第11章 偏微分方程和数值方法
偏微分方程数值方法
偏微分方程数值方法偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学中的一种重要的方程类型，它描述了一个函数的多个变量的变化关系。
解决偏微分方程的数值方法在科学和工程领域有着广泛的应用。
本文将介绍几种常见的偏微分方程数值方法，并对其进行详细阐述。
1. 差分法（Finite Difference Method）：差分法是最早也是最直接的一种数值方法，它基于连续函数在一些点的导数可以用它的前向、后向或中心的差商来近似的思想。
偏微分方程的差分格式包括向前差分法、向后差分法和中心差分法等。
对于二维的偏微分方程，可以采用网格化的方式将空间离散化，然后利用差分法进行近似求解。
2. 有限元法（Finite Element Method）：有限元法是一种基于原始形式或变分形式对偏微分方程进行离散化的方法。
在有限元法中，将求解域分割成许多小的、简单的几何单元，然后在每个单元上构建近似解函数和试验函数。
通过构建弱形式并应用基本的变分原理，可以得到离散化的方程组，并通过求解这个方程组来得到数值解。
3. 有限差分法（Finite Difference Method）：有限差分法是一种将连续的偏微分方程离散化成差分方程的方法。
它与差分法的主要区别在于有限差分法不需要对求解域进行网格化，而是直接在连续的求解域上进行离散化。
将偏微分方程中的导数通过差商来近似，然后通过求解离散化的差分方程来得到数值解。
4. 有限体积法（Finite Volume Method）：有限体积法是一种将偏微分方程离散化为离散体积元的方法。
在有限体积法中，将求解域划分成离散的控制体积，然后通过对控制体积的积分运算，将偏微分方程转化为离散的代数方程组。
然后通过求解得到的代数方程组，可以得到数值解。
以上介绍的只是几种常见的偏微分方程数值方法，实际上还有很多其他的方法，如边界元法（Boundary Element Method）、谱方法（Spectral Method）、逆问题方法（Inverse Problem Method）等。
偏微分方程的数值方法
偏微分方程的数值方法偏微分方程是描述自然界许多现象的一种数学模型，它包含多个独立变量，并且方程中的未知函数同时取决于这些变量。
偏微分方程的数值方法是一种求解这类方程的途径，它通过将连续的方程转化为离散的方程，从而使得问题成为一个适用于计算机求解的形式。
本文将介绍几种常用的偏微分方程数值方法。
1. 有限差分法 (Finite Difference Method)有限差分法是最常用的偏微分方程数值方法之一、它将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，通过计算差分方程的近似解来获得原方程的数值解。
在有限差分法中，首先将空间域离散化成网格，再将时间域离散化成步长。
通过近似替代偏微分方程中的导数，将方程转化为差分方程。
通过求解差分方程的解，可以得到偏微分方程的数值解。
2. 有限元法 (Finite Element Method)有限元法是另一种常用的偏微分方程数值方法。
它将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，通过求解代数方程来获得原方程的数值解。
在有限元法中，首先将空间域离散化成有限个小区域，称为有限元。
然后通过选取适当的试探函数和权重函数在每个有限元内部进行插值。
通过将插值函数带入原方程，使用变分原理和加权残差法推导出离散的代数方程。
再通过求解代数方程组的解来得到偏微分方程的数值解。
3. 边界元法 (Boundary Element Method)边界元法也是一种常用的偏微分方程数值方法。
它将连续的偏微分方程转化为边界上的积分方程，通过求解积分方程来获得原方程的数值解。
在边界元法中，将问题的物理域分为两个区域：内域和外域。
通过在内域内求解偏微分方程，得到内域的数值解。
然后通过边界条件将内域的解扩展到整个物理域的边界上。
最后将边界上的积分方程转化为代数方程组，并求解之得到最终的数值解。
4. 谱方法 (Spectral Method)谱方法是一种高精度的偏微分方程数值方法，它同时利用了空间域和频率域的特性。
偏微分方程的数值方法
偏微分方程的数值方法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中研究的重要分支，广泛应用于物理学、工程学等领域中。
