不等式的均值定理
高中数学均值不等式
（一） 知识内容1．均值定理：如果,a b +∈R （+R 表示正实数），那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，有等号成立． 此结论又称均值不等式或基本不等式．2．对于任意两个实数,a b ，2a b+叫做,a b 的算术平均值，ab 叫做,a b 的几何平均值． 均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行 转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由 均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2.均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．⑴对于任意正实数,a b ，作线段AB a b =+，使,AD a DB b ==；⑵以AB 为直径作半圆O ，并过D 点作CD AB ⊥于D ， 且交半圆于点C ；⑶连结,,AC BC OC ，则2a bOC +=，∵,AC BC CD AB ⊥⊥ ∴CD AD BD ab =⋅=， 当a b ≠时，在Rt COD ∆中，有2a bOC CD ab +=>=．当且仅当a b =时，,O D 两点重合，有2a bOC CD ab +===． 3．已知：a b +∈R 、（其中+R 表示正实数），有以下不等式：22221122a b a b a b ab a b ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭+≥≥≥≥ 其中222a b +称为平方平均数，2a b+称为算术平均数，ab 称为几何平均数，211a b+称为调和平均数．CO DBA均值不等式证明：()2221024a b a b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≥∴222a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ ∵a b +∈R 、，2a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．221024a b +-=⎝⎭≥ ∴22a b +⎝⎭≥，当且仅当“a b =”时等号成立．∵22104⎝⎭≥ ∴2⎝⎭，当且仅当“a b =”时等号成立． 2211ab a ba b=++=211a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．（三）典例分析：1.基础不等式【例1】 1．“0a b >，且a b ≠”是“222a b ab +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）A ．12ab ≤B ．12ab ≥ C ．222a b +≥ D ．223a b +≤【变式】 设a b c ，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥ 1【例2】 设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b aa b<【变式】 若110a b <<，则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b aa b +>中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式】 设a 、b 、c 、d 、m 、n 均为正实数，P Q =，那么（ ）A ．P Q ≥B ．P Q ≤C ．P Q <D ．P 、Q 间大小关系不确定，而与m 、n 的大小有关【变式】 若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥【例3】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例4】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【例5】 已知a b c >>2a c-的大小关系是________．【例6】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ） A ．0T >B ．0T =C ．0T <D ．以上都可能【例7】 若10a b >>>，以下不等式恒成立的是( )A ．12a b+> B ．12b a+> C ．1lg 2a b b + D ．1lg 2b a a +2.不等式最值问题【例8】 若0x >，则423x x++的最小值是_________．【例9】 设a 、b ∈R ，则3a b +=，则22a b +的最小值是_________．【例10】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是_________．【例11】 已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x y ，恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【例12】 当___x =时，函数22(2)y x x =-有最 值，其值是 ．【例13】 正数a 、b 满足9a b=，则1a b +的最小值是______．【例14】 若x 、*y ∈R 且41x y +=，则x y ⋅的最大值是_____________．【变式】 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则_________．【变式】 已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为【例15】 设0a b >>，那么21()a b a b +-的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式】 设221x y +=，则()()11xy xy -+的最大值是 最小值是 .【变式】 已知()23200x y x y+=>>，，则xy 的最小值是 .【例16】 已知2222,,x y a m n b +=+=其中,,,0x y m n >，且a b ≠，求mx ny +的最大值．【变式】 0,0,4,a b a b >>+=求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．【例17】 设x ，y ，z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ．【例18】 ⑴已知x 、y +∈R ，且2520x y +=，当x =______，y =_____时，xy 有最大值为_______．⑵若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是_______，此时____,_____.a b ==3.均值与函数最值【例19】 求函数2y =的最小值．【例20】 求函数y =.【例21】 求函数2211()1f x x x x x =++++的最小值．【例22】 已知3x ≥，求4y x x=+的最小值.【变式】 求函数2y =【点评】 当a 、b 为常数，且ab 为定值，a b ≠时，2a b+>般方法是通过函数的单调性求最值或者通过恒等变形a b +求出a b -之差的最内能取到对应的值，所以这里需要讨论，可以看出，这种讨论很繁琐晦涩，一般不用．【变式】 函数()992(33)x x x x f x --=+-+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3-D ．2-【例23】 ⑴求函数2241y x x =++的最小值，并求出取得最小值时的x 值．⑵求y =的最大值．【变式】 ⑴求函数211ax x y x ++=+（1x >-且0a >）的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．【点评】 第⑴题在解答过程中如果选用判别式法往往会陷入困境：由21yx y ax x +=++得：2(1)10ax y x y +-+-=，2(42)140y a y a ∆=+-+-≥，且要满足有大于1-的解，下面的讨论与求解过程十分复杂，故这里用判别式法不合适．【例24】 ⑴求函数22(2)y x x =-的最大值．⑵求2y =的最小值．⑶求函数2y =的最值．【例25】 ⑴已知54x <，求函数11454y x x =-+-的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．⑶求函数22(2)y x x =-的最大值．【变式】 ⑴已知，a b 是正常数，a b ≠，(0)，，x y ∈+∞，求证：222()≥a b a b x y x y+++，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0)2，x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．【变式】 分别求2213()32(0)g x x x x x x =-++->和2213()32(0)f x x x x x x=+++->的最小值．【例26】 ⑴求函数422331x x y x ++=+的最小值． ⑵解不等式：21log (6)2x x x --->．【例27】 函数()f x =的最大值为（ ）A ．25B ．12C D ．1【例28】 设函数1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x （ ） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【变式】 设222()S x y x y =+-+，其中x ，y 满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为_________．【例29】 设00，a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．14【例30】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是( ) A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12【点评】 排序不等式知识：定义：设a a a ≤≤≤，b b b ≤≤≤为两组实数，c c c ，，为b b b ，，的任一称1211n n n a b a b a b -++为两个实数组的反序积之和（简称反序和）。
均值定理
ab称为正数a、b的几何平均数．
3、 均 值 定 理 推 广 形 式 ：
a +b a+b 2 如果a , b ∈ R ，则 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b
+ 2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
a +b 称为a、b的平方平均数 2 2 称为a、b的调和平均数 1 1 + a b
2 2
1.重要不等式：
若a、b ∈ R, 则a + b ≥ 2ab ≥ 2ab
2 2
2 (a + b
2
2
) ≥ ( a + b)
2
当且仅当a=b时，等号成立。
2、均值定理：
若a > 0，b > 0，则a + b ≥ 2 ab
a+b a+b 即 ≥ ab． ab ≤ ( a > 0, b > 0 )； 2 2 a+b 称为正数a、b的算术平均数， 2
(
)
Q 2x 2 + ( y 2 + 1) ≥ 2 2x 2 ( y 2 + 1) = 2 2 ⋅ x y 2 + 1
2
∴2 2 ⋅ x y + 1 ≤ 3⇔ x y + 1 ≤
2
3 2 = 2 2 4
3
Q 2b + a + ab = 30 ⇔ b = 30 − a
− a 2 + 30a − ( a + 2 ) 2 + 34 ( a + 2 ) − 64 30 − a = ∴ ab = a ⋅ = a+2 a+2 a+2
)
课件5：§3.2 均值不等式
解法二：∵0＜x＜13，∴13－x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2＝112， 当且仅当 x＝13－x， 即 x＝16时，等号成立． ∴x＝16时，函数取最大值112.
变式训练 2：已知 t>0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为________． 【解析】∵t>0，∴y＝t2－4tt＋1＝t＋1t －4≥2－4＝－2， 当且仅当 t＝1t ，即 t＝1 时，等号成立.
