分组分解法的概念以及例题讲解
分组分解法练习题及答案
分组分解法练习题及答案精品文档分组分解法练习题及答案1.分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.22例如:把x-y+ax+ay分解因式.此多项式各项之间没有公因式，又不能统一用某个公式分解.我们把前两项分为一组，2222后两项分为一组，得到:x-y+ax+ay=+=+a=，最终达到分解因式的目的.2.分组分解法的根据分组的原则是分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解.注意:1.分组时需进行尝试，找到合理的分组方法.2.有时，分组方法并不唯一.3.对于四项式在分解时，若分组后有公因式，则往往用“二二”分组;若分组后公式法22分解才行时，往往用“一三”分组，例如多项式2ab-a-b+1，在分解时，222222ab-a-b+1=1-=1-=1.重点难点分析1 / 19精品文档重点:掌握分组分解法，理解分组分解法的分组原则:分组后可继续分解.难点:是把多项式合理的分组，处理方法是在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解.同时强调:分组无固定的形式.2.典型例题解析32例1 分解因式2a+a-6a-3分析这是四项式，可以“二二”分组，由于一、二两项的系数之比是2?1，三、四两项的系数之比也是2?1，因此，将一、二两项为一组，三、四两项为一组进行分组分解，有成功的希望.也可以一、三两项，二、四两项进行分组.32解 a+a-6a-33=-=a-3=222例分解因式4x-4xy+y-16z分析这是四项式，“二二”分组无法进行下去，采用“一三”分组，也就是前三项合为一组，满足完全平方公式，第四项单独作为一组，而且是某数或某整式的平方形式，这样便可运用平方差公式继续分解.222解 x-4xy+y-16z2 / 19精品文档222=-16z22=-=22例分解因式ax-ay-x+2xy-y分析这是五项式，采有“二三”分组，也就是前两项为一组，后三项为一组，能用完全平方公式，关键在分组后且间仍有公因式可提.解 ax-ay-x+2xy-y22=-2=a-=22222例把-4xy分解因式22222解 -4xy2222=-2222=[+2xy][-2xy]2222=[-1][-1]2=[-1][-1]=例分解因式x-6分析考虑去掉括号，重新分组.解 x-632=x-3x+2x-63 / 19精品文档32=+2=x+22=4例分解因式a+44分析这是一个四次二项式，无法直接运用某种方法分解因式.如果在a+4中项添上一22422项o,再把o拆成绝对值相等、符号相反的两项4a和-4a,则原多项式就变为a+4a+4-4a四项式了，再进行3-1分组，利用公式就能分解了.4解 a+4422=a+4a+4-4a422=-4a22=-22=点评本例是添拆项的典型例题，目的性很强，原来是二项式，通过添拆项变为四项式，再利用分组、公式进行分解.22322例已知x+10xy+25y-1=0，化简x+5xy+x.分析由已知条件，通过因式分解，可得到的值.从而可以化简所求代数式.22解由x+10xy+25y-1=0可得4 / 19精品文档-1=0 即=0当x+5y+1=0时32x+5x2y+x=x=0当x+5y-1=0时，即x+5y=1322x+5x2y+x=x=2x熟练掌握并能灵活运用分组分解法.考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合，命题以对四项式的多项式因式分解为主.232例把2x+x-6x-3分解因式.32解 x+x-6x-33=-2=x-32=2222例把abx-aby-axy+bxy分解因式.2222解 abx-aby-axy+bxy2222=+=a+by=点评本题中前两项虽有公因式ab，后两项虽有公因5 / 19精品文档式xy，但分别提出公因式后，两组中却无公因式可提，无法继续分解.因此分组时，必须把眼光放远一点.本题解法是把一、三两项作为一组，二、四两项作为一组;也可把一、四两项作为一组，二、三两项作为一组.请读者试一试.2例10 把多项式分解因式xy-ax+bx+ay-a+ab.2解法一 xy-ax+bx+ay-a+ab2=+=x+a=2解法二 xy-ax+bx+ay-a+ab2=-+=y-a+b=点评本题共有六项，解法一分为两组:前三项为一组，后三项为一组;解法二分为三组:一、四两项作为一组，二、五两项作为一组，三、六两项作为一组.一般地，类似例8这样的六项式都可用以上两种方法分组.一、填空题221.x+2y-y+2x=.22.因式分解x+xy-3x-3y= .223.因式分解1-a+2ab-b= .6 / 19精品文档54324.因式分解x+x+x+x= .25.分解因式ax-ay+a+bx-by+ab= .6.