第十六章二次根式单元复习
第十六章二次根式
【知识回顾】
1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；
⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：
（1）（a）2=a（a≥0）；（2）=
=a
a2
5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），
a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）．
（4•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
【检测题】
（时间：60分钟）
一、选择题(每题3分，共24分)
1a的取值范围是（）
（A）0
a≥（B）0
a≤（C）3
a≥（D）3
a≤
a（a＞0）
a
-（a＜0）
0 （a=0）；
2
有意义，则点P （a ，b ）在（ ）
(A). 第一象限 (B). 第二象限 (C). 第三象限 (D). 第四象限
3、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
（A （B （C （D 4、下列计算正确的是（ ）
（A 4+== （B 11
2==
（C ）5= （D ）3
1
2314=
5、m ）
（A ）整数 （B ）正整数 （C ）正数 （D ）负数
6、下列各数中，与 ） （Ａ）32+ （Ｂ）32- （Ｃ）32+- （Ｄ）3
7、下列根式不能与48 合并的是（ ）
(A)、0.12 (B)、18 (C)、113 (D)、－75
8 ）
A.1到2
B. 2到3
C. 3到4
D. 4到5
二、填空题（每空3分，共33分）
9、计算：()22= ， = 。
10、化简：20= ，=32
。
11、在实数范围内分解因式23a -+=______________.
12、若12+a 与34-a 的被开方数相同，则a = 。
13n 的最小值是 。
14、若2y =，则x =_______ ,y =___________。
15、比较大小：（1） 3 5 2 6 （2）-3
三、解答题（共43分）
16、计算(每题4分，共16分)
① 3222233--+ ② )52453204(52+-
③ 2-+ ④ +-
17、 若a=15+， b=15-,求a 2b+ab 2的值. （6分）
18.已知实数x,y 满足210250x x -+=，则2011()x y + 的值是多少？(6分)
19、实数a 在数轴上的位置如图所示，化简 |2|816a a a -+-+ （7分）
20.（8分） 观察下列等式：
①12)12)(12(1
2121
-=-+-=+；
②23)23)(23(2
3231-=-+-=+；
③34)34)(34(3
4341-=-+-=+；……
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：11321
+
（2）计算：1031
(231)
321211++++++++
第16章 二次根式小结与复习(教案)八年级数学下册(人教版)
第16章二次根式小结与复习 教学目标： 1、了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则； 2、用二次根式的意义和性质进行求取值范围化简和运算； 3、会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题。 教学重难点： 重点：二次根式的性质和运算. 难点：整式的运算性质及公式在二次根式运算中的灵活运用 教学过程： 一、回顾与思考 本章在数的开方知识的基础上，学习了二次根式的概念、运算法则和加减乘除运算. 对于二次根式，要注意被开方数必须是非负数.在二次根式的运算和化简中，要利用运算法则.二次根式的加减法与整式的加减法类似，只要将根式化为最简二次根式后，去括号与合并被开方数相同的二次根式就可以了。二次根式的乘法与整式的乘法类似，以往学过的乘法公式等都可以运用，二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子分母中含有相同的因式，可以直接约去。 至此，我们已经学习了整式(单项式、多项式)、分式、二次根式等代数式的概念和运算，因为字母表示数，所以代数式的运算也就是含有字母符号的算式之间的运算，实际上就是用实数的运算律对这些符号进行运算. 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1.什么是二次根式？二次根式有意义的条件是什么？ 2.二次根式运算的结果必须是最简二次根式.什么是最简二次根式？试举两例.