由于一些复杂的PDEs难以找到解析解，因此需要借助数值方法进行求解。
本文将介绍偏微分方程的数值解法，包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是解偏微分方程最常用的数值方法之一。
它将偏微分方程中的导数用差商来近似，将空间离散成若干个小区间和时间离散成若干个小时间步长。
通过求解离散化后的代数方程，可以得到原偏微分方程的数值解。
以二维的泊松方程为例，偏微分方程可以表示为：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = f(x, y)其中，u(x, y)为未知函数，f(x, y)为已知函数。
我们可以将空间离散成Nx × Ny个小区间，时间离散成Nt个小时间步长。
利用中心差分法可以近似表示导数，我们可以得到离散化的代数方程组。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种重要的数值解PDEs的方法。
它将求解区域离散化成一系列的单元，再通过插值函数将每个单元上的未知函数近似表达。
然后，利用加权残差方法，将PDEs转化成代数方程组。
在有限元法中，采用形函数来近似未知函数。
将偏微分方程转化为弱形式，通过选取适当的形函数和权函数，可以得到离散化后的代数方程组。
有限元法适用于求解各种各样的偏微分方程，包括静态和动态、线性和非线性、自由边界和固定边界等问题。
三、谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于特殊函数（如正交多项式）的数值方法，用于解PDEs。
谱方法在求解偏微分方程时，利用高阶连续函数拟合初始条件和边界条件，通过调整特殊函数的系数来近似求解解析解。
谱方法具有高精度和快速收敛的特点，适用于各种偏微分方程求解。
数学中的偏微分方程数值方法
数学中的偏微分方程数值方法偏微分方程是数学中比较重要的一个分支，它应用非常广泛，包括物理、工程和经济等领域。
对于许多偏微分方程而言，解析解并不容易得到，而一些数值方法则可以用来求出近似解，从而又有了许多其他应用。
本文将介绍偏微分方程数值方法的一些基本原理和应用。
一、偏微分方程数值离散化方法偏微分方程数值离散化方法是求解偏微分方程的基础。
数值离散化方法的主要思想是将偏微分方程中的无限维空间转换为有限维空间，进而通过有限维的求解来得到偏微分方程的近似解。
最基本的离散化方法是有限差分法，即将空间和时间域划分成若干个网格点，然后根据偏微分方程的定义，将求导的过程转化为一个由网格点上函数值的差分格式，然后通过迭代求解来得到数值解。
不同的偏微分方程离散化方法还有矩量法、有限元法等。
这些方法通过不同的数学方式对偏微分方程进行离散化，进而得到更准确的数值解。
此外，随着计算机算力的提升，更高级的数值离散化方法不断出现，比如神经网络方法等。
二、常用的偏微分方程数值求解算法对于偏微分方程的求解，常用的算法包括迭代法和直接求解法两类。
1. 迭代法迭代法是一种常用的数值求解方法。
利用迭代法求解偏微分方程时，可以将偏微分方程写成一个迭代格式，然后通过迭代计算逐步逼近数值解。
其中，较常见的迭代法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、逐步逼近法等。
雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法主要用于线性方程组的求解，而逐步逼近法则广泛用于非线性问题和偏微分方程的求解。
2. 直接求解法直接求解法主要是指使用直接求解矩阵方程的方法。
通过将偏微分方程转化为线性或非线性的矩阵方程，然后采用消元法、LU 分解等求解方法，可以得到解析解或数值解。
在此种方法中，最常用的是有限元法和有限差分法。
其中有限元法基于矩阵变换的思想，将空间的离散化和时间的离散化导入到计算中，然后利用数值计算方法求解得到近似解。
三、偏微分方程数值方法在实际应用中的意义偏微分方程数值方法在实际应用中有很广泛的应用。
偏微分方程数值求解方法
偏微分方程数值求解方法偏微分方程数值求解方法是使用计算机算法来近似求解偏微分方程的过程。
偏微分方程是描述物理现象和自然现象的主要工具，但大多数偏微分方程不能通过解析方式求解，因此需要使用数值方法进行近似求解。
常用的偏微分方程数值求解方法包括有限差分法、有限元法、谱方法、边界元法和逆时空方法等。
1. 有限差分法有限差分法是一种最简单的数值求解方法，它将偏微分方程中的导数离散化为差分的形式，然后通过有限差分公式求解。
在有限差分法中，将求解区域离散化为网格，然后在每个节点上求解方程，通过节点之间的连通关系建立系数矩阵，最终利用线性代数方法求解线性方程组。
2. 有限元法有限元法是一种广泛运用的数值求解方法，它将求解区域离散化为有限个子域，然后在每个子域内近似求解方程。
有限元法是一种基于变分原理的方法，通过将偏微分方程转化为变分问题，然后在有限维的函数空间中建立逼近函数，最终利用变分方法求解方程。
3. 谱方法谱方法是一种基于傅里叶变换的数值求解方法，它将求解域上的函数表示为傅里叶级数的形式，然后通过求解系数来近似求解方程。
谱方法具有高精度、高效率的优点，但对于非周期边界和奇异性问题可能不适用。
4. 边界元法边界元法是一种基于积分方程的数值求解方法，它将偏微分方程转化为边界积分方程，然后在求解区域表面上求解方程。
边界元法不需要离散化求解区域，仅需在求解区域表面上采集节点，并通过节点之间的关系建立系数矩阵。
5. 逆时空方法逆时空方法是一种利用观测数据反演偏微分方程的数值求解方法，它通过最优化算法将观测数据反演为偏微分方程的参数。
逆时空方法对模型假设和观测数据的噪声较为敏感，但可以应用于各种偏微分方程的求解。
数学中的偏微分方程与数值计算
数学中的偏微分方程与数值计算在数学中，偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是描述多变量函数之间关系的方程。
它们在物理、工程、生物学等领域中具有广泛的应用。
然而，由于偏微分方程的复杂性，通常很难找到准确的解析解。
因此，数值计算方法在求解偏微分方程中扮演着重要的角色。
一、偏微分方程的基本概念偏微分方程是包含多个未知函数及其偏导数的方程。
一般形式如下：F(x, y, u, u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, \dots) = 0,其中，x 和 y 是自变量，u 是待求解的函数，u_x, u_y, u_{xx},u_{yy} 等分别表示 u 对 x 和 y 的一阶及二阶偏导数。
偏微分方程可进一步分为椭圆型、抛物型和双曲型，具体形式取决于方程中导数的符号性质。
二、数值计算方法由于大多数偏微分方程难以找到解析解，我们需要利用数值计算方法来近似求解。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
1. 有限差分法有限差分法是最常用的求解偏微分方程的数值方法之一。
它将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组。
通过将自变量空间离散化成一个个网格点，时间也离散化成一系列时间步长，我们可以根据差分近似计算导数，并得到离散的方程组。
进一步求解该代数方程组即可得到数值解。
2. 有限元法有限元法是一种应用广泛的数值计算方法，特别适用于边界值问题。
它将求解区域进行离散化，并引入试探函数和权重函数来构建逼近空间。
通过将偏微分方程转化为变分问题，并使用Galarkin近似方法求解，我们可以得到一个代数方程组。
通过求解该方程组，我们可以得到数值解。
3. 谱方法谱方法是一种特殊的数值计算方法，它利用了具有特殊性质的函数（例如切比雪夫多项式）在函数空间上的优良逼近性质。
通过选择合适的基函数并使用离散化方法，我们可以得到高精度的数值解。
然而，由于谱方法对解的光滑性要求较高，因此在处理非光滑解时可能存在困难。
微分方程和偏微分方程的数值解法
描述金融衍生品的定价过程，如布莱克-舒尔斯模型就是一个偏微分方程。通过求解该 方程，可以得到期权的理论价格以及相应的风险参数。
投资组合优化
在投资组合理论中，常使用微分方程来描述资产价格的动态变化和投资者的风险偏好。 通过求解这些方程，可以得到最优的投资组合配置策略以实现风险与收益的平衡。
数值解法需要保证稳定性和收敛 性，即当离散间隔趋近于零时， 数值解应趋近于真实解。
02
常微分方程的数值解法
欧拉方法
基本思想
通过逐步逼近的方式，利用已知点的信 息来推测下一个点的信息。
公式推导
基于泰勒级数展开，忽略高阶项得到近 似公式。
优缺点
简单易懂，但精度较低，仅适用于简单 问题。
改进方法
采用改进的欧拉方法或预估-校正法提 高精度。
物理问题中的微分方程和偏微分方程
牛顿第二定律
描述物体运动的基本定律，可以 表示为二阶常微分方程。通过求 解该方程，可以得到物体的位移 、速度和加速度等运动学量。
热传导方程
描述热量在物体内部传递的过程 ，是一个偏微分方程。通过求解 该方程，可以得到物体内部的温 度分布以及热量的传递速率。
波动方程
描述波动现象（如声波、光波等 ）的传播过程，是一个二阶偏微 分方程。通过求解该方程，可以 得到波的传播速度、振幅、频率 等波动特性。
工程问题中的微分方程和偏微分方程
结构力学中的弹性力学方程
描述结构在受力作用下的变形和应力分布，是一个偏微分方程。通过求解该方程，可以得到结构的位移、应 力和应变等力学量，为工程设计提供重要依据。
流体力学中的纳维-斯托克斯方程
描述流体运动的基本方程，是一个偏微分方程。通过求解该方程，可以得到流体的速度、压力和温度等流场 特性，为流体机械设计和优化提供指导。
数学中的偏微分方程与数值分析
数学中的偏微分方程与数值分析偏微分方程是数学中一类重要的方程，广泛应用于物理学、工程学、金融学等领域。
而数值分析则是解决偏微分方程的常用方法之一。
本文将探讨偏微分方程的基本概念和数值分析的应用。
一、偏微分方程的基本概念偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是包含多个变量及其偏导数的方程。
它描述了未知函数的各个变量的偏导数和该未知函数本身之间的关系。
常见的偏微分方程包括波动方程、热传导方程和扩散方程等。
（这里可以详细介绍每个方程的定义、特点和实际应用）二、数值分析的基本原理数值分析是研究数值计算方法和误差分析的学科，通过将连续问题离散化为离散问题来求得数值解。
在解决偏微分方程的数值分析中，常用的方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
1. 有限差分法有限差分法是将连续问题离散化为差分问题，通过有限差分近似求解偏微分方程。
其基本思想是利用导数的定义，将偏导数用差分来逼近，从而将偏微分方程转化为差分方程。
然后通过求解差分方程得到数值解。
2. 有限元法有限元法是将求解区域划分为有限数量的子区域，通过逼近精确解的方法求解偏微分方程。
首先将连续问题转化为弱形式，然后利用有限元空间中的基函数来逼近未知解，得到线性方程组，最后通过求解线性方程组得到数值解。
3. 谱方法谱方法是利用选择适当的基函数来逼近未知解的方法。
基函数的选择通常是正交多项式，如Legendre多项式或Chebyshev多项式等。
通过在每个基函数上求解系数，可以得到逼近偏微分方程的数值解。
三、偏微分方程与数值分析的实际应用偏微分方程和数值分析在各个领域都有广泛的应用。
以下以两个典型的应用为例进行介绍。
1. 热传导方程的数值模拟热传导方程描述了物体内部温度的变化。
通过使用数值分析方法，可以模拟物体随时间的温度分布，并预测未来的状态。
例如，在工程中可以利用热传导方程的数值模拟来设计散热器、风扇等散热设备。
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第 11 章
偏微分方程和数值方法
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u = a2 ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 + f ( x, y, z , t ) ∂t
（11-14）
其中 f = F / cρ 。在没有热源的情况下，就是说 F ( x, y, z, t ) = 0 ，上述方程可以进一步简 化为齐次方程：
其中 k ( x, y, z ) 是该物体在点 ( x, y, z ) 处的热传导系数。它恒为正，数值大小取决于组成 物体的材料的性质； n 是曲面的外法线， ∂u / ∂n 是温度函数在 ( x, y, z ) 处沿外法线 n 的方向 导数。我们规定 n 所指的那一侧为 dS 的正侧，因此该式表示了在 dt 时间内从 dS 的负侧流 向正侧的热量。之所以用负号表示热流的方向与温度梯度方向相反，因为热量总是从温度 高的一侧流向温度低的一侧。 设在其上确定了一连续变动的单位外法线 n ， 则在两个时刻 t1 现考虑光滑封闭曲面 L ， 和 t 2 内，经由该物体内任意封闭曲面 L 进入 D 的热量为：
1
t2
∂u t2 Nhomakorabea
∂ ∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
D
1
D
+∫
t2 t1
∫∫∫ F ( x, y , z , t )dV dt D
（11-11）
即
∫t ∫∫∫ cρ − k − k − k − F ( x, y , z , t ) d V d t = 0 ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