分解因式ab-3ac+2ay-bx+3cx-2xy= .7.分解因式2x-2y+4xy-1= .8.分解因式ab-ab+ab-ab= .229.若a-b=2,a-c=4,则b-2bc+c+3= .2210.分解因式a-b+4a+2b+3= .二、分解因式32211.ab+bc-cd-da 12.x-xyz+xy-xz22213.y-x+6x-914.x-+2xy+y-ax-ay2215.6x-2m+2n 16.4x-4y+4y-1423324参考答案:22一、1. . . .x5.26. . .) .10 10.二、11.原式= 12.原式=x 13.原式=14.原式= 15.原式=2 16.原式=因式分解之分组分解法1. 按字母特征分组a?b?ab?1 a2,ab，ac,bc2. 按系数特征分组7x2?3y?xy?21x ac?6ad7 / 19精品文档3. 按指数特点分组a2?9b2?2a?6bx2?x?4y2?2y2224.按公式特点分组a,2ab，b,c a2?4b2?12bc?9c2四(总结规律1.合理分组;2.组内分解3.组间再分解4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。
分组分解法因式分解课件
在分组后，需要对每个组内的项式进行因式分解。常用的因式分解技巧包括提公 因式法、十字相乘法、公式法等。根据不同组内项式的特征，选择合适的因式分 解技巧，并灵活运用，以获得最佳的分解结果。
问题三：如何确定分组分解法的正确性？
总结词
确定分组分解法的正确性是确保因式分解结果准确无误的重要步骤。
详细描述
03
原理概述
分组分解法是一种将多项 式分组，然后对每组进行 因式分解的方法。
分组依据
分组依据是多项式的项数 和各项系数的特征，通常 是将系数相近或具有某种 关系的项分为一组。
分解步骤
分组后，对每组进行因式 分解，最后将各组的因式 结果组合起来。
原理应用示例
示例1
将多项式$2x^2 + 3x - 5$分组为$(2x^2 - 5) + 3x$，然后 分别对$2x^2 - 5$和$3x$进行因式分解，得到结果$(2x + 5)(x - 1) + 3x = 2x^2 + x - 5$。
特点
分组分解法适用于多项式的因式 分解，尤其在处理复杂的多项式 时具有高效性和实用性。
分组分解法的应用场景
多项式的因式分解
适用于任何可以分组提取公因式的多 项式，如二次、三次、四次多项式等 。
代数方程的求解
数学竞赛和数学教育
分组分解法是数学竞赛和中学数学教 育中的重要内容，用于提高学生的数 学思维和解题能力。
06 分组分解法的总结与展望
总结
定义
分组分解法是一种将多项式分 组并提取公因式进行因式分解
的方法。
适用范围
适用于具有明显分组特征的多 项式，如三项一组、二项一组 等。
步骤
首先观察多项式的项数和系数 特点，然后选择合适的分组方 式，提取公因式进行因式分解 。
分组分解法例题
分组分解法例题（原创版）目录1.分组分解法的概念和原理2.分组分解法的具体步骤3.分组分解法的应用实例4.分组分解法的优点和局限性正文一、分组分解法的概念和原理分组分解法，是一种在解决复杂问题时常用的思维方法。
其核心思想是将问题按照一定的规则进行分组，然后对每组进行独立处理，最后将处理结果合并，从而得到问题的解决方案。
这种方法可以有效地降低问题的复杂度，提高解决问题的效率。
二、分组分解法的具体步骤1.确定分组规则：根据问题的特点，选择合适的分组规则，如按照属性、功能、时间等进行分组。
2.进行分组：将问题按照分组规则进行分组，确保每组内的元素具有相似性。
3.独立处理每组：对每组进行独立处理，可以使用其他解决问题的方法，如归纳法、演绎法等。
4.合并处理结果：将每组的处理结果进行合并，得到问题的最终解决方案。
三、分组分解法的应用实例以数学中的例题为例，假设有一个数列：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，要求计算这个数列的和。
这个问题可以使用分组分解法来解决。
1.确定分组规则：将数列中的数字按照每两个一组进行分组。
2.进行分组：(1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8), (9)。
3.独立处理每组：计算每组的和，分别为 3, 7, 12, 19, 18。
4.合并处理结果：将每组的和相加，得到最终结果为 89。
四、分组分解法的优点和局限性分组分解法的优点在于它可以有效地降低问题的复杂度，使得解决问题的过程更加清晰和有序。
此外，分组分解法还可以提高解决问题的效率，特别是在处理大量数据时，可以节省大量的时间和精力。
然而，分组分解法也有其局限性。
首先，它需要预先确定分组规则，这就要求对问题有深入的了解。
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《分组分解法》课件