3.二次根式的乘、除法法则是什么？ 4.积的算术平方根、商的算术平方根等于什么？ 5.怎样进行二次根式的加减法？ 6.怎样进行二次根式的混合运算？ 二、本章知识结构图 三、知识点梳理 1、二次根式的概念：一般地，形如√a (a ≥0)的式子叫做二次根式。对于二次根式的理解： ①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a ≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义. 2、二次根式的性质 3、最简二次根式： 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含_______； (2)被开方数中不含能___________的因数或因式． 4.二次根式的乘除法则： 5、二次根式的加减：可以先将二次根式化成_____________，再将________________的二次平方根 化简（最简二次根式） 二次根式 算术平方根 基本性质 乘除法则 乘除运算 混合运算 加减运算 字母表示数 分配律
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a≥0，b≥0）； = （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；
【典型例题】1、概念与性质 例1、下列各式 1 ）- ， 其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x - - + 3 1 5 ；（2） 2 2) - (x 例3、在根式 1) ， 最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 例4、已知： 的值。 求代数式2 2 , 2 1 1 8 8 1- + - + + + - + - = x y y x x y y x x x y 例5、已知数a，b ，若=b－a，则( ) A. a>b B. a人教版初中数学八年级下册第十六章《二次根式》复习教案
《二次根式》的复习 【教学过程】
教学教学内容师生活动设计意图 环节一环节一、经典再现突出主题 PPt演示： 教师向学生 展示本章的知识 结构图. 学生在教师 的带领下回忆本 章主要内容. 通过本章结构 图的展示，唤起学生 对本章知识的回忆， 也达到预告本课要 复习内容的作用，明 确学生的学习目的. 环节二环节二、以题点知回顾应用 问题1：若3 - x是二次根式，则x的取值范围为________. 【小结】二次根式的定义：一个非负数的算术平方根；)0 (≥ a a 【设计意图】明确被开方数为非负数.也想借此例进一步说明二次根式的本质是非负数 的算术平方根. 4 3= + + -y x,则____ ____,= =y x. 【小结】二次根式的双重非负性：)0 (0≥ ≥a a 【设计意图】进一步感受二次根式的非负性；并借此归纳：2a，a，)0 (≥ a a三种运 算结果均为非负. 问题2：化简：当3 ≥ x时，()__________ 32= - x. 问题3：化简：__ __________ )3 (2= - x. 教师给出题 目，学生进行解 答. 运用问题串展示 本章的知识点. 避免枯燥的罗列 和陈述，力求通过对 问题的解决，唤起学 生对本章知识的回 忆.
2、二次根式2x +中，x 的取值范围是（ ） A ．2x >- B ．2x -≥ C ．2x ≠- D ．2x -≤ 3、二次根式2(3)-的值是（ ） A ．3- B ．3或3- C ．9 D ．3 4、化简下列各式： （1）8=_________ （2）123-= （3）=⨯728___________ （4）1 5 = 5、计算： （1））（271222+ （2）254 2 82÷⨯ B 组 能力训练 6、已知实数a 在数轴上的位置如图所示，化简2|1|a a -+ 7、计算： （1）251694 x x x +- （2） ( )( ) 23 23 a a +- 8、先化简，再求值：)6()3)(3(--+-a a a a ，其中2 15+ =a . 求完成任务. 教师巡堂，并适时对学生的解答以及出现的问题进行点拨. 分层练习面向所有的学生，使各层次的学生均能进行学习.提高课堂的有效性，增强学生的学习兴趣以及信心. 1- 1 0 a
人教版八年级数学下册 第16章 二次根式 复习 教案
第十六章二次根式 教学目标 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算． 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习 1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件． 指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式． 2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除， 计算结果要把分母有理化． 3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式： 4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
二、例题 例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： 分析： (1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．
x≥-2且x≠0． 解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以 例3 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a ≥0和1-a＞0．
解因为1-a＞0，3-a≥0，所以 a＜1，|a-2|＝2-a． (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0． 这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的． 问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
第十六章 二次根式小结与复习
二次根式小结与复习 基础盘点 1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式. 定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式； （2）形如a b （a ≥0）的式子也叫做二次根式； （3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0. 2.二次根式的基本性质 （1）a _____0（a ___0）； （2）()2 a ＝_____（a ___0）； （3）a a =2＝()() ???0_____0_____a a ； （4=____________（a ___0，b ___0）； （5=_____________（a ___0，b ___0）. 3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含_______；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都______. 4.二次根式的乘、除法则： （1=___________（a ___0，b ___0）； （2=____________（a ___0，b ___0）. 复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2 ()() ???<-≥00a a a a 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外； （2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简. 5.同类二次根式：几个二次根式化成_________后，如果_______相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_______，然后把___ ______进行合并.