变式训练 1：某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第
三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则( )
A．x＝a＋2 b
B．x≤a＋2 b
C．x＞a＋2 b
D．x≥a＋2 b
【解析】∵这两年的平均增长率为 x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设 a＞0，b＞0. ∴1＋x＝ 1＋a1＋b≤1＋a＋2 1＋b ＝1＋a＋2 b，∴x≤a＋2 b. 等号在 1＋a＝1＋b 即 a＝b 时成立．
【答案】6 4
4．若正数 a、b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________．
【解析】∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab. ∵ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3， ∴( ab)2－2 ab－3≥0， ∴ ab≥3 或 ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9.
【答案】[9，＋∞)
5．a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值． 解：∵a>0，b>0，1a＋9b＝1， ∴a＋b＝(1a＋9b)(a＋b) ＝1＋9＋ba＋9ba≥10＋2 ba·9ba＝10＋2×3＝16. 当且仅当ba＝9b，即 b2＝9a2 时等号成立．
均值不等式及其应用
2 当且仅当ab＝ab 时等号成立，
1 1 2 所以 2＋ 2＋ab≥ab＋ab≥2 2， a b 1 1 a2＝b2 当且仅当 2 ＝ab ab
，即 a＝b＝ 2时取等号．
4
bc ac ab 3．(1)设 a，b，c 都是正数，求证： a ＋ b ＋ c ≥a＋b＋c. 1 1 (2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：a＋b≥4.
∴y＝4x· (3－2x)＝2[2x(3－2x)]
2x＋3－2x 2 9 ≤2 ＝2. 2
3 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝ 时，等号成立． 4 3 3 ∵ ∈0，2， 4 ∴函数
3 9 y＝4x(3－2x)0<x<2的最大值为 . 2
如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来
求解．
[题组自测] 1．已知 a、b、c∈R 且 a＋b＋c＝1， 1 1 1 求证：(a－1)(b－1)(c －1)≥8.
证明：∵a、b、c∈R 且 a＋b＋c＝1， 1－a1－b1－c 1 1 1 ∴ ( a － 1)( b － 1)( c － 1) ＝ ＝ abc b＋ca＋ca＋b 2 bc· ac· ab 2 2 ≥ ＝8. abc abc 1 当且仅当 a＝b＝c＝ 时取等号． 3
3 4 已知 x>0，y>0 且x＋y ＝1，求使 x＋y≥c 恒成立的 c 的取值范围．
3 4 解：∵x>0，y>0 且x＋ y＝1. 3 4 ∴x＋y＝(x＋y)(x＋ y ) 3y 4x ＝7＋ x ＋ y ≥7＋2 3y 4x x · ＝7＋4 3， y
3y 4x 当且仅当 x ＝ y ，即 3y＝2x 时等号成立， 此时 x＝3＋2 3，y＝4＋2 3. 要使 x＋y≥c 恒成立，只需 c≤7＋4 3. ∴c 的取值范围是(－∞，7＋4 3]．
均值定理不等式
课时小结
（1）掌握重要不等式 a 2 b 2 2ab （2）掌握基本不等式
ab ab 2
作业
1，已知a>0,b>o求证： 1） 9
a
a
6,
2） a
b 2 b a
1 y x x2
2，当x>2时，求函数
的最小值
解 根据均值定理，得
ab 6 ab 3, 2 2
从而
ab 9.
6 等号成立当且仅当 a b 3, 2
此
时 ab 达到最大值9.
已知
求
a 0, b 0, 且 ab 16,
ab
的最小值.
解 根据均值定理，得
a b 2 ab 2 16 2 4 8,
2
A
a
O
C b
B
D'
例题：
求证：对于任意正实数
a ，有 1 a 2 a 等号成立当且仅当 a 1
证明 根据均值定理，对于任意正实数 a ，有
从ห้องสมุดไป่ตู้有
1 1 1 a a 2 a a 1 a 2. a
即 a 1.
1 等号成立当且仅当 a , a
拓展
已知 a 0, b 0 且 a b 6, 求 ab 的最大值.
证明：
a 2 b 2 2ab a 2 2ab b 2 (a b) 2 a, b R a b a b 0 (a b) 2 0 a 2 b 2 2ab a b a b 0 (a b) 2 0 a 2 b 2 2ab a 2 b 2 2ab
第六章 第二节 均值不等式
(a， 同号且不为零 同号且不为零)． ≥ 2 ，b同号且不为零 ．
3．算术平均值与几何平均值 ． 设a>0，b>0，则a，b的算术平均值为 ， ， ， 的算术平均值为 值为 ，几何平均
(2009·湖北高考 围建一个面积为 湖北高考)围建一个面积为 湖北高考 围建一个面积为360m2的矩形场 利用的旧墙需维修)， 地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修 ， 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用的旧墙需维修 其他三面围墙要新建， 其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度 的进出口， 已知旧墙的维修费用为45元 ， 为2 m的进出口，如图所示 已知旧墙的维修费用为 元/m， 的进出口 如图所示.已知旧墙的维修费用为 新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为 单位：m)， 元 设利用的旧墙长度为x(单位 新墙的造价为 设利用的旧墙长度为 单位： ， 修建此矩形场地围墙总费用为y(单位： 修建此矩形场地围墙总费用为 单位：元). 单位
的最大值； 的最大值；
(3)已知 ＞0，y＞0，且x＋y＝1，求 已知x＞ ， ＞ ， ＋ ＝ ， 已知
的最小值. 的最小值
[思路点拨 思路点拨] 思路点拨 (1)题可直接利用均值不等式，(2)、(3)题先配凑利用均值 (1)题可直接利用均值不等式，(2)、(3)题先配凑利用均值 题可直接利用均值不等式 不等式的条件． 不等式的条件．
[特别警示 证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基 特别警示] 证明不等式时要注意灵活变形， 特别警示 本不等式时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意 本不等式时，要注意每次等号是否都成立， 基本不等式的变形形式的应用. 基本不等式的变形形式的应用
2.2 均值定理课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
知识点1 知识点2 知识点3
1．均值定理
如果 a，b∈R＋，则有 a＋b≥2 ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
知识点1 知识点2 知识点3
2．利用均值定理求最值
如果 a，b∈R＋，且 ab 为定值，则当且仅当 a＝b 时，a＋b 有最小值 2 ab. 如果 a，b∈R＋，且 a＋b 为定值，则当且仅当 a＝b 时，ab 有最大值a＋2 b2.
【融会贯通】 已知 0＜x＜4，求 x(4－x)的最大值． 解：∵ 0＜x＜4，∴ x＞0，4－x＞0，x＋(4－x)＝4 根据均值定理：x＋(4－x)≥2 x（4－x）⇒2≥ x（4－x）⇒4≥x(4－x) 当且仅当 x＝4－x，即 x＝2 时取最大值 4.
例3 已知 x＞1，则 x＋x－4 1的最小值是(
时，函数 y＝5－x－4x有最大值，其值为 1.
12．求函数 y＝ xx2＋2＋21的最小值．
【解析】
根据均值定理：
x2＋2 x2＋1
＝
x2＋1＋1 x2＋1
＝
x2＋1 ＋
1 x2＋1
≥
2
x2＋1· x21＋1＝2，故当且仅当 x2＋1＝ x21＋1时，即 x＝0 时，函数
y＝ xx2＋2＋21的最小值为 2.
例2 已知 0＜x＜8，求 x(8－x)的最大值． 【分析】 在应用均值定理 a＋b≥2 ab求最值时，要把握不等式成立的三 个条件及结论，一正二定三相等． 【解】 因为 0＜x＜8，所以 x＞0，8－x＞0，x＋(8－x)＝8， 根据均值定理：x＋(8－x)≥2 x（8－x）⇒8≥2 x（8－x）⇒16≥x(8－x)， 当且仅当 x＝8－x，得 x＝4，故 x＝4 时取最大值 16.