D
（11-3）
根据牛顿-莱布尼兹公式
u ( x, y, z , t 2 ) − u ( x, y , z , t1 ) = ∫
t2 t1
∂u dt ∂t
（11-4）
前式可以改写为
Q = ∫∫∫ cρ ∫
D t2 t1
t2 ∂u ∂u dtdV = ∫ ∫∫∫ cρ dV dt t1 ∂t ∂t D
（11-5）
（2）通过 L 进入 D 的热量 Q1 。这里要使用热物理中的傅里叶（Fourier）热传导定律。 该定律证明了：在无穷小时间间隔 dt 内通过一个法矢量为 n 的无穷小曲面 dS，流向 n 所指 那一侧的热量为：
dQ = − k ( x , y , z ) ∂u dSdt ∂n
（11-6）
Q1 = − ∫
t2 t1
∂u dS dt ∫∫ k n ∂ L
（11-7）
・535・
微观金融学及其数学基础
应用奥斯托洛夫斯基-高斯（Ostrowski—Gauss）公式于上式中的曲面积分①，有
t2 ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u + k dV dt = 0 Q1 = ∫ ∫∫∫ k + k t1 D ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
dV = dxdydz
的温度由 u ( x, y, z , t1 ) 升高到 u ( x, y, z, t 2 ) 所需要的热量 dQ 为：
dQ = cρ [u ( x, y, z , t1 ) − u ( x, y, z , t 2 )]dV
（11-2）
整个 D 由于温度改变需要的热量是：
Q = ∫∫∫ cρ[u ( x, y, z , t1 ) − u ( x, y, z , t 2 )]dV
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u = a2 ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 ∂t
（11-15）
如果该物体是一长度为 l 的均匀细长杆，则热传导方程最简形式为：
n
G D L
图 11-1
热量在物体内部的传导
①
以下分析均假定 u 对 x，y，x 具有二阶连续偏导数，对 t 具有一阶连续偏导数。
・534・
第 11 章
偏微分方程和数值方法
下面我们分别决定这些热量，首先是: （1） D 内温度改变所需要的热量 Q 。假定物体的比热（使单位质量的物体温度改变 1 摄氏度所需要的热量）为 c( x, y, z ) ，密度为 ρ ( x, y, z ) 。那么根据物理中的实验规律，无穷小 体积
第 11 章
偏微分方程和数值方法
们要学习偏微分方程的数值解法（numerical method）——有限差分方法（finite difference method） 。此外，根据风险中性定价原理和费曼-卡茨（Feynman-Kac）理论，布莱克-休尔 斯方程还有一种概率解。但是获得这种概率解同样需要一种被称为蒙特卡罗的数值方法， 因此本章最后我们要考察这日益重要的种计算机模拟（simulation）技术。
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
∂2f ； ∂S 2
的分类方法的启发。 我们知道根据上面曲线方程的系数可以判断二次曲线的形状究竟是双曲线、抛物线或 者椭圆。类似的在这里，方程（11-1）中： （1）如果 B 2 − 4 AC > 0 ，就称之为双曲型（hyperbolic）偏微分方程； （2）如果 B 2 − 4 AC = 0 ，则称之为抛物型（parabolic）偏微分方程；
11.1
11.1.1 基本概念
介
绍
我们在第 4、9、10 章中都见到过著名的布莱克-休尔斯方程：
∂f ∂f 1 2 2 ∂ 2 f − rf = 0 + σ S + rS 2 ∂S ∂t 2 ∂S
其中 S 是某种基础产品的价格， r 是无风险收益率， t 是时间，σ 是 S 的波动率， f 则 是基于 S 的衍生产品的价格。这个偏微分方程包含了衍生产品价格运动信息，是对所有基 础产品和基于它的衍生产品之间相对价格运动形式的高度概括。 它在金融理论中的重要性， 怎样强调都不过分。 就其本身而言，这是一个有着两个自变量的偏微分方程，这种偏微分方程的更一般形 式为：
第 11 章
偏微分方程和数值方法