二次根式章末复习教案-人教版八年级数学下册第十六章
二次根式复习课教学设计 教学背景 《二次根式》是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”“代数式”等内容的延伸和补充。本章的主要内容有二次根式的概念、性质、运算和应用。二次根式的性质的依据是算术平方根的概念。二次根式的运算以整式的运算为基础，在进行二次根式的有关运算时，所使用的运算法则与整式、分式的相关法则类似；在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；在进行二次根式的乘除时，所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似。这些都说明了前后知识之间的内在联系。本章的学习将为今后进一步学习根式奠定基础，本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用。 复习目标 1、知识与技能目标 （1）了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则。 （2）用二次根式的意义和性质进行求取值范围化简和运算。 （3）会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题。 2、过程与方法目标 （1）经历应用性质解决问题的过程，发展运算能力，体验数学的严谨性。 （2）经历梳理本章所学内容，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力。 （3）经历本章的学习过程，渗透转化、分类讨论和类比等数学思想方法。 （4）采用练习讲解结合，先复习后检测，堂练堂堂清。 3、情感与态度目标 （1）通过常见的情境资料，吸引学生注意力，激发学生学习兴趣，拉近师生之间情感距离，为完成本复习课打下良好的基础。 （2）通过老师的及时表扬，鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望，让学生体验成功的喜悦，增加学生学习数学的兴趣的信心。 （3）通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又反过来应用于实际的辩证唯物主义思想。 重点难点 教学重点：运用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系。 教学难点：运用分类讨论数学思想解决本节的有关问题要求学生有严密的数学思维，是本节复习课的难点． 教学过程 一、情境引入PPT图片导入（1分钟） 设计意图：二次根式是由于实际计算的需要而产生的，计算“行径路程”需要二次根式的知识。该具体情境的引入，学生既觉得非常熟悉又倍感亲切，结合“勾股定理”全体学生不难回答。这样的低起点设置，首先能引发全体学生的学习兴趣和积极性、启发他们的探索欲望。 二、本章知识体系结合PPT课件（5分钟） 1、二次根式的【概念】： 定义1：形如)0 a的代数式叫做二次根式. a ( 强调：二次根式被开方数不小于0。
人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》小结与复习
人教版八年级数学下册第十六章 二次根式小结与复习 知识点1：二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 知识点2：二次根式的性质： 1.=2)(a （a ≥0）, 2. a ≥0) 3. ⎪⎩ ⎪⎨⎧<=>==)0___()0___()0___(____2a a a a 知识点3：二次根式的乘除： 公式：⎪⎩ ⎪⎨⎧>≥=≥≥=⋅)0,0___()0,0___(b a b a b a b a 知识点4：二次根式的加减： 1.法则： 2.概念：⎩⎨⎧同类二次根式： 最简二次根式：.2.1 知识点5：二次根式化简求值步骤： 1．“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）； 2.“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面； 3.“三化”：化去被开方数中的分母． 知识点6：二次根式的加减步骤： 1.化简； 2.判断；3分类；4.合并．
当堂小测： 1．下式中不是二次根式的为（ ） A ．12+b B ． ()0x x 且 3. a -5 4. 32 2 5. 2 17 6. (1)5579335 - (2)1521+ 7. 8 8. 2212- 9. －3
八年级数学下册第十六章二次根式知识点总结(新版)新人教版
八年级数学下册： 第十六章二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a）2=a（a≥0）；（2）= =a a2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． a≥0，b≥0）； =b≥0，a>0）． a（a＞0） a -（a＜0） 0 （a=0）；
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． A. a>b B. a>时，①如果a b >>a b <<。 例1、比较与的大小。 （2）、平方法 当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。 例2、比较 （3）、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3 （4）、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4 （5）、倒数法 例5-的大小。
第十六章二次根式知识点归纳
第十六章二次根式知识点归纳 一、形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数 式，但必须注意：因为负数没有平方根， 所以是为二次根式的前提条件， 二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“”； 第二，被开方数是正数或0． 三、二次根式 （）的双重非负性： 1、被开方数非负。 2、a的值非负。 四、二次根式的化简。 1、化简2a时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数或0. 2 a=∣a∣ ①若a是正数，则∣a∣等于a本身； ②若a是负数，则∣a∣等于a的相反数-a, ③若a是0，则∣a∣等于0. 2、()2a=a (a≥0). 3、被开方数是乘积用ab =a ·b（a≥0，b≥0）化， 4、被开方数是商的形式用a b= b a （a≥0，b>0）或 b a = b 1 ab 5、最简二次根式应满足的条件： （1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中的因数或因式不能再开方。 （五）二次根式的加法和减法 1 同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 （六）二次根式的混合运算 1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 （七）分母有理化 分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身。构成()2 a 化去分母中的根号。 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 II.分母是多项式 要利用平方差公式 注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。 第十七章勾股定理知识总结 1.勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。 或者:直角三角形的两条直角的平方和等于斜边的平方 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，