不等式的证明--均值定理
作业
课本P48,习题2-1,B.4
这个也是均值定理 均值定理
练习:1
若a > 0, b > 0, c > 0
) ;
a, b, c的算术平均数是 a + b + c (
3
a, b, c的几何平均数是
(
3
abc
)
2
对于一正数数列 {a n }
)
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n 的算术平均数是 ( a 1 + a 2 + ... + a n n a1 , a 2 ,..., a n的几何平均数是 ( n a a ... a )
均值定理
教学目标:
1.掌握均值定理 2.会用均值定理证明不等式
知识回顾
学过的不等式证明方法:作差比较法 作差比较法的要领是:1,作差;2,与0比较
a > b ⇔ a = b ⇔ a < b ⇔
a − b > 0 a − b = 0 a − b < 0
课前练习
课本P47,A,3(1),(3)
3.已知 : a ∈ R , 求证 : (1) a 2 + 7 > 5a;
例5
a + b ≥ ab , ( a > 0 , b > 0 ), 求证 : 2 当且仅当 a = b 时 ， 等号成立 .
a + b − 2 ab a +b 证明 : Q − ab = 2 2 ( a)2 +( b)2 −2 a b ( a − b)2 = = ≥0 2 2 a+b ∴ ≥ ab 2
1 2 n
练习3
求证:
对 ∀ 实数 a , 都有 a 2 + 4 ≥ 4 a , 并说明 ， 当且仅当 a = 2时 ， 等号成立 .
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高二数学 必修五 NO 使用时间： 班级： 组别：
课题：均值不等式一学案
1．掌握均值定理的内容，特别是等号成立的条件；
2．理解均值定理的内容及几何意义，会用均值定理去解实际简单的最值问题。
1．不等式的对称性用字母可以表示为 ．
2．不等式的传递性用字母可以表示为____________________． 3．不等式的加减法则是指不等式两边都加上（或减去）同一个数（或整式）不等号方向不变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向不等式可以相加，用字母可以表示为 ． 4．不等式的乘法法则是指不等式两边都乘以同一个不为零的正数，不等号方向不变用字母可以表示为 ；同时乘以同一个不为零的负数，不等号方向改变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向同正的不等式具有可乘性，用字母可以表示为 。
5．乘方、开方法则要注意性质仅针对于正数而言，若底数（或被开方数）为负数时，需先
变形。
如：a<b<0,则a 2 b 2，a 3 b 3 6．倒数法则是对同号的两个数而言的，即只要两个数同号，那么大数的倒数就一定小，用字母可以表示为 ；若两个数异号，由于正数大于所有负数，所以倒数的大小自然易判断，如－3<5,那么倒数大小关系为 。
均值定理 如果,,R b a ∈那么
ab b a ≥+2。
当且仅当b a =时，等号成立。
证明：
算术平均数：
几何平均数：
均值定理可以表述为：
【思考与讨论】
均值不等式与不等式ab b a 222≥+的关系如何？请对此进行讨论。
下面我们给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深同学们对均值不等式的理解。
我们可以令正实数b a ,为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为
2
b a +和ab 的两条线段，然后比较这两条线段的长。
具体作图如下：
⑴作线段b a AB +=，使;,b DB a AD ==
⑵以AB 为直径作半圆O;
⑶过D 点作CD ⊥AB 于D ，交半圆于点C ； ⑷连接AC,BC,OC,则2
b a CO +=。
例1已知,0>ab 求证：2≥+b a a b ，并推导出式中等号成立的条件。
例2（1）一个矩形的面积为1002
m 。
问这个矩形的长和宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
（2）已知矩形的周长为36m 。
问这个矩形的长和宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
由例2的求解过程，可以总结出以下规律：
例3求函数())0(322>-+-=x x
x x x f 的最大值，以及此时x 的值。
巩固检测
1、若a 、b 为正数且a+b=4，则ab 的最大值是________．
2、已知x>1.5，则函数y ＝2x+3
24-x 的最小值是_________．
高二数学 必修五 NO 使用时间： 班级： 组别：
课题：均值不等式二学案
1．掌握均值定理的内容，特别是等号成立的条件；
2．进一步理解均值定理的内容及几何意义，灵活运用均值定理去解决实际简单的最值问题。
