高等数学同济六版第七章微分方程7-4PPT课件
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高等数学-第七章-微分方程
工程应用
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
高数第六版7.7.ppt
那么，y C1 y1 C2 y2就是微分方程(1)的通解.
当r为常数时，指数函数y erx和 它 的 各 节 导 数 都 只 相 差一 个 常 数 因 子 ，
由于指数函数有这个特点，因此我们用y erx来尝试， 看能否选取适当的r，使y erx满足方程(1).
设 y erx ,
y re rx , y r 2erx
[(C0 C1 x Ck1 xk1 )cosx (D0 D1 x Dk1 xk1 )sinx]ex
注意
n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数.
y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例5 求方程 y(5) y(4) 2 y(3) 2 y y y 0 的通解.
2
特征方程有两个不相等的实根 p2 4q 0
特征根为r1 p
p2 4q ,
2
p r2
p2 4q ,
2
r1
r2 ,
y2 y1
e r2 x e r1x
e(r2 r1 ) x
常数，
两个线性无关的特解 y1 e r1x , y2 er2x ,
得齐次方程的通解为 y C1e r1x C2e r2 x
例3 求微分方程y 2 y 3 y 0的通解.
解 所给微分方程的特征方程为
r 2 2r 3 0
特征根为：r1 1, r2 3是两个不等实根，
因此所求方程的通解为 y C1e x C2e3 x
例4
求
方
程d 2s dt 2
2
ds dt
s
0
满足初始条件s |t0 4, s |t0 2的特解.
(见下表)
y py qy 0 r 2 pr q 0
当r为常数时，指数函数y erx和 它 的 各 节 导 数 都 只 相 差一 个 常 数 因 子 ，
由于指数函数有这个特点，因此我们用y erx来尝试， 看能否选取适当的r，使y erx满足方程(1).
设 y erx ,
y re rx , y r 2erx
[(C0 C1 x Ck1 xk1 )cosx (D0 D1 x Dk1 xk1 )sinx]ex
注意
n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数.
y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例5 求方程 y(5) y(4) 2 y(3) 2 y y y 0 的通解.
2
特征方程有两个不相等的实根 p2 4q 0
特征根为r1 p
p2 4q ,
2
p r2
p2 4q ,
2
r1
r2 ,
y2 y1
e r2 x e r1x
e(r2 r1 ) x
常数，
两个线性无关的特解 y1 e r1x , y2 er2x ,
得齐次方程的通解为 y C1e r1x C2e r2 x
例3 求微分方程y 2 y 3 y 0的通解.
解 所给微分方程的特征方程为
r 2 2r 3 0
特征根为：r1 1, r2 3是两个不等实根，
因此所求方程的通解为 y C1e x C2e3 x
例4
求
方
程d 2s dt 2
2
ds dt
s
0
满足初始条件s |t0 4, s |t0 2的特解.
(见下表)
y py qy 0 r 2 pr q 0
高等数学同济件 微分方程总结PPT课件
2.求微分方程 y 4 y 3 y 0 的积分曲线方程, 使其在点(0,2)与直线x-y+2=0相切.
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四、设f(x)是二阶可微函数，且 f ( x) f ( x) f ( x) 0
证明若f(x)在某不同两点处的函数值为0， 则f(x)在该两点之间恒为零。
设x1, x2使f ( x1 ) f ( x2 ) 0
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y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0
(1)
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f ( x) (2)
定理3 设y*是非齐次线性方程(2)的特解， Y是齐次线性方程(1)的通解, 则 y=Y+y* 是非齐次线性方程(2)的通解。
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定理2：若 y1( x)与 y2( x)是方程
y p( x) yq( x) y 0 (1)的两个线性无关
的特解, 则 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解. 五、二阶常系数线性微分方程的解法
第10页/共21页
一、填空题
综合练习
1.曲线族 y Cx2 所满足的一阶微分方程是_x_y__ 2 y
f ( x) f ( x) f ( x) 0 ( x1 x x2 )
r2 r 1 0
r1,2
1 (1 2
5)
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故f ( x) C1er1x C2er2x f ( x1) f ( x2 ) 0 C1er1x1 C2er2x1 0
C1er1x2 C2er2x2 0 C1 C2 பைடு நூலகம் 故f(x)=0
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y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) (3) y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f2( x) (4) 定理4 设 y1* , y2* 分别是方程(3)与(4)的特解, 则 y1* y2* 是方程 y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) f2( x) 的特解。
同济大学《高等数学》第六版：D7_4一阶线性微分方程共20页PPT
同济大学《高等数学》第六 版：D7_4一阶线性微分方
程
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
程
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
7-4 一阶线性微分方程(高等数学)
§7.4 一阶线性微分方程教学内容：一．一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式为()()y P x y Q x '+=，其中()()P x Q x ,为已知连续函数，()Q x 称为方程的自由项.当()0Q x ≠时,称()()y P x y Q x '+=为一阶线性非齐次微分方程.当()0Q x =时,称()0y P x y '+=为()()y P x y Q x '+=所对应的一阶线性齐次微分方程．1. 一阶齐次线性微分方程一阶齐次线性微分方程()0y P x y '+=是可分离变量的微分方程，通解为()d e P x x y C -⎰=．注 对于一阶线性齐次微分方程()0y P x y '+=的求解有两种常用方法：（1）利用分离变量法求其通解；（2）利用通解公式法求其通解.先化为标准形式确定()P x ，再代入通解公式求解．2.一阶非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎰⎰=+⎰（常数变易法）.注：对于一阶非齐次线性微分方程()()y p x y Q x '+=的求解有两种常用方法：（1）先求出对应的齐次方程通解，再利用常数变易法求其通解.（2）直接利用非齐次方程的通解公式求其通解.二．伯努利方程1．