第16章 二次根式复习-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案(含详解)
第十六章 二次根式复习 学习目标： 1.会熟练判断二次根式，知道二次根式有意义的条件. 2.能熟练运用二次根式的性质进行计算或化简. 3.能熟练进行二次根式的加减乘除法混合运算. 学习重点：同上 一、课前检测 二、温故知新 1．若a ＞0，a 的平方根可表示为________，a 的算术平方根可表示________. 2．当a ______时，12a -有意义，当a ______时，35a +没有意义. 3．2(3)________π-=，2(32)______-=. 4．________1872_______;4814=÷=⨯. 5．_______20125_______;2712=-=+. 三、独立画出本章知识结构图 四、我的疑惑（反思） 一、要点回顾 在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子： （1）22()(0)()(0)a a a a a a =≥=≥与. （2）⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<-=>==00002a a a a a a a . 自主研习 探究点拨
（3）(0,0)(0,0)a b ab a b ab a b a b •=≥≥=•≥≥与. （4） (0,0)(0,0)a a a a a b a b b b b b =≥>=≥>与. 二、精讲点拨 考点一 二次根式有意义的条件 1.（济宁中考）若12-x +x 21-+1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是（ ） A.x 21≥ B.x 21 ≤ C.x=21 D.x ≠21 2.（黄石中考）若式子 2 1 --x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A.x 1≥且x ≠2 B.x 1≤ C.x ＞1且x ≠2 D.x ＜1 考点二 二次根式的相关概念 3.(广西中考)下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. 2 1 B.2 C.4 D.12 4.（绵阳中考）如果最简二次根式83-a 与a 217-可以合并，那么使x a 24-有意义的x 取值范围是（ ） A.x 10≤ B.x 10≥ C.x ＜10 D.x ＞10 考点三 二次根式的性质及应用 5.（甘肃中考）若5-x 与164-y 互为相反数，则（y-x ）2019=______. 6.（鸡西中考）把m m 1 - 跟号外的因式移入根号内得到（ ） A.m B.m - C.- m D.-m - 7.（内江中考）若a -1001+1002-a =a ，则a -10012=________. 考点四 二次根式的化简与计算 8.（南充中考）计算：（1-π）0+32--12+（2 1）1-. 9.（聊城中考）下列各式不成立的是（ ）
人教版 八年级数学下册 第16章 二次根式 复习题(含答案)
人教版八年级数学第16章二次根式复习题 一、选择题（本大题共10道小题） 1. 下列二次根式中，与是可以合并的是（） A．B．C．D． 2. 下列选项中，正确的是( ) A. x－1有意义的条件是x＞1 B. 8是最简二次根式 C. （－2）2＝－2 D. 32 3－24＝－ 6 3. 计算：等于（）A．B．C．D． 4. 下列计算正确的是( ) A. 12＝23 B. 3 2＝ 3 2 C. －x3＝x－x D. x2＝x 5. 下列二次根式中，最简二次根式的个数是（）． ，，，,，,，． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 下列根式中式最简二次根式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个 7. 下列各式正确的是（） A．B．C．D． 8. 若为非负数，与是可以合并的二次根式，则的值是（）A．B． C．或D． 9. 已知最简根式是同类二次根式，则满足条件的,的值（）A．不存在B．有一组C．有二组D．多于二组 10. 已知，，，那么，，的大小关系是（）. A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8道小题） 11. 若式子x＋x－1在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 12. 计算32－8 2 ＝________． 13. 在下列二次根式 中，最简二次根式有____________________. 14. 若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则。 15. 计算：=_________. 16. 计算：_______． 17. 计算：_________. 18. 方程的整数解有组. 三、解答题（本大题共4道小题） 19. 20. 计算：(3－7)(3＋7)＋2(2－2)． 21. 计算： 22. 计算：
数学 八年级下册 人教版 二次根式 单元复习(+答案)
第十六章单元复习二次根式一、选择题 1．(青海海东模拟)下列的式子一定是二次根式的是( ) A．－x－2B．x C．x2＋2D．x2－2 2．(新疆和田质检)要使x＋1 2有意义，则x的取值范围为( ) A．x＞0 B．x≥－1 C．x＜0 D．x＞－1 3．(内蒙古包头模拟)下列二次根式中，为最简二次根式的是( ) A．45B．a2＋b2C．1 2D． 3.6 4．(重庆中考)计算14×7－2的结果是( ) A．7 B．62C．72D．27 5．(恩施中考)从2，－3，－2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有________个．( ) A．0 B．1 C．2 D．3 6．(河北中考)与32－22－12结果相同的是( ) A．3－2＋1 B．3＋2－1 C．3＋2＋1 D．3－2－1 7．(甘肃定西模拟)实数a在数轴上的位置如图所示，则（a－5）2＋（a－13）2化简后为( ) A.8 B．－8 C．2a－18 D．无法确定 8．设a＝7＋2，则( ) A．2＜a＜3 B．3＜a＜4 C．4＜a＜5 D．5＜a＜6 9．(宁夏石嘴山模拟)若x为实数，在“(3＋1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是( ) A．3＋1 B．3－1 C．23D．1－3 10．(兰州模拟)甲、乙两人计算a＋1－2a＋a2的值，当a＝5的时候得到不同的答案，甲的解答是a＋1－2a＋a2＝a＋（1－a）2＝a＋1－a＝1；乙的解答是a＋1－2a＋a2＝a＋（a－1）2＝a＋a－1＝2a－1＝9.下列判断正确的是( ) A．甲、乙都对B．甲、乙都错 C．甲对，乙错D．甲错，乙对 二、填空题 11．(衡阳中考)若二次根式x－3有意义，则x的取值范围是____．