⒈正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．
⒉均值不等式是 。
其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？
⒊在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．
⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）
（1）a 2+b 2 ( ) （2）2b a （ ） （3）a b ＋b a （ ） （4）x ＋x
1 (x>0) （5）x ＋x 1 (x<0) （6）ab ≤ （ ）
⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．
6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________；． ⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x 的值为___________________。
例⒈已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证
a 1 +
b 1+c
1≥9．
例⒉（1）已知x<45，求函数y=4x －2+5
41-x 的最大值． （2）已知x>0，y>0，且+x 1y
9＝1，求x ＋y 的最小值。
（3）已知a 、b 为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。
一．选择题：
⒈下列命题正确的是（ ）
Ａ．a 2+1>2a Ｂ．│x+x 1│≥2 Ｃ．ab
b a +≤2 Ｄ．sinx+x sin 4最小值 ⒉以下各命题(1)x 2+112+x 的最小值是1；（2）1222++x x 最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+a 1）(b+b
1)的最小值是4，其中正确的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 ⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（ ） Ａ．a b ＋b
a ≥2 Ｂ．a 2+
b 2≥2ab Ｃ．a b 2＋b a 2≥a ＋b Ｄ．b a 11+≥2+b
a +2 ⒋设a 、
b ∈R ＋，若a+b=2，则b
a 11+的最小值等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
⒌已知a ≥b>0，下列不等式错误的是（ ）
Ａ．a 2+b 2
≥2ab Ｂ．222b a a +≥ Ｃ．b a ab ab +≤2 Ｄ．112--+≥b a ab
1．
2
b a +；ab 2．2b a +≥ab ；算术平均数2b a +；几何平均数ab ；圆中的相交弦定理的推论（略）。
3．a ，b ∈R ＋；a=b
4．⑴≥2ab （a,b ∈R ）⑵≥ab ( a ，b ∈R ＋)⑶≥2（a 、b 同号）或≤－2（a 、b 异号） ⑷≥2⑸≤－2⑹≤（
2b a +）2（a,b ∈R ）； 5．定。
6．⑴1，1；⑵2，1；⑶
21，2
1；⑷－1，－1。
【典例解析】 例1．解析：原式＝（
a 1 +
b 1+
c 1）（a+b+c ）＝3＋（b a a b +）＋（c a a c +）＋（b
c c b +）≥3＋2＋2＋2＝9当且仅当a=b=c=31时取等号。
例⒉解析：
（1）∵x<
45 ∴4x-5<0 ∴y=4x －2+541-x =(4x-5)+541-x +3≤－2＋3＝1当且仅当4x-5＝5
41-x 时即4x-5＝－1，x ＝1时等号成立，∴当x ＝1时，取最大值是1 （2）解法一、原式＝（x ＋y ）（+x 1y 9）＝y x x y 9++10≥6＋10＝16当且仅当x
y ＝y x 9时等号成立，又+x 1y
9＝1∴x=4,y=12时，取得最小值16。
解法二、由+x 1y 9＝1得（x-1）(y-9)=9为定值，又依题意可知x>1，y>9∴当且仅当x-1=y-9=3时即x=4，y=12时，取最小值16。
（3）解法一、转化为二次函数求最值问题（略）
解法二、∵222n m +≥（2)2
n m +∴y=(x-a)2+(x-b)2＝y=(x-a)2+(b-x)2≥2[2)()(x b a x -+-]2＝2)(2b a -，当且仅当x-a=b-x 即x=2
b a +时，等号成立。
∴当x=2
b a +时取得最小值2)(2b a -。
一元二次不等式及其解法 例1解不等式：
（1）;0322>+-x x （2）0322<+-x x 。
例2解不等式0412>--x x 。
例3解不等式0442>++x x 。
例4解不等式03422>-+-x x 。
例5求函数()()
23223log 32x x x x x f -++-+=的定义域。