形如d ()()(0,1)d n y P x y Q x y n x +=≠的方程为伯努利方程.2．伯努利方程的解法：令1n z y -=，可化成关于z 为未知函数的一阶线性微分方程d (1)()(1)()d z n P x z n Q x x+-=-，解出z 后代入变换关系1n z y -=即得方程原方程的通解.三．例题讲解例1.求微分方程e sin 0y y x -'-=的通解.例2.求2d (21)d y x y x=-的通解． 例3.求20y xy '-=满足03x y ==的特解．例4．医学研究发现，刀割伤口表面恢复的速度为()2d 51d =-≥y t t t （2cm /day ），其中，y 表示伤口 的面积，t 表示时间，假设215cm t y ==，问受伤5天后该病人的伤口表面积为多少.例5．求微分方程)ln ln 1(x y y y x -+='的通解.例6.求方程30xy y x '=>（）的通解. 例7.求方程23(0)xy x y x '=+>的通解．例8.求一阶线性微分方程230xy x y x '=+>（）满足初始条件12x y ==的特解．例9.已知汽艇在静水中行驶时受到的阻力与汽艇的行驶速度成正比，若一汽艇以10km/h 的速度在静水中行驶时关闭了发动机，经20s 后汽艇的速度减至6km /h ，试确定发动机停止2min 后汽艇的速度. 例10.求解微分方程2d (ln )(0)d y y x y x x x+=>.。
高等数学微分方程总结ppt课件.pptx
y py qy 0,
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
2019-高等数学课件同济版微分方程的基本概念-文档资料
例1. 验证函数 x C cos k t C sin k t ( C ,C 为常数 ) 1 2 1 2 d2 x 2 的解, 并求满足初始条件 是微分方程 2 k x 0 d t dx x A cos k t 0 的特解 . x t0 A, dt t 0 例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
M M 0e
t
例7. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
k t m g v ( 1e m )
k
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解
2. 可分离变量方程的求解方法:
( x y )y 0
后者是通解 ,
但不包含前一个解 . 通解不一定是方程的全部解 .
d y x y 例5. 求方程 e 的通解 . d x
x y ( e C ) e 1 0(C<0 )
例6. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 M 0 , 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
分类
常微分方程 (本章内容)
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
( n ) F ( x , y , y , , y ) 0
或
( n ) ( n 1 ) ( n 阶显式微分方程) y f ( x , y , y , , y )
高等数学上册第七章课件.ppt
y C2 ex ,再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
第四节 可降阶的二阶微分方程
小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
第四节 可降阶的二阶微分方程
例 求解 解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
第四节 可降阶的二阶微分方程
例
解初值问题
y e2y 0 y x 0 0 ,
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解:
y
C
e
P(x)d
x
eP(x)d x
Q(x) eP(x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•线性齐次方程解的结构
定理 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
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2
4
交线如图.
二、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线的参数方程
z z(t)
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 2 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2上以
角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于z
x a cos
y
a
sin
z b
( t,
螺旋线的重要性质：
b v)
上升的高度与转过的角度成正比．
即 : 0 0 , z : b0 b0 b , 2, 上升的高度 h 2b 螺距
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
曲线关于xoy 的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C 在xOy面上的投影曲线，或简称投影
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H(x, y) 0
z
0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
空间曲线的一般方程
z
S1
S2
C
o
y
x ( x
a )2 2
y2
a2 4
表示怎样的曲线？
解 z a2 x2 y2
上半球面,
( x a )2 y2 a2 圆柱面,
yoz 面上的投影曲线, xoz面上的投影曲线,
R( y, z) 0
x
0
T ( x, z) 0
y
0
例3 已知两球面的方程为
x2 y2 z2 1 x2 ( y 1)2 (z 1)2 1
求它们的交线C在xOy面上的投影方程
解 先求包含交线C而母线平行于轴的柱面方 程。因此要由方程（7）、（8）消去z,为此可 先从（7）式减去（8）式并化简，得到
y z 1 z 1 y
代入球面方程得x2 2 y2 2 y 0 投影柱面方程
x2 2y2 2y 0
投影曲线方程
z0
例4 设一个立体,由上半球面 z 4 x2 y2 和 z 3( x2 y2 )锥面所围成,求它在 xoy 面上的投影 .
解 半球面和锥面的交线为
C
:
z
4 x2 y2,
轴的正方向上升（其中 、v 都是常数），那么点
M 构成的图形叫做 螺旋线 ．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在 xoy面的投影M ( x, y,0)
t
o
M
•
x A M y
x a cost y a sint
z vt
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
z 3( x2 y2 ),
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1,
一个圆,
z 0.
所求立体在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1.
如下图所示
z
o x
y
x2 y2 1
思考题
求椭圆抛物面2 y2 x 2 z 与抛物柱面 2 x2 z的交线关于xoy面的投影柱面和 在 xoy面上的投影曲线方程.
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
14
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal