多元微积分中的应用1
程序如下
请按一定的规律写出这些点的极角构成 的矩阵，立标构成的矩阵。
2 2 2 2 2 2 2 2
立标构成构成的矩阵： 1
1
1
1
1
1
1
1
z 0 0 0 0 0 0 0 0
1
1
1
1
1
1
1
1
2 2 2 2 2 2 2 2
a jacobian([x, y, z], t)
a的三个元素分别为三个导数
例11 设曲线 : x 3sin t, y 3cos t, z 5t, 求曲线
在 t 10 所对应点的切线和法平面方程，并画出曲
4
线、切线和法平面方程.
a1为切向量
切点的三个坐标
结果为：a1 [ 2.1213 -2.1213 5.0000]'
5
4
7
4
8
4
2 2 2 2 2 2 2 2
1
1
1
1
1
1
1
1
z 0 0 0 0 0 0 0 0
1
1
1
1
1
1
1
1
2 2 2 2 2 2 2 2
继续输入：
另外一种做法：
view(-128,23)%控制观察的角度 light(‘position’,[2,1,2]);%设置灯光源位置或射向 lighting phong %照明设置形式 shading interp %使用光照插值 camlight(-220,-170) %设置光照位置 axis([-3 3 -3 3 -4 3])
第三章-matlab求解微积分
第三章 微积分的数学实验3.1极限与一元微积分3.1.1 初等运算1．定义单个或多个符号变量：syms x y z t ；定义单个符号变量或者符号函数还可以用单引号定义，如x=’x ’，f=’sin(x^2)+2*x-1’。
符号表达式的反函数运算g=finverse(f)，g 是返回函数f 的反函数。
例1 求sin(1)y x =-的反函数>>syms x>>y=sin(x-1); g=finverse(y),结果为 g=1+asin(t)2. f actor(f) 因式分解函数ｆ3．Collect(f) 对函数f 合并同类项4. expand(f) 将函数f 表达式展开5. simple(f) 找出表达式的最简短形式（有时需要用2次）6. roots （p ）对多项式p 求根函数。
7. solve(F) 一般方程的求根函数例2 解方程2510x x +-=解 >>syms x>>solve(x^2+5*x-1)结果为x =[ -5/2+1/2*29^(1/2) -5/2-1/2*29^(1/2)]8．fzero(f,x0)或fzero(f,[a,b]) 在初始点x0处开始或在区间[a,b]上搜索函数的零点，f(a)与f(b)需要符号相反。
3.1.2 Matlab计算函数的极限函数形式：1）limit(F,x,a)，求函数F在 x ->a时的极限。
2）limit(F,a)，默认其中的变量为极限变量.3）limit (F)，默认其中的变量为极限变量且趋向于0.4）limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,’left') 求函数F在x->a时的右、左极限.例3 >>syms x a t h; %syms作用是申明x,a,t,h是符号变量，不需先赋值再调用。
>>limit(sin(x)/x) %结果为 1>>limit((x-2)/(x^2-4),2) %结果为 1/4>>limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) %结果为 exp(6*t)>>limit(1/x,x,0,'right') %结果为 inf>>limit(1/x,x,0,'left') %结果为 -inf>>limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) %结果为 cos(x)>>v = [(1 + a/x)^x, exp(-x)];limit(v,x,inf,'left') %结果为[exp(a),0]3.1.3 Matlab计算导数与微分1．一元导数和微分diff函数用以计算函数的微分和导数，相关的函数语法有下列4个：diff(f) 返回f对预设独立变量的一次导数值diff(f,'t')或diff(f,t) 返回f对独立变量t的一次导数（值）diff(f,n) 返回f对预设独立变量的n阶导数（值）diff(f,'t',n) 或diff(f,t，n)返回f对独立变量t的n阶导数（值）这里尽管自变量已经作为符号变量，可以不用syms说明，但是在具体执行diff(f)、diff(f,'t')和diff(f,t)会出现差异，有的能够执行，有的不能够，有的执行符号微分，有的执行数值微分，所以比较麻烦。
利用matlab进行微积分的计算
Matlab的微积分符号运算都可以对数组进行。
函数的积分 积分符号运算的基本语句 int(F)； %求函数表达式F的不定积分 int(F,v)； %求函数表达式F关于变量v的不定积分 int(F,a,b)； %求函数表达式F在区间[a,b]上的定积分 int(F,v,a,b); %求函数表达式F在区间[a,b]上的关于变量v的 定积分
elapsed time is 17.471170 seconds. s=