分组分解法的原理
原理概述
分组分解法的原理基于代数的基本性 质，通过分组和因式分解，将复杂的 多项式简化为易于处理的形式。
原理应用
在数学中，分组分解法广泛应用于解 决代数方程、不等式和函数问题。通 过分组分解，可以简化多项式的计算 过程，提高解题效率。
分组分解法的应用场景
01
02
03
代数方程
在解代数方程时，分组分 解法可以用于简化方程左 侧的多项式，使其更容易 进行因式分解或化简。
要点一
总结词
分组分解法在求解矩阵的逆时也具有重要应用，能够帮助 我们快速找到矩阵的逆。
要点二
详细描述
矩阵的逆是线性代数中一个重要的概念，但在某些情况下 ，直接求逆的计算量非常大。分组分解法提供了一种有效 的替代方法，通过将原矩阵分解为若干个子矩阵，然后分 别求出这些子矩阵的逆，最后再组合起来得到原矩阵的逆 。这种方法在处理大型矩阵时特别有用，能够大大减少计 算时间和计算机存储空间的使用。
求解每个子问题，得到每个因式或公 因式的值。
合并子问题的解
将各个子问题的解合并起来，得到原多项式的分组分解结果 。
检查合并后的结果是否正确，确保所有项都已包含在内，且 没有重复或遗漏。
03 分组分解法的实例分析
实例一：求解线性方程组
总结词
分组分解法在求解线性方程组中具有广 泛应用，能够简化计算过程，提高解题 效率。
实例三：求解特征值和特征向量
总结词
分组分解法在求解特征值和特征向量时同样适用，能 够简化计算过程并提高准确性。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在许 多实际问题中都有应用。然而，求解特征值和特征向量 有时会面临计算量大、精度要求高等挑战。分组分解法 提供了一种有效的解决方案，通过将原矩阵分解为若干 个子矩阵，然后分别求出这些子矩阵的特征值和特征向 量，最后再组合起来得到原矩阵的特征值和特征向量。 这种方法能够大大简化计算过程，提高求解的准确性和 效率。
分组分解的八种方式与例题
分组分解的八种方式与例题嘿，大家好！今天咱们来聊聊“分组分解”的那些事儿。
别急，听到这儿可能会觉得有点头大，其实这玩意儿就像拼图游戏一样，把大问题拆分成几个小问题，简单有趣又实用。
我们一步步来，保证你看完后对这些方法有个清晰的认识。
1. 什么是分组分解？首先，分组分解听起来有点高深，其实就是把一个复杂的问题分成几个更容易处理的小问题。
比如说你要解决一道难题，直接上手可能会觉得很难，但如果把它拆成几个小块儿，每个小块儿解决起来就会轻松很多。
这就像你要做一个大菜，把各种原料分门别类准备好，不就能做得更顺利吗？1.1 分组分解的必要性分组分解能帮助我们理清思路，减少错误。
想象一下，如果你要修理一个坏掉的设备，直接动手的话可能会搞得一团糟。
如果先分解一下，把每个部件的问题搞清楚，那修起来不就容易多了？1.2 分组分解的基本步骤分组分解其实很简单，主要有几个步骤：1. 确定问题的主要部分：先搞清楚你的大问题是什么。
2. 拆分成子问题：把大问题拆成几个小问题，最好每个小问题都能独立解决。
3. 逐个攻破：一个个解决这些小问题，最终大问题也就迎刃而解了。
2. 分组分解的八种方式现在，我们来看看分组分解的具体方法。
这些方法就像调料一样，根据需要加一点儿，效果会更好。
2.1 按照功能分组这种方法就是根据功能来分组。
比如说你要设计一个软件，可以把它拆分成用户界面、数据库、功能模块等。
这就像你在做一顿饭，把主菜、配菜、汤等分开准备，这样每个部分都能更好地被处理。
例题：设计一个线上购物平台用户界面：登录、注册、商品浏览后台管理：库存管理、订单处理、用户管理数据存储：数据库设计、数据备份2.2 按照时间顺序分组按照时间顺序分组，就是把问题按照发生的顺序拆开。
像做项目一样，先制定计划，再实施，再测试，最后总结。
这样每一步都能有条不紊地进行。
例题：计划一次公司年会前期准备：确定日期、邀请嘉宾、订场地实施阶段：布置场地、安排节目、组织活动后期总结：收集反馈、总结经验、整理资料2.3 按照重要性分组这种方法是根据问题的重要程度来分组。
分组分解法例题
分组分解法例题摘要：1.分组分解法概述2.分组分解法实例解析3.实例分析与解答4.总结与启示正文：一、分组分解法概述分组分解法是一种常用的数学解题方法，尤其在代数、几何等领域发挥着重要作用。
它的基本思想是将复杂的题目分解成若干个较小的、容易解决的部分，然后通过对这些部分的分析和解决，最终得到整个题目的解答。
这种方法能够帮助我们更好地理解题目，降低解题的难度，提高解题效率。
二、分组分解法实例解析下面我们通过一个具体的例子来详细解析分组分解法的应用。