7 基础微积分 7 线性代数 8 概率论 9 随机微积分 11 偏微分方程 10 鞅 11 数值方法
本章的学习目标 了解布莱克-休尔斯方程所属的二阶偏微分方程的类型； 了解热传导方程的推导过程和它代表的物理意义； 理解偏微分方程所附带的边界条件和初始条件的具体形式和现实意义； 熟悉傅里叶变换方法及其主要性质； 熟悉用傅里叶积分变换来求热传导方程； 掌握通过变量代换来求解布莱克-休尔斯方程； 了解求解偏微分方程的主要几种有限差分格式以及各自的优缺点； 掌握柯尔莫格罗夫方程的推导过程， 并理解扩散过程和数学期望之间的联系； 掌握费曼-卡茨定理并了解它同风险中性定价之间的关系； 了解产生随机数、随机分布和随机过程的技术方法； 掌握使用蒙特卡罗模拟技术计算期权的实际操作方法和两种算法优化技术。 完整学习有着数百年知识积淀的偏微分方程理论本身是一项艰巨而耗费时日的工作。 幸运的是：在我们所关注的微观金融领域，几乎所有被用到的偏微分方程都只属于其中一 个很小的类别——二阶线性偏微分方程。因此这一章的设计思想（用软件行业的术语来说） 是完全面向任务的，目标很明确：求解布莱克-休尔斯方程。 我们这样安排本章的结构：首先了解一下偏微分方程的数学表达形式，并在直观的热 物理背景下，讨论偏微分方程的定解问题。然后使用经典的傅里叶变换（Fourier transform） 技术来求出一般热传导方程的解析解，这就使我们可以遵循布莱克-休尔斯（1973）的方法 求解布莱克-休尔斯偏微分方程获得期权价格。但是由于获得解析解的机会并不多，因此我
cρ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u = k + k + F ( x, y , z , t ) + k ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
（11-13）
这就是温度函数应当满足的偏微分方程，物理上称为各向同性介质有热源三维非齐次 热传导方程②。如果物体是均质的，则 k ， c 和 ρ 均为常数，令
（11-9）
根据热量守恒定律应有：
Q = Q1 + Q2
（11-10）
把上面 3 种热量代入守恒定律就有：
dt = ∫ ∫∫∫ k + ∫t ∫∫∫ cρ ∂t dV k + k dV dt t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
1
t2
∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
（11-12）
V
由于时间间隔 [t1 , t 2 ] 以及区域 D 是任取的，如果上式积分号下的函数是连续的，则在 任意时刻，该物体内任意点，上式中的三重积分必恒等于 0。所以在我们所考察的空间范 围和时间范围内恒有：
・533・
微观金融学及其数学基础
（3）如果 B 2 − 4 AC < 0 ，则称之为椭圆型（elliptic）偏微分方程。 对于布莱克-休尔斯方程，因为有：
A = 1 / 2σ 2 S 2 B=C =G=0 D = rS
E = 1, F = −r
而且
B 2 − 4 AC = 0
所以现在可以知道，我们面对的是一个二阶齐次线性抛物型偏微分方程。听上去相当 复杂，我们接下来的任务就是一步一步揭开这种方程所蕴涵的实际物理意义，并得到求解 它的一般方法。
11.1.2 物理意义
一个二阶齐次线性抛物型偏微分方程究竟描述了怎样的一种现象呢？鉴于它最初的来 源和最广泛的应用都发生在热物理领域，我们不妨来看一下它的实验背景，这对于我们理 解这个方程将提供足够的洞察力。 根据日常生活的经验，我们知道当物体内部各处的温度不一致时，热量就会从高温处 向低温处传递，这被称为“热传导”现象。现在假定存在一导热物体，它在 3 维空间占据 边界面为 ∂G ， 我们怎样才能知道它其中的某一部分的温度变化情况呢？用温 的区域为 G ， 度函数 u ( x, y, z , t ) 表示该物体在 t 时刻和 ( x, y, z ) 位置的温度，我们来建立该温度函数需要满 足的关系式①。 。根据热量 设想从物体 G 内任意割取一个由光滑曲面 L 所围成的区域 D （见图 11-1） 守恒定律， D 内各点的温度由任一时刻 t1 的 u ( x, y, z , t1 ) 改变为 t 2 时刻的 u ( x, y, z, t 2 ) 所吸收 （或释放）的热量 Q ，应当等于从 t1 到 t 2 时间内通过 L 进入（或流出） D 内的热量 Q1 和 D 内热源提供的热量 Q2 的总和。