沪教版八年级上第十六章 二次根式全章复习与巩固 知识讲解 讲义
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（提高） 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如1 3,,0.02,02 等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子 a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2） ； （3）. 要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 a 2()a =（0a ≥），如22211 2(2);();()33 x x ===（0x ≥）.
（2） 2a 中a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a 一定有意义. （3）化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）2a 与2 ()a 的异同 不同点：2a 中a 可以取任何实数，而2 ()a 中的a 必须取非负数； 2a =a ，2()a =a （0a ≥）. 相同点：被开方数都是非负数，当a 取非负数时，2a =2 ()a . 3. 最简二次根式 1）被开方数是整数或整式； 2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如222,,3,ab x a b +等都是最简二次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如2与8，由于8=22，2与8显然是同类二次根式. 知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 (0,0) a b ab a b ⨯=≥≥ 积的算术平方根化简公式： (0,0)ab a b a b =⨯≥≥ 二次根式的除法 (0,0)a a a b b b =≥> 商的算术平方根化简公式： (0,0)a a a b b b =≥> 要点诠释： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd ⋅=. （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 (4)(9)49-⨯-≠-⨯-.
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
【知识回顾】 1. 二次根式：式子..a ( a >0)叫做二次根式。 2. 最简二次根式： 必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3. 同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： a ( a > 0) 0 (a =0)； a ( a v 0) 5. 二次根式的运算： (1) 因式的外移和内移： 如果被开方数中有的因式能够开得尽方， 那么，就可以用它的算术 平方根代替而移到根号外面； 如果被开方数是代数和的形式， 那么先分解因式，变形为积的形式, 再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2) 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3) 二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍 作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. Vab^/a •b (a >0, b >0)； (4) 有理数的加法交换律、 结合律， 的乘法公式，都适用于二次根式的运算. 二次根式 { B 茸(b >0, a>0 ) a ■- a 乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式
1、 概念与性质 例1、下列各式 ；,2)飞,3)「X 2 2,4)「4,5)「( ；)2,6) =C,7)Ja 2 2a 1 其中是二次根式的是 _________ 序号） 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 2、二次根式的化简与计算 【典型例题】 x 5 (1) 3 x ； ( 2)\(X -2)2 例3、在根式 1) b B. ab D. a 第十六章二次根式 【知识要点】 知识点一二次根式的有关概念和性质 二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 【注意】 1.二次根式，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。 2.二次根式是一个非负数。 3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a≥0）就表示a的算术平方根。 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 二次根式的性质： 1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。 2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。 3．当a≧0时， 知识点二二次根式的运算 二次根式的乘法法则: 【注意】 1、要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。 : 3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。 二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）： 化简二次根式的步骤（易错点）： 1.把被开方数分解因式(或因数) ； 2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积； 3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(√a)^2=a（a≥0）把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。 二次根式的除法法则： 【注意】 1、要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。 2、在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）： 二次根式的特点： 1.被开方数不含分母，例：； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：。 【二次根式运算中的注意事项】 一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 二次根式比较大小： 1、若，则有；第十六章 二次根式(单元总结)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下册(人教版)