题目：求解以下方程组：2x + 3y = 12x - 5y = 10三、实例分析与解答（1）将方程组进行整理，得到：2x + 3y = 12x - 5y = 10（2）将第二个方程左右两边都加上5y，得到：x = 10 + 5y（3）将得到的x的表达式代入第一个方程，得到：2(10 + 5y) + 3y = 12（4）整理方程，解得：10 + 10y + 3y = 1213y = 2y = 2/13（5）将求得的y的值代入x的表达式，得到：x = 10 + 5 * (2/13)x = 10 + 10/13四、总结与启示通过以上分析，我们利用分组分解法成功求解了这个方程组。
在这个过程中，我们首先将方程组进行整理，然后通过将一个方程中的变量表示为另一个方程中的变量，最后代入求解。
这个过程充分体现了分组分解法的实用性和有效性。
在解决类似问题时，我们要注意掌握以下几点：1.熟练掌握分组分解法的基本思想，即“化整为零，各个击破”。
2.对题目进行仔细分析，将复杂问题分解为简单问题。
3.在分解问题的过程中，注意寻找变量之间的关系，以便进行代换求解。
4.总结经验，不断提高自己的解题技巧。
通过以上分析和总结，我们可以看到，分组分解法在解决数学问题时具有很高的实用性和可行性。
因式分解(分组分解法)
因式分解 （分组分解法）【知识要点】1、定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例如：22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
2、原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
3、有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
【典型例题】例1 把下列各式分解因式（1）2914x x ++= （2）212x x --=（3）2812x x ++= （4）2710x x -+=（5）228x x --= （6）2922x x --=（7）2295x x +-= （8）2376x x --=（9）28103x x ++= （10）210275x x ++= 例2 把下列各式分解因式（1）bc ac ab a -+-2 （2）bx by ay ax -+-5102（3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++（5）22144a ab b --- （6）223443ax ay bx cy cx by +-++- 例3 把下列各式分解因式（1）22421x xy y --； （2）()()267a b a b +-+-； （3）()()22524x x -+-+ （4）()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+；（5）()()2224221x y x y y y +-+- （6）222()14()24x x x x +-++ 例4 把下列各式分解因式（1）()()z y y z x x +-+ （2）()()b a x ab x 34322-+- （3）()()cd b a dc ab 2222--- （4）()()y a bx by b y ax 2233+++ 【思考题】分解因式()()()()2222d b d c c a b a +-+-+++。
分组分解法的概念以及例题讲解
分组分解法的概念以及例题讲解：思考：如何将多项式by bx ay ax +++和1222-++b ab a 分解因式呢？师生共同分析并解答得出分组分解法的概念：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.例1. 分解因式：（1）bd bc ad ac 362-+- （2）kn mn km k 46962--+（3）x y y x x 882223-+- （4）44422-+-y xy x随堂练习：1.填空：（1）=+++)(3)(2b a a b a （ ）（b a +）（2）)()()(b a b a y b a x -=---（ ）（3))()()(2y x y x y x --=----( )2.分解因式：（1)c b ac ab -+- (2)b a ab a 222+-- (3) bc ac b a 6293-+-(4) 84632--+x xy y x (5)x xy y x 332--+ (6)y x y x x 189223--+(7)2412)2()2(2--+++y x y x y (8) 22222222x n y m y n x m --+分组分解法因式分解专项练习（基础题）(1) 1+++b ab ab(2) 1+--b a ab(3) z x y x xyz x 223-+-(4) x y y x x 27273323-+-(5) b a b a 2422---(6) b a a b a -+-23(7) 1222-++b ab a(8) 4424-+-a a a(9) 2224b