53362913282294785045591045624042980409652472280384260097101349248456268889497101757 50609790198503569140908873155046809837844217211788500946430234432656602250210027842 563285208140554494121044251014267277029477471270891796396777961045322469242686646888 828158207198489710511079687324931915552939701750893156451997608573447301418328401172 44122806490743077037366831700558002936592350885893602352858528081607595747378366554 13175508131522517/712886527466509305316638415571427292066835886188589304045200199115 432408758111149947644415191387158691171781701957525651298026406762100925146587100430 513107268626814320019660997486274593718834370501543445252373974529896314567498212823 69562328237940110688092623177088619795407912477545580493264757378299233527517967352 48042463638051137034331214781746850878453485678021888075373249921995672056932029099 390891687487672697950931603520000
用MATLAB解微积分问题的实验报告4
>>xa=-2:0.2:2;ya=-2:0.5:2;[x,y]=meshgrid(xa,ya); >>z=x.*exp(-x.^2-y.^2); >>[px,py]=gradient(z,xa,ya); %画出函数的方向导数 >>contour(x,y,z),hold on,quiver(x,y,px,py),hold off 3.梯形积分法 指令： z=trapz （x， y） x 是表示积分区间的离散化向量； y 也是与 x 同 维数的向量，表示被积函数；z 返回积分近似值 实验原理：先将积分区间分解为几个小区间，用每个小区间上梯形 面积之和作为积分近似值 例如：求积分
2 2 2 2 xe（x +y ） dxdy 0 −2
和
������ 1 1 (ysint 0 0 −1
+ zcost) dtdydz
建立 M 文件，内容如下： fun=inline('x.*exp(x.^2+y.^2)','x','y'); dblquad(fun,0,2,-2,2) fun=inline('y.*sin(t)+z.*cos(t)','t','y','z'); triplequad(fun,0,pi,0,1,-1,1) 实验结果： （保存之后，运行结果如下： ） ans=881.8304
������, ������ ������������求解
������ ������−������ ������ ( −������ − ������−������ ������
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高等数学MATLAB实验三 不定积分、定积分及其应用 实验指导书
实验三 不定积分、定积分及其应用【实验类型】验证性【实验学时】2学时【实验目的】1．掌握用MA TLAB 求函数不定积分、定积分的方法；2．理解定积分的概念及几何意义；3．掌握定积分的应用；【实验内容】1．熟悉利用MATLAB 计算不定积分的命令、方法；2．通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和定积分的几何意义；【实验目的】1．掌握利用MATLAB 计算不定积分的命令、方法；2．通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和定积分的几何意义；3．掌握利用MATLAB 计算定积分、广义积分的命令、方法；4．掌握利用MA TLAB 计算有关定积分应用的各种题型，包括平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长等；【实验前的预备知识】1．原函数与不定积分的概念；2．不定积分的换元法和分部积分法；3．定积分的概念；4．微积分基本公式；5．广义积分的敛散性及计算方法；6．利用定积分计算平面图形的面积；7．利用定积分计算旋转体的体积；8．利用定积分计算平面曲线的弧长；【实验方法或步骤】一、实验使用的MATLAB 函数1．int( f (x ) , x )； 求()f x 的不定积分；2．int( f (x ), x , a , b )；求()f x 在[,]a b 上的定积分；3．int( f (x ) , x , -inf, inf )；计算广义积分()d f x x ∞-∞⎰；4．solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1,var2,...,varN')；求解n 元方程组；二、实验指导例1 计算不定积分cos 2x e xdx ⎰。
输入命令：syms x;int(exp(x)*cos(2*x),x)运行结果：ans =1/5*exp(x)*cos(2*x)+2/5*exp(x)*sin(2*x)例2 计算不定积分。