b a a --+(10) 2212q p pq -+-(11) 233222+--++y x y xy x(12) by bx ay ax +++(13) a ab b a 552-+-(14) a ab b a 552--+(15) bx ay xy ab 6767+++ (16) x y y x x 553323-+-(17) n m n m --+2)((18) bc ac ab a -+-222(19) xy xz x yz 62342+-+-(20) c d b d c a b a 2222--+提高题（21）2222bx ay by ax +-- （22）ab b b ab 5631022-+- （23）nb na mn m mb ma -+++-2（24）222233y xy y x x -+- （25)n m n mn m +-+-222 (26)22444b ab a ---(27)123+--n n n x x x(28))()(22x y n m y x mn --- (29)123--+x x x(30)y x y x +--22 (31)y x y x 557722++- (32)22)()(xy ab ay ax -++(33)2322b b a b a --+ (34) 22414y x xy --+ (35)yz z y x x +++)((36)a b b a a 882223-+- (37)ab a ab a 212133223--- (38)3222364a xa a x +--(39)2216881b a ab ++-- (40)2222224)(b a c b a -++ (41)2224964a y ax y x +--+-自我检测一．基础巩固1.用分组分解法把1224---a a a 分解因式，正确的分组方法是（ ） （A) )12()(24+--a a a (B) ）1()2(24+--a a a (C))2()1(24a a a +-- (D))12(24++-a a a2. 多项式ab bx ax x +--2 可分解为 （ ）（A) ))((b x a x ++ (B)))((b x a x +- (C) ))((b x a x -- (D)))((b x a x -+3.将22233y x xy x -+-分解因式，结果是 （ ）（A) )3)(1(y x x -+ (B) )3)(1(2y x x -+ (C) )3)(1(2y x x -- (D))3)(1(22y x x +-4.在以下多项式中：b a b a 2422+-+， 14422-+-b b a ，22244c ab b a -+-，18161622++-a b a ， 222162494c bc b a ++-。
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自我检测
一．基础巩固
1.用分组分解法把 分解因式，正确的分组方法是（）
（A) (B) (C) (D)
2.多项式 可分解为（）
（A) (B) (C) (D)
3.将 分解因式，结果是（）
（A) (B) (C) (D)
4.在以下多项式中： ， ， ， ，
分组分解法的概念以及例题讲解：
思考：如何将多项式 和 分解Fra bibliotek式呢？师生共同分析并解答得出分组分解法的概念：
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.
例1.分解因式：（1） （2）
（3） （4）
随堂练习：
1.填空：（1） （）（ ）
（2） （）
（3) ( )
2.分解因式：
（1) (2) (3)
(4) (5) (6)
，其中 ，
四．体验中考9.（2009安徽）因式分解： 。
(7) (8)
分组分解法因式分解专项练习（基础题）
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(4)
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(12)
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(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
提高题
（21） （22） （23）
（24） （25) (26)
(27) (28) (29)
(30) (31) (32)
。用分组分解法分解时，能够分成三项一组和一项一组的多项式有：（）
（A) 2个(B) 3个(C) 4个(D) 5个
5. 分组后，先用公式分解，再用公式分解。
二．能力提升
6.将下列各式分解因式（能用两种方法分组的，用两种方法）
(1) (2)
(3) (4)
7.把 分解因式
三．创新提高
8.先分解因式，再求值。